华东师大版八年级数学上册12.3乘法公式 同步练习题（含解析）
文档属性
| 名称 | 华东师大版八年级数学上册12.3乘法公式 同步练习题（含解析） |  | |
| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 63.5KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 华师大版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2022-10-09 08:37:34 | ||
图片预览
文档简介
2022-2023学年华东师大版八年级数学上册《12.3乘法公式》同步练习题（附答案）
一．选择题
1．已知y2+my+1是完全平方式，则m的值是（ ）
A．2 B．±2 C．1 D．±1
2．下列各式能直接用平方差公式计算的是（ ）
A．（a﹣2b）（2b﹣a） B．（a﹣2b）（b+2a）
C．（a﹣2b）（﹣a+2b） D．（﹣2b+a）（a+2b）
3．数形结合是初中数学重要的思想方法，下图就是用几何图形描述了一个重要的数学公式，这个公式是（ ）
A．a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b） B．（a﹣b）2＝a2﹣2ab+b2
C．a（a﹣b）＝a2﹣ab D．（a﹣b）2＝a2﹣b2
4．若a+b＝10，ab＝11，则代数式a2﹣ab+b2的值是（ ）
A．89 B．﹣89 C．67 D．﹣67
5．若要使等式（3x+4y）2＝（3x﹣4y）2+A成立，则A等于（ ）
A．24xy B．48xy C．12xy D．50xy
6．已知a﹣b＝2，则a2﹣b2﹣4b的值为（ ）
A．5 B．4 C．2 D．1
7．如图，两个正方形边长分别为a、b，如果a+b＝9，ab＝12，则阴影部分的面积为（ ）
A．25 B．22.5 C．13 D．6.5
二．填空题
8．已知a+b＝3，a﹣b＝2，则a2﹣b2＝ ．
9．计算（3+2a）（3﹣2a）＝ ．
10．计算：（m﹣3）2＝ ．
11．已知a+b＝5，ab＝3，则a2+b2＝ ．
12．一个长方形的长减少3cm，同时宽增加2cm，就成为一个正方形，并且这两个图形的面积相等，则原长方形的长是 ，宽是 ．
13．已知（m+n﹣1）（m+1+n）＝80，则m+n＝ ．
14．若x满足（x﹣3）（x﹣1）＝5，则（x﹣3）2+（x﹣1）2＝ ．
15．计算：（﹣3a﹣2b）2＝ ．
16．已知，x+y＝8，xy＝12，则x2﹣xy+y2的值为 ．
三．解答题
17．计算（2x﹣1）2﹣2（x+2）（x﹣2）
18．（2x﹣y﹣1）（2x+y﹣1）
19．计算：
（1）（2x+3y）2﹣（4x﹣9y）（4x+9y）+（3x﹣2y）2．
（2）（a﹣2b）2﹣（2a+b）（b﹣2a）﹣4a（a﹣b）
20．如图，将一个边长为a+b的正方形图形分割成四部分（两个正方形和两个长方形），请认真观察图形，解答下列问题：
（1）根据图中条件，请用两种方法表示该图形的总面积（用含a、b的代数式表示出来）；
（2）如果图中的a，b（a＞b）满足a2+b2＝57，ab＝12，求a+b的值．
21．将完全平方公式（a+b）2＝a2+2ab+b2进行适当的变形，可以解决很多数学问题．例如：若a+b＝3，ab＝1，求a2+b2的值．解：因为a+b＝3，ab＝1，所以（a+b）2＝9，2ab＝2．所以a2+b2+2ab＝9，2ab＝2．所以a2+b2＝7．
根据上面的解题思路与方法，解决下列问题：
（1）若x+y＝8，x2+y2＝40，求xy的值．
（2）①若（4﹣x）x＝5，则（4﹣x）2+x2＝ ，
②若（4﹣x）（5﹣x）＝8，则（4﹣x）2+（5﹣x）2＝ ．
（3）如图，点C是线段AB上的一点，分别以AC、BC为边作正方形ACDE、BCFG，设正方形ACDE的面积为S1，正方形BCFG的面积为S2，若S1+S2＝18，AB＝6，求图中阴影部分的面积？
22．【探究】如图①，从边长为a的大正方形中剪掉一个边长为b的小正方形，将阴影部分沿虚线剪开，拼成图②的长方形
（1）请你分别表示出这两个图形中阴影部分的面积
（2）比较两图的阴影部分面积，可以得到乘法公式： （用字母表示）
【应用】请应用这个公式完成下列各题
①已知4m2﹣n2＝12，2m+n＝4，则2m﹣n的值为
②计算：（2a+b﹣c）（2a﹣b+c）
【拓展】①（2+1）（22+1）（24+1）（28+1）…（232+1）+1结果的个位数字为
②计算：1002﹣992+982﹣972+…+42﹣32+22﹣12
参考答案
一．选择题
1．解：∵y2+my+1是完全平方式，
∴m＝±2，
故选：B．
2．解：A、不能用平方差公式进行计算，故本选项不符合题意；
B、不能用平方差公式进行计算，故本选项不符合题意；
C、不能用平方差公式进行计算，故本选项不符合题意；
D、能用平方差公式进行计算，故本选项符合题意；
故选：D．
3．解：图1中阴影部分面积等于大正方形的面积a2，减去小正方形的面积b2，即a2﹣b2；
图2中阴影部分为长等于（a+b），宽等于（a﹣b）的长方形，其面积等于（a+b）（a﹣b），
二者面积相等，则有a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b）．
比较各选项，可知只有A符合题意．
故选：A．
4．解：把a+b＝10两边平方得：
（a+b）2＝a2+b2+2ab＝100，
把ab＝11代入得：
a2+b2＝78，
∴原式＝78﹣11＝67，
故选：C．
5．解：∵（3x+4y）2＝9x2+24xy+16y2，（3x﹣4y）2＝9x2﹣24xy+16y2，
∴A＝9x2+24xy+16y2﹣（9x2﹣24xy+16y2）＝48xy．
故选：B．
6．解：∵a﹣b＝2，
∴a2﹣b2﹣4b＝（a+b）（a﹣b）﹣4b＝2（a+b）﹣4b＝2a+2b﹣4b
＝2（a﹣b）＝2×2＝4．
故选：B．
7．解：当a+b＝9，ab＝12时，由题意得：
S阴影＝a2﹣b（a﹣b）
＝a2﹣ab+b2
＝[（a+b）2﹣2ab]﹣ab
＝（81﹣24）﹣6
＝22.5
故选：B．
二．填空题
8．解：a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b）＝3×2＝6；
故答案是：6．
9．解：原式＝9﹣4a2，
故答案为：9﹣4a2
10．解：原式＝m2﹣6m+9，
故答案为：m2﹣6m+9
11．解：把知a+b＝5两边平方，
可得：a2+2ab+b2＝25，
把ab＝3代入得：a2+b2＝25﹣6＝19，
故答案为：19．
12．解：设这个长方形的长为xcm，宽为ycm，
由题意得，，
解得：．
故答案为：9cm，4cm．
13．解：（m+n﹣1）（m+1+n）＝80，
（m+n）2﹣12＝80，
（m+n）2＝81，
m+n＝±9，
故答案为：±9．
14．解：∵（x﹣3）（x﹣1）＝5，
∴原式＝[（x﹣3）﹣（x﹣1）]2+2（x﹣3）（x﹣1）＝4+10＝14，
故答案为：14
15．解：（﹣3a﹣2b）2
＝（﹣3a）2+2（﹣3a）（﹣2b）+（﹣2b）2
＝9a2+12ab+4b2
故答案为：9a2+12ab+4b2．
16．解：∵x+y＝8，xy＝12，
∴原式＝（x+y）2﹣3xy＝82﹣3×12＝64﹣36＝28．
故答案为：28．
三．解答题
17．解：原式＝4x2﹣4x+1﹣2（x2﹣4）
＝2x2﹣4x+9
18．解：原式＝[（2x﹣1）﹣y][（2x﹣1）+y]
＝（2x﹣1）2﹣y2
＝4x2﹣4x+1﹣y2．
19．解：（1）原式＝4x2+9y2+12xy﹣16x2+81y2+9x2+4y2﹣12xy
＝﹣3x2+94y2；
（2）原式＝a2﹣4ab+4b2﹣b2+4a2﹣4a2+4ab
＝a2+3b2．
20．解：（1）该图形总面积整体计算可得（a+b）2，部分求和可得a2+2ab+b2；
（2）由（1）题结果可得（a+b）2＝a2+2ab+b2，
∴当a2+b2＝57，ab＝12时，
（a+b）2＝57+2×12＝81，
∴a+b＝＝9．
21．解：（1）∵（x+y）2﹣2xy＝x2+y2，x+y＝8，x2+y2＝40，
∴82﹣2xy＝40，
∴xy＝12，
答：xy的值为12；
（2）①∵（4﹣x）+x＝4，
∴[（4﹣x）+x]2＝42，
[（4﹣x）+x]2＝（4﹣x）2+2（4﹣x）x+x2＝16；
又∵（4﹣x）x＝5，
∴（4﹣x）2+x2＝16﹣2（4﹣x）x＝16﹣2×5＝6．
故答案为：6．
②由（4﹣x）﹣（5﹣x）＝﹣1，
∴[（4﹣x）﹣（5﹣x）]2＝（4﹣x）2﹣2（4﹣x）（5﹣x）+（5﹣x）2＝（﹣1）2；
又∵（4﹣x）（5﹣x）＝8，
∴（4﹣x）2+（5﹣x）2＝1+2（4﹣x）（5﹣x）＝1+2×8＝17．
故答案为：17．
（3）设AC＝m，CF＝n，
∵AB＝6，
∴m+n＝6，
又∵S1+S2＝18，
∴m2+n2＝18，
由完全平方公式可得，（m+n）2＝m2+2mn+n2，
∴62＝18+2mn，
∴mn＝9，
∴S阴影部分＝mn＝，
答：阴影部分的面积为．
22．解：（1）图①按照正方形面积公式可得：a2﹣b2；
图②按照长方形面积公式可得：（a+b）（a﹣b）．
故答案为：a2﹣b2；（a+b）（a﹣b）．
（2）令（1）中两式相等可得：（a+b）（a﹣b）＝a2﹣b2
故答案为：（a+b）（a﹣b）＝a2﹣b2．
【应用】①∵4m2﹣n2＝12，2m+n＝4，4m2﹣n2＝（2m+n）（2m﹣n）
∴（2m﹣n）＝12÷4＝3
故答案为：3．
②（2a+b﹣c）（2a﹣b+c）
＝[2a+（b﹣c）][2a﹣（b﹣c）]
＝4a2﹣（b﹣c）2
＝4a2﹣b2+2bc﹣c2
【拓展】①
原式＝（2﹣1）（2+1）（22+1）（24+1）（28+1）…（232+1）+1
＝（22﹣1）（22+1）（24+1）（28+1）…（232+1）+1
＝（24﹣1）（24+1）（28+1）…（232+1）+1
＝（28﹣1）（28+1）…（232+1）+1
＝（216﹣1）…（232+1）+1
＝264﹣1+1
＝264
∵2的正整数次方的尾数为2，4，8，6循环，64÷4＝16
故答案为：6．
②原式＝（100+99）（100﹣99）+（98+97）（98﹣97）+…+（4+3）（4﹣3）+（2+1）（2﹣1）
＝100+99+98+97+…+4+3+2+1
＝5050
一．选择题
1．已知y2+my+1是完全平方式，则m的值是（ ）
A．2 B．±2 C．1 D．±1
2．下列各式能直接用平方差公式计算的是（ ）
A．（a﹣2b）（2b﹣a） B．（a﹣2b）（b+2a）
C．（a﹣2b）（﹣a+2b） D．（﹣2b+a）（a+2b）
3．数形结合是初中数学重要的思想方法，下图就是用几何图形描述了一个重要的数学公式，这个公式是（ ）
A．a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b） B．（a﹣b）2＝a2﹣2ab+b2
C．a（a﹣b）＝a2﹣ab D．（a﹣b）2＝a2﹣b2
4．若a+b＝10，ab＝11，则代数式a2﹣ab+b2的值是（ ）
A．89 B．﹣89 C．67 D．﹣67
5．若要使等式（3x+4y）2＝（3x﹣4y）2+A成立，则A等于（ ）
A．24xy B．48xy C．12xy D．50xy
6．已知a﹣b＝2，则a2﹣b2﹣4b的值为（ ）
A．5 B．4 C．2 D．1
7．如图，两个正方形边长分别为a、b，如果a+b＝9，ab＝12，则阴影部分的面积为（ ）
A．25 B．22.5 C．13 D．6.5
二．填空题
8．已知a+b＝3，a﹣b＝2，则a2﹣b2＝ ．
9．计算（3+2a）（3﹣2a）＝ ．
10．计算：（m﹣3）2＝ ．
11．已知a+b＝5，ab＝3，则a2+b2＝ ．
12．一个长方形的长减少3cm，同时宽增加2cm，就成为一个正方形，并且这两个图形的面积相等，则原长方形的长是 ，宽是 ．
13．已知（m+n﹣1）（m+1+n）＝80，则m+n＝ ．
14．若x满足（x﹣3）（x﹣1）＝5，则（x﹣3）2+（x﹣1）2＝ ．
15．计算：（﹣3a﹣2b）2＝ ．
16．已知，x+y＝8，xy＝12，则x2﹣xy+y2的值为 ．
三．解答题
17．计算（2x﹣1）2﹣2（x+2）（x﹣2）
18．（2x﹣y﹣1）（2x+y﹣1）
19．计算：
（1）（2x+3y）2﹣（4x﹣9y）（4x+9y）+（3x﹣2y）2．
（2）（a﹣2b）2﹣（2a+b）（b﹣2a）﹣4a（a﹣b）
20．如图，将一个边长为a+b的正方形图形分割成四部分（两个正方形和两个长方形），请认真观察图形，解答下列问题：
（1）根据图中条件，请用两种方法表示该图形的总面积（用含a、b的代数式表示出来）；
（2）如果图中的a，b（a＞b）满足a2+b2＝57，ab＝12，求a+b的值．
21．将完全平方公式（a+b）2＝a2+2ab+b2进行适当的变形，可以解决很多数学问题．例如：若a+b＝3，ab＝1，求a2+b2的值．解：因为a+b＝3，ab＝1，所以（a+b）2＝9，2ab＝2．所以a2+b2+2ab＝9，2ab＝2．所以a2+b2＝7．
根据上面的解题思路与方法，解决下列问题：
（1）若x+y＝8，x2+y2＝40，求xy的值．
（2）①若（4﹣x）x＝5，则（4﹣x）2+x2＝ ，
②若（4﹣x）（5﹣x）＝8，则（4﹣x）2+（5﹣x）2＝ ．
（3）如图，点C是线段AB上的一点，分别以AC、BC为边作正方形ACDE、BCFG，设正方形ACDE的面积为S1，正方形BCFG的面积为S2，若S1+S2＝18，AB＝6，求图中阴影部分的面积？
22．【探究】如图①，从边长为a的大正方形中剪掉一个边长为b的小正方形，将阴影部分沿虚线剪开，拼成图②的长方形
（1）请你分别表示出这两个图形中阴影部分的面积
（2）比较两图的阴影部分面积，可以得到乘法公式： （用字母表示）
【应用】请应用这个公式完成下列各题
①已知4m2﹣n2＝12，2m+n＝4，则2m﹣n的值为
②计算：（2a+b﹣c）（2a﹣b+c）
【拓展】①（2+1）（22+1）（24+1）（28+1）…（232+1）+1结果的个位数字为
②计算：1002﹣992+982﹣972+…+42﹣32+22﹣12
参考答案
一．选择题
1．解：∵y2+my+1是完全平方式，
∴m＝±2，
故选：B．
2．解：A、不能用平方差公式进行计算，故本选项不符合题意；
B、不能用平方差公式进行计算，故本选项不符合题意；
C、不能用平方差公式进行计算，故本选项不符合题意；
D、能用平方差公式进行计算，故本选项符合题意；
故选：D．
3．解：图1中阴影部分面积等于大正方形的面积a2，减去小正方形的面积b2，即a2﹣b2；
图2中阴影部分为长等于（a+b），宽等于（a﹣b）的长方形，其面积等于（a+b）（a﹣b），
二者面积相等，则有a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b）．
比较各选项，可知只有A符合题意．
故选：A．
4．解：把a+b＝10两边平方得：
（a+b）2＝a2+b2+2ab＝100，
把ab＝11代入得：
a2+b2＝78，
∴原式＝78﹣11＝67，
故选：C．
5．解：∵（3x+4y）2＝9x2+24xy+16y2，（3x﹣4y）2＝9x2﹣24xy+16y2，
∴A＝9x2+24xy+16y2﹣（9x2﹣24xy+16y2）＝48xy．
故选：B．
6．解：∵a﹣b＝2，
∴a2﹣b2﹣4b＝（a+b）（a﹣b）﹣4b＝2（a+b）﹣4b＝2a+2b﹣4b
＝2（a﹣b）＝2×2＝4．
故选：B．
7．解：当a+b＝9，ab＝12时，由题意得：
S阴影＝a2﹣b（a﹣b）
＝a2﹣ab+b2
＝[（a+b）2﹣2ab]﹣ab
＝（81﹣24）﹣6
＝22.5
故选：B．
二．填空题
8．解：a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b）＝3×2＝6；
故答案是：6．
9．解：原式＝9﹣4a2，
故答案为：9﹣4a2
10．解：原式＝m2﹣6m+9，
故答案为：m2﹣6m+9
11．解：把知a+b＝5两边平方，
可得：a2+2ab+b2＝25，
把ab＝3代入得：a2+b2＝25﹣6＝19，
故答案为：19．
12．解：设这个长方形的长为xcm，宽为ycm，
由题意得，，
解得：．
故答案为：9cm，4cm．
13．解：（m+n﹣1）（m+1+n）＝80，
（m+n）2﹣12＝80，
（m+n）2＝81，
m+n＝±9，
故答案为：±9．
14．解：∵（x﹣3）（x﹣1）＝5，
∴原式＝[（x﹣3）﹣（x﹣1）]2+2（x﹣3）（x﹣1）＝4+10＝14，
故答案为：14
15．解：（﹣3a﹣2b）2
＝（﹣3a）2+2（﹣3a）（﹣2b）+（﹣2b）2
＝9a2+12ab+4b2
故答案为：9a2+12ab+4b2．
16．解：∵x+y＝8，xy＝12，
∴原式＝（x+y）2﹣3xy＝82﹣3×12＝64﹣36＝28．
故答案为：28．
三．解答题
17．解：原式＝4x2﹣4x+1﹣2（x2﹣4）
＝2x2﹣4x+9
18．解：原式＝[（2x﹣1）﹣y][（2x﹣1）+y]
＝（2x﹣1）2﹣y2
＝4x2﹣4x+1﹣y2．
19．解：（1）原式＝4x2+9y2+12xy﹣16x2+81y2+9x2+4y2﹣12xy
＝﹣3x2+94y2；
（2）原式＝a2﹣4ab+4b2﹣b2+4a2﹣4a2+4ab
＝a2+3b2．
20．解：（1）该图形总面积整体计算可得（a+b）2，部分求和可得a2+2ab+b2；
（2）由（1）题结果可得（a+b）2＝a2+2ab+b2，
∴当a2+b2＝57，ab＝12时，
（a+b）2＝57+2×12＝81，
∴a+b＝＝9．
21．解：（1）∵（x+y）2﹣2xy＝x2+y2，x+y＝8，x2+y2＝40，
∴82﹣2xy＝40，
∴xy＝12，
答：xy的值为12；
（2）①∵（4﹣x）+x＝4，
∴[（4﹣x）+x]2＝42，
[（4﹣x）+x]2＝（4﹣x）2+2（4﹣x）x+x2＝16；
又∵（4﹣x）x＝5，
∴（4﹣x）2+x2＝16﹣2（4﹣x）x＝16﹣2×5＝6．
故答案为：6．
②由（4﹣x）﹣（5﹣x）＝﹣1，
∴[（4﹣x）﹣（5﹣x）]2＝（4﹣x）2﹣2（4﹣x）（5﹣x）+（5﹣x）2＝（﹣1）2；
又∵（4﹣x）（5﹣x）＝8，
∴（4﹣x）2+（5﹣x）2＝1+2（4﹣x）（5﹣x）＝1+2×8＝17．
故答案为：17．
（3）设AC＝m，CF＝n，
∵AB＝6，
∴m+n＝6，
又∵S1+S2＝18，
∴m2+n2＝18，
由完全平方公式可得，（m+n）2＝m2+2mn+n2，
∴62＝18+2mn，
∴mn＝9，
∴S阴影部分＝mn＝，
答：阴影部分的面积为．
22．解：（1）图①按照正方形面积公式可得：a2﹣b2；
图②按照长方形面积公式可得：（a+b）（a﹣b）．
故答案为：a2﹣b2；（a+b）（a﹣b）．
（2）令（1）中两式相等可得：（a+b）（a﹣b）＝a2﹣b2
故答案为：（a+b）（a﹣b）＝a2﹣b2．
【应用】①∵4m2﹣n2＝12，2m+n＝4，4m2﹣n2＝（2m+n）（2m﹣n）
∴（2m﹣n）＝12÷4＝3
故答案为：3．
②（2a+b﹣c）（2a﹣b+c）
＝[2a+（b﹣c）][2a﹣（b﹣c）]
＝4a2﹣（b﹣c）2
＝4a2﹣b2+2bc﹣c2
【拓展】①
原式＝（2﹣1）（2+1）（22+1）（24+1）（28+1）…（232+1）+1
＝（22﹣1）（22+1）（24+1）（28+1）…（232+1）+1
＝（24﹣1）（24+1）（28+1）…（232+1）+1
＝（28﹣1）（28+1）…（232+1）+1
＝（216﹣1）…（232+1）+1
＝264﹣1+1
＝264
∵2的正整数次方的尾数为2，4，8，6循环，64÷4＝16
故答案为：6．
②原式＝（100+99）（100﹣99）+（98+97）（98﹣97）+…+（4+3）（4﹣3）+（2+1）（2﹣1）
＝100+99+98+97+…+4+3+2+1
＝5050