24.1.2垂直于弦的直径 课件（共22张PPT）

(共22张PPT)
24.1.2垂直于弦的直径
人教版 九年级上册
教学目标
教学目标：
1. 进一步认识圆，了解圆是轴对称图形.
2. 理解垂直于弦的直径的性质和推论，并能应用它解决一些简单的计算、证明和作图问题.
3. 灵活运用垂径定理解决有关圆的问题.
新知导入
　 把一个圆沿着它的任意一条直径对折，重复几次，你发现了什么？由此你能得到什么结论？
圆是轴对称图形，任何一条直径所在直线都是它的对称轴．　
新知讲解
思考：
（1）圆是轴对称图形吗？如果是，它的对称轴是什么？你能找到多少条对称轴？
圆的对称性
圆是轴对称图形，任意一条直径所在直线都是圆的对称轴.
●O
（2）如何来证明圆是轴对称图形呢？
新知讲解
证明：如图，设CD是⊙O的任意一条直径，A为⊙O上点C,D以外的任意 一点.过点A作AA′⊥CD，交⊙O于点A′，垂足为M，连接OA，OA′.
在△OAA′中，∵OA=OA′,
∴△OAA′是等腰三角形.
又AA′⊥CD，∴AM=MA′.
即CD是AA′的垂直平分线.
这就是说，对于圆上任意一点A，在圆上都有关于直线CD的对称点A′，
因此⊙O关于直线CD对称.
即圆是轴对称图形，任何一条直径所在直线都是圆的对称轴.
新知讲解
如图，AB是⊙O的一条弦, 直径CD⊥AB, 垂足为E.你能发现图中有哪些相
等的线段和劣弧 为什么
线段: AE=BE
弧: AC=BC, AD=BD
⌒
⌒
⌒
⌒
理由：
把圆沿着直径CD折叠时，CD两侧的两个半圆重合，点A与点B重合，AE与BE重合，AC和BC,AD与BD重合．
⌒
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⌒
⌒
·
O
A
B
D
E
C
新知讲解
·
O
A
B
C
D
E
∴ AE=BE,
⌒
⌒
AC =BC,
⌒
⌒
AD =BD.
温馨提示：垂径定理是圆中一个重要的定理,三种语言要相互转化,形成整体,才能运用自如.
垂径定理：
垂直于弦的直径平分弦,并且平分弦所对的两条弧.
∵ CD是直径，CD⊥AB，
推导格式：
新知讲解
思考：“不是直径”这个条件能去掉吗？
如不能，请举出反例.
平分弦（不是直径）的直径垂直于弦,并且平分弦所对的两条弧.
垂径定理的推论：
·
O
A
B
C
D
特别说明：圆的两条直径是互相平分的.
方法总结
“知二推三”
(1)垂直于弦
(2)过圆心
(3)平分弦
(4)平分弦所对的优弧
(5)平分弦所对的劣弧
注意:当具备了(1)(3)时,应对另一 条弦增加”不是直径”的限制.
温馨提示：垂径定理是圆中一个重要的定理,几种条件要相互转化,形成整体,才能运用自如.
新知讲解
垂 径 定 理 的 几 个 基 本 图 形
新知讲解
例2 赵州桥是我国隋代建造的石拱桥，距今约有1400年的历史，是我国古代人民勤劳与智慧的结晶.它的主桥拱是圆弧形，它的跨度（弧所对的弦的长）为37m，拱高(弧的中点到弦的距离)为7.23m. 求赵州桥主桥拱的半径(结果保留小数点后一位).
新知讲解
R2=18.52+（R-7.23）2.
由题意，可知AB=37m，CD=7.23m，
解：过点O作OC⊥AB，连接OA. 如图，设赵州桥主桥拱的半径为R m.
则AD=18.5m，OD=R-7.23
解得R≈27.3.
因此，赵州桥的主桥拱半径约为27.3 m.
A
C
B
D
O
37
18.5
R
R-7.23
7.23
在Rt△OAD中，由勾股定理得
方法总结
在圆中有关弦长a,半径r, 弦心距d（圆心到弦的距离），弓形高h的计算题时，常常通过连半径或作弦心距构造直角三角形，利用垂径定理和勾股定理求解.
涉及垂径定理时辅助线的添加方法
A
B
C
D
O
h
r
d
O
A
B
C
·
1．下列说法正确的是( )
A．垂直于弦的直线平分所对的两条弧
B．平分弦的直径垂直于弦
C．垂直于直径的弦平分这条直径
D．弦的垂直平分线经过圆心
D
课堂练习
2．如图，AB是⊙O的弦，半径OC⊥AB于点D，若⊙O的半径为5，AB＝8，则CD的长是( )
A．2 B．3 C．4 D．5
A
课堂练习
课堂练习
3. 已知⊙O中，弦AB=8cm，圆心到AB的距离为3cm，则此圆的半径为 .
5cm
4. ⊙O的直径AB=20cm, ∠BAC=30°则弦AC= .
10
课堂练习
5．已知弓形的弦长为6 cm，弓形的高为2 cm，则这个弓形所在的圆的半径为 cm.
6．如图，AB为⊙O的直径，E是 的中点，OE交BC于点D，BD＝3，AB＝10，则AC＝____．
8
课堂练习
7.已知：如图，在以O为圆心的两个同心圆中，大圆的弦AB交小圆于C，D两点。你认为AC和BD有什么关系？为什么？
.
A
C
D
B
O
E
证明：过O作OE⊥AB，垂足为E，
则AE＝BE，CE＝DE。
∴ AE－CE＝BE－DE
即 AC＝BD.
注意：解决有关弦的问题，常过圆心作弦的弦心距，或作垂直于弦的直径，它是一种常用辅助线的添法．
课堂练习
8.如图，⊙O的弦AB＝8cm ，直径CE⊥AB于D，DC＝2cm，求半径OC的长.
解：连接OA，
∵ CE⊥AB于D，
∴
设OC=x cm，则OD= x-2,根据勾股定理，得
解得 x=5，
即半径OC的长为5cm.
x2=42+(x-2)2，
课堂总结
垂径定理
内容
推论
辅助线
一条直线满足:①过圆心;②垂直于弦; ③平分弦（不是直径）; ④平分弦所对的优弧;⑤平分弦所对的劣弧.满足其中两个条件就可以推出其他三个结论（“知二推三”）
垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧
两条辅助线：连半径，作弦心距
构造直角三角形，利用勾股定理计算或建立方程.
基本图形及变式图形
谢谢
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