中小学教育资源及组卷应用平台
4.3.1 对数的概念
知识梳理 回顾教材 夯实基础
知识点一 对数的有关概念
对数的概念：一般地，如果ax＝N(a>0，且a≠1)，那么数x叫做以a为底N的对数，记作
注意点：
(1)对数是由指数转化而来，则底数a、指数或对数x、幂或真数N的范围不变，只是位置和名称发生了变换．
(2)logaN的读法：以a为底N的对数．
(3)常用对数与自然对数：
通常将以10为底的对数叫做常用对数，以e(e＝2.718 28…)为底的对数称为自然对数，log10N可简记为lg N，logeN简记为ln N.
知识点二 对数与指数的关系
一般地，有对数与指数的关系：若a>0，且a≠1，则ax＝N logaN＝x.
对数恒等式：＝N；logaax＝x(a>0，且a≠1)．
知识点三 对数的性质
1．1的对数为零，即loga1＝0(a>0，且a≠1)．
2．底的对数为1，即logaa＝1(a>0，且a≠1)．
3．零和负数没有对数．
习题精练 基础落实 题题到位
选择题
1.有下列说法：①零和负数没有对数；②任何一个指数式都可以化成对数式；③以10为底的对数叫做常用对数；④以e为底的对数叫做自然对数．其中正确说法的个数为( )
A.1 B.2 C.3 D.4
答案：C
解析：①③④正确，②不正确，只有a>0，且a≠1时，ax＝N才能化为对数式．
2.将 - 2＝9写成对数式，正确的是( )
A.log9＝－2 B.＝－2 C.＝9 D.log9(－2)＝
答案：B
解析：根据对数的定义，得＝－2，故选B.
3.下列指数式与对数式互化不正确的一组是( )
A.100＝1与lg 1＝0 B.与
C.log39＝与 D.log55＝1与51＝5
答案：C
解析：∵化为对数式应为log93＝，∴C不正确．
4.下列四个等式：①lg(lg 10)＝0；②lg(ln e)＝0；③若lg x＝10，则x＝10；④若ln x＝e，则x＝e2.其中正确的是( )
A.①③ B.②④ C.①② D.③④
答案：C
解析：①lg(lg 10)＝lg 1＝0；②lg(ln e)＝lg 1＝0；③若lg x＝10，则x＝1010；④若ln x＝e，则x＝ee.故只有①②正确．
5.在M＝log(x－3)(x＋1)中，要使式子有意义，x的取值范围为( )
A.(－∞，3] B.(3,4)∪(4，＋∞) C.(4，＋∞) D.(3,4)
答案：B
解析：由对数的概念可得解得34.
6.方程lg(x2－1)＝lg(2x＋2)的根为( )
A.－3 B.3 C.－1或3 D.1或－3
答案：B
解析：由lg(x2－1)＝lg(2x＋2)，得x2－1＝2x＋2，即x2－2x－3＝0，解得x＝－1或x＝3.经检验x＝－1是增根，∴原方程的根为x＝3.
7.的值为( )
A.6 B. C.8 D.
答案：C
解析：＝－1·＝2×4＝8.
8.化简等于( )
A.14 B.0 C.1 D.6
答案：B
解析：原式＝＝4－32－(－2)＋3＝0.
9.设f(log2x)＝2x(x>0)，则f(2)的值是( )
A.128 B.16 C.8 D.256
答案：B
解析：由log2x＝2可知x＝4，∴f(2)＝24＝16.
10.若a>0，＝，则等于( )
A.2 B.3 C.4 D.5
答案：B
解析：∵＝，a>0，∴a＝＝3，设，∴x＝a，∴x＝3.
二、填空题
11.已知log7[log3(log2x)]＝0，那么＝ .
答案：
解析：∵log7[log3(log2x)]＝0，∴log3(log2x)＝1，∴log2x＝3，∴23＝x，∴＝＝＝＝.
12.若对数log(x－1)(2x－3)有意义，则x的取值范围是 ．
答案：∪(2，＋∞)
解析：由得得x>且x≠2.
13.若log(1－x)(1＋x)2＝1，则x＝ .
答案：－3
解析：由log(1－x)(1＋x)2＝1，得(1＋x)2＝1－x，∴x2＋3x＝0，∴x＝0或x＝－3.注意到∴x＝－3.
14.若x满足(log2x)2－2log2x－3＝0，则x＝ .
答案：8或
解析：设t＝log2x，则原方程可化为t2－2t－3＝0，解得t＝3或t＝－1，∴log2x＝3或log2x＝－1，∴x＝23＝8或x＝2－1＝.
15.若a＝lg 2，b＝lg 3，则的值为________．
答案：
解析：∵a＝lg 2，∴10a＝2.∵b＝lg 3，∴10b＝3.∴＝＝.
三、解答题
16.将下列指数式化为对数式，对数式化为指数式．
(1)53＝125；(2) 4－2＝；(3)＝－3；(4)log3＝－3.
解：(1)∵53＝125，∴log5125＝3.
(2)∵4－2＝，∴log4＝－2.
(3)∵＝－3，∴－3＝8.
(4)∵log3＝－3，∴3－3＝.
17.(1)先将下列式子改写成指数式，再求各式中x的值．
①log2x＝－；②logx3＝－.
(2)已知6a＝8，试用a表示下列各式．
①log68；②log62；③log26.
解：(1)①∵log2x＝－，∴x＝＝.
②∵logx3＝－，∴＝3，∴x＝3－3＝.
(2)①log68＝a.
②由6a＝8得6a＝23，即＝2，∴log62＝.
③由＝2得＝6，∴log26＝.
18.若＝m，＝m＋2，求的值．
解：∵＝m，∴m＝x，x2＝2m.
∵＝m＋2，∴m＋2＝y，y＝2m＋4.
∴＝＝2m－(2m＋4)＝－4＝16.
19.若 ，试确定x，y，z的大小关系．
解：由＝0，得＝1，log3y＝，.
由，
得，log2x＝，.
由，
得，log5z＝，，
∵310>215>56，
∴y>x>z.
21世纪教育网(www.21cnjy.com)
4.3.1 对数的概念 1/1中小学教育资源及组卷应用平台
4.3.1 对数的概念
知识梳理 回顾教材 夯实基础
知识点一 对数的有关概念
对数的概念：一般地，如果ax＝N(a>0，且a≠1)，那么数x叫做以a为底N的对数，记作
注意点：
(1)对数是由指数转化而来，则底数a、指数或对数x、幂或真数N的范围不变，只是位置和名称发生了变换．
(2)logaN的读法：以a为底N的对数．
(3)常用对数与自然对数：
通常将以10为底的对数叫做常用对数，以e(e＝2.718 28…)为底的对数称为自然对数，log10N可简记为lg N，logeN简记为ln N.
知识点二 对数与指数的关系
一般地，有对数与指数的关系：若a>0，且a≠1，则ax＝N logaN＝x.
对数恒等式：＝N；logaax＝x(a>0，且a≠1)．
知识点三 对数的性质
1．1的对数为零，即loga1＝0(a>0，且a≠1)．
2．底的对数为1，即logaa＝1(a>0，且a≠1)．
3．零和负数没有对数．
习题精练 基础落实 题题到位
选择题
1.有下列说法：①零和负数没有对数；②任何一个指数式都可以化成对数式；③以10为底的对数叫做常用对数；④以e为底的对数叫做自然对数．其中正确说法的个数为( )
A.1 B.2 C.3 D.4
2.将 - 2＝9写成对数式，正确的是( )
A.log9＝－2 B.＝－2 C.＝9 D.log9(－2)＝
3.下列指数式与对数式互化不正确的一组是( )
A.100＝1与lg 1＝0 B.与
C.log39＝与 D.log55＝1与51＝5
4.下列四个等式：①lg(lg 10)＝0；②lg(ln e)＝0；③若lg x＝10，则x＝10；④若ln x＝e，则x＝e2.其中正确的是( )
A.①③ B.②④ C.①② D.③④
5.在M＝log(x－3)(x＋1)中，要使式子有意义，x的取值范围为( )
A.(－∞，3] B.(3,4)∪(4，＋∞) C.(4，＋∞) D.(3,4)
6.方程lg(x2－1)＝lg(2x＋2)的根为( )
A.－3 B.3 C.－1或3 D.1或－3
7.的值为( )
A.6 B. C.8 D.
8.化简等于( )
A.14 B.0 C.1 D.6
9.设f(log2x)＝2x(x>0)，则f(2)的值是( )
A.128 B.16 C.8 D.256
10.若a>0，＝，则等于( )
A.2 B.3 C.4 D.5
二、填空题
11.已知log7[log3(log2x)]＝0，那么＝ .
12.若对数log(x－1)(2x－3)有意义，则x的取值范围是 ．
13.若log(1－x)(1＋x)2＝1，则x＝ .
14.若x满足(log2x)2－2log2x－3＝0，则x＝ .
15.若a＝lg 2，b＝lg 3，则的值为________．
三、解答题
16.将下列指数式化为对数式，对数式化为指数式．
(1)53＝125；(2) 4－2＝；(3)＝－3；(4)log3＝－3.
17.(1)先将下列式子改写成指数式，再求各式中x的值．
①log2x＝－；②logx3＝－.
(2)已知6a＝8，试用a表示下列各式．
①log68；②log62；③log26.
18.若＝m，＝m＋2，求的值．
19.若 ，试确定x，y，z的大小关系．
21世纪教育网(www.21cnjy.com)
4.3.1 对数的概念 1/1
