高中数学北师大版（2019）必修 第一册：2.4 简单的幂函数 同步练习（含解析）

简单的幂函数
基础全面练　(20分钟　35分)
1．设α∈，则使函数y＝xα的定义域为R且为奇函数的所有α的值为(　　)
A．－1，1，3 B．，1
C．－1，3 D．1，3
【变式训练】
已知幂函数y＝f(x)的图像过点，则f(2)的值为(　　)
A．　 　B．－　 　C．2　 　D．－2
2.下列函数中是奇函数的是(　　)
A．f(x)＝4x4 B．f(x)＝－5x7
C．f(x)＝|x|＋3 D．f(x)＝x＋1
3．已知幂函数f(x)＝(m2－3m＋3)xm＋1为偶函数，则m＝(　　)
A．1 B．2 C．1或2 D．3
4．已知f(x)是偶函数，当x<0时，f(x)＝x(x＋1)，则f(2)＝________．
5．若函数f(x)＝(k－2)x2＋(k－1)x＋3是偶函数，则k＝________，f(x)的递减区间是________．
6．已知函数f(x)＝x2－2|x|.
(1)判断并证明函数的奇偶性．
(2)判断函数f(x)在(－1，0)上的单调性并加以证明．
综合突破练　(30分钟　60分)
一、选择题(每小题5分，共25分)
1．如图，图中曲线是幂函数y＝xα在第一象限的大致图像．已知α取－2，－，，2四个值，则相应于曲线C1，C2，C3，C4的α的值依次为(　　)
A.－2，－，，2 B．2，，－，－2
C．－，－2，2， D．2，，－2，－
2．已知f(x)＝ax7－bx5＋cx3＋2且f(－5)＝m，则f(5)＋f(－5)的值为(　　)
A．4　 B．0　 C．2m　 D．－m＋4
3．已知函数y＝f(x)是偶函数，y＝f(x－2)在[0，2]上是减少的，则(　　)
A．f(－1)B．f(－1)C．f(0)D．f(2)4．设y＝f(x)和y＝g(x)是两个不同的幂函数，集合M＝，则集合M中元素的个数为(　　)
A．1或2或0 B．1或2或3
C．1或2或3或4 D．0或1或2或3
5．若函数f(x)＝(m2－6m＋9)xm2－3m＋1是幂函数且为奇函数，则m的值为(　　)
A．2 B．3 C．4 D．2或4
二、填空题(每小题5分，共15分)
6．已知幂函数f(x)＝xm2－2m－3(m∈Z)为偶函数，且在(0，＋∞)上是减少的，则f(x)的解析式为________.
7．设函数f(x)是定义在R上的奇函数，且y＝f(x)的图像关于直线x＝对称，则f(1)＋f(2)＋f(3)＋f(4)＋f(5)＝________．
8．已知偶函数f(x)在[0，＋∞)上递减，且f(4)＝5，若f(2x＋1)<5，则x的取值范围是________.
三、解答题(每小题10分，共20分)
9．已知函数f(x)是定义在R上的奇函数，当x≥0时，f(x)＝x(1＋x).
(1)求f(x)的解析式；
(2)画出f(x)的图像．
10．已知函数f(x)＝，a∈R，b∈R是定义在(－1，1)上的奇函数，且f＝.
(1)求f(x)的解析式．
(2)判断f(x)在(－1，1)上的单调性，说明理由．
(3)解不等式f(t－1)＋f(t)<0.
创新练
1．设偶函数f(x)满足f(x)＝2x－4(x≥0)，则不等式f(x－2)>0的解集为(　　)
A．{x|x<－2或x>4} B．{x|x<0或x>4}
C．{x|x<0或x>6} D．{x|x<－2或x>2}
2．已知f(x)在[a，b]上是奇函数，且f(x)在[a，b]上的最大值为m，则函数F(x)＝f(x)＋3在[a，b]上的最大值与最小值之和为__________．
【变式训练】
　 　已知f(x)是定义在(－2，2)上的奇函数且在(－2，2)上是减少的，若f(m－1)＋f(1－2m)≥0，求实数m的取值范围．
参考答案：
基础全面练　(20分钟　35分)
1．设α∈，则使函数y＝xα的定义域为R且为奇函数的所有α的值为(　　)
A．－1，1，3 B．，1
C．－1，3 D．1，3
【解析】选D.当α＝－1时，函数的定义域为{x|x≠0}，不满足定义域为R；
当α＝1时，函数y＝xα的定义域为R且为奇函数，满足要求；当α＝时，函数的定义域为{x|x≥0}，不满足定义域为R；当α＝3时，函数y＝xα的定义域为R且为奇函数，满足要求．
【变式训练】
已知幂函数y＝f(x)的图像过点，则f(2)的值为(　　)
A．　 　B．－　 　C．2　 　D．－2
【解析】选A.设幂函数f(x)＝xα，则α＝＝，解得α＝，所以f(x)＝x，所以f(2)＝2＝.
2.下列函数中是奇函数的是(　　)
A．f(x)＝4x4 B．f(x)＝－5x7
C．f(x)＝|x|＋3 D．f(x)＝x＋1
【解析】选B.由奇、偶函数的定义得f(x)＝4x4为偶函数，f(x)＝－5x7为奇函数，f(x)＝|x|＋3为偶函数，f(x)＝x＋1为非奇非偶函数．
3．已知幂函数f(x)＝(m2－3m＋3)xm＋1为偶函数，则m＝(　　)
A．1 B．2 C．1或2 D．3
【解析】选A.因为幂函数f(x)＝(m2－3m＋3)xm＋1为偶函数，所以m2－3m＋3＝1，即m2－3m＋2＝0，解得m＝1或m＝2.当m＝1时，幂函数f(x)＝x2为偶函数，满足条件．当m＝2时，幂函数f(x)＝x3为奇函数，不满足条件．
4．已知f(x)是偶函数，当x<0时，f(x)＝x(x＋1)，则f(2)＝________．
【解析】由偶函数的定义可得：f(2)＝f(－2)＝－2×(－2＋1)＝2.
答案：2
5．若函数f(x)＝(k－2)x2＋(k－1)x＋3是偶函数，则k＝________，f(x)的递减区间是________．
【解析】函数f(x)是偶函数，则根据偶函数的定义可知f(x)＝f(－x)，即(k－2)x2＋(k－1)x＋3＝(k－2)(－x)2＋(k－1)(－x)＋3，化简可得2(k－1)x＝0，故k＝1，代入函数解析式可得f(x)＝－x2＋3，故该二次函数图像开口向下，对称轴为x＝0，所以递减区间为[0，＋∞).
答案：1　[0，＋∞)
6．已知函数f(x)＝x2－2|x|.
(1)判断并证明函数的奇偶性．
(2)判断函数f(x)在(－1，0)上的单调性并加以证明．
【解析】(1)函数f(x)是偶函数．
因为函数f(x)的定义域是R，
f(－x)＝(－x)2－2|－x|＝x2－2|x|＝f(x)，
所以函数f(x)是偶函数．
(2)函数f(x)在(－1，0)上是增加的．
证明：当x∈(－1，0)时，f(x)＝x2＋2x.
设－1＜x1＜x2＜0，则x1－x2＜0，
且x1＋x2＞－2，即x1＋x2＋2＞0.
因为f(x1)－f(x2)＝(x－x)＋2(x1－x2)
＝(x1－x2)(x1＋x2＋2)＜0，
所以f(x1)＜f(x2).
所以函数f(x)在(－1，0)上是增加的．
综合突破练　(30分钟　60分)
一、选择题(每小题5分，共25分)
1．如图，图中曲线是幂函数y＝xα在第一象限的大致图像．已知α取－2，－，，2四个值，则相应于曲线C1，C2，C3，C4的α的值依次为(　　)
A.－2，－，，2 B．2，，－，－2
C．－，－2，2， D．2，，－2，－
【解析】选B.在第一象限内，在直线x＝1的右侧，y＝xα的图像由上到下，指数α由大变小．
2．已知f(x)＝ax7－bx5＋cx3＋2且f(－5)＝m，则f(5)＋f(－5)的值为(　　)
A．4　 B．0　 C．2m　 D．－m＋4
【解析】选A.由已知，得f(x)＋f(－x)＝4，
故f(－5)＋f(5)＝ 4.
3．已知函数y＝f(x)是偶函数，y＝f(x－2)在[0，2]上是减少的，则(　　)
A．f(－1)B．f(－1)C．f(0)D．f(2)【解析】选C.因为y＝f(x－2)在[0，2]上是减少的，令t＝x－2，则t∈[－2，0]，即f(t)在[－2，0]上是减少的．
所以y＝f(x)在[－2，0]上是减少的．
因为函数y＝f(x)是偶函数，所以y＝f(x)在[0，2]上是增加的，因为函数f(－1)＝f(1)，则f(0)4．设y＝f(x)和y＝g(x)是两个不同的幂函数，集合M＝，则集合M中元素的个数为(　　)
A．1或2或0 B．1或2或3
C．1或2或3或4 D．0或1或2或3
【解析】选B.取f(x)＝x，g(x)＝x3，由x＝x3，可得x＝0或x＝1或x＝－1，
故M＝
＝；
取f(x)＝x，g(x)＝x3，
由x＝x3可得x＝0或1，
故M＝＝；
取f(x)＝x－2，g(x)＝x3，由x－2＝x3可得x＝1，故M＝＝.因为对任意幂函数的图像必过(1，1)点，故(1，1)∈M，任意两个幂函数的图像不可能有4个交点，故M中元素的个数为1或2或3.
5．若函数f(x)＝(m2－6m＋9)xm2－3m＋1是幂函数且为奇函数，则m的值为(　　)
A．2 B．3 C．4 D．2或4
【解析】选D.由题意，函数f(x)＝(m2－6m＋9)xm2－3m＋1是幂函数，可得m2－6m＋9＝1，解得m＝2或m＝4.当m＝2时，函数f(x)＝x－1＝，此时函数f(x)为奇函数，满足题意；当m＝4时，函数f(x)＝x5，此时函数f(x)为奇函数，满足题意．
【解题技巧】本题可以直接将选项中的2，3，4代入验证．
二、填空题(每小题5分，共15分)
6．已知幂函数f(x)＝xm2－2m－3(m∈Z)为偶函数，且在(0，＋∞)上是减少的，则f(x)的解析式为________.
【解析】因为f(x)在(0，＋∞)上是减少的，故m2－2m－3<0，所以－1当m＝2时，f(x)＝x－3为奇函数，舍去．
答案：f(x)＝x－4
7．设函数f(x)是定义在R上的奇函数，且y＝f(x)的图像关于直线x＝对称，则f(1)＋f(2)＋f(3)＋f(4)＋f(5)＝________．
【解析】由函数f(x)是R上的奇函数，得f(0)＝0，因为f(x)的图像关于直线x＝对称，
所以f(x)＝f(1－x)，所以f(1)＝f(0)＝0，
f(2)＝f(－1)＝－f(1)＝0，
f(3)＝f(－2)＝－f(2)＝0，
f(4)＝f(－3)＝－f(3)＝0，
f(5)＝f(－4)＝－f(4)＝0，
所以f(1)＋f(2)＋f(3)＋f(4)＋f(5)＝0.
答案：0
8．已知偶函数f(x)在[0，＋∞)上递减，且f(4)＝5，若f(2x＋1)<5，则x的取值范围是________.
【解析】因为f(x)是偶函数，所以f(2x＋1)＝f(|2x＋1|)，又f(x)在[0，＋∞)上递减，且f(4)＝5，所以f(2x＋1)<5等价于f(|2x＋1|)所以|2x＋1|>4，解得x<－或x>，
即x的取值范围为∪.
答案：∪
三、解答题(每小题10分，共20分)
9．已知函数f(x)是定义在R上的奇函数，当x≥0时，f(x)＝x(1＋x).
(1)求f(x)的解析式；
(2)画出f(x)的图像．
【解析】(1)因为x≥0时，f(x)＝x(1＋x)，
所以当x<0时，－x>0，
所以f(－x)＝－x(1－x).
又因为f(x)为奇函数，所以f(－x)＝－f(x)，
所以－f(x)＝－x(1－x)，
所以f(x)＝x(1－x)，
综上f(x)＝
(2)f(x)的图像如图所示．
10．已知函数f(x)＝，a∈R，b∈R是定义在(－1，1)上的奇函数，且f＝.
(1)求f(x)的解析式．
(2)判断f(x)在(－1，1)上的单调性，说明理由．
(3)解不等式f(t－1)＋f(t)<0.
【解析】(1)依题意，得f(0)＝b＝0，f＝＝，得所以f(x)＝.
(2)f(x)在(－1，1)上是增加的，理由如下：
设任意x1，x2∈(－1，1)，且x1＜x2，
则f(x1)－f(x2)＝ eq \f(x1,x＋1) － eq \f(x2,x＋1)
＝ eq \f(（x1－x2）（1－x1x2）,（x＋1）（x＋1）) ，
因为－1所以x1－x2<0，－1所以1－x1x2>0，(x＋1)(x＋1)>0，
所以f(x1)－f(x2)<0，
所以f(x)在(－1，1)上是增加的．
(3)不等式f(t－1)＋f(t)<0
即f(t－1)<－f(t)＝f(－t).
因为f(x)在(－1，1)上是增加的，
所以解得0所以不等式的解集为.
创新练
1．设偶函数f(x)满足f(x)＝2x－4(x≥0)，则不等式f(x－2)>0的解集为(　　)
A．{x|x<－2或x>4} B．{x|x<0或x>4}
C．{x|x<0或x>6} D．{x|x<－2或x>2}
【解析】选B.当x≥0时，令f(x)＝2x－4>0，所以x>2.
又因为函数f(x)为偶函数，
所以f(x)>0的解集为{x|x<－2或x>2}．
将函数y＝f(x)的图象向右平移2个单位长度，即得函数y＝f(x－2)的图象，故f(x－2)>0的解集为{x|x<0或x>4}．
2．已知f(x)在[a，b]上是奇函数，且f(x)在[a，b]上的最大值为m，则函数F(x)＝f(x)＋3在[a，b]上的最大值与最小值之和为__________．
【解析】因为奇函数f(x)在[a，b]上的最大值为m，所以它在[a，b]上的最小值为－m，所以函数F(x)＝f(x)＋3在[a，b]上的最大值与最小值之和为(m＋3)＋(－m＋3)＝6.
答案：6
【变式训练】
　 　已知f(x)是定义在(－2，2)上的奇函数且在(－2，2)上是减少的，若f(m－1)＋f(1－2m)≥0，求实数m的取值范围．
【解析】由题意知解得－PAGE