人教版八年级数学上册13.3等腰三角形解答专项练习题 （含答案）
文档属性
| 名称 | 人教版八年级数学上册13.3等腰三角形解答专项练习题 （含答案） |  | |
| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 172.2KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 人教版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2022-10-09 08:42:24 | ||
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文档简介
2022-2023学年人教版八年级数学上册《13.3等腰三角形》解答专项练习题（附答案）
1．如图，在△ABC中，AB＝AC，∠A＝36°，DE是AC的垂直平分线．
（1）求证：△BCD是等腰三角形；
（2）△BCD的周长是a，BC＝b，求△ACD的周长（用含a，b的代数式表示）
2．将一副直角三角板如图摆放，等腰直角板ABC的斜边BC与含30°角的直角三角板DBE的直角边BD长度相同，且斜边BC与BE在同一直线上，AC与BD交于点O，连接CD．
求证：△CDO是等腰三角形．
3．如图，在△ABC中，AD平分∠BAC，点D是BC的中点，DE⊥AB于点E，DF⊥AC于点F．
求证：△ABC是等腰三角形．
4．已知：如图，在△ABC中，AD∥BC，AD平分外角∠EAC，求证：AB＝AC．
5．如图，在△ABC中，AB＝AC，AD是BC边上的中线，延长CB至点E，延长BC至点F，使BE＝CF，连接AE、AF．
求证：AD平分∠EAF．
6．如图，已知直线l1∥l2∥l3，点E、F分别在l3、l1上，Rt△ABC的直角顶点C在直线l1上，点B在直线l2上，点A在直线l3上，l2与AC交于点D，且∠BAC＝25°，∠BAE＝25°．
（1）求证：△ABD是等腰三角形；
（2）求∠BCF的度数．
7．已知如图，在△ABC中，AD是BC边上的高线，CE是AB边上的中线，DG⊥CE于G，CD＝AE．求证：CG＝EG．
8．已知：△ABC中，∠B、∠C的角平分线相交于点D，过D作EF∥BC交AB于点E，交AC于点F，求证：BE+CF＝EF．
9．如图，在等边△ABC中，点D，E分别在边BC，AC上，且DE∥AB，过点E作EF⊥DE，交BC的延长线于点F，
（1）求∠F的度数；
（2）若CD＝3，求DF的长．
10．如图，等边三角形△ABC中，BD是中线，延长BC至E使得CE＝BC，作DF⊥BE于F．
（1）求证：BF＝EF；
（2）若AB＝10，求CE．
11．已知等腰三角形的周长为16cm，且两边之差为2cm，求三角形各边的长．
12．如图，在△ABC中，AD平分∠BAC交BC于D，DE∥AC交AB于E，过E作EF⊥AD，垂足为H，并交BC延长线于F．
（1）求证：AE＝ED；
（2）请猜想∠B与∠CAF的大小关系，并证明你的结论．
13．如图，在等腰△ABC中，AB＝AC，BD为∠ABC平分线，延长BC到点E，使CE＝CD，作DH⊥BE于H，求证：H为BE的中点．
14．（1）如图1，在△ABC中，AE是∠BAC的角平分线，AD是BC边上的高，且∠B＝44°，∠C＝68°，求∠CAD、∠EAD的度数．
（2）如图2，点B，D在射线AM上，点C，E在射线AN上，且AB＝BC＝CD＝DE，已知∠EDM＝84°，求∠A．
15．如图在△ABC中，AB＝BC，M、N为BC上两点，且∠BAM＝∠CAN，MN＝AN，求∠MAC的度数．
16．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，以AB长为一边作△ABD，∠ADB＝90°，取AB中点E，连DE、CE、CD．
（1）求证：DE＝CE
（2）当∠CAB+∠DBA＝ 时，△DEC是等边三角形，并说明理由
（3）当∠CAB+∠DBA＝45°时，若CD＝5，取CD中点F，求EF的长．
17．如图，△ABC中，AB＝AC，AB的垂直平分线交AC于P点．
（1）若∠A＝35°，求∠BPC的度数
（2）若AB＝5cm，BC＝3cm，求△PBC的周长．
18．如图，在△ABC中，AB＝AC，点D、E、F分别在BC、AB、AC边上，且BE＝CF，BD＝CE．
（1）求证：△DEF是等腰三角形；
（2）求证：∠B＝∠DEF；
（3）当∠A＝40°时，求∠DEF的度数．
19．如图，在△ABC中，CD与CF分别是△ABC的内角、外角平分线，DF∥BC交AC于点E．试说明：
（1）△DCF为直角三角形；
（2）DE＝EF．
20．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB，∠1＝∠2．求证：CE＝CF．
21．如图，在△ABC中，∠ABC＝2∠C，AD为BC边上的高，延长AB到E，使BE＝BD，过点D，E引直线交AC于点F．
（1）请说明△ADF和△DFC是等腰三角形．
（2）判断AF与FC的数量关系，说明理由．
22．在等边△ABC的两边AB、AC所在直线上分别有两点M、N，D为△ABC外一点，且∠MDN＝60°，∠BDC＝120°，BD＝DC．探究：当M、N分别在直线AB、AC上移动时，BM、NC、MN之间的数量关系及△AMN的周长Q与等边△ABC的周长L的关系．
（1）如图1，当点M、N在边AB、AC上，且DM＝DN时，BM、NC、MN之间的数量关系是 ；此时＝ ；
（2）如图2，点M、N在边AB、AC上，且当DM≠DN时，猜想（I）问的两个结论还成立吗？若成立请直接写出你的结论；若不成立请说明理由．
（3）如图3，当M、N分别在边AB、CA的延长线上时，探索BM、NC、MN之间的数量关系如何？并给出证明．
参考答案
1．（1）证明：∵AB＝AC，∠A＝36°，
∴∠B＝∠ACB＝＝72°，
∵DE是AC的垂直平分线，
∴AD＝DC，
∴∠ACD＝∠A＝36°，
∵∠CDB是△ADC的外角，
∴∠CDB＝∠ACD+∠A＝72°，
∴∠B＝∠CDB，
∴CB＝CD，
∴△BCD是等腰三角形；
（2）∵AD＝CD＝CB＝b，△BCD的周长是a，
∴AB＝a﹣b，
∵AB＝AC，
∴AC＝a﹣b，
∴△ACD的周长＝AC+AD+CD＝a﹣b+b+b＝a+b．
2．证明：∵在△BDC 中，BC＝DB，
∴∠BDC＝∠BCD．
∵∠DBE＝30°，
∴∠BDC＝∠BCD＝75°，
∵∠ACB＝45°，
∴∠DOC＝30°+45°＝75°．
∴∠DOC＝∠BDC，
∴△CDO是等腰三角形．
3．证明：∵AD平分∠BAC，DE⊥AB于点E，DF⊥AC于点F，
∴DE＝DF，
在Rt△BDE和Rt△CDF中，
，
∴Rt△BDE≌Rt△CDF（HL），
∴∠B＝∠C，
∴△ABC为等腰三角形．
4．证明：∵AD∥BC，
∴∠B＝∠EAD，∠C＝∠DAC，
∵AD平分外角∠EAC，
∴∠EAD＝∠DAC，
∴∠B＝∠C．
∴AB＝AC．
5．证明：∵在△ABC中，AB＝AC，AD是BC边上的中线，
∴BD＝DC，AD⊥BC，AD平分∠BAC，∠ABD＝∠ACD，
∴∠ABE＝∠ACF，
在△ABE与△ACF中，
∴△ABE≌△ACF，
∴∠BAE＝∠CAF，
∴∠BAE+∠BAD＝∠CAF+∠CAD，
即∠EAD＝∠FAD，
即AD平分∠EAF．
6．（1）证明：∵l2∥l3
∴∠ABD＝∠BAE＝25°，
∵∠BAC＝25°
∴∠ABD＝∠BAC，
∴△ABD是等腰三角形，
（2）∵∠BAC+∠ACB+∠ABC＝180°
∠BAC＝25°，∠ACB＝90°
∴∠ABC＝180°﹣∠BAC﹣∠ACB＝180°﹣25°﹣90°＝65°，
∴∠CBD＝∠ABC﹣∠ABD＝65°﹣25°＝40°，
∵l1∥l2
∴∠BCF＝∠CBD＝40°，
7．证明：如图，连接DE，
∵AD是BC边上的高线，CE是AB边上的中线，
∴DE＝AB＝AE＝CD，
∵DG⊥CE于G，
由“等腰三角形三线合一”知，CG＝EG．
8．证明：∵BD平分∠ABC，
∴∠EBD＝∠DBC，
∵EF∥BC，
∴∠EDB＝∠DBC，
∴∠EDB＝∠EBD，
∴DE＝BE，
同理CF＝DF，
∴EF＝DE+DF＝BE+CF，
即BE+CF＝EF．
9．解：（1）∵△ABC是等边三角形，
∴∠B＝60°，
∵DE∥AB，
∴∠EDC＝∠B＝60°，
∵EF⊥DE，
∴∠DEF＝90°，
∴∠F＝90°﹣∠EDC＝30°；
（2）∵∠ACB＝60°，∠EDC＝60°，
∴△EDC是等边三角形．
∴ED＝DC＝3，
∵∠DEF＝90°，∠F＝30°，
∴DF＝2DE＝6．
10．解：（1）∵△ABC为等边三角形，BD是中线，
∴DC＝BC．
又∵CE＝BC，
∴DC＝CE．
∴∠E＝∠CDE，而∠DCB＝∠E+∠CDE＝60°，
∴∠E＝30°，
∵DA＝DC，
∴∠DBC＝∠ABC＝30°，
∴DB＝DE；
∵DF⊥BC，
∴BF＝EF．
（2））∵△ABC为等边三角形，
∴AC＝AB＝10．
∵CE＝BC，
∴CE＝DC＝5．
11．解：设三角形的腰为xcm，底为ycm，
根据题意得或，
解得或，
都能构成三角形，
即三角形各边的长分别为6cm，6cm，4cm或cm，cm，cm．
12．证明：（1）∵DE∥AC，
∴∠EDA＝∠DAC，
∵AD平分∠BAC，
∴∠EAD＝∠DAC，
∴∠EAD＝∠EDA∴AE＝ED；
（2）∠B＝∠CAF，
证明：∵AE＝ED，EF⊥AD，
∴EF是AD的垂直平分线，
∴FA＝FD，
∴∠FAD＝∠FDA，
∵AD平分∠BAC，
∴∠BAD＝∠CAD，
∵∠FDA＝∠B+∠BAD，∠FAD＝∠FAC+∠CAD，
∴∠B＝∠CAF．
13．证明：∵AB＝AC，
∴∠ABC＝∠SCB，
∵BD平分∠ABC，
∴∠ABD＝∠CBD，
∵CE＝CD，
∴∠CDE＝∠E，
∵∠ACB＝∠E+∠CDE＝2∠DBC，
∴∠DBC＝∠E，
∴△BDE为等腰三角形，BD＝ED，
∵DH垂直于BE，
∴H为BE中点（三线合一）．
14．解：（1）∵在△ABC中，∠B＝44°，∠C＝68°，
∴∠BAC＝180°﹣44°﹣68°＝68°．
∵AE是∠BAC的角平分线，
∴∠CAE＝∠BAC＝×68°＝34°．
∵AD是BC边上的高，
∴∠ADC＝90°，
∴∠CAD＝90°﹣∠C＝90°﹣68°＝22°，
∴∠EAD＝∠CAE﹣∠CAD＝34°﹣22°＝12°．
（2）∵AB＝BC＝CD＝DE，
∴∠A＝∠BCA，∠CBD＝∠BDC，∠ECD＝∠CED，
根据三角形的外角性质，∠A+∠BCA＝∠CBD，∠A+∠CDB＝∠ECD，∠A+∠CED＝∠EDM，
又∵∠EDM＝84°，
∴∠A+3∠A＝84°，
解得：∠A＝21°．
15．解：设∠CAN＝x，∠MAN＝y，
∵AB＝BC，∠BAM＝∠CAN，
∴∠C＝∠BAC＝2x+y，
∴∠ANM＝x+（2x+y）＝3x+y，
∵MN＝AN，
∴∠AMN＝∠MAN，
在△AMN中，2y+（3x+y）＝180°，
解得x+y＝60°，
即∠MAC＝60°．
16．（1）证明：∵∠ACB＝∠ADB＝90°，E是AB的中点，
∴DE＝AB，CE＝AB，
∴DE＝CE；
（2）解：当∠CAB+∠DBA＝60°时，△DEC是等边三角形，理由如下：
∵∠ACB＝∠ADB＝90°，
∴A、B、C、D四点共圆，E是圆心，
∴∠BEC＝2∠CAB，∠AED＝2∠DBA，
∵∠CAB+∠DBA＝60°，
∴∠BEC+∠AED＝2×60°＝120°，
∴∠DEC＝60°，
∵DE＝CE，
∴△DEC是等边三角形；
故答案为：60°；
（3）解：同（2）得：∠BEC＝2∠CAB，∠AED＝2∠DBA，
∵∠CAB+∠DBA＝45°，
∴∠BEC+∠AED＝2×45°＝90°，
∴∠DEC＝90°，
∵F是CD的中点，
∴EF＝CD＝2.5．
17．解：（1）∵AB的垂直平分线交AC于P点，
∴AP＝BP，
∴∠A＝∠ABP＝35°，
∴∠BPC＝∠A+∠ABP＝35°+35°＝70°；
（2）△PBC的周长＝BP+PC+BC，
＝AP+PC+BC，
＝AC+BC，
＝AB+BC，
∵AB＝5cm，BC＝3cm，
∴△PBC的周长＝5+3＝8cm．
18．（1）证明：∵AB＝AC，
∴∠B＝∠C，
在△DBE和△ECF中，，
∴△DBE≌△ECF，
∴DE＝FE，
∴△DEF是等腰三角形；
（2）∵△BDE≌△CEF，
∴∠FEC＝∠BDE，
∴∠DEF＝180°﹣∠BED﹣∠FEC＝180°﹣∠DEB﹣∠EDB＝∠B
（3）∵由（2）知△BDE≌△CEF，
∴∠BDE＝∠CEF，
∴∠CEF+∠DEF＝∠BDE+∠B，
∴∠DEF＝∠B，
∴AB＝AC，∠A＝40°，
∴∠DEF＝∠B＝＝70°．
19．证明：（1）∵CD与CF分别是△ABC的内角、外角平分线，
∴∠DCE＝∠ACB，∠ECF＝∠ACG，
∵∠ACB+∠ACG＝180°，
∴∠DCE+∠ECF＝90°，
∴△DCF为直角三角形；
（2）∵DF∥BC，
∴∠EDC＝∠BCD，
∵∠ECD＝∠BCD，
∴∠EDC＝∠ECD，
∴ED＝EC，
同理，EF＝EC，
∴DE＝EF．
20．证明：∵∠ACB＝90°，CD⊥AB，
∴∠CEB+∠1＝90°，∠BFD+∠2＝90°，
∵∠1＝∠2，
∴∠CEB＝∠BFD，
又∵∠CFE＝∠BFD，
∴∠CEF＝∠CFE，
∴CE＝CF．
21．（1）证明：∵BE＝BD，
∴∠E＝∠BDE，
∵∠ABC＝∠E+∠BDE＝2∠BDE，∠ABC＝2∠C，
∴∠C＝∠BDE，
又∵∠BDE＝∠CDF，
∴∠C＝∠CDF，
∴DF＝FC，
∴△DFC为等腰三角形；
∵AD为BC边上的高，
∴∠CDF+∠ADF＝∠ADC＝90°，
∠C+∠CAD＝180°﹣90°＝90°，
∴∠CAD＝∠ADF，
∴DF＝AF，
∴△ADF是等腰三角形；
22．解：（1）如图1，BM、NC、MN之间的数量关系 BM+NC＝MN，
此时 ，
理由：∵DM＝DN，∠MDN＝60°，
∴△MDN是等边三角形，
∵△ABC是等边三角形，
∴∠A＝60°，
∵BD＝CD，∠BDC＝120°，
∴∠DBC＝∠DCB＝30°，
∴∠MBD＝∠NCD＝90°，
∵DM＝DN，BD＝CD，
∴Rt△BDM≌Rt△CDN，
∴∠BDM＝∠CDN＝30°，BM＝CN，
∴DM＝2BM，DN＝2CN，
∴MN＝2BM＝2CN＝BM+CN；
∴AM＝AN，
∴△AMN是等边三角形，
∵AB＝AM+BM，
∴AM：AB＝2：3，
∴＝；
（2）猜想：结论仍然成立，
证明：在NC的延长线上截取CM1＝BM，连接DM1，
∵∠MBD＝∠M1CD＝90°，BD＝CD，
∴△DBM≌△DCM1，
∴DM＝DM1，∠MBD＝∠M1CD，M1C＝BM，
∵∠MDN＝60°，∠BDC＝120°，
∴∠M1DN＝∠MDN＝60°，
∴△MDN≌△M1DN，
∴MN＝M1N＝M1C+NC＝BM+NC，
∴△AMN的周长为：AM+MN+AN＝AM+BM+CN+AN＝AB+AC，
∴＝；
（3）证明：在CN上截取CM1＝BM，连接DM1，
可证△DBM≌△DCM1，
∴DM＝DM1，
可证∠M1DN＝∠MDN＝60°，
∴△MDN≌△M1DN，
∴MN＝M1N，
∴NC﹣BM＝MN．
1．如图，在△ABC中，AB＝AC，∠A＝36°，DE是AC的垂直平分线．
（1）求证：△BCD是等腰三角形；
（2）△BCD的周长是a，BC＝b，求△ACD的周长（用含a，b的代数式表示）
2．将一副直角三角板如图摆放，等腰直角板ABC的斜边BC与含30°角的直角三角板DBE的直角边BD长度相同，且斜边BC与BE在同一直线上，AC与BD交于点O，连接CD．
求证：△CDO是等腰三角形．
3．如图，在△ABC中，AD平分∠BAC，点D是BC的中点，DE⊥AB于点E，DF⊥AC于点F．
求证：△ABC是等腰三角形．
4．已知：如图，在△ABC中，AD∥BC，AD平分外角∠EAC，求证：AB＝AC．
5．如图，在△ABC中，AB＝AC，AD是BC边上的中线，延长CB至点E，延长BC至点F，使BE＝CF，连接AE、AF．
求证：AD平分∠EAF．
6．如图，已知直线l1∥l2∥l3，点E、F分别在l3、l1上，Rt△ABC的直角顶点C在直线l1上，点B在直线l2上，点A在直线l3上，l2与AC交于点D，且∠BAC＝25°，∠BAE＝25°．
（1）求证：△ABD是等腰三角形；
（2）求∠BCF的度数．
7．已知如图，在△ABC中，AD是BC边上的高线，CE是AB边上的中线，DG⊥CE于G，CD＝AE．求证：CG＝EG．
8．已知：△ABC中，∠B、∠C的角平分线相交于点D，过D作EF∥BC交AB于点E，交AC于点F，求证：BE+CF＝EF．
9．如图，在等边△ABC中，点D，E分别在边BC，AC上，且DE∥AB，过点E作EF⊥DE，交BC的延长线于点F，
（1）求∠F的度数；
（2）若CD＝3，求DF的长．
10．如图，等边三角形△ABC中，BD是中线，延长BC至E使得CE＝BC，作DF⊥BE于F．
（1）求证：BF＝EF；
（2）若AB＝10，求CE．
11．已知等腰三角形的周长为16cm，且两边之差为2cm，求三角形各边的长．
12．如图，在△ABC中，AD平分∠BAC交BC于D，DE∥AC交AB于E，过E作EF⊥AD，垂足为H，并交BC延长线于F．
（1）求证：AE＝ED；
（2）请猜想∠B与∠CAF的大小关系，并证明你的结论．
13．如图，在等腰△ABC中，AB＝AC，BD为∠ABC平分线，延长BC到点E，使CE＝CD，作DH⊥BE于H，求证：H为BE的中点．
14．（1）如图1，在△ABC中，AE是∠BAC的角平分线，AD是BC边上的高，且∠B＝44°，∠C＝68°，求∠CAD、∠EAD的度数．
（2）如图2，点B，D在射线AM上，点C，E在射线AN上，且AB＝BC＝CD＝DE，已知∠EDM＝84°，求∠A．
15．如图在△ABC中，AB＝BC，M、N为BC上两点，且∠BAM＝∠CAN，MN＝AN，求∠MAC的度数．
16．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，以AB长为一边作△ABD，∠ADB＝90°，取AB中点E，连DE、CE、CD．
（1）求证：DE＝CE
（2）当∠CAB+∠DBA＝ 时，△DEC是等边三角形，并说明理由
（3）当∠CAB+∠DBA＝45°时，若CD＝5，取CD中点F，求EF的长．
17．如图，△ABC中，AB＝AC，AB的垂直平分线交AC于P点．
（1）若∠A＝35°，求∠BPC的度数
（2）若AB＝5cm，BC＝3cm，求△PBC的周长．
18．如图，在△ABC中，AB＝AC，点D、E、F分别在BC、AB、AC边上，且BE＝CF，BD＝CE．
（1）求证：△DEF是等腰三角形；
（2）求证：∠B＝∠DEF；
（3）当∠A＝40°时，求∠DEF的度数．
19．如图，在△ABC中，CD与CF分别是△ABC的内角、外角平分线，DF∥BC交AC于点E．试说明：
（1）△DCF为直角三角形；
（2）DE＝EF．
20．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB，∠1＝∠2．求证：CE＝CF．
21．如图，在△ABC中，∠ABC＝2∠C，AD为BC边上的高，延长AB到E，使BE＝BD，过点D，E引直线交AC于点F．
（1）请说明△ADF和△DFC是等腰三角形．
（2）判断AF与FC的数量关系，说明理由．
22．在等边△ABC的两边AB、AC所在直线上分别有两点M、N，D为△ABC外一点，且∠MDN＝60°，∠BDC＝120°，BD＝DC．探究：当M、N分别在直线AB、AC上移动时，BM、NC、MN之间的数量关系及△AMN的周长Q与等边△ABC的周长L的关系．
（1）如图1，当点M、N在边AB、AC上，且DM＝DN时，BM、NC、MN之间的数量关系是 ；此时＝ ；
（2）如图2，点M、N在边AB、AC上，且当DM≠DN时，猜想（I）问的两个结论还成立吗？若成立请直接写出你的结论；若不成立请说明理由．
（3）如图3，当M、N分别在边AB、CA的延长线上时，探索BM、NC、MN之间的数量关系如何？并给出证明．
参考答案
1．（1）证明：∵AB＝AC，∠A＝36°，
∴∠B＝∠ACB＝＝72°，
∵DE是AC的垂直平分线，
∴AD＝DC，
∴∠ACD＝∠A＝36°，
∵∠CDB是△ADC的外角，
∴∠CDB＝∠ACD+∠A＝72°，
∴∠B＝∠CDB，
∴CB＝CD，
∴△BCD是等腰三角形；
（2）∵AD＝CD＝CB＝b，△BCD的周长是a，
∴AB＝a﹣b，
∵AB＝AC，
∴AC＝a﹣b，
∴△ACD的周长＝AC+AD+CD＝a﹣b+b+b＝a+b．
2．证明：∵在△BDC 中，BC＝DB，
∴∠BDC＝∠BCD．
∵∠DBE＝30°，
∴∠BDC＝∠BCD＝75°，
∵∠ACB＝45°，
∴∠DOC＝30°+45°＝75°．
∴∠DOC＝∠BDC，
∴△CDO是等腰三角形．
3．证明：∵AD平分∠BAC，DE⊥AB于点E，DF⊥AC于点F，
∴DE＝DF，
在Rt△BDE和Rt△CDF中，
，
∴Rt△BDE≌Rt△CDF（HL），
∴∠B＝∠C，
∴△ABC为等腰三角形．
4．证明：∵AD∥BC，
∴∠B＝∠EAD，∠C＝∠DAC，
∵AD平分外角∠EAC，
∴∠EAD＝∠DAC，
∴∠B＝∠C．
∴AB＝AC．
5．证明：∵在△ABC中，AB＝AC，AD是BC边上的中线，
∴BD＝DC，AD⊥BC，AD平分∠BAC，∠ABD＝∠ACD，
∴∠ABE＝∠ACF，
在△ABE与△ACF中，
∴△ABE≌△ACF，
∴∠BAE＝∠CAF，
∴∠BAE+∠BAD＝∠CAF+∠CAD，
即∠EAD＝∠FAD，
即AD平分∠EAF．
6．（1）证明：∵l2∥l3
∴∠ABD＝∠BAE＝25°，
∵∠BAC＝25°
∴∠ABD＝∠BAC，
∴△ABD是等腰三角形，
（2）∵∠BAC+∠ACB+∠ABC＝180°
∠BAC＝25°，∠ACB＝90°
∴∠ABC＝180°﹣∠BAC﹣∠ACB＝180°﹣25°﹣90°＝65°，
∴∠CBD＝∠ABC﹣∠ABD＝65°﹣25°＝40°，
∵l1∥l2
∴∠BCF＝∠CBD＝40°，
7．证明：如图，连接DE，
∵AD是BC边上的高线，CE是AB边上的中线，
∴DE＝AB＝AE＝CD，
∵DG⊥CE于G，
由“等腰三角形三线合一”知，CG＝EG．
8．证明：∵BD平分∠ABC，
∴∠EBD＝∠DBC，
∵EF∥BC，
∴∠EDB＝∠DBC，
∴∠EDB＝∠EBD，
∴DE＝BE，
同理CF＝DF，
∴EF＝DE+DF＝BE+CF，
即BE+CF＝EF．
9．解：（1）∵△ABC是等边三角形，
∴∠B＝60°，
∵DE∥AB，
∴∠EDC＝∠B＝60°，
∵EF⊥DE，
∴∠DEF＝90°，
∴∠F＝90°﹣∠EDC＝30°；
（2）∵∠ACB＝60°，∠EDC＝60°，
∴△EDC是等边三角形．
∴ED＝DC＝3，
∵∠DEF＝90°，∠F＝30°，
∴DF＝2DE＝6．
10．解：（1）∵△ABC为等边三角形，BD是中线，
∴DC＝BC．
又∵CE＝BC，
∴DC＝CE．
∴∠E＝∠CDE，而∠DCB＝∠E+∠CDE＝60°，
∴∠E＝30°，
∵DA＝DC，
∴∠DBC＝∠ABC＝30°，
∴DB＝DE；
∵DF⊥BC，
∴BF＝EF．
（2））∵△ABC为等边三角形，
∴AC＝AB＝10．
∵CE＝BC，
∴CE＝DC＝5．
11．解：设三角形的腰为xcm，底为ycm，
根据题意得或，
解得或，
都能构成三角形，
即三角形各边的长分别为6cm，6cm，4cm或cm，cm，cm．
12．证明：（1）∵DE∥AC，
∴∠EDA＝∠DAC，
∵AD平分∠BAC，
∴∠EAD＝∠DAC，
∴∠EAD＝∠EDA∴AE＝ED；
（2）∠B＝∠CAF，
证明：∵AE＝ED，EF⊥AD，
∴EF是AD的垂直平分线，
∴FA＝FD，
∴∠FAD＝∠FDA，
∵AD平分∠BAC，
∴∠BAD＝∠CAD，
∵∠FDA＝∠B+∠BAD，∠FAD＝∠FAC+∠CAD，
∴∠B＝∠CAF．
13．证明：∵AB＝AC，
∴∠ABC＝∠SCB，
∵BD平分∠ABC，
∴∠ABD＝∠CBD，
∵CE＝CD，
∴∠CDE＝∠E，
∵∠ACB＝∠E+∠CDE＝2∠DBC，
∴∠DBC＝∠E，
∴△BDE为等腰三角形，BD＝ED，
∵DH垂直于BE，
∴H为BE中点（三线合一）．
14．解：（1）∵在△ABC中，∠B＝44°，∠C＝68°，
∴∠BAC＝180°﹣44°﹣68°＝68°．
∵AE是∠BAC的角平分线，
∴∠CAE＝∠BAC＝×68°＝34°．
∵AD是BC边上的高，
∴∠ADC＝90°，
∴∠CAD＝90°﹣∠C＝90°﹣68°＝22°，
∴∠EAD＝∠CAE﹣∠CAD＝34°﹣22°＝12°．
（2）∵AB＝BC＝CD＝DE，
∴∠A＝∠BCA，∠CBD＝∠BDC，∠ECD＝∠CED，
根据三角形的外角性质，∠A+∠BCA＝∠CBD，∠A+∠CDB＝∠ECD，∠A+∠CED＝∠EDM，
又∵∠EDM＝84°，
∴∠A+3∠A＝84°，
解得：∠A＝21°．
15．解：设∠CAN＝x，∠MAN＝y，
∵AB＝BC，∠BAM＝∠CAN，
∴∠C＝∠BAC＝2x+y，
∴∠ANM＝x+（2x+y）＝3x+y，
∵MN＝AN，
∴∠AMN＝∠MAN，
在△AMN中，2y+（3x+y）＝180°，
解得x+y＝60°，
即∠MAC＝60°．
16．（1）证明：∵∠ACB＝∠ADB＝90°，E是AB的中点，
∴DE＝AB，CE＝AB，
∴DE＝CE；
（2）解：当∠CAB+∠DBA＝60°时，△DEC是等边三角形，理由如下：
∵∠ACB＝∠ADB＝90°，
∴A、B、C、D四点共圆，E是圆心，
∴∠BEC＝2∠CAB，∠AED＝2∠DBA，
∵∠CAB+∠DBA＝60°，
∴∠BEC+∠AED＝2×60°＝120°，
∴∠DEC＝60°，
∵DE＝CE，
∴△DEC是等边三角形；
故答案为：60°；
（3）解：同（2）得：∠BEC＝2∠CAB，∠AED＝2∠DBA，
∵∠CAB+∠DBA＝45°，
∴∠BEC+∠AED＝2×45°＝90°，
∴∠DEC＝90°，
∵F是CD的中点，
∴EF＝CD＝2.5．
17．解：（1）∵AB的垂直平分线交AC于P点，
∴AP＝BP，
∴∠A＝∠ABP＝35°，
∴∠BPC＝∠A+∠ABP＝35°+35°＝70°；
（2）△PBC的周长＝BP+PC+BC，
＝AP+PC+BC，
＝AC+BC，
＝AB+BC，
∵AB＝5cm，BC＝3cm，
∴△PBC的周长＝5+3＝8cm．
18．（1）证明：∵AB＝AC，
∴∠B＝∠C，
在△DBE和△ECF中，，
∴△DBE≌△ECF，
∴DE＝FE，
∴△DEF是等腰三角形；
（2）∵△BDE≌△CEF，
∴∠FEC＝∠BDE，
∴∠DEF＝180°﹣∠BED﹣∠FEC＝180°﹣∠DEB﹣∠EDB＝∠B
（3）∵由（2）知△BDE≌△CEF，
∴∠BDE＝∠CEF，
∴∠CEF+∠DEF＝∠BDE+∠B，
∴∠DEF＝∠B，
∴AB＝AC，∠A＝40°，
∴∠DEF＝∠B＝＝70°．
19．证明：（1）∵CD与CF分别是△ABC的内角、外角平分线，
∴∠DCE＝∠ACB，∠ECF＝∠ACG，
∵∠ACB+∠ACG＝180°，
∴∠DCE+∠ECF＝90°，
∴△DCF为直角三角形；
（2）∵DF∥BC，
∴∠EDC＝∠BCD，
∵∠ECD＝∠BCD，
∴∠EDC＝∠ECD，
∴ED＝EC，
同理，EF＝EC，
∴DE＝EF．
20．证明：∵∠ACB＝90°，CD⊥AB，
∴∠CEB+∠1＝90°，∠BFD+∠2＝90°，
∵∠1＝∠2，
∴∠CEB＝∠BFD，
又∵∠CFE＝∠BFD，
∴∠CEF＝∠CFE，
∴CE＝CF．
21．（1）证明：∵BE＝BD，
∴∠E＝∠BDE，
∵∠ABC＝∠E+∠BDE＝2∠BDE，∠ABC＝2∠C，
∴∠C＝∠BDE，
又∵∠BDE＝∠CDF，
∴∠C＝∠CDF，
∴DF＝FC，
∴△DFC为等腰三角形；
∵AD为BC边上的高，
∴∠CDF+∠ADF＝∠ADC＝90°，
∠C+∠CAD＝180°﹣90°＝90°，
∴∠CAD＝∠ADF，
∴DF＝AF，
∴△ADF是等腰三角形；
22．解：（1）如图1，BM、NC、MN之间的数量关系 BM+NC＝MN，
此时 ，
理由：∵DM＝DN，∠MDN＝60°，
∴△MDN是等边三角形，
∵△ABC是等边三角形，
∴∠A＝60°，
∵BD＝CD，∠BDC＝120°，
∴∠DBC＝∠DCB＝30°，
∴∠MBD＝∠NCD＝90°，
∵DM＝DN，BD＝CD，
∴Rt△BDM≌Rt△CDN，
∴∠BDM＝∠CDN＝30°，BM＝CN，
∴DM＝2BM，DN＝2CN，
∴MN＝2BM＝2CN＝BM+CN；
∴AM＝AN，
∴△AMN是等边三角形，
∵AB＝AM+BM，
∴AM：AB＝2：3，
∴＝；
（2）猜想：结论仍然成立，
证明：在NC的延长线上截取CM1＝BM，连接DM1，
∵∠MBD＝∠M1CD＝90°，BD＝CD，
∴△DBM≌△DCM1，
∴DM＝DM1，∠MBD＝∠M1CD，M1C＝BM，
∵∠MDN＝60°，∠BDC＝120°，
∴∠M1DN＝∠MDN＝60°，
∴△MDN≌△M1DN，
∴MN＝M1N＝M1C+NC＝BM+NC，
∴△AMN的周长为：AM+MN+AN＝AM+BM+CN+AN＝AB+AC，
∴＝；
（3）证明：在CN上截取CM1＝BM，连接DM1，
可证△DBM≌△DCM1，
∴DM＝DM1，
可证∠M1DN＝∠MDN＝60°，
∴△MDN≌△M1DN，
∴MN＝M1N，
∴NC﹣BM＝MN．