数学人教A版(2019)必修第一册3.1.2函数的表示法 课件（共52张ppt）

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3.1.2 函数的表示法
第三章 函数的概念与性质
温故知新
1.函数的定义：设A、B是非空数集，如果对于集合A中的任意一个数 x，按照某种确定的对应关系 f，在集合B中都有唯一确定的数y 和它对应，就称f: A→B 为从集合A到集合B的一个函数，记作： y=f(x) , x∈A
2.函数三要素：定义域、对应关系、值域
3.同一函数：定义域、对应关系相同
温故知新
解析法:就是用数学表达式表示两个变量之间的对应关系，
如y=2x+3
列表法:就是列出表格表示两个变量之间的对应关系.
初中学过哪几种表示函数的方法
解析法、列表法和图象法
图像法:就是画出函数图像来表示两个变量之间的对应关系.
问题1 列车行进的路程S(单位：km)与运行时间t(单位：h)的关系可以表示为S=350t。
解析法：用数学表达式表示两个变量之间的对应关系
优点：1.简明、全面地概括了变量间的对应关系；2.可以通过解析式求出任意一个自变量的值所对应的函数值。
学习新知
学习新知
问题2 如图，是北京市2016年11月23日的空气质量指数变化图。
图象法：用图象表示两个变量之间的对应关系
优点：能形象直观地表示出函数的变化趋势，有利于研究函数的性质。
学习新知
问题3 下表是我国某省城镇居民恩格尔系数变化情况。
列表法：列出表格来表示两个变量之间的对应关系
优点：不需要计算就可以直接看出与自变量的值相对应的函数值。
1.解析法：简明、抽象、有规律.
是研究函数的主要方法
2.图象法：直观、趋势、不精准。
是利用数形结合思想解题的基础
3.列表法：直观、离散.
当自变量的个数较少时使用，在实际生
产和生活中有广泛的应用
归纳小结
例1.某种笔记本的单价是5元，买x(x∈{1,2,3,4,5})个笔记本需要y元,试用函数的三种表示法表示函数y=f (x).
解:
这个函数的定义域是
数集{1,2,3,4,5}.
用解析法可将函数y=f (x)表示为:
y=5x,
x∈{1,2,3,4,5}.
用列表法可将函数y=f (x)表示为:
笔记本数x 1 2 3 4 5
钱数y 5 10 15 20 25
例题演练
例1.某种笔记本的单价是5元，买x(x∈{1,2,3,4,5})个笔记本需要y元,试用函数的三种表示法表示函数y=f (x).
例题演练
解:
用图象法可将函数y=f (x)表示为
20
25
y
0
5
10
15
1
2
3
4
5
x
·
·
·
·
·
函数图象既可以是连续的曲线，也可以是直线、折线、离散的点等.判断一个图象是函数图象的依据是什么？
学习新知
若垂直于x轴的直线与图形至多有一个交点，则这个图形有可能为某个函数的图像
例2 作出下列函数的图象：
(1)y＝1＋x(x∈Z)；
【解】　这个函数的图象由一些点组成，
这些点都在直线y＝1＋x上(因为x∈Z，
所以y∈Z)，这些点都为整数点，
如图所示为函数图象的一部分．
函数图像
函数图像
(2)y＝x2－2x(x>1或x<－1).
【解】y＝x2－2x＝(x－1)2－1(x>1或x<－1)是抛物线y＝x2－2x去掉－1≤x≤1之间的部分后剩余曲线．如图所示．
描点法作函数图象的三个关注点
(1)画函数图象时首先关注函数的定义域，即在定义域内作图．
(2)图象是实线或实点，定义域外的部分有时可用虚线来衬托整个图象．
(3)要标出某些关键点，例如图象的顶点、端点、与坐标轴的交点等，要分清这些关键点是实心点还是空心圈．
[提醒]　函数图象既可以是连续的曲线，也可以是直线、折线、离散的
点等．
归纳小结
分段函数
例3.画出函数 y=|x| 的图象.
解:
由绝对值的概念,我们有
所以,函数y=|x| 的图象如图所示.
0
3
2
1
-1
-2
-3
1
2
3
4
我们把这样的函数称为分段函数
分段函数
如果函数y＝f(x)，x∈A，根据自变量x在A中不同的取值范围，有着不同的对应关系，则称这样的函数为分段函数.
关于分段函数概念的理解
(1)分段函数是一个函数而不是几个函数．
(2)分段函数在书写时用大括号把各段函数合并写成一个函数的形式，并且必须指明各段函数自变量的取值范围．
(3)分段函数的定义域是各段定义域的并集，值域是各段值域的并集．
分段函数
练习：画出函数 y=|x+2| 的图象
x
y
o
-2
2
解:
由绝对值的概念,我们有
所以,函数y=|x+2| 的图象如图所示.
y=|x-2|的图象呢
平移准则：左加右减
分段函数
例4 根据函数f(x)的图象写出它的解析式．
分段函数
例5 设x∈R，求函数y＝2|x－1|－3|x|的最大值．
分段函数图象的画法
(1)对含有绝对值的函数，要作出其图象，首先应根据绝对值的意义去掉绝对值符号，将函数转化为分段函数，然后分段作出函数图象．
(2)作分段函数的图象时，分别作出各段的图象，在作每一段图象时，先不管定义域的限制，作出其图象，再保留定义域内的一段图象即可，作图时要特别注意衔接点处点的虚实，保证不重不漏．
归纳小结
分段函数
分段函数
归纳小结
(1)分段函数求函数值的步骤
①确定要求值的自变量属于哪一段区间．
②代入该段的解析式求值，直到求出值为止．当出现f(f(x0))的形式时，应从内到外依次求值．
(2)已知函数值求字母取值(范围)的步骤
①先将字母分情况代入解析式，列出方程(不等式).
②解方程(不等式)求字母的值(范围)，并检验是否符合字母的取值范围．
③符合题意的所有值(范围的并集)即为所求．
解：当x≥－2时，f(x)＝x＋2，
由f(x)>2，得x＋2>2，解得x>0，故x>0；
当x<－2时，f(x)＝－x－2，
由f(x)>2，得－x－2>2，
解得x<－4，故x<－4.
综上所述，x的取值范围为(－∞，－4)∪(0，＋∞).
分段函数
例7 给定函数f(x)=x+1,g(x)=(x+1)2,x∈R
（1）在同一直角坐标系中画出函数f(x)，g(x)的图象；
分段函数
解：(1)图象如图所示
分段函数
例7 给定函数f(x)=x+1,g(x)=(x+1)2,x∈R
（2） x∈R，用M(x)表示f(x)，g(x)中的较大者，记为M(x)=max{f(x)，g(x)}，请分别用图象法和解析法表示函数M(x)
解:
(2)由(1)中的函数图象与M(x)的定义可知：
由x+1=(x+1)2，则x=-1，或x=0
当x≤-1时，M(x)=(x+1)2 ；当-1当x>0时，M(x)=(x+1)2
函数的解析式为:
分段函数
例7 给定函数f(x)=x+1,g(x)=(x+1)2,x∈R
（2） x∈R，用M(x)表示f(x)，g(x)中的较大者，记为M(x)=max{f(x)，g(x)}，请分别用图象法和解析法表示函数M(x)
P69练习3.给定函数f(x)=-x+1,g(x)=(x-1)2,x∈R
(1)在同一直角坐标系中画出函数f(x)，g(x)的图象.
(2) x∈R,用m(x)表示f(x),g(x)中的 最小者,记为m(x)=min{f(x),g(x)}
请分别用解析法与图像法表示函数m(x).
分段函数
例8、下表是某高校高一（1）班三名同学在高一学年度六次数学测试的成绩及班级平均分表。
姓名 测试序号
第1次 第2次 第3次 第4次 第5次 第6次
王伟 98 87 91 92 88 95
张城 90 76 88 75 86 80
赵磊 68 65 73 72 75 82
班级平均分 88.2 78.3 85.4 80.3 75.7 82.6
请你对这三位同学在高一学年的数学学习情况做一个分析。
分析：从上表可以知道每位同学在每次测试中的成绩，但不太容易分析每位同学的成绩变化情况。如果将每位同学的“成绩”与“测试序号”之间的函数关系分别用图像（均为6个离散的点）表示出来。如下图，那么就能直观的看到每位同学成绩变化的情况，这对我们的分析有帮助。
1
0
2
3
4
5
6
60
70
80
90
100
y
王伟
张城
赵磊
班平均分
x
从上图可以看到，
张城同学的数学学习成绩不稳定，总是在班级平均水平上下波动，而且波动幅度较大。
赵磊同学的数学学习成绩低于班级平均水平，但表示他成绩变化的图像呈上升趋势，表明他的数学成绩在稳步提高。
王伟同学的数学学习成绩始终高于班级平均水平，学习情况比较稳定而且成绩优秀。
例9、依法纳税是每个公民应尽的义务，个人取得的所得应依照《中华人民共和国个人所得税法》向国家缴纳个人所得（简称个税）。2019年1月1日起，个税税额根据应纳税所得额、税率和速算扣除数确定，计算公式为
个税税额=应纳税所得额×税率--速算扣除数 ①
应纳税所得额的计算公式为
应纳税所得额=综合所得收入额--基本减除费用--专项扣除--专项附加扣除--依法确定的其他扣除， ②
其中，“基本减除费用”（免征额）为每年60000元。税率与速算扣除数见下表
级数 全年应纳税所得额所在区间 税率（%） 速算扣除数
1 [0,36000] 3 0
2 (36000,144000] 10 2520
3 (144000,300000] 20 16920
4 (300000,420000] 25 31920
5 (420000,660000] 30 52920
6 (660000,960000] 35 85920
7 (960000,+ ) 45 181920
(1)设全年应纳税所得额为t，应纳个税税额为y，求y=f(t),并画出图像；
分析：个税税额公式是什么
个税税额=应纳税所得额×税率--速算扣除数
解：根据上表可得函数y=f(t)的函数解析式为
函数图像如下图
11880
43080
73080
145080
250080
t
y
0
36000
144000
300000
420000
660000
960000
(2)小王的全年应缴纳综合所得个税可以根据哪个公式求出
公式②
应纳税所得额=综合所得收入额--基本减除费用--专项扣除--专项附加扣除--依法确定的其他扣除
综合所得收入额
基本减除费用
专项扣除
专项附加扣除
依法确定的其他扣除
189600元
60000元
189600（8%+2%+1%+9%）元
52800元
4560元
小往全年应纳税所得额t=189600-60000-189600(8%+2%+1%+9%)-52800-4560
=0.8×189600-117360
=34320
小王应纳税的综合所得个税税额为y=0.03×34320=1029.6元
某市有A，B两家羽毛球俱乐部，两家设备和服务都很好，但收费方式不同，A俱乐部每块场地每小时收费6元；B俱乐部按月计费，一个月中20小时以内(含20小时)每块场地收费90元，超过20小时的部分，每块场地每小时收费2元．某企业准备下个月从这两家俱乐部中的一家租用一块场地开展活动，其活动时间不少于12小时，也不超过30小时．
(1)设在A俱乐部租一块场地开展活动x小时的收费为f(x)元(12≤x≤30)，在B俱乐部租一块场地开展活动x小时的收费为g(x)元(12≤x≤30)，试求f(x)与g(x)的解析式；
(2)问该企业选择哪家俱乐部比较合算，为什么？
【解】①当12≤x≤20时，令6x＝90，解得x＝15，
即当12≤x＜15时，f(x)＜g(x)；
当x＝15时，f(x)＝g(x)；
当15＜x≤20时，f(x)＞g(x).
②当20＜x≤30时，f(x)＞g(x).
综上，当12≤x＜15时，选A俱乐部合算；当x＝15时，两家俱乐部一样合算；当15＜x≤30时，选B俱乐部合算．
分段函数的实际应用
(1)当目标在不同区间有不同的计算表达方式时，往往需要用分段函数模型来表示两变量间的对应关系，而分段函数图象也需要分段画．
(2)分段函数模型应用的关键是确定分段的各分界点，即明确自变量的取值区间，对每一个区间进行分类讨论，从而写出相应的函数解析式．
归纳小结
练习：某市乘出租车计费规定：2千米以内(包含2千米)5元，超过2千米但不超过8千米的部分按每千米1.6元计费，超过8千米的部分按每千米2.4元计费．
(1)写出乘车费y(单位：元)关于乘出租车所走路程x(单位：千米)的函数解析式；
(2)若甲、乙两地相距10千米，则乘出租车从甲地到乙地需要支付乘车费多少元？
解：因为甲、乙两地相距10千米，即x＝10＞8，所以乘车费为2.4×10－4.6＝19.4(元)，
所以乘出租车从甲地到乙地需要支付乘车费19.4元．
补充
求函数的解析式---代入法
已知f(x)=x2 +x -1，则f(x+1)=________.
题型：已知f(x)的解析式，求f( )的解析式
方法：将 整体代入到f(x)解析式中，替换x
巩固练习1 已知f (x)=2x +1，则 f(f (x))=________.
已知f(x+1)=x2+3x+1，则f(x)=________.
题型：已知f( )的解析式，求f(x)的解析式
方法：①换元（设t= ，注意t的取值范围）
②反解x（用t表示x）
③代入，换回（把t直接写成x）
令t=x+1，则x=t-1,
所以f(t)=(t-1)2+3(t-1)+1=t2+t-1
求函数的解析式---换元法
所以f(t)=(t-1)2+2(t-1)+1=t2
巩固练习2 已知函数,求的解析式。
已知，求f(x)的解析式
求函数的解析式---配凑法
配凑法常见形式，求f(x)的解析式。
方法：配凑法就是将解析式凑成 f( )里面的形式
巩固练习3 已知函数, 求f(x)。
求函数的解析式---待定系数法
已知函数f(x)是一次函数，若 , 求f(x)的解析式。
解：因为f(x)是一次函数，故设f(x)=ax+b
所以f(f(x))=a(ax+b)+b=a2x+ab+b
因为f(f(x))=4x+8
所以a2=4，ab+b=8
已知函数f(x)是一次函数，若 , 求f(x)的解析式。
题型：函数类型给定（一次、二次、反比例等）
方法：① 设（函数类型）
② 代（代入方程）
③ 等（系数相等）
求函数的解析式---待定系数法
巩固练习4 已知函数f(x)是一次函数，且 , 则函数f(x)的解析式为_______
解：因为f(x)是一次函数，故设f(x)=ax+b
所以f(f(x))=a(ax+b)+b=a2x+ab+b
因为f(f(x))=16x-25
所以a2=16，ab+b=-25
巩固练习5 已知f(x)是二次函数，若f(0)=1，
, 求f(x)的解析式。
解：因为f(x)是二次函数，且f(0)=1，故设f(x)=ax2+bx+1
所以f(x+1)-f(x)=a(x+1)2+b(x+1)+1-ax2-bx-1=2ax+a+b
因为f(x+1)-f(x)=2x
所以2a=2，a+b=0
所以a=1，b=-1
所以f(x)=2x2-x+1
已知求的解析式
求函数的解析式---方程组法
已知求的解析式
题型：已知的关系式，或关系式
方法：① 用 替换 x，或用 –x 替换 x
②解方程组
求函数的解析式---方程组法
巩固练习7 已知求.