高中数学北师大版（2019）必修第一册第五章 函数应用：5.2实际问题的函数建模 同步练习（含解析）

实际问题的函数建模
基础全面练　(15分钟　30分)
1．某种动物繁殖数量y(只)与时间x(年)的关系为y＝alog2(x＋1)，设这种动物第一年有100只，到第7年它们发展到(　　)
A．300只 B．400只 C．500只 D．600只
2．据调查，某自行车存车处在某星期日的存车量为2 000辆次，其中变速车存车费是每辆每次0.8元，普通车存车费是每辆每次0.5元，若普通车存车数为x辆次，存车费总收入为y元，则y关于x的函数关系式是(　　)
A．y＝0.3x＋800(0≤x≤2 000)
B．y＝0.3x＋1 600(0≤x≤2 000)
C．y＝－0.3x＋800(0≤x≤2 000)
D．y＝－0.3x＋1 600(0≤x≤2 000)
3．在某个物理实验中，测得变量x和变量y的几组数据，如表：
x 0.50 0.99 2.01 3.98
y －0.99 0.01 0.98 2.00
则对x，y最适合的拟合函数是(　　)
A．y＝2x　　　　　　　 B．y＝x2－1
C．y＝2x－2 D．y＝log2x
4．候鸟每年都要随季节的变化进行大规模的迁徙．研究某种鸟类的专家发现，该种鸟类的飞行速度v(单位：m/s)与其耗氧量Q之间的关系为v＝a＋log2(其中a是实数).据统计，该种鸟类在静止的时候其耗氧量为20个单位，若这种鸟类为赶路程，飞行的速度不能低于2 m/s，其耗氧量至少需要________个单位．
5．为弘扬中华传统文化，学校课外阅读兴趣小组进行每日一小时的“经典名著”和“古诗词”的阅读活动.根据调查，小明同学阅读两类读物的阅读量统计如下：
小明阅读“经典名著”的阅读量f(t)(单位：字)与时间t(单位：分钟)满足二次函数关系，部分数据如表所示．
t 0 10 20 30
f(t) 0 2 700 5 200 7 500
阅读“古诗词”的阅读量g(t)(单位：字)与时间t(单位：分钟)满足如图所示的关系．
(1)请分别写出函数f和g的解析式；
(2)在每天的一小时课外阅读活动中，小明如何分配“经典名著”和“古诗词”的阅读时间，使每天的阅读量最大，最大值是多少？
综合突破练　(30分钟　60分)
一、选择题(每小题5分，共25分)
1．一种药在病人血液中的含量保持1 500 mg以上才有效，而低于500 mg病人就有危险．现给某病人注射了这种药2 500 mg，如果药在血液中以每小时20%的比例衰减，为了充分发挥药物的利用价值，那么从现在起经过________小时向病人的血液补充这种药，才能保持疗效．(附：lg 2＝0.301，lg 3＝0.4771，答案采取四舍五入精确到0.1 h)(　　)
A．2.3小时 B．3.5小时
C．5.6小时 D．8.8小时
2．已知A，B两地相距150千米，某人开汽车以60千米/小时的速度从A地到达B地，在B地停留1小时后再以50千米/小时的速度返回A地，把汽车离开A地的距离x表示为时间t的函数，解析式是(　　)
A．x＝60t
B．x＝60t＋50t
C．x＝
D．x＝
3．今有一组试验数据如表所示：
t 1.99 3.0 4.0 5.1 6.12
u 1.5 4.04 7.5 12 18.01
则能体现这些数据关系的函数模型是(　　)
A．u＝log2t B．u＝2t－2
C．u＝ D．u＝2t－2
4．某企业2018年全年投入研发资金150万元，为激励创新，该企业计划今后每年投入的研发资金比上年增长8%，则该企业全年投入的研发资金开始超过200万元的年份是(　　)
(参考数据：lg 1.08≈0.033，lg 2≈0.301，lg 3≈0.477)
A．2020 B．2021 C．2022 D．2023
5．某城市对一种售价为每件160元的电子产品征收附加税，税率为R%(即每销售100元征税R元)，若年销售量为万件，要使附加税不少于128万元，则R的取值范围是(　　)
A．[4，8] B．[6，10]
C．[4%，8%] D．[6%，10%]
二、填空题(每小题5分，共15分)
6．某学校开展研究性学习活动，一组同学获得了下面的一组试验数据：
x 1.99 3 4 5.1 8
y 0.99 1.58 2.01 2.35 3.00
现有如下5个模拟函数：①y＝0.58x－0.16；②y＝2x－3.02；③y＝x2－5.5x＋8；④y＝log2x；⑤y＝＋1.74
请从中选择一个模拟函数，使它能近似地反映这些数据的规律，应选________(填序号).
7．在不考虑空气阻力的情况下，火箭的最大速度v(米/秒)和燃料的质量M(千克)、火箭(除燃料外)的质量m(千克)的函数关系式是v＝2 000·ln .当燃料质量是火箭质量的________倍时，火箭的最大速度可达12千米/秒．
8．一个驾驶员喝了少量酒后，血液中的酒精含量迅速上升到0.3 mg/mL，在停止喝酒后，血液中的酒精含量以每小时25%的速度减少．为了保障交通安全，规定驾驶员血液中的酒精含量不得超过0.09 mg/mL，那么这个驾驶员至少要经过______小时才能开车．(精确到1小时，参考数据lg 2≈0.30，lg 3≈0.48).
三、解答题(每小题10分，共20分)
9．某种商品的销售价格会因诸多因素而上下浮动，经过调研得知：2019年9月份第x(1≤x≤30，x∈N＋)天的单件销售价格(单位：元)f(x)＝第x天的销售量(单位：件)g(x)＝m－x(m为常数)，且第20天该商品的销售收入为600元(销售收入＝销售价格×销售量).
(1)求m的值．
(2)该月第几天的销售收入最高？最高为多少？
10．一块形状为直角三角形的铁皮，直角边长分别是40 cm与60 cm，现在将它剪成一个矩形，并以此三角形的直角为矩形的一个角，问怎样剪才能使剩下的残料最少？并求出此时残料的面积．
参考答案：
基础全面练　(15分钟　30分)
1．某种动物繁殖数量y(只)与时间x(年)的关系为y＝alog2(x＋1)，设这种动物第一年有100只，到第7年它们发展到(　　)
A．300只 B．400只 C．500只 D．600只
【解析】选A.由题意得100＝alog2(1＋1)，所以a＝100，所以y＝100log2(x＋1).当x＝7时，y＝100log2(7＋1)＝300.
2．据调查，某自行车存车处在某星期日的存车量为2 000辆次，其中变速车存车费是每辆每次0.8元，普通车存车费是每辆每次0.5元，若普通车存车数为x辆次，存车费总收入为y元，则y关于x的函数关系式是(　　)
A．y＝0.3x＋800(0≤x≤2 000)
B．y＝0.3x＋1 600(0≤x≤2 000)
C．y＝－0.3x＋800(0≤x≤2 000)
D．y＝－0.3x＋1 600(0≤x≤2 000)
【解析】选D.由题意知，变速车存车数为(2 000－x)辆次，则总收入y＝0.5x＋
(2 000－x)×0.8＝－0.3x＋1 600(0≤x≤2 000).
3．在某个物理实验中，测得变量x和变量y的几组数据，如表：
x 0.50 0.99 2.01 3.98
y －0.99 0.01 0.98 2.00
则对x，y最适合的拟合函数是(　　)
A．y＝2x　　　　　　　 B．y＝x2－1
C．y＝2x－2 D．y＝log2x
【解析】选D.根据x＝0.50，y＝－0.99，代入计算，可以排除A；根据x＝2.01，y＝0.98，代入计算，可以排除B，C；将各数据代入函数y＝log2x，可知满足题意．
4．候鸟每年都要随季节的变化进行大规模的迁徙．研究某种鸟类的专家发现，该种鸟类的飞行速度v(单位：m/s)与其耗氧量Q之间的关系为v＝a＋log2(其中a是实数).据统计，该种鸟类在静止的时候其耗氧量为20个单位，若这种鸟类为赶路程，飞行的速度不能低于2 m/s，其耗氧量至少需要________个单位．
【解析】由题意a＋log2＝0，a＝－1，
即v＝－1＋log2，
由－1＋log2≥2，解得Q≥80.
答案：80
5．为弘扬中华传统文化，学校课外阅读兴趣小组进行每日一小时的“经典名著”和“古诗词”的阅读活动.根据调查，小明同学阅读两类读物的阅读量统计如下：
小明阅读“经典名著”的阅读量f(t)(单位：字)与时间t(单位：分钟)满足二次函数关系，部分数据如表所示．
t 0 10 20 30
f(t) 0 2 700 5 200 7 500
阅读“古诗词”的阅读量g(t)(单位：字)与时间t(单位：分钟)满足如图所示的关系．
(1)请分别写出函数f和g的解析式；
(2)在每天的一小时课外阅读活动中，小明如何分配“经典名著”和“古诗词”的阅读时间，使每天的阅读量最大，最大值是多少？
【解析】(1)因为f(0)＝0，
所以可设f(t)＝at2＋bt，
代入(10，2 700)与(30，7 500)，
解得a＝－1，b＝280.
所以f＝－t2＋280t ，
又令g＝kt，(0≤t<40)，
代入(40，8 000)，解得k＝200，令g＝mt＋n(40≤t≤60)，代入(40，8 000)，(60，11 000)，
解得m＝150，n＝2 000，
所以g＝
(2)设h(t)为小明的总阅读量，小明对“经典名著”的阅读时间为t，则对“古诗词”的阅读时间为60－t，
当0≤60－t<40，即20＝－t2＋80t＋12 000＝－2＋13 600，
所以当t＝40时，h有最大值13 600.
当40≤60－t≤60，即0≤t≤20时，h＝f＋g＝－t2＋280t＋150＋2 000＝－t2＋130t＋11 000，因为h的对称轴方程为t＝65，所以当0≤t≤20时，h(t)是增加的，
所以当t＝20时，h有最大值为13 200.
因为13 600>13 200，所以总阅读量h的最大值为13 600，此时对“经典名著”的阅读时间为40分钟，对“古诗词”的阅读时间为20分钟．
综合突破练　(30分钟　60分)
一、选择题(每小题5分，共25分)
1．一种药在病人血液中的含量保持1 500 mg以上才有效，而低于500 mg病人就有危险．现给某病人注射了这种药2 500 mg，如果药在血液中以每小时20%的比例衰减，为了充分发挥药物的利用价值，那么从现在起经过________小时向病人的血液补充这种药，才能保持疗效．(附：lg 2＝0.301，lg 3＝0.4771，答案采取四舍五入精确到0.1 h)(　　)
A．2.3小时 B．3.5小时
C．5.6小时 D．8.8小时
【解析】选A.设从现在起经过x小时向病人的血液补充这种药，才能保持疗效．
则2 500×0.8x＝1 500，0.8x＝0.6，lg 0.8x＝lg 0.6，x lg 0.8＝lg 0.6，
x＝＝＝
＝≈2.3.
2．已知A，B两地相距150千米，某人开汽车以60千米/小时的速度从A地到达B地，在B地停留1小时后再以50千米/小时的速度返回A地，把汽车离开A地的距离x表示为时间t的函数，解析式是(　　)
A．x＝60t
B．x＝60t＋50t
C．x＝
D．x＝
【解析】选C.应分三段建立函数关系，当0≤t≤2.5时，x＝60t；当2.53．今有一组试验数据如表所示：
t 1.99 3.0 4.0 5.1 6.12
u 1.5 4.04 7.5 12 18.01
则能体现这些数据关系的函数模型是(　　)
A．u＝log2t B．u＝2t－2
C．u＝ D．u＝2t－2
【解题技巧】可以先根据表中数据建立平面直角坐标系，并描出各点，并利用数据点直观地认识变量间的关系，选择合适的函数模型来刻画它．
【解析】选C.根据表中数据画出函数图像如图所示，由图可知，图像不是直线上的点，排除D；图像不符合对数函数的图像特征，排除A；当t＝3时，2t－2＝23－2＝6，＝＝4，由表格知当t＝3时，u＝4.04，模型u＝能较好地体现这些数据关系．
4．某企业2018年全年投入研发资金150万元，为激励创新，该企业计划今后每年投入的研发资金比上年增长8%，则该企业全年投入的研发资金开始超过200万元的年份是(　　)
(参考数据：lg 1.08≈0.033，lg 2≈0.301，lg 3≈0.477)
A．2020 B．2021 C．2022 D．2023
【解析】选C.设该企业全年投入的研发资金开始超过200万元的年份为n，则150×(1＋8%)n－2018≥200，则n≥2018＋≈2018＋≈2021.8，取n＝2022.
【误区】取对数的时候运算易出错．
5．某城市对一种售价为每件160元的电子产品征收附加税，税率为R%(即每销售100元征税R元)，若年销售量为万件，要使附加税不少于128万元，则R的取值范围是(　　)
A．[4，8] B．[6，10]
C．[4%，8%] D．[6%，10%]
【解析】选A.根据题意，要使附加税不少于128万元，需×160×R%≥128，
整理得R2－12R＋32≤0，解得4≤R≤8，因此，实数R的取值范围是.
【解题技巧】选A.代入选项检验比较简便．
二、填空题(每小题5分，共15分)
6．某学校开展研究性学习活动，一组同学获得了下面的一组试验数据：
x 1.99 3 4 5.1 8
y 0.99 1.58 2.01 2.35 3.00
现有如下5个模拟函数：①y＝0.58x－0.16；②y＝2x－3.02；③y＝x2－5.5x＋8；④y＝log2x；⑤y＝＋1.74
请从中选择一个模拟函数，使它能近似地反映这些数据的规律，应选________(填序号).
【解析】画出散点图如图所示．
由图可知上述点大体在函数y＝log2x的图像上，故选择y＝log2x可以近似地反映这些数据的规律．
答案：④
7．在不考虑空气阻力的情况下，火箭的最大速度v(米/秒)和燃料的质量M(千克)、火箭(除燃料外)的质量m(千克)的函数关系式是v＝2 000·ln .当燃料质量是火箭质量的________倍时，火箭的最大速度可达12千米/秒．
【解析】由题意可得12 000＝2 000ln ，
ln ＝6，解得1＋＝e6，
所以＝e6－1.
答案：e6－1
【易错】本题易错点在没有注意单位，函数关系式中速度v的单位是(米/秒)，问题当中的单位是火箭的最大速度可达12千米/秒，所以需要统一单位为(米/秒)，再利用对数式与指数式互化．
8．一个驾驶员喝了少量酒后，血液中的酒精含量迅速上升到0.3 mg/mL，在停止喝酒后，血液中的酒精含量以每小时25%的速度减少．为了保障交通安全，规定驾驶员血液中的酒精含量不得超过0.09 mg/mL，那么这个驾驶员至少要经过______小时才能开车．(精确到1小时，参考数据lg 2≈0.30，lg 3≈0.48).
【解析】设经过n小时才能开车，
由题意得0.3(1－0.25)n≤0.09，
所以n≤0.3，所以n lg ≤lg <0，
所以n≥，即n≥，
故至少经过5小时才能开车．
答案：5
三、解答题(每小题10分，共20分)
9．某种商品的销售价格会因诸多因素而上下浮动，经过调研得知：2019年9月份第x(1≤x≤30，x∈N＋)天的单件销售价格(单位：元)f(x)＝第x天的销售量(单位：件)g(x)＝m－x(m为常数)，且第20天该商品的销售收入为600元(销售收入＝销售价格×销售量).
(1)求m的值．
(2)该月第几天的销售收入最高？最高为多少？
【解析】(1)销售价格f(x)＝
第x天的销售量(单位：件)g(x)＝m－x(m为常数)，
当x＝20时，
由f(20)·g(20)＝(50－20)(m－20)＝600，
解得m＝40.
(2)当1≤x<15时，y＝(20＋x)(40－x)
＝－x2＋20x＋800＝－(x－10)2＋900，
故当x＝10时，ymax＝900，
当15≤x≤30时，y＝(50－x)(40－x)＝x2－90x＋2 000＝(x－45)2－25，
故当x＝15时，ymax＝875，
因为875<900，故该月第10天的销售收入最高为900元．
10．一块形状为直角三角形的铁皮，直角边长分别是40 cm与60 cm，现在将它剪成一个矩形，并以此三角形的直角为矩形的一个角，问怎样剪才能使剩下的残料最少？并求出此时残料的面积．
【解析】设直角三角形为△ABC，AC＝40，BC＝60，矩形为CDEF，如图所示，设CD＝x，CF＝y，
则由Rt△AFE∽Rt△EDB得，＝，
即＝，解得y＝40－x，
记剩下的残料面积为S，则
S＝×60×40－xy＝x2－40x＋1 200
＝(x－30)2＋600(0＜x＜60)，
故当x＝30时，Smin＝600，此时y＝20，
所以当x＝30，y＝20时，剩下的残料面积最小为600 cm2.
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