4.5 函数的应用 测试题（含解析）

函数的应用 测试题
（时间120分钟 满分150分）
班级 学号 姓名 得分
第Ⅰ卷　(选择题　共60分)
一、选择题(本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1、设g(x)＝3x＋3x－8，用二分法求方程3x＋3x－8＝0在x∈(1,2)内近似解的过程中得g(1.5)>0，g(1.25)<0，则方程的根落在区间(　　)
A．(1,1.25) B．(1.25,1.5)
C．(1.5,2) D．不确定
2、函数f（x）＝x2－2x－3的零点是(　　)
A．1，－3 B．3，－1 C．1,2 D．不存在
3、下列函数中，不能用二分法求零点的是(　　)
A．y＝3x＋1 B．y＝x2－1
C．y＝log2(x－1) D．y＝(x－1)2
4、某种品牌的自行车自投放市场以来，经过两次降价，单价由原来的2 000元降到1 280元，则这种自行车的价格平均每次降低的百分率是(　　)
A．10% B．15% C．18% D．20%
5、函数f(x)＝ln(x＋1)－的零点所在的大致区间是(　　)
A．(0,1) B．(1,2) C．(2，e) D．(3,4)
6、设函数f(x)＝若f(－4)＝f(0)，f(－2)＝－2，则函数y＝f(x)－x的零点的个数为(　　)
A．1 B．2 C．3 D．4
7、若函数y＝|1－x|＋m的图象与x轴有公共点，则m的取值范围是(　　)
A．m≤－1 B．－1≤m<0 C．m≥1 D．08、若一次函数f(x)＝ax＋b有一个零点2，则函数g(x)＝bx2－ax的图象可能是(　　)
9、已知x0是函数f(x)＝2x＋的一个零点．若x1∈(1，x0)，x2∈(x0，＋∞)，则(　　)
A．f(x1)<0，f(x2)<0 B．f(x1)<0，f(x2)>0
C．f(x1)>0，f(x2)<0 D．f(x1)>0，f(x2)>0
10、某商场对顾客实行购物优惠活动，规定一次购物付款总额：
①如果不超过200元，则不给予优惠；
②如果超过200元但不超过500元，则按标价给予9折优惠；
③如果超过500元，其500元内的按第②条给予优惠，超过500元的部分给予7折优惠．某人两次去购物，分别付款168元和423元，假设他一次性购买上述两次同样的商品，则应付款(　　)
A．413.7元 B．513.7元
C．546.6元 D．548.7元
11、已知0A．2 B．3 C．4 D．与a的值有关
12、若对于定义在R上的函数f(x)，其图象是连续的，且存在常数λ(λ∈R)，使得f(x＋λ)＋λf(x)＝0对任意的实数x成立，则称f(x)是“λ－同伴函数”．下列关于“λ－同伴函数”的叙述中正确的是(　　)
A．“－同伴函数”至少有一个零点
B．f(x)＝x2是一个“λ－同伴函数”
C．f(x)＝log2x是一个“λ－同伴函数”
D．f(x)＝0是唯一一个常值“λ－同伴函数”
第Ⅱ卷　(非选择题　共90分)
二、填空题(本大题共4个小题，每小题5分，共20分，请把正确答案填在题中横线上)
13、函数g(x)＝x2＋mx－6的一个零点是－6，则另一个零点是________．
14、根据表格中的数据，若函数f(x)＝ln x－x＋2在区间(k，k＋1)(k∈N*)内有一个零点，则k的值为________.
x 1 2 3 4 5
ln x 0 0.69 1.10 1.39 1.61
15、某市出租车收费标准如下：起步价为8元，起步里程为3 km(不超过3 km按起步价付费)；超过3 km但不超过8 km时，超过部分按每千米2.15元收费；超过8 km时，超过部分按每千米2.85元收费，另每次乘坐需付燃油附加费1元．现某人乘坐一次出租车付费22.6元，则此次出租车行驶的路程为________km.
16、设定义域为R的函数f(x)＝若关于x的方程［2f(x)]2－(2a＋3)f(x)＋3a＝0有五个不同的实数解，则a的取值范围是________．
三、解答题(本大题共6个小题，共70分，解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)
17、(本小题满分10分)
已知二次函数g(x)的图象过点(0,3)，它的图象的对称轴为x＝2，且g(x)的两个零点的平方和为10，求g(x)的解析式．
18、(本小题满分12分)
某公司制定了一个激励销售人员的奖励方案：当销售利润不超过10万元时，按销售利润的15%进行奖励；当销售利润超过10万元时，若超出A万元，则超出部分按2log5(A＋1)进行奖励．记奖金为y(单位：万元)，销售利润为x(单位：万元)．
(1)写出该公司激励销售人员的奖励方案的函数模型；
(2)如果业务员老江获得5.5万元的奖金，那么他的销售利润是多少万元？
19、(本小题满分12分)
已知定义在R上奇函数f(x)在x≥0时的图象是如图所示的抛物线的一部分．
(1)请补全函数f(x)的图象；
(2)写出函数f(x)的表达式(只写明结果，无需过程)；
(3)讨论方程|f(x)|＝a的解的个数(只写明结果，无需过程)．
20、(本小题满分12分)
函数y＝f(x)的图象关于x＝1对称，当x≤1时，f(x)＝x2－1.
(1)写出y＝f(x)的解析式并作出图象；
(2)根据图象讨论f(x)－a＝0(a∈R)的根的情况．
21、(本小题满分12分)
已知函数g(x)＝log4(4x＋1)＋mx，(k∈R)为偶函数．
(1)求m的值；
(2)若函数g(x)＝log4(a·2x－a)有且仅有一个根，求实数a的取值范围．
22、．(本小题满分12分)
一位小伙子进行理财投资，根据长期收益率市场预测，投资债券等稳健型产品的收益与投资额成正比，投资股票等风险型产品的收益与投资额的算术平方根成正比．已知投资1万元时两类产品的收益分别为0.125万元和0.5万元(如图)．
(1)分别写出两种产品的收益与投资的函数关系；
(2)这位小伙子有20万元资金，全部用于理财投资，问：怎么分配资金能使投资获得最大收益，其最大收益是多少万元？
答案解析
B　解析：因为g(1.5)>0，g(1.25)<0，所以由零点存在性定理可得，方程3x＋3x－8＝0的根落在区间(1.25,1.5)内．
B　解析：令x2－2x－3＝0得x＝－1或x＝3，故选B
D　解析：结合函数y＝(x－1)2的图象可知，该函数在x＝1的左右两侧函数值的符号均为正，故其不能用二分法求零点．
D　解析：由题意，可设平均每次价格降低的百分率为x，
则有2 000(1－x)2＝1 280，
解得x＝0.2或x＝1.8(舍去)，故选D.
B　解析：f(1)＝ln(1＋1)－＝ln 2－2＝ln 2－ln e2<0，f(2)＝ln(2＋1)－＝ln 3－1>0，因此函数的零点必在区间(1,2)内，故选B.
C　解析：本题主要考查二次函数、分段函数及函数的零点．f(－4)＝f(0) b＝4，f(－2)＝－2 c＝2，∴ f(x)＝当x≤0时，由x2＋4x＋2＝x解得x1＝－1，x2＝－2；当x>0时，x＝3.所以函数y＝f(x)－x的零点的个数为3，故选C.
B　解析：函数图象与x轴有公共点，即函数
f(x)＝|1－x|，g(x)＝－m有交点．作出f(x)，g(x)的图象，如图所示．
0<－m≤1，即－1≤m<0，故选B.
C　解析：由题意知，2a＋b＝0，所以a＝－.
因此g(x)＝bx2＋x＝b＝b2－.
易知函数g(x)图象的对称轴为x＝－，排除A，D.
又令g(x)＝0，得x＝0或x＝－0.5，故选C.
B　解析：由定义法证明函数的单调性的方法，得f(x)在(1，＋∞)上为增函数，又1解题技巧：本题主要考查了函数的零点和单调性，解决本题的关键是判断出函数f(x)＝2x＋的单调性．
C　解析：设该顾客两次购物的商品价格分别为x，y元，由题意可知x＝168，y×0.9＝423，∴y＝470，故x＋y＝168＋470＝638(元)，
故如果他一次性购买上述两样商品应付款：
(638－500)×0.7＋500×0.9＝96.6＋450＝546.6(元)．
A　解析：设y1＝a|x|，y2＝|logax|，分别作出它们的图象如下图所示．
由图可知，有两个交点，故方程a|x|＝|logax|有两个根．故选A.
A　解析：令x＝0，得f＋f(0)＝0，所以f＝－f(0)．若f(0)＝0，显然f(x)＝0有实数根；若f(0)≠0，f·f(0)＝－(f(0))2<0.又因为函数f(x)的图象是连续不断的，所以f(x)＝0在上必有实数根，即任意“－同伴函数”至少有一个零点．故A正确；
用反证法，假设f(x)＝x2是一个“λ－同伴函数”，则(x＋λ)2＋λx2＝0，即(1＋λ)x2＋2λx＋λ2＝0对任意实数x成立，所以λ＋1＝2λ＝λ2＝0，而此式无解，所以f(x)＝x2不是一个“λ－同伴函数”．故B错误；
因为f(x)＝log2x的定义域不是R.故C错误；
设f(x)＝C是一个“λ－同伴函数”，则(1＋λ)C＝0，当λ＝－1时，可以取遍实数集，因此f(x)＝0不是唯一一个常值“λ－同伴函数”．故D错误．
1　解析：依题意可知，g(－6)＝(－6)2－6m－6＝0 m＝5，所以g(x)＝x2＋5x－6＝(x＋6)(x－1)，令g(x)＝0，解得x＝－6或x＝1，所以另一个零点是1.
3　解析：由表中数据可知，f(1)＝ln 1－1＋2＝1>0，
f(2)＝ln 2－2＋2＝ln 2＝0.69>0，
f(3)＝ln 3－3＋2＝1.10－1＝0.1>0，
f(4)＝ln 4－4＋2＝1.39－2＝－0.61<0，
f(5)＝ln 5－5＋2＝1.61－3＝－1.39<0，
∴f(3)·f(4)<0，∴k的值为3.
9　解析：设乘客每次乘坐出租车需付费用为f(x)元，由题意，得
f(x)＝
令f(x)＝22.6，显然9＋5×2.15＋(x－8)×2.85＝22.6(x>8)，解得x＝9.
1＜a<或∴要求对应于f(x)等于某个常数有3个不同实数解，
∴先根据题意作出f(x)的简图：
由图可知，只有当f(x)＝a时，它有三个根．
所以有1＜a＜2①.
再根据2f(x)2－(2a＋3)f(x)＋3a＝0有两个不等实根，
得：Δ>0即(2a＋3)2－24a>0，a≠②.
结合①②得：1＜a<或解题技巧：本题主要考查了函数零点和方程解的关系，解决本题的关键是找出隐含条件f(x)＝a有3个不同实数解．
解：设g(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)，
由题意知，c＝3，－＝2.
设x1，x2是方程ax2＋bx＋c＝0的两根，
则x1＋x2＝－，x1·x2＝.
∵x＋x＝10，∴(x1＋x2)2－2x1x2＝10，
即2－＝10，∴42－＝10，
∴a＝1，b＝－4.
∴g(x)＝x2－4x＋3.
解：(1)由题意，得
y＝
(2)x∈(0,10]，0.15x≤1.5.
又∵y＝5.5，∴x>10，
∴1.5＋2log5(x－9)＝5.5，∴x＝34.
∴老江的销售利润是34万元．
解：(1)补全f(x)的图象如图①所示．
①
(2)当x≥0时，设f(x)＝a(x－1)2－2，由f(0)＝0得，a＝2，
所以此时，f(x)＝2(x－1)2－2，即f(x)＝2x2－4x，
当x<0时，－x>0，
所以f(－x)＝2(－x)2－4(－x)＝2x2＋4x，①
又f(－x)＝－f(x)，代入①，得f(x)＝－2x2－4x，
所以f(x)＝
(3)函数y＝|f(x)|的图象如图②所示．
②
由图可知，当a<0时，方程无解；
当a＝0时，方程有三个解；
当0当a＝2时，方程有4个解；
当a>2时，方程有2个解．
20、解：(1)由题意知f(x)＝
图象如图所示．
(2)当a<－1时，f(x)－a＝0无解；
当a＝－1时，f(x)－a＝0有两个实数根；
当－1当a＝0时，f(x)－a＝0有三个实数根；
当a>0时，f(x)－a＝0有两个实数根．
21、解：(1)∵g(x)为偶函数，∴g(－x)＝g(x)，
即log4(4－x＋1)－mx＝log4(4x＋1)＋mx，
∴log4－log4(4x＋1)＝2mx，
∴(2m＋1)x＝0，∴m＝－.
(2)依题意知，log4(4x＋1)－x＝log4(a·2x－a)，
整理，得log4(4x＋1)＝log4 ［(a·2x－a)2x]，
∴4x＋1＝(a·2x－a)·2x(*)．
令t＝2x，则(*)变为(1－a)t2＋at＋1＝0(**)只需其仅有一正根．
①当a＝1时，t＝－1不合题意；
②当(**)式有一正一负根时，∴得a＞1；
③当(**)式有两相等的正根时，Δ＝0，∴a＝±2－2，且>0，
∴a＝－2－2.
综上所述，a的取值范围为{a|a＞1或a＝－2－2}．
22、解：(1)设f(x)＝k1x，g(x)＝k2，
所以f(1)＝＝k1，
g(1)＝＝k2，即f(x)＝x(x≥0)，g(x)＝(x≥0)．
(2)设投资债券类产品x万元，则股票类投资为(20－x)万元．
依题意，得
y＝f(x)＋g(20－x)
＝＋(0≤x≤20)．
令t＝(0≤t≤2)．
则y＝＋t＝－(t－2)2＋3，
所以当t＝2，即x＝16(万元)时，收益最大，最大收益为3万元．