人教版八年级数学上册12.2三角形全等的判定 同步分类练习题 （含解析）

2022-2023学年人教版八年级数学上册《12.2三角形全等的判定》同步分类练习题（附答案）
一．全等三角形的性质
1．如图，锐角△ABC中，D、E分别是AB、AC边上的点，△ADC≌△ADC′，△AEB≌△AEB′，且C′D∥EB′∥BC，BE、CD交于点F，若∠BAC＝α，∠BFC＝β，则（　　）
A．2α+β＝180° B．2β﹣α＝145° C．α+β＝135° D．β﹣α＝60°
二．全等三角形的判定
2．人们常用两个三角尺平分一个任意角，做法如下：如图所示，∠AOB是一个任意角，在边OA，OB上分别取OM＝ON，使两个三角尺的一直角边分别与OA，OB重合，移动三角尺使两个直角顶点分别与M，N重合，三角尺的另两条直角边相交于点C，作射线OC，可证得△MOC≌△NOC，从而得OC是∠AOB的平分线．在上述过程中，判定两个三角形全等的方法是（　　）
A．HL B．ASA C．SAS D．SSS
3．如图是5×5的正方形网格，△ABC的顶点都在小正方形的顶点上，像△ABC这样的三角形叫格点三角形．画与△ABC有一条公共边且全等的格点三角形，这样的格点三角形最多可以画　 　个．
4．根据下列已知条件，能够画出唯一△ABC的是　 　（填写正确的序号）．
①AB＝5，BC＝4，∠A＝60°；②AB＝5，BC＝6，AC＝7；③AB＝5，∠A＝50°，∠B＝60°；④∠A＝40°，∠B＝50°，∠C＝90°．
5．如图1，已知AB＝AC，D为∠BAC的角平分线上面一点，连接BD、CD；如图2，已知AB＝AC，D、E为∠BAC的角平分线上面两点，连接BD、CD、BE、CE；如图3，已知AB＝AC，D、E、F为∠BAC的角平分线上面三点，连接CD、BE、CE、BF、CF；…，依次规律，第200个图形中有全等三角形的对数是　 　．
小明的做法及思路 小明添加了条件：∠DAB＝∠BCD．他的思路是分两种情况画图①、图②，在两幅图中，都作直线DA、BC，两直线交于点E 由∠DAB＝∠BCD，可得∠EAB＝∠ECD ∵AB＝CD，∠E＝∠E ∴△EAB≌△ECD，∴EB＝ED，EA＝EC 图①中ED﹣EA＝EB﹣EC，即AD＝CB 图②中EA﹣ED＝EC﹣EB，即AD＝CB 又∵∠DAB＝∠BCD，∠AOD＝∠COB ∴△AOD≌△COB
6．问题：已知线段AB、CD相交于点O，AB＝CD．连接AD、BC，请添加一个条件，使得△AOD≌△COB
（1）数学老师说：小明的做法不正确，请你给出解释；
（2）请你重新添加一个满足问题要求的条件，并说明理由．
三．全等三角形的判定与性质
7．如图，在∠AOB中，OM平分∠AOB，MA⊥OA，垂足为A，MB⊥OB，垂足为B．若∠MAB＝20°，则∠AOB的度数为（　　）
A．20° B．25° C．30° D．40°
8．如图，在△ADE和△ABC中，∠E＝∠C，DE＝BC，EA＝CA，过A作AF⊥DE，垂足为F，DE交CB的延长线于点G，连接AG．四边形DGBA的面积为12，AF＝4，则FG的长是（　　）
A．2 B．2.5 C．3 D．
9．如图，在△ABC与△AEF中，AB＝AE，BC＝EF，∠ABC＝∠AEF，∠EAB＝40°，AB交EF于点D，连接EB．下列结论：①∠FAC＝40°；②AF＝AC；③∠EBC＝110°；④AD＝AC；⑤∠EFB＝40°，正确的个数为（　　）个．
A．1 B．2 C．3 D．4
10．如图，已知AB＝AD，BC＝DE，AC＝AE，且∠CAD＝10°，∠EAB＝120°，直线BC与AD、DE分别交于点F、G，则∠DGB的度数为 　 　．
11．如图，在四边形ABCD中，AB＝BC，∠ABC＝∠CDA＝90°，BE⊥AD，垂足为点E．若四边形ABCD的面积为16，则BE＝　 　．
12．如图，点P为定角∠AOB的平分线上的一个定点，且∠MPN与∠AOB互补，若∠MPN在绕点P旋转的过程中，其两边分别与OA、OB相交于M、N两点，则以下结论：（1）PM＝PN恒成立；（2）OM+ON的值不变；（3）四边形PMON的面积不变；（4）MN的长不变，其中正确的序号为　 　．
已知：如图，△ABC≌△A′B′C′，CD、C′D′分别是AB、A′B′边上的中线．证明：CD＝C′D′．
证明的途径可以用框图表示，请填写其中的空格．
14．如图1，在△ABC中，点P为BC边中点，直线a绕顶点A旋转，若B、P在直线a的异侧，BM⊥直线a于点M，CN⊥直线a于点N，连接PM、PN；
（1）延长MP交CN于点E（如图2），①求证：△BPM≌△CPE；②求证：PM＝PN；
（2）若直线a绕点A旋转到图3的位置时，点B、P在直线a的同侧，其它条件不变，此时PM＝PN还成立吗？若成立，请给予证明；若不成立，请说明理由．
15．命题：有两个角相等的三角形是等腰三角形（简称“等角对等边”）．
已知：如图，△ABC中，∠B＝∠C．
求证：AB＝AC．
三位同学作出了三种不同的辅助线，并完成了命题的证明．小刚的方法：作∠BAC的平分线AD，可证△ABD≌△ACD，得AB＝AC；小亮的方法：作BC边上的高AD，可证△ABD≌△ACD，得AB＝AC；小莉的方法：作BC边上的中线AD．
（1）请你写出小刚与小亮方法中△ABD≌△ACD的理由：　 　；
（2）请你按照小莉的思路完成命题的证明．
16．八年级一班数学兴趣小组在一次活动中进行了探究试验活动，请你和他们一起活动吧．
【探究与发现】
（1）如图1，AD是△ABC的中线，延长AD至点E，使ED＝AD，连接BE，写出图中全等的两个三角形　 　
【理解与应用】
（2）填空：如图2，EP是△DEF的中线，若EF＝5，DE＝3，设EP＝x，则x的取值范围是　 　．
（3）已知：如图3，AD是△ABC的中线，∠BAC＝∠ACB，点Q在BC的延长线上，QC＝BC，求证：AQ＝2AD．
17．如图①，正方形ABCD中，点E是对角线AC上任意一点，过点E作EF⊥AC，垂足为E，交BC所在直线于点F．探索AF与DE之间的数量关系，并说明理由．
（1）如图②，当E是对角线AC的中点时，AF与DE之间的数量关系是 　 　．
（2）小明用“平移法”将AF沿AD方向平移得到DG，将原来分散的两条线段集中到同一个三角形中，如图③，这样就可以将问题转化为探究DG与DE之间的数量关系．请你按照他的思路，完成解题过程．
18．如图，在△ABC和△DEF中，∠C、∠F都是锐角且∠C＞∠B，∠F＞∠E，AB＝DE，AC＝DF，∠C＝∠F，△ABC≌△DEF吗？说明理由．
19．（1）如图1，∠MAN＝90°，射线AE在这个角的内部，点B、C分别在∠MAN的边AM、AN上，且AB＝AC，CF⊥AE于点F，BD⊥AE于点D．求证：△ABD≌△CAF；
（2）如图2，点B、C分别在∠MAN的边AM、AN上，点E、F都在∠MAN内部的射线AD上，∠1、∠2分别是△ABE、△CAF的外角．已知AB＝AC，且∠1＝∠2＝∠BAC．求证：△ABE≌△CAF；
（3）如图3，在△ABC中，AB＝AC，AB＞BC．点D在边BC上，CD＝2BD，点E、F在线段AD上，∠1＝∠2＝∠BAC．若△ABC的面积为15，求△ACF与△BDE的面积之和．
20．如图，△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，BD是∠ABC的平分线，BD的延长线垂直过C点的直线于E，直线CE交BA的延长线于F．求证：
（1）Rt△BEF≌Rt△BEC；
（2）BD＝2CE．
21．已知，如图，五边形ABCDE中AB＝AE，∠B＝∠E，BC＝ED．
求证：∠BCD＝∠EDC．
22．如图，已知∠ABC＝90°，点P为射线BC上任意一点（点P与点B不重合），分别以AB、AP为边在∠ABC的内部作等边△ABE和△APQ，连接QE并延长交BP于点F．试说明：
（1）△ABP≌△AEQ；
（2）EF＝BF．
23．已知：△ABC的高AD所在直线与高BE所在直线相交于点F，过点F作FG∥BC，交直线AB于点G．
（1）如图1，若△ABC为锐角三角形，且∠ABC＝45°．
求证：①△BDF≌△ADC；
②FG+DC＝AD；
（2）如图2，若∠ABC＝135°，直接写出FG、DC、AD之间满足的数量关系．
24．已知：如图，∠MON在∠AOB的内部，点C、D分别在射线OA、OB上，且OC＝OD，CE⊥OA，DF⊥OB，分别交OM、ON于点E、F．
（1）如图①所示，若∠AOB＝90°，∠MON＝45°，延长EC至点G，使得CG＝DF，请证明EF＝CE+DF；
（2）如图所示，若∠AOB＝α，EF＝CE+DF．求∠MON的度数．
25．（1）如图1，在四边形ABCD中，AB＝AD，∠B＝∠D＝90°，E、F分别是边BC、CD上的点，若EF＝BE+FD．
求证：∠EAF＝∠BAD
（2）如图2，在四边形ABCD中，AB＝AD，∠B+∠ADC＝180°，E、F分别是边BC、CD延长线上的点，且∠EAF＝∠BAD，试探究线段EF、BE、FD之间的数量关系，证明你的结论．
26．如图，已知AD∥BC，∠PAB的平分线与∠CBA的平分线相交于E，CE的连线交AP于D．求证：AD+BC＝AB．
27．如图，Rt△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝90°，点O是BC的中点，如果点M、N分别在线段AB、AC上移动，并在移动过程中始终保持AN＝BM．
（1）求证：△ANO≌△BMO；
（2）求证：OM⊥ON．
28．问题情境：如图1，∠AOB＝90°，OC平分∠AOB，把三角尺的直角顶点落在OC的任意一点P上，并使三角尺的两条直角边分别与OA、OB相交于点E、F，PE与PF相等吗？请你给出证明；
变式拓展：如图2，已知∠AOB＝120°，OC平分∠AOB，P是OC上一点，∠EPF＝60°，PE边与OA边相交于点E，PF边与射线OB的反向延长线相交于点F．试解决下列问题：
①PE与PF还相等吗？为什么？
②试判断OE、OF、OP三条线段之间的数量关系，并说明理由．
29．（1）某学习小组在探究三角形全等时，发现了下面这种典型的基本图形．如图1，已知：在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，直线l经过点A，BD⊥直线l，CE⊥直线l，垂足分别为点D、E．证明：DE＝BD+CE．
（2）组员小刘想，如果三个角不是直角，那结论是否会成立呢？如图2，将（1）中的条件改为：在△ABC中，AB＝AC，D、A、E三点都在直线l上，并且有∠BDA＝∠AEC＝∠BAC＝α，其中α为任意锐角或钝角．请问结论DE＝BD+CE是否成立？如成立，请你给出证明；若不成立，请说明理由．
（3）数学老师赞赏了他们的探索精神，并鼓励他们运用这个知识来解决问题：如图3，过△ABC的边AB、AC向外作正方形ABDE和正方形ACFG，AH是BC边上的高，延长HA交EG于点I，求证：I是EG的中点．
30．如图，在△ABC中，D为BC的中点，过D点的直线GF交AC于点F，交AC的平行线BG于点G，DE⊥GF，并交AB于点E，连接EG，EF．
（1）求证：BG＝CF．
（2）请你猜想BE+CF与EF的大小关系，并说明理由．
31．阅读探索题：
（1）如图1，OP是∠MON的平分线，以O为圆心任意长为半径作弧，分别交射线ON、OM于C、B两点，在射线OP上任取一点A（点O除外），连接AB、AC．求证：△AOB≌△AOC．
（2）请你参考以上方法，解答下列问题：
如图2，在 Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝60°，CD平分∠ACB，试判断BC和AC、AD之间的数量关系并证明．
32．如图1，OP是∠MON的平分线，请你利用该图形画一对以OP所在直线为对称轴的全等三角形，并将添加的全等条件标注在图上．
请你参考这个作全等三角形的方法，解答下列问题：
（1）如图2，在△ABC中，∠ACB是直角，∠B＝60°，AD、CE分别是∠BAC和∠BCA的平分线，AD、CE相交于点F，求∠EFA的度数；
（2）在（1）的条件下，请判断FE与FD之间的数量关系，并说明理由；
（3）如图3，在△ABC中，如果∠ACB不是直角，而（1）中的其他条件不变，试问在（2）中所得结论是否仍然成立？若成立，请证明；若不成立，请说明理由．
33．如图：AE⊥AB，AF⊥AC，AE＝AB，AF＝AC，
（1）图中EC、BF有怎样的数量和位置关系？试证明你的结论．
（2）连接AM，求证：MA平分∠EMF．
34．如图，在△ABC中，已知∠ABC＝45°，过点C作CD⊥AB于点D，过点B作BM⊥AC于点M，CD与BM相交于点E，且点E是CD的中点，连接MD，过点D作DN⊥MD，交BM于点N．
（1）求证：△DBN≌△DCM；
（2）请探究线段NE、ME、CM之间的数量关系，并证明你的结论．
35．如图（1），在△ABC和△EDC中，D为△ABC边AC上一点，CA平分∠BCE，BC＝CD，AC＝CE．
（1）求证：△ABC≌△EDC；
（2）如图（2），若∠ACB＝60°，连接BE交AC于F，G为边CE上一点，满足CG＝CF，连接DG交BE于H．
①求∠DHF的度数；
②若EB平分∠DEC，试说明：BE平分∠ABC．
36．如图，OC平分∠AOB，点D，E分别在OA，OB上，点P在OC上且有PD＝PE．求证：∠PDO+∠PEO＝180°．
四．全等三角形的应用
37．如图，红红书上的三角形被墨迹污染了一部分，她根据所学的知识很快就画了一个与书上完全一样的三角形，那么红红画图的依据是（　　）
A．SSS B．SAS C．ASA D．AAS
38．如图，要测量河两岸相对的A、B两点的距离，可以在与AB垂直的河岸BF上取C、D两点，且使BC＝CD，从点D出发沿与河岸BF的垂直方向移动到点E，使点E与A，C在一条直线上，可得△ABC≌△EDC，这时测得DE的长就是AB的长．判定△ABC≌△EDC最直接的依据是（　　）
A．ASA B．HL C．SAS D．SSS
参考答案
一．全等三角形的性质
1．解：延长C′D交AC于M，如图，
∵△ADC≌△ADC′，△AEB≌△AEB′，
∴∠C′＝∠ACD，∠C′AD＝∠CAD＝∠B′AE＝α，
∴∠C′MC＝∠C′+∠C′AM＝∠C′+2α，
∵C′D∥B′E，
∴∠AEB′＝∠C′MC，
∵∠AEB′＝180°﹣∠B′﹣∠B′AE＝180°﹣∠B′﹣α，
∴∠C′+2α＝180°﹣∠B′﹣α，
∴∠C′+∠B′＝180°﹣3α，
∵β＝∠BFC＝∠BDF+∠DBF＝∠DAC+∠ACD+∠B'＝α+∠ACD+∠B′＝α+∠C′+∠B′＝α+180°﹣3α＝180°﹣2α，
即：2α+β＝180°．
故选：A．
二．全等三角形的判定
2．解：由题意知：∠CMO＝∠CNO＝90°，
在Rt△MOC和Rt'△NOC中，
，
∴Rt△MOC≌Rt△NOC（HL），
∴∠MOC＝∠NOC，
∴OC是∠AOB的角平分线，
故选：A．
3．解：如图，
以BC为公共边可画出△BDC，△BEC，△BFC三个三角形和原三角形全等．
以AB为公共边可画出三个三角形△ABG，△ABM，△ABH和原三角形全等．
所以可画出6个．
故答案为：6．
4．解：①当两边及其中一边的对角确定时，此时是ASS，可知这个三角形是不确定的；
②当三角形的三边确定时，由SSS可知这个三角形是确定的；
③此时可知三角形的两角及其夹边确定，由ASA可知这个三角形是确定的；
④根据∠A＝40°，∠B＝50°，∠C＝90°不能画出唯一三角形；
故答案为：②③．
5．解：第一个图形中全等三角形有×2×1＝1对全等三角形；
第二个图形中全等三角形有×3×2＝3对全等三角形；
第三个图形中全等三角形有×4×3＝6对全等三角形；…
第200个图形有×201×200＝20100对全等三角形．
故答案为：20100．
6．解：（1）可画出下面的反例：
图中，AB＝CD，DA∥BC，小明的证明方法就错误了，理由直线AD与BC没有交点．
（2）答案不唯一，如OA＝OC．
理由如下：
∵AB＝CD，OA＝OC，
∴AB﹣OA＝CD﹣OC，即OB＝OD．
在△AOD和△COB中
，
∴△AOD≌△COB（SAS）．
三．全等三角形的判定与性质
7．解：∵OM平分∠AOB，
∴∠AOM＝∠BOM，
∵MA⊥OA，MB⊥OB，
∴∠MAO＝∠MBO＝90°，
∵∠MAB＝20°，
∴∠OAB＝70°，
在△AOM和△BOM中，
，
∴△AOM≌△BOM（AAS），
∴OB＝OA，
∴∠OAB＝∠OBA＝70°，
∴∠AOB＝40°，
故选：D．
8．解：过点A作AH⊥BC于H，如图所示：
在△ABC与△ADE中，
，
∴△ABC≌△ADE（SAS），
∴AD＝AB，S△ABC＝S△AED，
又∵AF⊥DE，
∴×DE×AF＝×BC×AH，
∴AF＝AH，
∵AF⊥DE，AH⊥BC，
∴∠AFG＝∠AHG＝90°，
在Rt△AFG和Rt△AHG中，
，
∴Rt△AFG≌Rt△AHG（HL），
同理：Rt△ADF≌Rt△ABH（HL），
∴S四边形DGBA＝S四边形AFGH＝12，
∵Rt△AFG≌Rt△AHG，
∴SRt△AFG＝6，
∵AF＝4，
∴×FG×4＝6，
解得：FG＝3；
故选：C．
9．解：在△AEF和△ABC中，
，
∴△AEF≌△ABC（SAS），
∴∠EAF＝∠BAC，AF＝AC，故②正确
∴∠EAB＝∠FAC＝40°，故①正确，
∴∠C＝∠AFC＝∠AFE＝70°，
∴∠EFB＝180°﹣70°﹣70°＝40°，故⑤正确，
∵AE＝AB，∠EAB＝40°，
∴∠AEB＝∠ABE＝70°，
若∠EBC＝110°，则∠ABC＝40°＝∠EAB，
∴∠EAB＝∠ABC，
∴AE∥BC，显然与题目条件不符，故③错误，
若AD＝AC，则∠ADF＝∠AFD＝70°，
∴∠DAF＝40°，这个显然与条件不符，故④错误．
故选：C．
10．解：在△ABC和△ADE中，
，
∴△ABC≌△ADE（SSS），
∴∠CAB＝∠EAD，∠B＝∠D，
∵∠CAD＝10°，∠EAB＝120°，
∴∠CAB＝（∠EAB﹣∠CAD）＝×（120°﹣10°）＝55°，
∴∠FAB＝∠CAD+∠CAB＝10°+55°＝65°，
∵∠GFD＝∠AFB，
∴∠DGB＝∠FAB＝65°．
故答案为：65°．
11．解：作BF⊥DC于F，如图，
∵∠CDA＝90°，BE⊥AD，BF⊥DF，
∴四边形BEDF为矩形，
∴∠EBF＝90°，即∠EBC+∠CBF＝90°
∵∠ABC＝90°，即∠EBC+∠ABE＝90°，
∴∠ABE＝∠CBE，
在△ABE和△CBF中，，
∴△ABE≌△CBF（AAS），
∴BE＝BF，S△ABE＝S△CBF，
∴四边形BEDF为正方形，四边形BEDF的面积＝四边形ABCD的面积，
∴BE＝＝4．
故答案为：4．
12．解：如图作PE⊥OA于E，PF⊥OB于F．
∵∠PEO＝∠PFO＝90°，
∴∠EPF+∠AOB＝180°，
∵∠MPN+∠AOB＝180°，
∴∠EPF＝∠MPN，
∴∠EPM＝∠FPN，
∵OP平分∠AOB，PE⊥OA于E，PF⊥OB于F，
∴PE＝PF，
在Rt△POE和Rt△POF中，
，
∴Rt△POE≌Rt△POF，
∴OE＝OF，
在△PEM和△PFN中，
，
∴△PEM≌△PFN，
∴EM＝NF，PM＝PN，故（1）正确，
∴S△PEM＝S△PNF，
∴S四边形PMON＝S四边形PEOF＝定值，故（3）正确，
∵OM+ON＝OE+ME+OF﹣NF＝2OE＝定值，故（2）正确，
∵M，N的位置变化，∴MN的长度是变化的，故（4）错误，
故答案为：（1）（2）（3）
13．证明：∵△ABC≌△A′B′C′，
∴AC＝A′C′，∠A＝∠A′，AB＝A′B′，
∵CD、C′D′分别是AB、A′B′边上的中线，
∴AD＝AB，A′D′＝A′B′，
∴AD＝A′D′，
在△CAD和△C′A′D′中，
，
∴△CAD≌△C′A′D′（SAS），
∴CD＝C′D′．
14．证明：（1）①如图2：
∵BM⊥直线a于点M，CN⊥直线a于点N，
∴∠BMA＝∠CNM＝90°，
∴BM∥CN，
∴∠MBP＝∠ECP，
又∵P为BC边中点，
∴BP＝CP，
在△BPM和△CPE中，
，
∴△BPM≌△CPE，（ASA）
②∵△BPM≌△CPE，
∴PM＝PE∴PM＝ME，
∴在Rt△MNE中，PN＝ME，
∴PM＝PN；
（2）成立，如图3．
延长MP与NC的延长线相交于点E，
∵BM⊥直线a于点M，CN⊥直线a于点N，
∴∠BMN＝∠CNM＝90°∴∠BMN+∠CNM＝180°，
∴BM∥CN∴∠MBP＝∠ECP，
又∵P为BC中点，
∴BP＝CP，
在△BPM和△CPE中，
，
∴△BPM≌△CPE，（ASA）
∴PM＝PE，
∴PM＝ME，
则Rt△MNE中，PN＝ME，
∴PM＝PN．
15．解：（1）△ABD≌△ACD的理由是AAS，
故答案为AAS．
（2）证明：过点D作DE⊥AB于点E，过点D作DF⊥AC于点F．
∵∠BED＝∠CFD＝90°，∠B＝∠C，BD＝CD．
∴△BDE≌△CDF（AAS）．
∴BE＝CF，DE＝DF．
在Rt△AED和Rt△AFD中，∠AED＝∠AFD＝90°．
∵AD＝AD，DE＝DF，
∴Rt△AED≌Rt△AFD．
∴AE＝AF．
∴AE+BE＝AF+CF．
即AB＝AC．
16．（1）证明：在△ADC与△EDB中，
，
∴△ADC≌△EDB；
故答案为：△ADC≌△EDB；
（2）解：如图2，延长EP至点Q，使PQ＝PE，连接FQ，
在△PDE与△PQF中，
，
∴△PEP≌△QFP，
∴FQ＝DE＝3，
在△EFQ中，EF﹣FQ＜QE＜EF+FQ，
即5﹣3＜2x＜5+3，
∴x的取值范围是1＜x＜4；
故答案为：1＜x＜4；
（3）证明：如图3，延长AD到M，使MD＝AD，连接BM，
∴AM＝2AD，
∵AD是△ABC的中线，
∴BD＝CD，
在△BMD与△CAD中，
，
∴△BMD≌△CAD，
∴BM＝CA，∠M＝∠CAD，
∴∠BAC＝∠BAM+∠CAD＝∠BAM+∠M，
∵∠ACB＝∠Q+∠CAQ，AB＝BC，
∵∠ACQ＝180°﹣（∠Q+∠CAQ），∠MBA＝180°﹣（∠BAM+∠M），
∴∠ACQ＝∠MBA，
∵QC＝BC，
∴QC＝AB，
在△ACQ与△MBA中，
，
∴△ACQ≌△MBA，
∴AQ＝AM＝2AD．
17．解：（1）AF＝DE，理由如下：
∵四边形ABCD是正方形，E是对角线AC的中点，
∴AC⊥BD，AE＝BE＝CE＝DE，
∵AB2＝AE2+BE2，
∴AB2＝2DE2，
∵B点与F点重合，
∴AF2＝2DE2，
∴AF＝DE；
故答案为：AF＝DE；
（2）如图，过点E作MN∥CD交AD于点N，交BC于点M，
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠DAB＝∠B＝∠BCD＝∠ADC＝90°，AB＝BC＝CD＝DA，∠ACB＝45°，
∴∠NMC＝180°﹣∠DCM＝90°，
∴四边形MCDN是矩形，
∴ND＝MC，MN＝CD，∠DNE＝90°，
∵EF⊥AC，
∴△CEF是等腰直角三角形，
∴EM＝FM＝CM，
∴EM＝DN，
由平移可知：BF＝CG，AF＝DG，
∴BF+FM＝CG+MC，
∴BM＝MG，
∵NE＝MN﹣EM，BM＝BC﹣CM，MN＝CD＝BC，
∴NE＝BM＝MG，
在△DNE和△EMG中，
，
∴△DNE≌△EMG（SAS），
∴DE＝EC，∠DEN＝∠EGM，
∵∠EGM+∠MEG＝90°，
∴∠DEN+∠MEG＝90°，
∴∠DEG＝180°﹣90°＝90°，
∴△DEG为等腰直角三角形，
∴DG＝DE．
18．解：△ABC≌△DEF，理由如下：
如图，过点A、D分别作BC、EF的垂线，垂足为M、N，
∴∠AMC＝∠DNF＝90°，
在△AMC和△DNF中，
∴△AMC≌△DNF（AAS），
∴AM＝DN，
在Rt△ABM和Rt△DEN中，
，
∴Rt△ABM≌Rt△DEN（HL），
∴∠B＝∠E，
在△ABC和△DEF中，
∴△ABC≌△DEF（AAS）．
19．解：（1）如图①，
∵CF⊥AE，BD⊥AE，∠MAN＝90°，
∴∠BDA＝∠AFC＝90°，
∴∠ABD+∠BAD＝90°，∠ABD+∠CAF＝90°，
∴∠ABD＝∠CAF，
在△ABD和△CAF中，
，
∴△ABD≌△CAF（AAS）；
（2）∵∠1＝∠2＝∠BAC，∠1＝∠BAE+∠ABE，∠BAC＝∠BAE+∠CAF，∠2＝∠FCA+∠CAF，
∴∠ABE＝∠CAF，∠BAE＝∠FCA，
在△ABE和△CAF中，
，
∴△ABE≌△CAF（ASA）；
（3）∵△ABC的面积为15，CD＝2BD，
∴△ABD的面积是：×15＝5，
由（2）中证出△ABE≌△CAF，
∴△ACF与△BDE的面积之和等于△ABE与△BDE的面积之和，即等于△ABD的面积，是5．
20．证明：（1）∵BD是∠ABC的平分线，
∴∠FBE＝∠CBE，
∵BE⊥CF，
∴∠BEF＝∠BEC＝90°，
在Rt△BEF和Rt△BEC中，
，
∴Rt△BEF≌Rt△BEC（ASA）．
（2）∵Rt△BEF≌Rt△BEC，
∴BF＝BC，
∴CE＝EF，
∴CF＝2CE，
∵∠BAC＝90°，且AB＝AC，
∴∠FAC＝∠BAC＝90°，∠ABC＝∠ACB＝45°，
∴∠FBE＝∠CBE＝22.5°，
∴∠F＝∠ADB＝67.5°，
在△ABD和△ACF中，
，
∴△ABD≌△ACF（AAS），
∴BD＝CF，
∵CF＝2CE，
∴BD＝2CE．
21．证明：如图，连接AC，AD，
在△ABC和△AED中，
，
∴△ABC≌△AED（SAS），
∴AC＝AD，∠ACB＝∠ADE，
∴∠ACD＝∠ADC，
∴∠BCD＝∠EDC．
22．解：（1）∵△ABE和△APQ是等边三角形，
∴AB＝AE，AP＝AQ，∠BAE＝∠PAQ＝∠ABE＝∠AEB＝60°，
∴∠BAE﹣∠PAE＝∠PAQ﹣∠PAE，
∴∠BAP＝∠EAQ．
在△ABP和△AEQ中，
，
∴△QAE≌△PAB（SAS）；
（2）∵△QAE≌△PAB
∴∠ABP＝∠AEQ＝90°．
∴∠AEF＝90°，
∴∠ABP＝∠AEF
∴∠ABP﹣∠AEB＝∠AEF﹣∠ABE，
∴∠BEF＝∠EBF，
∴BF＝EF．
23．解：（1）①证明：∵∠ADB＝90°，∠ABC＝45°，
∴∠BAD＝∠ABC＝45°，∴AD＝BD；
∵∠BEC＝90°，∴∠CBE+∠C＝90°
又∵∠DAC+∠C＝90°，∴∠CBE＝∠DAC；
∵∠FDB＝∠CDA＝90°，∴△FDB≌△CDA（ASA）
②∵△FDB≌△CDA，∴DF＝DC；
∵GF∥BC，∴∠AGF＝∠ABC＝45°，
∴∠AGF＝∠BAD，
∴FA＝FG；
∴FG+DC＝FA+DF＝AD．
（2）FG、DC、AD之间的数量关系为：FG＝DC+AD．
理由：∵∠ABC＝135°，∴∠ABD＝45°，△ABD、△AGF皆为等腰直角三角形，
∴BD＝AD，FG＝AF＝AD+DF；
∵∠FAE+∠DFB＝∠FAE+∠DCA＝90°，
∴∠DFB＝∠DCA；
又∵∠FDB＝∠CDA＝90°，BD＝AD，
∴△BDF≌△ADC（AAS）；
∴DF＝DC，
∴FG、DC、AD之间的数量关系为：FG＝DC+AD．
24．（1）证明：∵CE⊥OA，DF⊥OB，
∴∠OCG＝∠ODF＝90°，
在△OCG和△ODF中，
，
∴△OCG≌△ODF（SAS），
∴∠COG＝∠DOF，OG＝OF，
∵∠AOB＝90°，∠MON＝45°，
∴∠COE+∠DOF＝45°，
∴∠COE+∠COG＝45°，
即∠EOG＝45°＝∠MON，
在△EOG和△EOF中，
，
∴△EOG≌△EOF（SAS），
∴EF＝EG，
即EF＝CE+DF；
（2）解：如图②，延长EC至G，使CG＝DF，连接OG，
∵CE⊥OA，DF⊥OB，
∴∠OCG＝∠ODF＝90°，
在△OCG和△ODF中，
，
∴△OCG≌△ODF（SAS），
∴∠COG＝∠DOF，OG＝OF，
∵EG＝CE+CG＝CE+DF，EF＝CE+DF，
∴EG＝EF，
在△EOG和△EOF中，
，
∴△EOG≌△EOF（SSS），
∴∠EOG＝∠EOF，
∵∠EOG+∠EOF＝∠COG+∠AOF＝∠DOF+∠AOF＝∠AOB，∠AOB＝α，
∴∠EOF＝∠MON＝∠AOB＝α．
25．证明：（1）延长CB至M，使得BM＝DF，连接AM，
∵∠B＝∠D＝90°，AB＝AD，
在△ABM与△ADF中
，
∴△ABM≌△ADF（SAS），
∴AM＝AF，∠DAF＝∠BAM，
∵EF＝BE+DF＝BE+BM＝ME，
在△AME与△AFE中
，
∴△AME≌△AFE（SSS），
∴∠MAE＝∠EAF，
∴∠BAE+∠DAF＝∠EAF，
即∠EAF＝∠BAD；
（2）线段EF、BE、FD之间的数量关系是EF+DF＝BE，
在BE上截取BM＝DF，连接AM，
∵AB＝AD，∠B+∠ADC＝180°，∠ADC+∠ADF＝180°，
∴∠ABM＝∠ADF，
在△ABM与△ADF中
，
∴△ABM≌△ADF（SAS），
∴AM＝AF，∠BAM＝∠DAF，∠EAF＝∠BAD，
∴∠EAF＝∠EAM，
在△AEM与△AEF中
，
∴△AEM≌△AEF（SAS），
∴EM＝EF，
即BE﹣BM＝EF，
即BE﹣DF＝EF．
26．证明：在AB上截取AF＝AD，
∵AE平分∠PAB，
∴∠DAE＝∠FAE，
在△DAE和△FAE中，
∵，
∴△DAE≌△FAE（SAS），
∴∠AFE＝∠ADE，
∵AD∥BC，
∴∠ADE+∠C＝180°，
∵∠AFE+∠EFB＝180°，
∴∠EFB＝∠C，
∵BE平分∠ABC，
∴∠EBF＝∠EBC，
在△BEF和△BEC中，
∵，
∴△BEF≌△BEC（AAS），
∴BC＝BF，
∴AD+BC＝AF+BF＝AB．
27．证明：（1）∵AB＝AC，∠BAC＝90°，O为BC的中点，
∴OA⊥BC，OA＝OB＝OC，
∴∠NAO＝∠B＝45°，
在△AON与△BOM中，
，
∴△AON≌△BOM；
（2）∵△AON≌△BOM，
∴∠NOA＝∠MOB，
∵AO⊥BC，
∴∠AOB＝90°，
即∠MOB+∠AOM＝90°．
∴∠NOM＝∠NOA+∠AOM＝∠MOB+∠AOM＝90°，
∴OM⊥ON．
28．问题情境：证明：过点P作PM⊥OB于M，PN⊥OA于N．
∵OC平分∠AOB，PM⊥OB，PN⊥OA，
∴PM＝PN，
∵∠PMO＝∠PNO＝∠MON＝90°，
∴∠MPN＝360°﹣3×90°＝90°，
∵∠MPN＝∠EPF＝90°，
∴∠MPF＝∠NPE，
在△PMF和△PNE中，
，
∴△PMF≌△PNE（ASA），
∴PF＝PE；
变式拓展：①解：结论：PE＝PF．
理由：过点P作PM⊥OB于M，PN⊥OA于N，
∵OC平分∠AOB，PM⊥OB，PN⊥OA，
∴PM＝PN，
∵∠PMO＝∠PNO＝90°，∠MON＝120°，
∴∠MPN＝360°﹣2×90°﹣120°＝60°，
∵∠MPN＝∠EPF＝60°，
∴∠MPF＝∠NPE，
在△PMF和△PNE中，
，
∴△PMF≌△PNE（ASA），
∴PF＝PE；
②解：结论：OE﹣OF＝OP．
理由：在△OPM和△OPN中，
，
∴△POM≌△PON（AAS），
∴OM＝ON，
∵△PMF≌△PNE（ASA），
∴FM＝EN，
∴OE﹣OF＝EN+ON﹣（FM﹣OM）＝2OM，
在Rt△OPM中，∠PMO＝90°，，
∴∠OPM＝30°，
∴OP＝2OM，
∴OE﹣OF＝OP．
29．解：（1）如图1，
∵BD⊥直线l，CE⊥直线l，
∴∠BDA＝∠CEA＝90°，
∵∠BAC＝90°，
∴∠BAD+∠CAE＝90°
∵∠BAD+∠ABD＝90°，
∴∠CAE＝∠ABD
在△ADB和△CEA中，
，
∴△ADB≌△CEA（AAS），
∴AE＝BD，AD＝CE，
∴DE＝AE+AD＝BD+CE；
（2）DE＝BD+CE．
如图2，
证明如下：
∵∠BDA＝∠BAC＝α，
∴∠DBA+∠BAD＝∠BAD+∠CAE＝180°﹣α，
∴∠DBA＝∠CAE，
在△ADB和△CEA中．
．
∴△ADB≌△CEA（AAS），
∴AE＝BD，AD＝CE，
∴DE＝AE+AD＝BD+CE
（3）如图3，
过E作EM⊥HI于M，GN⊥HI的延长线于N．
∴∠EMI＝GNI＝90°
由（1）和（2）的结论可知EM＝AH＝GN
∴EM＝GN
在△EMI和△GNI中，
，
∴△EMI≌△GNI（AAS），
∴EI＝GI，
∴I是EG的中点．
30．（1）证明：∵BG∥AC，
∴∠C＝∠GBD，
∵D是BC的中点，
∴BD＝DC，
在△CFD和△BGD中
，
∴△CFD≌△BGD，
∴BG＝CF．
（2）BE+CF＞EF，
理由如下：
∵△CFD≌△BGD，
∴CF＝BG，
在△BGE中，BG+BE＞EG，
∵△CFD≌△BGD，
∴GD＝DF，ED⊥GF，
∴EF＝EG，
∴BE+CF＞EF．
31．（1）证明：在△AOB和△AOC中，，
∴△AOB≌△AOC（SAS）．
（2）在CB上截取CE＝CA，
∵CD平分∠ACB，
∴∠ACD＝∠BCD，
在△ACD和△ECD中，，
∴△ACD≌△ECD（SAS），
∴∠CAD＝∠CED＝60°，
∵∠ACB＝90°，
∴∠B＝30°，
∴∠EDB＝30°，
即∠EDB＝∠B，
∴DE＝EB，
∵BC＝CE+BE，
∴BC＝AC+DE，
∴BC＝AC+AD．
32．解：（1）如图2，∵∠ACB＝90°，∠B＝60°．
∴∠BAC＝30°，
∵AD、CE分别是∠BAC和∠BCA的平分线，
∴∠DAC＝∠BAC＝15°，∠ECA＝∠ACB＝45°．
∴∠EFA＝∠DAC+∠ECA＝15°+45°＝60°．
（2）FE＝FD．
如图2，在AC上截取AG＝AE，连接FG．
∵AD是∠BAC的平分线，
∴∠EAF＝∠GAF，
在△EAF和△GAF中
∵
∴△EAF≌△GAF（SAS），
∴FE＝FG，∠EFA＝∠GFA＝60°，
∴∠GFC＝180°﹣60°﹣60°＝60°．
又∵∠DFC＝∠EFA＝60°，
∴∠DFC＝∠GFC，
在△FDC和△FGC中
∵
∴△FDC≌△FGC（ASA），
∴FD＝FG．
∴FE＝FD．
（3）（2）中的结论FE＝FD仍然成立．
同（2）可得△EAF≌△HAF，
∴FE＝FH，∠EFA＝∠HFA，
又由（1）知∠FAC＝∠BAC，∠FCA＝∠ACB，
∴∠FAC+∠FCA＝（∠BAC+∠ACB）＝（180°﹣∠B）＝60°．
∴∠AFC＝180°﹣（∠FAC+∠FCA）＝120°．
∴∠EFA＝∠HFA＝180°﹣120°＝60°，
同（2）可得△FDC≌△FHC，
∴FD＝FH．
∴FE＝FD．
33．（1）解：结论：EC＝BF，EC⊥BF．
理由：∵AE⊥AB，AF⊥AC，
∴∠EAB＝∠CAF＝90°，
∴∠EAB+∠BAC＝∠CAF+∠BAC，
∴∠EAC＝∠BAF．
在△EAC和△BAF中，
，
∴△EAC≌△BAF（SAS），
∴EC＝BF．∠AEC＝∠ABF
∵∠AEG+∠AGE＝90°，∠AGE＝∠BGM，
∴∠ABF+∠BGM＝90°，
∴∠EMB＝90°，
∴EC⊥BF．
∴EC＝BF，EC⊥BF．
（2）证明：作AP⊥CE于P，AQ⊥BF于Q．
∵△EAC≌△BAF，
∴AP＝AQ（全等三角形对应边上的高相等）．
∵AP⊥CE于P，AQ⊥BF于Q，
∴AM平分∠EMF．
34．（1）证明：∵∠ABC＝45°，CD⊥AB，
∴∠ABC＝∠DCB＝45°，
∴BD＝DC，
∵∠BDC＝∠MDN＝90°，
∴∠BDN＝∠CDM，
∵CD⊥AB，BM⊥AC，
∴∠ABM＝90°﹣∠A＝∠ACD，
在△DBN和△DCM中，
，
∴△DBN≌△DCM．
（2）结论：NE﹣ME＝CM．
证明：由（1）△DBN≌△DCM 可得DM＝DN．
作DF⊥MN于点F，又 ND⊥MD，
∴DF＝FN，
在△DEF和△CEM中，
，
∴△DEF≌△CEM，
∴ME＝EF，CM＝DF，
∴CM＝DF＝FN＝NE﹣FE＝NE﹣ME．
35．（1）证明：∵CA平分∠BCE，
∴∠ACB＝∠ECD，
在△ABC和△EDC中，，
∴△ABC≌△EDC（SAS）；
（2）①解：在△BCF和△DCG中，，
∴△BCF≌△DCG（SAS）；
∴∠CBF＝∠CDG，
在△BCF和△DHF中，∵∠BFC＝∠DFH，
∴∠DHF＝∠ACB＝60°；
②证明：如图（2）所示：
由（1）得：△ABC≌△EDC，
∴∠DEC＝∠A，
∵∠ACB＝∠ECD＝60°，
∴∠ECM＝60°，
∵EB平分∠DEC，
∴∠DEC＝2∠1，
∵∠ECM＝∠2+∠1＝60°，∠DCM＝∠A+∠ABC＝120°，
∴∠A+∠ABC＝2（∠2+∠1）＝2∠2+2∠1＝2∠2+∠A，
∴∠ABC＝2∠2，
∴BE平分∠ABC．
36．证明：
过P分别作PM⊥OA于点M，PNF⊥OB于点N，
∵OC平分∠AOB，
∴PM＝PN，
在Rt△PMD和Rt△PNE中，
∴Rt△PMD≌Rt△PNE（HL），
∴∠PDM＝∠PEN，
∵∠PEO+∠PEN＝180°，
∴∠PDO+∠PEO＝180．
四．全等三角形的应用
37．解：根据题意，三角形的两角和它们的夹边是完整的，所以可以利用“角边角”定理作出完全一样的三角形．
故选：C．
38．解：因为证明在△ABC≌△EDC用到的条件是：CD＝BC，∠ABC＝∠EDC，∠ACB＝∠ECD，
所以用到的是两角及这两角的夹边对应相等即ASA这一方法．
故选：A．