24.3正多边形和圆 课件（共27张PPT）

(共27张PPT)
24.3正多边形和圆
人教版 九年级上册
教学目标
教学目标：
1.使学生理解正多边形概念，了解依次连结圆的n等分点所得的多边形是正多边形；过圆的n等分点作圆的切线，以相邻切线的交点为顶点的多边形是正多边形.
2.通过正多边形定义教学培养学生归纳能力：通过正多边形与圆关系定理的教学培养学生观察、猜想、推理、迁移能力.
3.向学生渗透“特殊——一般”再“一般——特殊”的唯物辩证法思想.
新知导入
问题1： 观察下面多边形，它们的边、角有什么特点？
特点：
各边相等，各内角都相等的多边形.
观察与思考：
新知导入
问题2： 观看大屏幕上这些美丽的图案,都是在日常生活中我们经常能看到的.你能从这些图案中找出类似的图形吗
新知讲解
正多边形的概念：
各边相等、各角也相等的多边形叫做正多边形.
矩形是正多边形吗？为什么？菱形是正多边形吗？为什么？
不是，因为矩形不符合各边相等；
不是，因为菱形不符合各角相等；
正多边形
各边相等
各角相等
缺一不可
新知讲解
正三角形、正四边形、正五边形、正六边形都是轴对称图形吗？都是中心对称图形吗？
新知讲解
正三角形、正四边形、正五边形、正六边形都是轴对称图形吗？都是中心对称图形吗？
正n边形都是轴对称图形，都有n条对称轴，只有边数为偶数的正多边形既是轴对称图形又是中心对称图形.
C
A
B
D
E
正多边形和圆的关系非常密切，把一个圆分成相等的一些弧，就可以作出这个圆的内接正多边形，这个圆就是这个正多边形的外接圆.
新知讲解
⌒
⌒
⌒
1
2
3
A
B
C
D
E
4
⌒
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5
证明：∵AB=BC=CD=DE=EA
∴AB=BC=CD=DE=EA
∵BCE=CDA=3AB
∴∠1=∠2
同理∠2=∠3=∠4=∠5
又∵顶点A、B、C、D、E都在⊙O上，
∴五边形ABCDE是⊙O的内接正五边形.
⊙O是五边形ABCDE的外接圆.
⌒
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⌒
新知讲解
新知讲解
O
A
B
C
D
E
F
G
H
R
r
正多边形的外接圆和内切圆的公共圆心，叫作正多边形的中心.
外接圆的半径叫作正多边形的半径.
内切圆的半径叫作正多边形的边心距.
正多边形每一条边所对的圆心角，叫做正多边形的中心角.正多边形的每个中心角都等于
新知讲解
如图，已知半径为4的圆内接正六边形ABCDEF：
①它的中心角等于 度 ；
② OC BC (填＞、＜或＝）；
③△OBC是 三角形；
④圆内接正六边形的面积是
△OBC面积的 倍.
⑤圆内接正n边形面积公式:___________________________________.
C
D
O
B
E
F
A
P
60
=
等边
6
正多边形的有关计算
新知讲解
例 如图，有一个亭子，它的地基是半径为4 m的正六边形，求地基的周长和面积（结果保留小数点后一位）.
新知讲解
因此，亭子地基的周长
l=6×4=24（m）
解：如图，连接OB，OC.因为六边形ABCDEF是正六边形，所
以它的中心角等于 =60°，△OBC是等边三角形，从而
正六边形的边长等于它的半径.
新知讲解
作OP⊥BC,垂足为P.
在Rt△OPC中，OC=4 m，
PC= =2（m）
利用勾股定理，可得边心距
r=
亭子地基的面积S=
P
新知讲解
2.作边心距，构造直角三角形.
1.连半径，得中心角；
O
A
B
C
D
E
F
R
M
r
·
圆内接正多边形的辅助线
O
边心距r
边长一半
半径R
C
M
中心角一半
新知讲解
由于正多边形在生产、生活实际中有广泛的应用性，
所以会画正多边形应是学生必备能力之一.
怎样画一个正多边形呢？
已知⊙O的半径为2cm，求作圆的内接正三角形.
120 °
①用量角器度量，使∠AOB=∠BOC=∠COA=120°．
②用量角器或30°角的三角板度量，使∠BAO=∠CAO=30°．
A
O
C
B
新知讲解
对于一些特殊的正多边形，还可以用圆规和直尺来作图.
例如，我们也可以这样来作正六边形.由于正六边形的边长等于半径，所以在半径为R的圆上依次截取等于R的弦，就可以把圆六等分，顺次连接各分点即可得到半径为R的正六边形.
新知讲解
对于一些特殊的正多边形，还可以用圆规和直尺来作图.
再如，用直尺和圆规作两条互相垂直的直径，就可以把圆四等分，从而作出正方形.
新知讲解
用量角器等分圆：
由于同圆中相等的圆心角所对的弧相等，因此作相等的圆心角可以等分圆周，从而得到正多边形．采用“先用量角器画一个 的圆心角，然后在圆上依次截取这个圆心角所对弧的等弧”.这种方法简便，且可以画任意正多边形、误差小．
用尺规等分圆：
用尺规作图的方法等分圆周，然后依次连接圆上各分点得到正多边形，这种方法有局限性，不是任意正多边形都能用此法作图，这种方法从理论上讲是一种准确方法．
课堂练习
1.下列圆的内接正多边形中，一条边所对的圆心角最大的图形是( )
A.正三角形 B.正方形
C.正五边形 D.正六边形
A
2.已知圆的半径是2则该圆的内接正六边形的面积是( )
A.3 B.9 C.18 D.36
C
课堂练习
3．正三角形的边心距、半径和高的比为(　　)
　A．1∶2∶　　　　　 　B．1: :3
　C．1∶ ∶　 D．1∶2：3
4．如图，正六边形的内切圆的半径OD＝ cm，则它的中心角∠AOB＝____，边长AB＝____cm，正六边形的面积S＝ cm2.
D
60°
2
课堂练习
5.如图，四边形ABCD是⊙O的内接正方形，若正方形的面积等于4，求⊙O的面积．
解：∵正方形的面积等于4，
则半径为AB·sin45°=
∴⊙O的面积为
∴正方形的边长AB=2.
课堂练习
解：(1) 正多边形必有外接圆，作出正五边形的外接圆☉O，如图，
则所对的圆心角的度数均为,
∵∠EAC的度数等于所对的圆心角的度数的一半，
∴∠EAC= .
同理∠AED= .
∴∠EAC+∠AED=180°，∴AC//ED.
6.如图，正五边形ABCDE的对角线AC和BE相交于点M.
求证：(1) AC//ED；(2) ME=AE.
课堂练习
(2) 由(1)知，所对的圆心角的度数为72°,
∴∠AEB= =36°.
又由(1)知∠EAC=72°，
∴∠EMA= 180°-∠AEB-∠EAC=72°,
∴∠EAM=∠EMA，
∴ME=AE.
6.如图，正五边形ABCDE的对角线AC和BE相交于点M.
求证：(1) AC//ED；(2) ME=AE.
课堂小结
正多边形的性质
正多边形的
有关概念
正多边形的
有关计算
添加辅助线的方法：
连半径，作边心距
中心
半径
边心距
中心角
正多边形的对称性
谢谢
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