高中数学北师大版（2019）必修 第一册：二次函数的性质（含解析）

二次函数的性质
基础全面练　(20分钟　35分)
1．函数y＝－2x2＋x在下列哪个区间上，函数值y随x增大而增大(　　)
A．(－∞，2] B．[2，＋∞)
C． D．
2．若函数f(x)＝x2＋2ax＋2在(3，＋∞)上是增加的，则实数a的取值范围是(　　)
A．a＝－3 B．a≥－3
C．a>－3 D．a≤－3
3．已知函数y＝x2－2x＋3在闭区间[0，m]上有最大值3，最小值2，则m的取值范围是(　　)
A．[1，＋∞) B．[0，2]
C．(－∞，2] D．[1，2]
4．已知函数f(x)＝－x2＋4x，x∈的值域是，则实数m的取值范围是________．
5．已知图像开口向上的二次函数f(x)对任意x∈R都满足f(3－x)＝f(x)，若f(x)在区间(a，2a－1)上是减少的，则实数a的取值范围为________．
6．若二次函数满足f(x＋1)－f(x)＝2x，且f(0)＝1.
(1)求f(x)的解析式；
(2)若g(x)＝f(x)－mx在上单调，求实数m的取值范围．
综合突破练　(30分钟　60分)
一、选择题(每小题5分，共25分)
1．设x，y是关于m的方程m2－2am＋a＋6＝0的两个实根，则(x－1)2＋(y－1)2的最小值是(　　)
A．－12　　 B．18　　 C．8　　 D．
2．如图所示为二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图像，则|OA|·|OB|等于(　　)
A. B．－
C．± D．无法确定
3．二次函数f(x)＝－x2＋2tx在[1，＋∞)上的最大值为3，则实数t＝(　　)
A．± B． C．2 D．2或
4．若函数f(x)＝x2＋mx－4m在区间上单调，则实数m的取值范围为(　　)
A．(－∞，－8]∪[2，＋∞)
B．[2，＋∞)
C．(－∞，－8]
D．(－∞，－2]∪[8，＋∞)
5．函数f(x)＝ax2＋2(a－3)x＋1在区间(－2，＋∞)上是减少的，则a的取值范围是(　　)
A．[－3，0] B．(－∞，－3]
C．[－3，0) D．[－2，0]
二、填空题(每小题5分，共15分)
6．已知函数f(x)＝kx2＋2kx＋3(k≠0)在区间[－3，2]上的最大值是6，则实数k的值为________．
7．若函数f(x)＝的定义域为R，则实数m的取值范围是________．
8．已知函数y＝－x2＋ax－在区间上的最大值是，则实数a的值为________．
三、解答题(每小题10分，共20分)
9．某租赁公司拥有汽车100辆，当每辆车的月租金为3 000元时，可全部租出；当每辆车的月租金每增加50元时，未租出的车将会增加一辆．租出的车每辆每月需要维护费150元，未租出的车每辆每月需要维护费50元．
(1)当每辆车的月租金为3 600元时，能租出多少辆车？
(2)当每辆车的月租金为多少元时，租赁公司的月收益最大？最大月收益是多少？
10．已知一元二次函数的最大值为15，其图象的对称轴为x＝1，且与x轴两个交点的横坐标的平方和为7.
(1)求该一元二次函数；
(2)要将该函数图象的顶点平移到原点，请说出平移的方式．
创新练
　已知二次函数f(x)＝(x＋a)(bx＋a)(常数a，b∈R)的图像关于y轴对称，其值域为(－∞，4]，则a＝________，b＝________.
【变式训练】
　 　已知函数f(x)＝x2＋mx＋n的图像过点(1，3)，且f(－1＋x)＝f (－1－x)对任意实数都成立，函数y＝g(x)与y＝f(x)的图像关于原点对称．
(1)求f(x)与g(x)的解析式．
(2)若F(x)＝g(x)－λf(x)在(－1，1]上是增加的，求实数λ的取值范围．
参考答案：
基础全面练　(20分钟　35分)
1．函数y＝－2x2＋x在下列哪个区间上，函数值y随x增大而增大(　　)
A．(－∞，2] B．[2，＋∞)
C． D．
【解析】选D.因为y＝－2x2＋x＝－2＋，所以其在区间上函数值y随x增大而增大．
2．若函数f(x)＝x2＋2ax＋2在(3，＋∞)上是增加的，则实数a的取值范围是(　　)
A．a＝－3 B．a≥－3
C．a>－3 D．a≤－3
【解析】选B.因为f(x)＝x2＋2ax＋2＝(x＋a)2＋2－a2，即函数f(x)的增区间为(－a，＋∞)，减区间为(－∞，－a).又函数f(x)在(3，＋∞)上是增加的，所以(3，＋∞) (－a，＋∞)，即－a≤3，即a≥－3.
3．已知函数y＝x2－2x＋3在闭区间[0，m]上有最大值3，最小值2，则m的取值范围是(　　)
A．[1，＋∞) B．[0，2]
C．(－∞，2] D．[1，2]
【解析】选D.f(x)＝(x－1)2＋2，
因为f(x)最小值＝2，f(x)最大值＝3，且f(1)＝2，
f(0)＝f(2)＝3，所以1≤m≤2.
4．已知函数f(x)＝－x2＋4x，x∈的值域是，则实数m的取值范围是________．
【解析】如图，
二次函数对称轴为x＝2，代入f(x)，得f(2)＝4，当x＝5时，f(5)＝－5，由二次函数的对称性可知，f(－1)＝－5.因为x∈时值域为，所以m∈.
答案：
5．已知图像开口向上的二次函数f(x)对任意x∈R都满足f(3－x)＝f(x)，若f(x)在区间(a，2a－1)上是减少的，则实数a的取值范围为________．
【解析】由题意得函数f(x)的对称轴为直线x＝，且图像开口向上，由f(x)在区间(a，2a－1)上是减少的可知≥2a－1，又a<2a－1，
解得1答案：
6．若二次函数满足f(x＋1)－f(x)＝2x，且f(0)＝1.
(1)求f(x)的解析式；
(2)若g(x)＝f(x)－mx在上单调，求实数m的取值范围．
【解析】(1)设二次函数的解析式为f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)，由f(0)＝1得c＝1，故f(x)＝ax2＋bx＋1.
因为f(x＋1)－f(x)＝2x，所以a(x＋1)2＋b(x＋1)＋1－(ax2＋bx＋1)＝2x，即2ax＋a＋b＝2x，根据系数对应相等得
所以所以f(x)＝x2－x＋1.
(2)因为g(x)＝f(x)－mx＝x2－(1＋m)x＋1的图像关于直线x＝对称，又函数g(x)在上单调，所以≤2或≥4，解得m≤3或m≥7，故实数m的取值范围为(－∞，3]∪[7，＋∞).
综合突破练　(30分钟　60分)
一、选择题(每小题5分，共25分)
1．设x，y是关于m的方程m2－2am＋a＋6＝0的两个实根，则(x－1)2＋(y－1)2的最小值是(　　)
A．－12　　 B．18　　 C．8　　 D．
【解析】选C.由Δ＝(－2a)2－4(a＋6)≥0，
得a≤－2或a≥3.
于是有(x－1)2＋(y－1)2＝x2＋y2－2(x＋y)＋2
＝(x＋y)2－2xy－2(x＋y)＋2
＝(2a)2－2(a＋6)－4a＋2＝4a2－6a－10＝4－.
由此可知，当a＝3时，(x－1)2＋(y－1)2取得最小值8.
2．如图所示为二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图像，则|OA|·|OB|等于(　　)
A. B．－
C．± D．无法确定
【解析】选B.|OA|·|OB|＝|OA·OB|＝|x1x2|＝＝－(因为a＜0，c＞0).
3．二次函数f(x)＝－x2＋2tx在[1，＋∞)上的最大值为3，则实数t＝(　　)
A．± B． C．2 D．2或
【解析】选B.由题意知对称轴为x＝t.
当t≤1时，f(x)＝－x2＋2tx在区间[1，＋∞)上是减少的，所以f(x)max＝f(1)＝2t－1，此时2t－1＝3，解得t＝2，不满足t≤1；当t>1时，f(x)在[1，t]上是增加的，在[t，＋∞)上是减少的，所以f(x)max＝f(t)＝－t2＋2t2＝t2，此时t2＝3，解得t＝±，又t>1，所以t＝.
综上可得t＝.
4．若函数f(x)＝x2＋mx－4m在区间上单调，则实数m的取值范围为(　　)
A．(－∞，－8]∪[2，＋∞)
B．[2，＋∞)
C．(－∞，－8]
D．(－∞，－2]∪[8，＋∞)
【解析】选A.因为函数f(x)＝x2＋mx－4m的对称轴为x＝－，所以x＝－ (－1，4)时，函数f(x)＝x2＋mx－4m在区间上单调．当－≤－1时，m≥2；当－≥4时，m≤－8，
所以实数m的取值范围为(－∞，－8]∪[2，＋∞).
5．函数f(x)＝ax2＋2(a－3)x＋1在区间(－2，＋∞)上是减少的，则a的取值范围是(　　)
A．[－3，0] B．(－∞，－3]
C．[－3，0) D．[－2，0]
【解析】选A.(1)当a＝0时，显然正确．
(2)当a≠0时，f(x)＝ax2＋2(a－3)x＋1在
(－2，＋∞)上是减少的，应满足
解得－3≤a<0.
由(1)(2)可知，a的取值范围是[－3，0].
【误区】本题容易漏掉对二次项系数是否为零，即a＝0的讨论．
二、填空题(每小题5分，共15分)
6．已知函数f(x)＝kx2＋2kx＋3(k≠0)在区间[－3，2]上的最大值是6，则实数k的值为________．
【解析】函数f(x)＝kx2＋2kx＋3的图象对称轴为x＝－1，若k<0，抛物线开口向下，在区间[－3，2]上的最大值是f(－1)＝k－2k＋3＝6，得k＝－3；若k>0，抛物线开口向上，在区间[－3，2]上的最大值是f(2)＝4k＋4k＋3＝6，得k＝.
答案：－3或
7．若函数f(x)＝的定义域为R，则实数m的取值范围是________．
【解析】因为函数f(x)＝的定义域是R，所以mx2＋mx＋1≥0的解集为R，所以m＝0或解得m＝0或0答案：
8．已知函数y＝－x2＋ax－在区间上的最大值是，则实数a的值为________．
【解析】因为y＝f(x)＝－2＋(a2－a)，对称轴为x＝.
(1)当0≤≤1，即0≤a≤2时，f(x)max＝(a2－a)，由(a2－a)＝，解得a＝－2或a＝3与0≤a≤2矛盾，不符合要求．
(2)当<0，即a<0时，f(x)在上递减，所以f(x)max＝f(0)，由f(0)＝得－＝，解得a＝－6.
(3)当>1，即a>2时，f(x)在上递增，所以f(x)max＝f(1)，由f(1)＝得－1＋a－＝解得a＝.综上可知a＝－6或.
答案：－6或
三、解答题(每小题10分，共20分)
9．某租赁公司拥有汽车100辆，当每辆车的月租金为3 000元时，可全部租出；当每辆车的月租金每增加50元时，未租出的车将会增加一辆．租出的车每辆每月需要维护费150元，未租出的车每辆每月需要维护费50元．
(1)当每辆车的月租金为3 600元时，能租出多少辆车？
(2)当每辆车的月租金为多少元时，租赁公司的月收益最大？最大月收益是多少？
【解析】(1)当每辆车的月租金为3 600元时，未租出的车辆数为＝12，所以这时租出了88辆车．
(2)设每辆车的月租金为x(x≥3 000)元，则租赁公司的月收益为f(x)＝(x－150)－×50，
整理得f(x)＝－＋162x－21 000
＝－(x－4 050)2＋307 050.
所以，当x＝4 050时，f(x)最大，最大值为f(4 050)＝307 050.即当每辆车的月租金为4 050元时，租赁公司的月收益最大，最大月收益为307 050元．
10．已知一元二次函数的最大值为15，其图象的对称轴为x＝1，且与x轴两个交点的横坐标的平方和为7.
(1)求该一元二次函数；
(2)要将该函数图象的顶点平移到原点，请说出平移的方式．
【解析】(1)二次函数的顶点为(1，15)，设函数为y＝a(x－1)2＋15，即y＝ax2－2ax＋a＋15.
设图象与x轴两个交点的横坐标为x1，x2，即方程ax2－2ax＋a＋15＝0的两根，由韦达定理x1＋x2＝2，x1x2＝，又由x＋x＝7，即(x1＋x2)2－2x1x2＝7，解得a＝－6，所以二次函数为y＝－6(x－1)2＋15，即y＝－6x2＋12x＋9.
(2)y＝－6(x－1)2＋15的图象
y＝－6x2＋15的图象
y＝－6x2的图象．
创新练
　已知二次函数f(x)＝(x＋a)(bx＋a)(常数a，b∈R)的图像关于y轴对称，其值域为(－∞，4]，则a＝________，b＝________.
【解析】f(x)＝(x＋a)(bx＋a)＝bx2＋a(b＋1)x＋a2，依题意f(x)为偶函数．
f(x)图像的对称轴为x＝－＝0，
所以b＝－1或a＝0，
当b＝－1时，f(x)＝－x2＋a2，顶点为(0，a2).
因为f(x)的值域为(－∞，4]，
所以a2＝4，所以a＝±2.
当a＝0时，f(x)＝bx2与题意不符合．
答案：±2　－1
【变式训练】
　 　已知函数f(x)＝x2＋mx＋n的图像过点(1，3)，且f(－1＋x)＝f (－1－x)对任意实数都成立，函数y＝g(x)与y＝f(x)的图像关于原点对称．
(1)求f(x)与g(x)的解析式．
(2)若F(x)＝g(x)－λf(x)在(－1，1]上是增加的，求实数λ的取值范围．
【解析】(1)因为f(－1＋x)＝f(－1－x)，
所以对称轴为x＝－1＝－，即m＝2.
又f(x)的图像过点(1，3)，
所以3＝12＋m＋n，即m＋n＝2，
所以n＝0，所以f(x)＝x2＋2x，又y＝g(x)与y＝f(x)的图像关于原点对称，
所以－g(x)＝(－x)2＋2×(－x)，
所以g(x)＝－x2＋2x.
(2)因为F(x)＝g(x)－λf(x)＝－(1＋λ)x2＋(2－2λ)x，当λ＋1≠0时，
F(x)的对称轴为x＝＝，
　又因为F(x)在(－1，1]上是增加的．
所以或
所以λ<－1或－1<λ≤0；
　当λ＋1＝0，即λ＝－1时，F(x)＝4x显然在(－1，1]上是增加的．综上所述，λ的取值范围为(－∞，0].
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