高中数学北师大版（2019）必修 第一册：1.2利用二分法求方程的近似解 同步练习（含解析）

利用二分法求方程的近似解
基础全面练　(15分钟　30分)
1．下列函数图象中，不能用二分法求函数零点的是(　　)
2．若函数f(x)在[a，b]上的图象为一条连续不断的曲线，且同时满足f(a)f(b)<0，f(a)f>0，则(　　)
A．f(x)在上有零点
B．f(x)在上有零点
C．f(x)在上无零点
D．f(x)在上无零点
3．函数f(x)＝log2x＋2x－1的零点必落在区间(　　)
A． B． C． D．(1，2)
4．为了求函数f(x)＝2x＋3x－7的一个零点，某同学利用计算器得到自变量x和函数f(x)的部分对应值，如表所示：
x 1.25 1.312 5 1.375 1.437 5 1.5 1.562 5
f(x) －0.871 6 －0.578 8 －0.281 3 0.021 0 0.328 43 0.641 15
　则方程2x＋3x＝7的近似解(精度为0.1)可取为(　　)
A．1.32 B．1.37 C．1.4 D．1.44
5．用二分法求2x＋x＝4在[1，2]内的近似解(精度为0.2).
参考数据：
x 1.125 1.25 1.375 1.5 1.625 1.75 1.875
2x 2.18 2.38 2.59 2.83 3.08 3.36 3.67
【变式训练】
已知函数f(x)＝3ax2＋2bx＋c，a＋b＋c＝0，f(0)>0，f(1)>0，证明a>0，并利用二分法证明方程f(x)＝0在[0，1]内有两个实根．
综合突破练　(20分钟　40分)
一、选择题(每小题5分，共20分)
1．三次方程x3＋x2－2x－1＝0的根不可能在的区间为(　　)
A．(－2，－1) B．(－1，0)
C．(0，1) D．(1，2)
2．用二分法求函数f(x)＝ln (x＋1)＋x－1在区间上的零点，要求精度为0.01时，所需二分区间的次数最少为(　　)
A．5 B．6 C．7 D．8
3．已知f＝－ln x在区间(1，2)内有一个零点x0，若用二分法求x0的近似值，则一般要将区间等分的次数为(　　)
A．3 B．4 C．5 D．6
4．函数y＝x与函数y＝lg x的图像的交点的横坐标(精度为0.1)约是(　　)
A．1.5 B．1.6 C．1.7 D．1.8
二、填空题(每小题5分，共10分)
5．用二分法研究函数f(x)在区间(0，1)内的零点时，计算得f(0)<0，f(0.5)<0，f(1)>0，那么下一次应计算x＝________时的函数值．
【变式训练】
已知图像连续不断的函数y＝f(x)在区间(0，0.1)上有唯一零点，如果用二分法求这个零点(精确到0.01)的近似值，则应将区间(0，0.1)等分的次数至少为________．
6．已知函数f(x)是偶函数，且对任意x∈R都有f(x)＋f(2－x)＝0，当0≤x≤1时，f(x)＝x2－1，则g(x)＝f(x)－log7有________个零点．
【变式训练】
设x0是方程ax＝logax(0三、解答题
7．(10分)求函数y＝ln x与函数y＝3－x的图像交点的横坐标．(精确到0.1)
【变式训练】
1.证明2x＋3x－6＝0在区间(1，2)内有唯一一个零点，并求出这个零点．(精度为0.1)
2.电视中某一娱乐性节目有一种猜价格的游戏，在限定时间内(如15秒)猜出某一种商品的售价，就把该商品奖给选手，每次选手给出报价，主持人告诉说高了或低了，以猜对或到时为止游戏结束．如猜一种品牌的电风扇，过程如下：游戏参与者开始报价500元，主持人说高了，300元，高了，260元，低了，280元，低了，290元，高了，285元，低了，288元，你猜对了！恭喜！请问游戏参与者用的数学知识是什么？(只写出一个正确答案).
参考答案：
基础全面练　(15分钟　30分)
1．下列函数图象中，不能用二分法求函数零点的是(　　)
【解析】选D.根据零点存在定理，对于D，在零点的左右附近，函数值不改变符号，所以不能用二分法求函数零点．
2．若函数f(x)在[a，b]上的图象为一条连续不断的曲线，且同时满足f(a)f(b)<0，f(a)f>0，则(　　)
A．f(x)在上有零点
B．f(x)在上有零点
C．f(x)在上无零点
D．f(x)在上无零点
【解析】选B.由f(a)f(b)<0，f(a)f>0可知ff(b)<0，根据零点存在定理可知f(x)在上有零点，在上有无零点无法判断．
3．函数f(x)＝log2x＋2x－1的零点必落在区间(　　)
A． B． C． D．(1，2)
【解析】选C.f＝－<0，f＝－<0，f＝－1<0，f(1)＝1>0，f(2)＝4>0，所以函数零点落在区间上．
4．为了求函数f(x)＝2x＋3x－7的一个零点，某同学利用计算器得到自变量x和函数f(x)的部分对应值，如表所示：
x 1.25 1.312 5 1.375 1.437 5 1.5 1.562 5
f(x) －0.871 6 －0.578 8 －0.281 3 0.021 0 0.328 43 0.641 15
　则方程2x＋3x＝7的近似解(精度为0.1)可取为(　　)
A．1.32 B．1.37 C．1.4 D．1.44
【解析】选C.因为f(1.375)<0，f(1.437 5)>0，所以方程2x＋3x＝7的解在区间(1.375，1.437 5)内．
又因为|1.437 5－1.375|＝0.062 5<0.1，
所以其近似解可取为1.4.
5．用二分法求2x＋x＝4在[1，2]内的近似解(精度为0.2).
参考数据：
x 1.125 1.25 1.375 1.5 1.625 1.75 1.875
2x 2.18 2.38 2.59 2.83 3.08 3.36 3.67
　【解析】令f(x)＝2x＋x－4则f(1)＝2＋1－4<0，f(2)＝22＋2－4>0.
区间 区间中点值xn f(xn)的值及符号
(1，2) x1＝1.5 f(x1)＝0.33>0
(1，1.5) x2＝1.25 f(x2)＝－0.37<0
(1.25，1.5) x3＝1.375 f(x3)＝－0.035<0
(1.375，1.5)
因为|1.375－1.5|＝0.125<0.2，所以2x＋x＝4在[1，2]内的近似解可取为1.375.
【变式训练】
已知函数f(x)＝3ax2＋2bx＋c，a＋b＋c＝0，f(0)>0，f(1)>0，证明a>0，并利用二分法证明方程f(x)＝0在[0，1]内有两个实根．
【证明】因为f(1)>0，所以3a＋2b＋c>0，
即3(a＋b＋c)－b－2c>0.
因为a＋b＋c＝0，所以－b－2c>0，
则－b－c>c，即a>c.
因为f(0)>0，所以c>0，则a>0.
在[0，1]内选取二等分点，则f＝a＋b＋c＝a＋(－a)＝－a<0.
因为f(0)>0，f(1)>0，所以f(x)在区间和上至少各有一个零点．
又f(x)最多有两个零点，从而f(x)＝0在[0，1]内有两个实根．
综合突破练　(20分钟　40分)
一、选择题(每小题5分，共20分)
1．三次方程x3＋x2－2x－1＝0的根不可能在的区间为(　　)
A．(－2，－1) B．(－1，0)
C．(0，1) D．(1，2)
【解析】选C.令f(x)＝x3＋x2－2x－1，
因为f(－2)＝－1<0，f(－1)＝1>0，
f(0)＝－1<0，f(1)＝－1<0，f(2)＝7>0，
所以三次方程x3＋x2－2x－1＝0的三个根分别在区间(－2，－1)，(－1，0)，(1，2)内．
2．用二分法求函数f(x)＝ln (x＋1)＋x－1在区间上的零点，要求精度为0.01时，所需二分区间的次数最少为(　　)
A．5 B．6 C．7 D．8
【解析】选C.开区间的长度等于1 ，每经过一次操作，区间长度变为原来的一半，经过n次操作后，区间长度变为，因为用二分法求函数f＝
ln ＋x－1在区间上的近似解，要求精度为0.01，所以≤0.01，解得n≥7.
3．已知f＝－ln x在区间(1，2)内有一个零点x0，若用二分法求x0的近似值，则一般要将区间等分的次数为(　　)
A．3 B．4 C．5 D．6
【解析】选B.由求解方程近似解的步骤可知，只需满足<0.1即可，即需等分4次．
4．函数y＝x与函数y＝lg x的图像的交点的横坐标(精度为0.1)约是(　　)
A．1.5 B．1.6 C．1.7 D．1.8
【解析】选D.设f(x)＝lg x－x，经计算f(1)＝－<0，f(2)＝lg 2－>0，所以方程lg x－x＝0在区间[1，2]内有解．应用二分法逐步缩小方程实数解所在的区间，可知D选项符合要求．
二、填空题(每小题5分，共10分)
5．用二分法研究函数f(x)在区间(0，1)内的零点时，计算得f(0)<0，f(0.5)<0，f(1)>0，那么下一次应计算x＝________时的函数值．
【解析】因为f(0)<0，f(0.5)<0，f(1)>0，所以根据函数零点的判定定理，函数零点落在区间(0.5，1)内，取x＝0.75.
答案：0.75
【变式训练】
已知图像连续不断的函数y＝f(x)在区间(0，0.1)上有唯一零点，如果用二分法求这个零点(精确到0.01)的近似值，则应将区间(0，0.1)等分的次数至少为________．
【解析】设等分的最少次数为n，则由<0.01，得2n>10.所以n的最小值为4.
答案：4
6．已知函数f(x)是偶函数，且对任意x∈R都有f(x)＋f(2－x)＝0，当0≤x≤1时，f(x)＝x2－1，则g(x)＝f(x)－log7有________个零点．
【解析】当x∈[1，2]时，f(x)＝－f(2－x)＝1－(2－x)2，因为f(x)＋f(2－x)＝0，所以f(x)＝－f(2－x)＝－f(x－2)，所以T＝4，分别作y＝f(x)，y＝log7x(x>0)的图象，根据偶函数性质由图得有2×5＝10个零点．
答案：10
【变式训练】
设x0是方程ax＝logax(0【解析】在同一平面直角坐标系中作出函数y＝ax和y＝logax的大致图像(如图所示)，
可以看出：x0<1，logax0<1，
所以x0>a，a答案：a三、解答题
7．(10分)求函数y＝ln x与函数y＝3－x的图像交点的横坐标．(精确到0.1)
【解析】求函数y＝ln x与函数y＝3－x的图像交点的横坐标，即求方程ln x＝
3－x的根．
令f(x)＝ln x＋x－3，因为f(2)＝ln 2－1＜0，f(3)＝ln 3＞0，所以可取初始区间为(2，3)，列表如下：
区间 中点的值 中点函数近似值
(2，3) 2.5 0.416 3>0
(2，2.5) 2.25 0.060 9>0
(2，2.25) 2.125 －0.121 2<0
(2.125，2.25) 2.187 5 －0.029 7<0
(2.187 5，2.25) 2.218 75 0.015 7>0
由于2.187 5与2.218 75精确到0.1的近似值都是2.2，所以方程ln x＋x－3＝0在(2，3)内的一个近似根可取为2.2，即2.2可作为两函数图像交点的横坐标的近似值．
【变式训练】
1.证明2x＋3x－6＝0在区间(1，2)内有唯一一个零点，并求出这个零点．(精度为0.1)
【证明】设函数f(x)＝2x＋3x－6.
因为f(1)＝－1<0，f(2)＝4>0.
所以f(x)在区间(1，2)内有零点．
又因为f(x)是增函数，所以函数f(x)＝2x＋3x－6在区间(1，2)内有唯一的零点．
设该零点为x0，则x0∈(1，2)，取x1＝1.5，f(1.5)≈1.33>0，f(1)·f(1.5)<0，
所以x0∈(1，1.5).
取x2＝1.25，f(1.25)≈0.128>0，
f(1)·f(1.25)<0，所以x0∈(1，1.25).
取x3＝1.125，f(1.125)≈－0.44<0，
f(1.125)·f(1.25)<0，
所以x0∈(1.125，1.25).
取x4＝1.187 5，f(1.187 5)≈－0.16<0，
f(1.187 5)·f(1.25)<0.
所以x0∈(1.187 5，1.25).
因为|1.25－1.187 5|＝0.062 5<0.1，
所以可取x0＝1.25，则该函数的零点近似解可取x0＝1.25.
2.电视中某一娱乐性节目有一种猜价格的游戏，在限定时间内(如15秒)猜出某一种商品的售价，就把该商品奖给选手，每次选手给出报价，主持人告诉说高了或低了，以猜对或到时为止游戏结束．如猜一种品牌的电风扇，过程如下：游戏参与者开始报价500元，主持人说高了，300元，高了，260元，低了，280元，低了，290元，高了，285元，低了，288元，你猜对了！恭喜！请问游戏参与者用的数学知识是什么？(只写出一个正确答案).
【解析】本题是用函数零点的判定定理解决现实中的实际问题，根据所给的几个信息判断游戏参与者用的数学知识是二分法．
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