24.1.3弧、弦、圆心角 课件（共22张PPT）

(共22张PPT)
24.1.3弧、弦、圆心角
人教版 九年级上册
教学目标
教学目标：
1. 理解圆心角的概念，掌握圆的中心对称性和旋转不变性.
2. 探索圆心角、弧、弦之间关系定理并利用其解决相关问题.
3. 理解圆心角、弧、弦之间关系定理中的“在同圆或等圆”条件的意义.
新知导入
你能举出生活中的圆形商标的实例吗？
把这些圆形图案绕圆心旋转一定的角度，你有什么发现？
旋转前后圆中的弧、弦会有变化吗？
图案绕圆心旋转一定的角度后能与自身重合，旋转前后圆中的弧、弦不会有变化．
新知讲解
圆是中心对称图形
.
O
A
B
180°
1.将圆绕圆心旋转180°后，得到的图形与原图形重合吗？由此你得到什么结论呢？
新知讲解
2.把圆绕圆心旋转任意一个角度呢？仍与原来的圆重合吗？
O
α
圆是旋转对称图形，具有旋转不变性.
·
新知讲解
·
O
B
A
·
O
B
A
观察在⊙O 中，这些角有什么共同特点？
圆心角：我们把顶点在圆心的角叫做圆心角.
∠AOB为圆心角
圆心角∠AOB所对的弦为AB，所对的弧为AB.
⌒
顶点在圆心上
判别下列各图中的角是不是圆心角，并说明理由.
①
②
③
④
顶点在圆内，但不是圆心，不是圆心角
顶点在圆外，不是圆心角
顶点在圆周上，不是圆心角
圆心角
针对训练
新知讲解
在⊙O中，如果∠AOB= ∠COD，那么，AB与CD，弦AB与弦CD有怎样的数量关系呢？
(
(
C
·
O
A
B
D
由圆的旋转不变性，我们发现：
在⊙O中，如果∠AOB= ∠COD，
那么， ，弦AB=弦CD
若∠AOB和∠A′OB′分别在两个相等的圆中，上述等量关系还存在吗？
新知讲解
·
O
A
B
如图，在等圆中，如果∠AOB＝∠A ′ O ′ B ′ ，你发现的等量关系是否依然成立？为什么？
【结论】通过平移和旋转将两个等圆变成同一个圆，我们发现：如果∠AOB=∠COD，那么，AB=CD，弦AB=弦CD.
⌒
⌒
·
O′
A′
B′
新知讲解
在同圆或等圆中，如果圆心角相等，那么它们所对的弧相等，所对的弦相等．
①∠AOB=∠COD
②AB=CD
⌒ ⌒
③AB=CD
A
B
O
D
C
弧、弦与圆心角的关系定理
新知讲解
在同一个圆中，如果弧相等，那么它们所对的圆心角相等，所对的弦相等．
弧、弦与圆心角关系定理的推论
在同一个圆中，如果弦相等，那么它们所对的圆心角相等，所对的弧相等．
A
B
O
D
C
新知讲解
【思考】定理“在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等．”中，可否把条件“在同圆或等圆中”去掉？为什么？
不可以，如图.
A
B
O
D
C
新知讲解
如果弧相等
那么
弧所对的圆心角相等
弧所对的弦相等
如果弦相等
那么
弦所对应的圆心角相等
弦所对应的优弧相等
弦所对应的劣弧相等
如果圆心角相等
那么
圆心角所对的弧相等
圆心角所对的弦相等
在同圆或等圆中
题设
结论
如图，AB、CD是⊙O的两条弦.
（1）如果AB=CD，那么 ， .
（2）如果 ，那么 ， .
（3）如果∠AOB=∠COD，那么 ， .
（4）如果AB=CD，OE⊥AB，OF⊥CD， OE与OF相
等吗？为什么？
O
C
D
F
A
B
E
∠AOB=∠COD
AB=CD
∠AOB=∠COD
AB=CD
相等.
针对训练
新知讲解
证明：
∴ AB=AC．△ABC是等腰三角形.
又∠ACB=60°，
∴ △ABC是等边三角形 , AB=BC=CA.
∴ ∠AOB＝∠BOC＝∠AOC.
·
A
B
C
O
例3 如图，在⊙O中， AB=AC ,∠ACB=60°,
求证：∠AOB=∠BOC=∠AOC.
⌒ ⌒
∵AB=AC，
⌒ ⌒
课堂练习
1．如果两个圆心角相等，那么（ ）
A．这两个圆心角所对的弦相等
B．这两个圆心角所对的弧相等
C．这两个圆心角所对的弦的弦心距相等
D．以上说法都不对
2.弦长等于半径的弦所对的圆心角等于 　 .
D
60 °
3.在同圆中，圆心角∠AOB=2∠COD,则AB与CD的关系是（ ）
⌒ ⌒
A
A. AB=2CD
⌒ ⌒
B. AB>CD
⌒ ⌒
C. AB⌒ ⌒
D. 不能确定
课堂练习
4．如图，在⊙O中，已知弦AB＝DE，OC⊥AB，OF⊥DE，垂足分别为C，F，则下列说法中正确的有(　　)
①∠DOE＝∠AOB；②AB＝DE；③OF＝OC；④AC＝EF
A．1个　　　 　B．2个　　　 　C．3个　　　　D．4个
(
(
D
5. 如图，A,B是⊙O上的两点，∠AOB=120°，C是AB的中点，求证：四边形OACB是菱形.
⌒
证明：∵C是AB的中点，
∴AC=BC，∴AC=BC,
∠AOC=∠BOC= ∠AOB=60°.
又∵OA=OC=OB,
∴△AOC与△BOC是等边三角形. ∴∠A=60°.
又∠AOB=120°, ∴AC∥OB.
∵AC=OC=OB,∴四边形OACB是平行四边形.
又OA=AC,∴四边形OACB是菱形.
⌒
⌒
⌒
课堂练习
6.如图,在△AOB中,AO=AB,以点O为圆心,OB为半径的圆交AB于点D,交AO于点E,AD=OB.试说明BD=DE ,并求∠A的度数.
⌒
⌒
解:连接OD,如图所示,设∠A=x,
∵AD=OB,∴DO=DA,
∴∠DOA=x,
∴∠BDO=2x,
∴∠B=2x,又∵AO=AB,
∴∠BOE=∠B=2x,
∴∠BOD=2x-x=x=∠DOE,
∴ BD=DE.在△OBD中,x+2x+2x=180°,
∴x=36°,即∠A=36°.
⌒
⌒
课堂练习
弧、弦与圆心角的关系定理
圆心角
相等
弧
相等
弦
相等
1、在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等．
2、在同圆或等圆中，相等的弧所对的圆心角相等， 所对的弦相等；
3、在同圆或等圆中，相等的弦所对的圆心角相等，所对的弧相等．
在同圆或等圆中，两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，它们所对应的其余各组量也相等．
课堂总结
谢谢
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