人教版八年级数学上册12.3角的平分线的性质自主达标测试题（含解析）

2022-2023学年人教版八年级数学上册《12.3角的平分线的性质》自主达标测试题（附答案）
一．选择题（共8小题，满分40分）
1．在三角形的内部，到三角形三边距离相等的点是（　　）
A．三条边中线的交点
B．三条边上的高的交点
C．三个内角角平分线的交点
D．三条边的垂直平分线的交点
2．如图，在直角三角形ABC中，AD为斜边上的高，AE是角平分线，AF是中线，则下列说法中错误的是（　　）
A．BF＝CF B．∠C＝∠BAD
C．∠BAE＝∠CAE D．S△ABE＝S△ACF
3．如图，在△ABC中，AD为∠BAC的平分线，DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，△ABC的面积是30cm2，AB＝13cm，AC＝7cm，则DE的长（　　）
A．3cm B．4cm C．5cm D．6cm
4．如图，在四边形ABCD中，∠A＝90°，AD＝3，连接BD，BD⊥CD，∠ADB＝∠C．若P是BC边上一动点，则DP长的最小值为（　　）
A．1 B．6 C．3 D．12
5．如图，已知点O为△ABC的两条角平分线的交点，OD⊥BC，已知△ABC的面积为34，OD＝4，AB＝7，BC＝6，则AC＝（　　）
A．3 B．4 C．5 D．6
6．如图，OC平分∠AOB，D，F分别是OC，OB上的点，E，G在OA上，已知OF＝13，OE＝18，OG＝10，△ODF的面积是26，则△DEG的面积是（　　）
A．14 B．16 C．18 D．20
7．如图，AB∥CD，BP和CP分别平分∠ABC和∠BCD，AD过点P且与AB垂直．若AD＝8，BC＝10，则△BCP的面积为（　　）
A．16 B．20 C．40 D．80
8．如图，直线MN分别与直线AB、CD相交于点E、F，∠MEB与∠CFE互补，∠BEF的平分线与∠DFE的平分线交于点P，与直线CD交于点G，GH∥PF交MN于点H，则下列说法：
①AB∥CD；②∠FGE＝∠FEG；
③EG⊥GH；
④∠EFC＝∠EGD；
⑤PE＝PG．
其中正确的有（　　）个．
A．2 B．3 C．4 D．5
二．填空题（共7小题，满分35分）
9．如图，在△ABC中，∠C＝90°，AD平分∠BAC交BC于点D，DE⊥AB，垂足为E，若BC＝4，DE＝1.6，则BD的长为 　 　．
10．在△ABC中，∠A＝90°，CD是∠C的平分线，交AB于D，DA＝8，则点D到BC的距离是　 　．
11．随着人们生活水平的不断提高，汽车逐步进入到千家万户，小红的爸爸想在本镇的三条相互交叉的公路（如图所示），建一个加油站，要求它到三条公路的距离相等，这样可供选择的地址有　 　处．
12．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，BE平分∠ABC，DE⊥AB于D．如果AC＝10cm，那么AE+DE等于 　 　．
13．如图，AD是△ABC的角平分线，DF⊥AB，垂足为F，DE＝DG，△ADG和△EFD的面积分别为50和4.5，则△AED的面积为　 　．
14．点P（m，2+m）到两条坐标轴的距离相等，则m＝　 　．
15．如图，AD是△ABC的角平分线，DE⊥AC，垂足为E，BF∥AC交ED的延长线于点F，BC恰好平分∠ABF，AE＝2BF．若CE＝2，则AB＝　 　．
三．解答题（共6小题，满分45分）
16．如图，在△ABC中，AD是角平分线，点E是边AC上一点，且满足∠ADE＝∠B，AE＝3，AD＝5，求AB的长．
17．如图，BD是△ABC中∠ABC的平分线，DE⊥AB于点E，DF⊥BC于点F，若DE＝3，AB＝7，BC＝9，求△ABC的面积．
18．四边形ABCD中，AD∥BC，CE平分∠BCD交AB于点E，ED⊥CD于点D，已知∠B＝40°，∠BCD＝70°．
（1）求∠CED的度数；
（2）求证：AD＝AE．
19．如图①，在△ABC中，∠ABC和∠ACB的平分线交于点O，∠A＝α．
（1）如图①，若∠A＝50°，求∠BOC的度数．
（2）如图②，连接OA，求证：OA平分∠BAC．
（3）如图③，若射线BO与∠ACB的外角平分线交于点P，求证OC⊥PC．
20．如图，BE⊥AC、CF⊥AB于点E、F，BE与CF交于点D，DE＝DF，连接AD．
求证：（1）∠FAD＝∠EAD
（2）BD＝CD．
21．如图，△ABC中，点D在BC边上，∠BAD＝100°，∠ABC的平分线交AC于点E，过点E作EF⊥AB，垂足为F，且∠AEF＝50°，连接DE．
（1）求∠CAD的度数；
（2）求证：DE平分∠ADC；
（3）若AB＝7，AD＝4，CD＝8，且S△ACD＝15，求△ABE的面积．
参考答案
一．选择题（共8小题，满分40分）
1．解：在三角形内部，到三角形三边距离相等的点是三角形三条角平分线的交点．
故选：C．
2．解：∵AF为斜边BC的中线，
∴BF＝CF＝AF，所以A选项不符合题意；
∵AD为斜边上的高，
∴∠ADB＝90°，
∵∠BAD+∠B＝90°，∠C+∠B＝90°，
∴∠C＝∠BAD，所以B选项不符合题意；
∵AE是△ABC的角平分线，
∴∠BAE＝∠CAE，所以C选项不符合题意；
∵BF＝CF，
∴S△ABF＝S△ACF，所以D选项符合题意．
故选：D．
3．解：∵AD为∠BAC的平分线，DE⊥AB，DF⊥AC，
∴DE＝DF，
∴S△ABC＝×AB×DE+×AC×DF＝30，即×13×DE+×7×DF＝30，
解得DE＝DF＝3，
故选：A．
4．解：过点D作DH⊥BC交BC于点H，如图所示：
∵BD⊥CD，
∴∠BDC＝90°，
又∵∠C+∠BDC+∠DBC＝180°，
∠ADB+∠A+∠ABD＝180°
∠ADB＝∠C，∠A＝90°，
∴∠ABD＝∠CBD，
∴BD是∠ABC的角平分线，
又∵AD⊥AB，DH⊥BC，
∴AD＝DH，
又∵AD＝3，
∴DH＝3，
又∴点D是直线BC外一点，
∴当点P在BC上运动时，点P运动到与点H重合时DP最短，其长度为DH长等于3，
即DP长的最小值为3．
故选：C．
5．解：如图，作OE⊥AB于E，OF⊥AC于F，连接OA，
∵点O是∠ABC、∠ACB角平分线的交点，
∴OE＝OD，OF＝OD，即OE＝OF＝OD＝4，
∵S△ABC＝S△ABO+S△BCO+S△ACO，
∴AB OE+BC OD+AC OF＝34，
∴×4（7+6+AC）＝34，
∴AC＝4．
故选：B．
6．解：过D作DM⊥OB于M，DN⊥OA于N，
∵OC平分∠AOB，
∴DM＝DN，
∵△ODF的面积是26，OF＝13，
∴×13DM＝2，
∴DN＝DM＝4，
∵OE＝18，OG＝10，
∴EG＝8，
∴△DEG的面积＝EG DN＝×4×8＝16，
故选：B．
7．解：过P作PE⊥BC于E，
∵AB∥CD，
∴∠BAP+∠CDP＝180°，
∵AD⊥AB，
∴∠BAP＝90°，
∴∠CDP＝90°，
即AD⊥CD，
∵PE⊥BC，BP和CP分别平分∠ABC和∠BCD，
∴PA＝PE，PE＝PD，
∴PA＝PD，
∵AD＝8，
∴PE＝PD＝AP＝4，
∵BC＝10，
∴△BCP的面积为＝＝20，
故选：B．
8．解：∵∠AEF＝∠BEM，∠BEM+∠EFC＝180°，
∴∠AEF+∠CFE＝180°，
∴AB∥CD，故①正确；
∴∠BEG＝∠FGE，
∵EG平分∠BEF，
∴∠FEG＝∠BEG，
∴∠FGE＝∠FEG，故②正确；
∴EF＝FG，
∵AB∥CD，
∴∠BEF+∠DFE＝180°，
∵∠BEF的平分线与∠DFE的平分线交于点P，
∴∠PEF＝∠BEF，∠PFE＝∠DFE，
∴∠PEF+∠PFE＝（∠BEF+∠DFE）＝90°，
∴∠EPF＝90°，
∴EG⊥PF，
∵GH∥PF，
∴EG⊥GH，故③正确；
根据已知条件不能推出EF＝EG，
即∠EFG和∠EGF不一定相等，
所以它们的补角（∠EFC和∠EGD）也不一定相等，故④错误；
∵EF＝FG，FP⊥EG，
∴PE＝PG，故⑤正确；
即正确的有4个，
故选：C．
二．填空题（共7小题，满分35分）
9．解：∵AD平分∠BAC，DE⊥AB，∠C＝90°，
∴CD＝DE，
∵DE＝1.6，
∴CD＝1.6，
∴BD＝BC﹣CD＝4﹣1.6＝2.4．
故答案为：2.4
10．解：点D到BC的距离是8．
故填8．
11．解：如图所示，加油站站的地址有四处，
故答案为：4．
12．解：∵∠ACB＝90°，BE平分∠ABC，DE⊥AB，
∴DE＝CE，
∵AC＝10cm，
∴AE+DE＝AE+CE＝AC＝10cm，
故答案为：10cm．
13．解：作DM⊥AC，垂足为M，如图，
∵AD是△ABC的角平分线，DF⊥AB，DM⊥AC，
∴DF＝DM，
∵AD＝AD，DF＝DM，
∴△ADF≌△ADM（HL），
∵DE＝DG，DF＝DM，
∴△DFE≌△DMG（HL），
∴S△ADM＝S△ADF＝S△ADG﹣S△EFD＝50﹣4.5＝45.5，
∴S△AED＝S△ADF﹣S△EFD＝45.5﹣4.5＝41．
故答案为：41．
14．解：当点P在第一、三象限时，m＝m+2，此时m的值不存在；
当点P在第二象限时，m+2+m＝0，
解得：m＝﹣1，
故答案为：﹣1．
15．解：∵BF∥AC，
∴∠C＝∠CBF，
∵BC平分∠ABF，
∴∠ABC＝∠CBF，
∴∠C＝∠ABC，
∴AB＝AC，
∵AD平分∠BAC，
∴DC＝BD，
在△CDE与△DBF中，
，
∴△CDE≌△DBF（ASA）
∴DE＝DF，CE＝BF＝2，
∵AE＝2BF，
∴AC＝3BF，
∴AB＝3BF＝6，
故答案为：6．
三．解答题（共6小题，满分45分）
16．解：∵AD是∠BAC的角平分线，
∴∠BAD＝∠EAD．
∵∠ADE＝∠B，
∵AE＝3，AD＝5，
∴，
∴AB＝．
17．解：∵BD是∠ABC的平分线，DE⊥AB于点E，DF⊥BC于点F，
∴DE＝DF＝3．
∴S△ABC＝S△ABD+S△BCD＝＝＝24．
18．解：（1）∵CE平分∠BCD交AB于点E，∠BCD＝70°，
∴∠BCE＝∠DCE＝35°，
∵ED⊥CD于点D，
∴∠CDE＝90°，
∴∠CED＝90°﹣∠DCE＝55°；
（2）过E点作EF∥BC，
∴∠CEF＝∠BCE＝35°，∠AEF＝∠B＝40°，
∴∠DEF＝∠CED﹣∠CEF＝55°﹣35°＝20°，
∴∠AED＝∠AEF﹣∠DEF＝20°，
∵AD∥BC，
∴AD∥EF，
∴∠ADE＝∠DEF＝20°，
∴∠AED＝∠ADE，
∴AD＝AE．
19．（1）解：∵∠A＝50°，
∴∠ABC+∠ACB＝180°﹣∠A＝130°，
∵∠ABC和∠ACB的平分线交于点O，
∴∠OBC＝∠ABC，∠OCB＝∠ACB，
∴∠OBC+∠OCB＝∠ABC+∠ACB＝65°，
∴∠BOC＝180°﹣（∠OBC+∠OCB）＝115°；
（2）证明：过点O作OD⊥BC，OE⊥AB，OF⊥AC，垂足分别为D，E，F，
∵∠ABC和∠ACB的平分线交于点O，OD⊥BC，OE⊥AB，OF⊥AC，
∴OD＝OE，OD＝OF，
∴OE＝OF，
∴OA平分∠BAC；
（3）证明：∵OC平分∠ACB，CP平分∠ACD，
∴∠ACO＝∠ACB，∠ACP＝∠ACD，
∴∠OCP＝∠ACO+∠ACP
＝∠ACB+∠ACD
＝∠BCD
＝×180°
＝90°，
∴OC⊥CP．
20．证明：（1）∵BE⊥AC、CF⊥AB，DE＝DF，
∴AD是∠BAC的平分线，
∴∠FAD＝∠EAD；
（2）∵△ADF与△ADE是直角三角形，DE＝DF，AD＝AD，
∴Rt△ADF≌Rt△ADE（HL），
∴∠ADF＝∠ADE，
∵∠BDF＝∠CDE，
∴∠ADF+∠BDF＝∠ADF+∠CDE，即∠ADB＝∠ADC，
在△ABD和△ACD中，
，
∴△ABD≌△ACD（ASA），
∴BD＝CD．
21．（1）解：∵EF⊥AB，∠AEF＝50°，
∴∠FAE＝90°﹣50°＝40°，
∵∠BAD＝100°，
∴∠CAD＝180°﹣100°﹣40°＝40°；
（2）证明：过点E作EG⊥AD于G，EH⊥BC于H，
∵∠FAE＝∠DAE＝40°，EF⊥BF，EG⊥AD，
∴EF＝EG，
∵BE平分∠ABC，EF⊥BF，EH⊥BC，
∴EF＝EH，
∴EG＝EH，
∵EG⊥AD，EH⊥BC，
∴DE平分∠ADC；
（3）解：∵S△ACD＝15，
∴×AD×EG+×CD×EH＝15，即×4×EG+×8×EG＝15，
解得，EG＝EH＝，
∴EF＝EH＝，
∴△ABE的面积＝×AB×EF＝×7×＝．