人教版八年级数学上册12.3角的平分线的性质 精选练习 （含解析）

12.3 角的平分线的性质精选练习（含答案）-人教版八年级上册
一．选择题
．如图，是尺规作图中“画一个角等于已知角”的示意图，该作法运用了“全等三角形的对应角相等”这一性质，则判定图中两三角形全等的条件是（　　）
A．SAS B．ASA C．AAS D．SSS
．如图，四边形ABCD中，∠A＝90°，AD＝3，连接BD，BD⊥CD，垂足是D且∠ADB＝∠C，点P是边BC上的一动点，则DP的最小值是（　　）
A．1 B．2 C．3 D．4
．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，BE平分∠ABC，CF⊥AB，交AB于点F，交BE于点D，若BC＝8cm，DF＝3cm，则△CDB的面积为（　　）
A．12cm2 B．8cm2 C．6cm2 D．4cm2
．如图，点P在∠AOB的平分线上，PC⊥OA于点C，∠AOB＝30°，点D在边OB上，且OD＝DP＝2．则线段PC的长度为（　　）
A．3 B．2 C．1 D．
．如图，△ABC中，AD⊥BC交BC于D，AE平分∠BAC交BC于E，F为BC的延长线上一点，FG⊥AE交AD的延长线于G，AC的延长线交FG于H，连接BG，下列结论：①∠DEA＝∠AGH；②∠DAE＝（∠ABD﹣∠ACE）；③∠AGH＝∠BAE+∠ACB；④S△AEB：S△AEC＝AB：AC，其中正确的结论有（　　）个．
A．1 B．2 C．3 D．4
如图，在△ABC中，AD为∠BAC的平分线，DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，△ABC的面积是30cm2，AB＝13cm，AC＝7cm，则DE的长（　　）
A．3cm B．4cm C．5cm D．6cm
．如图，△ABC的三边AB、BC、CA长分别是30、40、50，∠ABC和∠ACB的角平分线交于O，则S△ABO：S△BCO：S△CAO等于（　　）
A．1：1：1 B．1：2：3 C．2：3：4 D．3：4：5
如图，一把直尺压住射线OB，另一把完全一样的直尺压住射线OA并且与第一把直尺交于点P，小明说：“射线OP就是∠BOA的角平分线．”这样说的依据是（　　）
A．角平分线上的点到这个角两边的距离相等
B．三角形三条角平分线的交点到三条边的距离相等
C．在一个角的内部，到角的两边距离相等的点在这个角的平分线上
D．以上均不正确
如图，在纸片上有一直线l，点A在直线l上，过点A作直线l的垂线，嘉嘉使用了量角器，过90°刻度线的直线a即为所求；淇淇过点A将纸片折叠，使得以A为端点的两条射线重合，折痕a即为所求，下列判断正确的是（　　）
A．只有嘉嘉对 B．只有淇淇对 C．两人都对 D．两人都不对
下列说法正确的是（　　）
A．如果两条直线被第三条直线所截，那么内错角相等
B．直线外一点到这条直线的垂线段的长度，叫做这个点到直线的距离
C．同旁内角相等的两条直线平行
D．经过一点有且只有一条直线与已知直线平行
二．填空题
．如图，OP平分∠AOB，∠BCP＝40°，CP∥OA，PD⊥OA于点D，则∠OPD＝　 　°．
．如图，OP平分∠MON，PA⊥ON于点A，点Q是射线OM上一个动点，若PA＝8，则PQ的最小值为　 　．
．如图，△ABC中，∠C＝90°，AD平分∠BAC，CD＝2，则点D到AB的距离是　 　．
．如图，AD是△ABC的角平分线，DF⊥AB，垂足为F，DE＝DG，△ADG和△AED的面积分别为27和16，则△EDF的面积为 　 　．
．如图，若P是∠BAC的平分线AD上一点，PE⊥AC于点E，且PE＝3，AE＝4，点F在边AB上运动，当运动到某一位置时，△FAP的面积恰好是△EAP面积的，则此时AF的长是 　 　．
解答题
．如图，在△ABC中，∠C＝90°，BD平分∠ABC，交AC于点D．若CD＝2，E为AB上一动点，求出DE的最小值．
．如图，BD和CD分别平分△ABC的内角∠EBA和外角∠ECA，BD交AC于点F，连接AD．
（1）求证：AD平分∠GAC；
（2）若AB＝AD，请判断△ABC的形状，并证明你的结论．
．如图，在△ABC中，∠ABC＝90°，BD是AC边上的高，AE是∠BAC的角平分线，分别交BD、BC于点G、E，过点B作AE的垂线BF，分别交AE、AC于点H、F．
（1）求证：BF平分∠DBC；
（2）若∠ABF＝3∠C，求∠C的度数．
．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB于点D，CE平分∠DCB交AB于点E．
（1）求证：∠AEC＝∠ACE；
（2）若∠AEC＝2∠B，AD＝2，求AB的长．
．在△ABC中，AE、BF是角平分线，交于O点．
（1）如图1，AD是高，∠BAC＝50°，∠C＝70°，求∠DAC和∠BOA的度数．
（2）如图2，若OE＝OF，AC≠BC，求∠C的度数．
（3）如图3，若∠C＝90°，BC＝8，AC＝6，AB＝10，求S△AOB．
参考答案与试题解析
一．选择题
．【解答】解：如图，由作图可知，OA＝OB＝CE＝EF，BA＝CF．
在△AOB和△CEF中，
，
∴△AOB≌△CEF（SSS），
故选：D．
．【解答】解：∵BD⊥CD，∠A＝90°．
∴∠ABD+∠ADB＝90°，
∠CBD+∠C＝90°，
∴∠ABD＝∠CBD，
由垂线段最短得，DP⊥BC时DP最小，
此时，DP＝AD＝3．
故选：C．
．【解答】解：作DH⊥BC于点H，如图：
∵BE平分∠ABC，CF⊥AB，DH⊥BC．
∴DH＝DF．
∵DF＝3cm．
∴DH＝3cm．
∵BC＝8cm．
∴△CDB的面积为：＝12cm2．
故选：A．
．【解答】解：过P作PE⊥OB于E，
∵点P在∠AOB的平分线上，PC⊥OA，
∴PC＝PE，∠AOP＝∠BOP，
∵OD＝DP，
∴∠BOP＝∠DPO，
∴∠AOP＝∠DPO，
∴PD∥OA，
∴∠PDE＝∠AOB，
∵∠AOB＝30°，
∴∠PDE＝30°，
∵∠PEO＝90°，DP＝2，
∴PE＝DP＝1，
∴PC＝1，
故选：C．
．【解答】解：如图，AE交GF于M，
①∵AD⊥BC，FG⊥AE，
∴∠ADE＝∠AMF＝90°，
∴∠DEA+∠DAE＝∠AGH+∠GAM＝90°，
∴∠DEA＝∠AGH，故①正确；
②∵AE平分∠BAC交BC于E，
∴∠EAC＝∠BAC，
∴∠DAE＝90°﹣∠AED，
＝90°﹣（∠ACE+∠EAC），
＝90°﹣（∠ACE+∠BAC），
＝（180°﹣2∠ACE﹣∠BAC），
＝（∠ABD﹣∠ACE），
故②正确；
③∵∠DAE＝∠F，∠FDG＝∠FME＝90°，
∴∠AGH＝∠MEF，
∵∠MEF＝∠CAE+∠ACB，
∴∠AGH＝∠CAE+∠ACB，
∴∠AGH＝∠BAE+∠ACB，故③正确；
④∵AE平分∠BAC交BC于E，
∴点E到AB和AC的距离相等，
∴S△AEB：S△AEC＝AB：AC，故④正确；
故选：D．
【解答】解：∵AD为∠BAC的平分线，DE⊥AB，DF⊥AC，
∴DE＝DF，
∴S△ABC＝×AB×DE+×AC×DF＝30，即×13×DE+×7×DF＝30，
解得DE＝DF＝3，
故选：A．
【解答】解：过O分别作OE⊥AB，FO⊥BC，OD⊥AC，
∵BO是∠ABC平分线，
∴EO＝FO，
∵CO是∠ACB平分线，
∴EO＝DO，
∴EO＝DO＝FO，
∵S△ABO＝AB EO，S△BCO＝CB FO，S△CAO＝AC DO，
∴S△ABO：S△BCO：S△CAO＝30：40：50＝3：4：5．
故选：D．
【解答】解：如图，过点P作PE⊥AO，PF⊥BO，垂足分别为E和F，
∵两把完全相同的长方形直尺的宽度相等，
∴PE＝PF，
∴OP平分∠AOB（角的内部到角的两边的距离相等的点在这个角的平分线上），
故选：C．
【解答】解：嘉嘉利用量角器画90°角，可以画垂线，方法正确．
淇淇过点A将纸片折叠，使得以A为端点的两条射线重合，折痕a垂直直线l，方法正确，
故选：C．
【解答】解：A、如果两条平行的直线被第三条直线所截，那么内错角才相等，故该选项不合题意；
B、从直线外一点到这条直线的垂线段的长度，叫做点到直线的距离，故该选项符合题意；
C、同旁内角互补的两条直线平行，故该选项不合题意；
D、经过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行，故该选项不合题意；
故选：B．
二．填空题
．【解答】解：∵CP∥OA，
∴∠AOB＝∠BCP＝40°，
∵OP平分∠AOB，
∴∠AOP＝∠AOB＝20°，
∵PD⊥OA，
∴∠OPD＝90°﹣20°＝70°，
故答案为：70．
．【解答】解：
过P作PE⊥OM于E，当Q和E重合时，PQ的值最小，
∵OP平分∠MON，PA⊥ON，PA＝8，
∴PE＝PA＝8，
即PQ的最小值是8，
故答案为：8．
．【解答】解：如图，过D点作DE⊥AB于点E，则DE即为所求，
∵∠C＝90°，AD平分∠BAC，
∴CD＝DE（角的平分线上的点到角的两边的距离相等），
∵CD＝2，
∴DE＝2．
故答案为2．
．【解答】解：过D点作DH⊥AC于H，如图，
∵AD是△ABC的角平分线，DF⊥AB，DH⊥AC，
∴DF＝DH，
在Rt△ADF和Rt△ADH中，
，
∴Rt△ADF≌Rt△ADH（HL），
∴S△ADF＝S△ADH，
在Rt△EDF和Rt△GDH中，
，
∴Rt△EDF≌Rt△GDH（HL），
∴S△EDF＝S△GDH，
∴S△EDF+S△AED＝S△ADG﹣S△GDH，
即S△EDF+16＝27﹣S△EDF，
∴S△EDF＝5.5．
故答案为：5.5．
．【解答】解：
过P作PM⊥AB于M，
∵P是∠BAC的平分线AD上一点，PE⊥AC，PE＝3，PM⊥AB，
∴PM＝PE＝3，∠PEA＝90°，
∵AE＝4，
∴△PEA的面积＝
＝
＝6，
∵△FAP的面积恰好是△EAP面积的，
∴＝，
∵PM＝3，
∴AE＝2，
故答案为：2．
三．解答题
．【解答】解：
当DE⊥AB时，DE的值最小（理由是垂线段最短），
∠C＝90°，BD平分∠ABC，DE⊥AB，
∴DE＝CD，
∵CD＝2，
∴DE的最小值是2．
．【解答】（1）证明：过点D作DN⊥BA，DK⊥AC，DM⊥BC，垂足分别为点N、K、M．
∵BD、CD分别平分∠EBA、∠ECA，DN⊥BA，DK⊥AC，DM⊥BC，
∴DM＝DN＝DK，
∴AD平分∠GAC，∠ABD＝∠DBC，
∴∠GAD＝∠DAC，
∴AD平分∠GAC．
（2）解：△ABC是等腰三角形，
证明：∵AB＝AD，
∴∠ABD＝∠ADB，
∵BD平分∠ABC，
∴∠ABD＝∠CBD，
∴∠ADB＝∠CBD，
∴AD∥BC，
∴∠GAD＝∠ABC，∠DAC＝∠ACB，
∵AD平分∠GAC，
∴∠GAD＝∠CAD，
∴∠ABC＝∠ACB，
∴△ABC是等腰三角形．
．【解答】（1）证明：∵BD⊥AC，
∴∠BDC＝90°，
∵∠ABC＝90°，
∴∠ABD+∠DBC＝90°，∠DBC+∠C＝90°，
∴∠ABD＝∠C，
∵AE平分∠BAC，
∴∠BAE＝∠CAE，
∵∠BGE＝∠ABD+∠BAE，∠BEG＝∠C+∠EAC，
∴∠BGE＝∠BEG，
∴BG＝BE，
∵BF⊥EG，
∴BF平分∠DBC．
（2）解：∵∠ABF＝3∠C，∠ABD＝∠C，BF平分∠DBC，
∴∠FBD＝∠FBC＝2∠C，
∴5∠C＝90°，
∴∠C＝18°．
．【解答】解：（1）∵∠ACB＝90°，CD⊥AB，
∴∠ACD+∠A＝∠B+∠A＝90°，
∴∠ACD＝∠B，
∵CE平分∠BCD，
∴∠BCE＝∠DCE，
∴∠B+∠BCE＝∠ACD+∠DCE，
即∠AEC＝∠ACE；
（2）∵∠AEC＝∠B+∠BCE，∠AEC＝2∠B，
∴∠B＝∠BCE，
又∵∠ACD＝∠B，∠BCE＝∠DCE，
∴∠ACD＝∠BCE＝∠DCE，
又∵∠ACB＝90°，
∴∠ACD＝30°，∠B＝30°，
∴Rt△ACD中，AC＝2AD＝4，
∴Rt△ABC中，AB＝2AC＝8．
60．【解答】解：（1）∵AD⊥BC，
∴∠ADC＝90°，
∵∠C＝70°，
∴∠DAC＝180°﹣90°﹣70°＝20°；
∵∠BAC＝50°，∠C＝70°，
∴∠BAO＝25°，∠ABC＝60°，
∵BF是∠ABC的角平分线，
∴∠ABO＝30°，
∴∠BOA＝180°﹣∠BAO﹣∠ABO＝180°﹣25°﹣30°＝125°；
（2）连接OC，
∵AE、BF是角平分线，交于O点，
∴OC是∠ACB的角平分线，
∴∠OCF＝∠OCE，
过O作OM⊥BC，ON⊥AC，
则OM＝ON，
在Rt△OEM与Rt△OFN中，，
∴Rt△OEM≌Rt△OFN，（HL），
∴∠EOM＝∠FON，
∴∠MON＝∠EOF＝180°﹣∠ACB，
∵AE、BF是角平分线，
∴∠AOB＝90°+∠ACB，
即90°+∠ACB＝180°﹣∠ACB，
∴∠ACB＝60°；
（3）连接OC，过O作OD⊥AB于D，OG⊥BC于G，OH⊥AC于H，
∵AE、BF是角平分线，交于O点，
∴OD＝OG＝OH，
∴S△ABC＝×8×6＝×10OD+6×OG+8×OH，
∴OD＝2，
∴S△AOB＝10×2＝10．