4.4.1 探索三角形相似的条件（第1课时）课件（共31张PPT）

(共31张PPT)
北师大版 九年级上册
4.4.1 探索三角形相似的条件（第1课时）
学习目标
1．掌握相似三角形的定义、表示法，并能根据定义判断两个三角形是否相似．
2．掌握由两角对应相等判定两个三角形相似的方法，并会运用这种判定三角形相似的方法解决简单问题．
情境导入
情境导入
1.相似多边形的定义
各角分别______，各边_______ 的两个多边形叫做相似多边形
2.相似多边形性质
相似多边形对应角______，对应边______。
相等
成比例
相等
成比例
探究新知
核心知识点一：
利用角的关系判定两个三角形相似
你能类比相似多边形的定义，给出相似三角形的定义吗？
1.相似三角形的定义
(1)_________________、___________的两个三角形叫做相似三角形 ，记作_______________.
注意：对应顶点写在对应位置
2.相似三角形的性质：
相似三角形的对应角 _____，对应边______ .
三边成比例
三个角分别相等
ΔABC ∽ ΔA'B'C'
相等
成比例
探究新知
△ABC ∽△A'B'C'
∠A=∠A'，∠B=∠B'，∠C=∠C '
问题：两个三角形至少满足哪些条件就相似呢？
探究新知
△ABC ∽△A'B'C'
∠A=∠A'，∠B=∠B'，∠C=∠C '
问题：能否类比两个三角形全等的条件，
探索两个三角形相似的条件呢？
探究新知
1、如果只给一个条件，判断两个三角形是否相似，你会给什么条件？
一个条件
一个角相等
两边成比例
探究新知
2、如果给两个条件，判断两个三角形是否相似，你会给什么条件？有哪些可能的情况？
两个条件
两个角分别相等
两边成比例且夹角相等
两边成比例且其中一边的对角相等
一边与另外两边成比例
探究新知
做一做：若两个三角形只有一个角对应相等，两三角形是否相似？
画一个△ABC，使得∠BAC = 60°，与同伴交流，你们所画的三角形相似吗？通过探究你发现了什么？
一个角相等的两个三角形不一定相似
A
B
C
60°
A
B
C
60°
探究新知
探究：两个三角形两个角对应相等，是否相似？
小组合作：1-4组两个人分别画△ABC和△A′B′C′,使得∠A=∠A′=45°，∠B=∠B′=60°，5-8组两个人分别画△ABC和△A′B′C′,使得∠A=∠A′=30°，∠B=∠B′=45°，画完后请解答下列问题。
探究新知
（1）∠C=∠C′吗？
（2）先量出自己所画的三角形三边长度(精确到 0.1cm），再合作求出对应边的比，，相等吗(精确到 0.01cm）
（3）这样的两个三角形相似吗？说说你的理由。改变两组角的大小，再试试
猜想：两角分别相等的两个三角形相似.
探究新知
试证明△A′B′C′∽△ABC.
∠1=∠B，∠2 =∠C，
过点 D 作 AC 的平行线,交 BC 于点 F,则
∴ ∴
∵ DE∥BC, DF∥AC,
∴ 四边形 DFCE 是平行四边形．
∴ DE = CF.∴
证明：在 △ABC 的边 AB（或它的延长线）上截取AD =A'B'，过点D作BC的平行线，交 AC 于点E，则
A′
A
E
D
1
2
B′
C′
B
C
F
探究新知
A′
A
E
D
1
2
B′
C′
B
C
F
试证明△A′B′C′∽△ABC.
而 ∠ 1 = ∠ B，∠ DAE = ∠ BAC，
∠ 2=∠ C，
∴ △ADE ∽ △ABC.
∵ ∠ A = ∠ A'，∠ ADE = ∠ B =∠ B'，AD = A'B'，
∴ △ADE ≌△A' B ' C ' ．
∴ △ABC ∽△A'B'C.
探究新知
归纳总结
如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等，
那么这两个三角形相似。
可以简单说成： 两角对应相等，两三角形相似。
判定定理1：
∵ ∠A=∠A'，∠B=∠B'，
∴ △ABC ∽ △A'B'C'.
符号语言：
A
B
C
A'
C'
B'
探究新知
例1 ： 如图，D、E分别是△ABC边AB、AC上的点，DE∥BC，
AB=7，AD=5，DE=10，求BC的长。
A
B
C
D
E
解：∵DE∥BC,
∴∠ADE=∠B，∠AED=∠C.
∴△ADE∽△ABC(两角分别相等的两个三角形相似).
∴
∴BC=14.
探究新知
例2：已知△ABC中，AB＝AC，∠A＝36°，BD是角平分线，求证：△ABC∽△BDC.
证明：∵∠A＝36°，△ABC是等腰三角形，
∴∠ABC＝∠C＝72°，又BD平分∠ABC，
则∠DBC＝36°.
在△ABC和△BDC中，∠C为公共角，
∠A＝∠DBC＝36°，
∴△ABC∽△BDC.
随堂练习
1．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB于点D，则图中相似三角形共有(　　)
A．1对　　　　 B．2对
C．3对 D．4对
C
随堂练习
2.下列各组三角形中，两个三角形能够相似的是（ ）
A.△ABC中，∠A＝42 o，∠B＝118 o，△A`B`C`中，∠A`＝118 o，∠B`＝15 o
B.△ABC中，AB=8，AC=4, ∠A＝105 o，△A`B`C`中，A`B`＝16，B`C`＝8，∠A`＝100o
C.△ABC中，AB=18，BC＝20，CA＝35，△A`B`C`中，A`B`＝36，B`C`＝40，C`A`＝70
D.△ABC和△A`B`C`中，有，∠C＝∠C`。
C
随堂练习
3.有一个锐角相等的两个直角三角形是否相似？为什么？
4.顶角相等的两个等腰三角形是否相似？为什么？
相似，理由是：直角相等，一锐角相等，即有两角分别相等，根据“两角分别相等的两个三角形相似”可知这两个三角形相似.
相似，理由是：因为顶角相等，两个底角也分别相等.
随堂练习
5.在△ABC与△DEF中，∠A＝∠D＝70°，∠B＝60°，∠E＝50°， 这两个三角形相似吗？为什么？
解：相似.
根据三角形内角和定理，
可得∠C＝50°，即∠C＝∠E，
又已知∠A＝∠D，
所以△ABC∽△DEF.
随堂练习
6.如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，对角线AC与BD相交于点O.找出图中的相似三角形，并说明理由.
A
B
C
D
O
解：∵AB∥CD，
∴∠OAB＝∠OCD，∠OBA＝∠ODC
∴△ABO∽△CDO.
随堂练习
A
B
C
D
解（1）△ABC∽△DBA,
△ABC∽△DAC,
△DBA∽△DAC,
7.如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，AD⊥BC，垂足为D.
（1）请指出图中所有的相似三角形；
（2）你能得出AD2＝BD·DC吗？
随堂练习
A
B
C
D
7.如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，AD⊥BC，垂足为D.
（1）请指出图中所有的相似三角形；
（2）你能得出AD2＝BD·DC吗？
解：（2）能得出AD2＝BD·DC.
理由如下：
由（1）可知△DBA∽△DAC，
∴
即
AD2＝BD·DC.
随堂练习
8.将两个全等的等腰直角三角形摆成如图所示的样子，（图中的所有点、线都在同一平面内），请在图中找出两对相似而不全等的三角形，并说明它们相似的理由.
A
B
C
D
E
F
G
解：△ABE∽△DAE.
理由：∠BEA＝∠AED，
∠B＝∠DAE＝45°，
△ADC∽△EDA.
理由：∠CDA＝∠ADE，
∠DCA＝∠DAE＝45°.
随堂练习
9．如图，在边长为4的等边三角形ABC中，D、E分别在线段BC，AC上运动，在运动过程中始终保持∠ADE＝60°，求证：△ABD∽△DCE.
证明：∵△ABC是等边三角形，
∴∠B＝∠C＝60°.
∴∠BAD＋∠ADB＝120°.
∵∠ADE＝60°，
∴∠ADB＋∠EDC＝120°.
∴∠DAB＝∠EDC.
∴△ABD∽△DCE.
随堂练习
10.如图，为了测量一个大峡谷的宽度，位于峡谷一侧的地质勘探人员在对面的岩石上观察一个特别明显的标志点O，再在他们所在这一侧选点A、B、D，使得AB⊥AO，DB⊥AB，然后确定DO和AB的交点C.测得AC＝120m，CB＝60m，BD＝50m，你能帮助他们算出峡谷的宽AO吗？
A
O
C
B
D
随堂练习
解：由AB⊥AO，DB⊥AB，
得∠OAC＝∠DBC＝90°，
又∠ACO＝∠BCD，
所以△ACO∽△BCD.
∴
A
O
C
B
D
课堂小结
对应角相等， 对应边成比例的两个三角形, 叫做相似三角形。
如果∠A =∠D,∠B =∠E,
两角对应相等的两个三角形相似
△ABC与△DEF相似，就记作:△ABC∽△DEF.
注意:要把表示对应角顶点的字母写在对应的位置上！
那么△ ABC∽ △DEF,
1. 定义：
2.判定定理：
谢谢
21世纪教育网（www.21cnjy.com)
中小学教育资源网站
兼职招聘：
https://www.21cnjy.com/recruitment/home/admin