高中数学北师大版（2019）必修 第一册：5.1.1利用函数性质判定方程解的存在 同步练习（含解析）

利用函数性质判定方程解的存在
基础全面练　(20分钟　35分)
1．函数f(x)＝x3＋3x－1在以下哪个区间内一定有零点(　　)
A．(－1，0) B．(0，1) C．(1，2) D．(2，3)
2．函数f(x)＝x3＋2x－1的零点所在的大致区间是(　　)
A．(0，1) B．(1，2) C．(2，3) D．(3，4)
3．已知函数f(x)＝x2－2ax＋1(a∈R)，若函数f(x)有正数零点，则满足条件的实数a的取值范围是(　　)
A．a>1 B．a≥1 C．a<1 D．a≤1
4．已知函数f＝且关于x的方程f＋x－a＝0有且只有一个实根，则实数a的范围是(　　)
A． B．
C． D．
5．若方程|x2－4x|－a＝0有四个不相等的实根，则实数a的取值范围是________．
6．关于x的方程mx2＋2(m＋3)x＋2m＋14＝0有两实根，且一个大于4，一个小于4，求实数m的取值范围．
综合突破练　(30分钟　60分)
一、选择题(每小题5分，共25分)
1．函数f(x)＝，g(x)＝3－x，则函数h(x)＝f(x)－g(x)的零点个数是(　　)
A．2 B．3 C．4 D．0
2．方程4x2＋x＋m－5＝0的一根在区间内，另一根在区间内，则m的取值范围是(　　)
A．
B．
C．∪
D．
3．已知函数y＝f(x)与函数y＝2x－3的图像关于直线y＝x对称，则函数y＝f(x)与直线y＝x的一个交点位于区间________内．(　　)
A．(－2，－1) B．(2，3)
C．(1，2) D．(－1，0)
4．函数f(x)＝x2－2|x|－m的零点有两个，则实数m的取值范围是(　　)
A．m≥0或m＝－1 B．m≤0或m＝1
C．m>0或m＝－1 D．m<0或m＝1
5．已知函数f(x)＝若直线y＝m与函数y＝f的三个不同交点的横坐标依次为x1，x2，x3，则x1＋x2＋x3的取值范围是(　　)
A． B．
C． D．
二、填空题(每小题5分，共15分)
6．函数f(x)＝x2＋mx－6的一个零点是－6，则另一个零点是________．
7．已知函数f(x)＝则f(f(1))＝________；设g(x)＝f(x)＋x＋a，若函数g(x)存在2个零点，则实数a的取值范围是________．
【变式训练】
已知函数f(x)＝logax＋x－b(a＞0，且a≠1).当2＜a＜3＜b＜4时，函数f(x)的零点x0∈(n，n＋1)，n∈N＋，则n＝________．
8．函数f(x)＝x2＋(2a－1)x＋a－2的一个零点比1大，另一个零点比1小，则实数a的取值范围是________．
三、解答题(每小题10分，共20分)
9．已知函数f(x)＝x2－(k－2)x＋k2＋3k＋5有两个零点．
(1)若函数的两个零点是－1和－3，求k的值；
(2)当－410．定义在R上的偶函数y＝f(x)在(－∞，0]上是增加的，函数f(x)的一个零点为－，求满足f(logx)≥0的x的取值范围．
创新练
函数零点有时是不易求或求不出来的，如f(x)＝lg x＋x.但函数值易求，如我们可以求出f＝lg ＋＝－1＋＝－，f(1)＝lg 1＋1＝1.那么能判断f(x)＝lg x＋x在区间内有零点吗？
【变式训练】
已知函数y＝f和y＝g在上的图像如图所示：
给出下列四个结论：
①方程f＝0有且仅有6个根；
②方程g＝0有且仅有3个根；
③方程f＝0有且仅有5个根；
④方程g＝0有且仅有4个根．
其中正确结论的个数是(　　)
A．4个　　B．3个　　C．2个　　D．1个
参考答案：
基础全面练　(20分钟　35分)
1．函数f(x)＝x3＋3x－1在以下哪个区间内一定有零点(　　)
A．(－1，0) B．(0，1) C．(1，2) D．(2，3)
【解析】选B.因为f(x)＝x3＋3x－1，
所以f(－1)f(0)＝(－1－3－1)(－1)>0，排除A.
f(1)f(2)＝(1＋3－1)(8＋6－1)>0，排除C.
f(2)f(3)＝(8＋6－1)(27＋9－1)>0，排除D，
f(0)f(1)＝(－1)(1＋3－1)<0，所以函数f(x)在区间(0，1)内一定有零点，故选B.
2．函数f(x)＝x3＋2x－1的零点所在的大致区间是(　　)
A．(0，1) B．(1，2) C．(2，3) D．(3，4)
【解析】选A.因为f(0)＝－1<0，f(1)＝2>0，且f(x)在区间[0，1]上连续，所以f(x)在(0，1)上至少有一个零点．又f(x)在R上是增函数，则f(x)有唯一零点．
3．已知函数f(x)＝x2－2ax＋1(a∈R)，若函数f(x)有正数零点，则满足条件的实数a的取值范围是(　　)
A．a>1 B．a≥1 C．a<1 D．a≤1
【解析】选B.若函数f有正数零点，只需：
解得a≥1.
4．已知函数f＝且关于x的方程f＋x－a＝0有且只有一个实根，则实数a的范围是(　　)
A． B．
C． D．
【解析】选D.在同一坐标系中分别作出函数f＝y＝－x＋a的图像，
由图像可得a>1.
5．若方程|x2－4x|－a＝0有四个不相等的实根，则实数a的取值范围是________．
【解析】由|x2－4x|－a＝0，得a＝|x2－4x|，作出函数y＝|x2－4x|的图象，则由图象可知，
要使方程|x2－4x|－a＝0有四个不相等的实根，
则0＜a＜4.
答案：(0，4)
6．关于x的方程mx2＋2(m＋3)x＋2m＋14＝0有两实根，且一个大于4，一个小于4，求实数m的取值范围．
【解析】令f(x)＝mx2＋2(m＋3)x＋2m＋14.
依题意得或
即或
解得－故实数m的取值范围为.
综合突破练　(30分钟　60分)
一、选择题(每小题5分，共25分)
1．函数f(x)＝，g(x)＝3－x，则函数h(x)＝f(x)－g(x)的零点个数是(　　)
A．2 B．3 C．4 D．0
【解析】选A.
函数h(x)的零点满足f(x)－g(x)＝0，所以f(x)＝g(x)，绘制函数f(x)与g(x)的图象，交点的个数即函数零点的个数，如图所示，观察可得：函数h(x)＝f(x)－g(x)的零点个数是2.
2．方程4x2＋x＋m－5＝0的一根在区间内，另一根在区间内，则m的取值范围是(　　)
A．
B．
C．∪
D．
【解析】选B.设f＝4x2＋x＋m－5，
又方程4x2＋x＋m－5＝0的一根在区间内，另一根在区间内，
所以即
解得－3．已知函数y＝f(x)与函数y＝2x－3的图像关于直线y＝x对称，则函数y＝f(x)与直线y＝x的一个交点位于区间________内．(　　)
A．(－2，－1) B．(2，3)
C．(1，2) D．(－1，0)
【解析】选B.y＝2x－3的反函数为y＝log2(x＋3)，由图像得，交点分别位于区间(－3，－2)与(2，3)内．
4．函数f(x)＝x2－2|x|－m的零点有两个，则实数m的取值范围是(　　)
A．m≥0或m＝－1 B．m≤0或m＝1
C．m>0或m＝－1 D．m<0或m＝1
【解析】选C.由题意可得y＝x2－2|x|的图像和直线y＝m有2个交点，如图所示：
当函数y＝x2－2|x|的图像和直线y＝m有2个交点时，有m>0或m＝－1.
5．已知函数f(x)＝若直线y＝m与函数y＝f的三个不同交点的横坐标依次为x1，x2，x3，则x1＋x2＋x3的取值范围是(　　)
A． B．
C． D．
【解析】选B.作出函数f(x)的图像(如图)，则可知当0≤x≤1时，函数f(x)关于直线x＝对称．
若直线y＝m与函数y＝f(x)三个不同交点的横坐标依次为x1，x2，x3，且x1【误区】用函数f(x)的图像解题时易错，原因是忽视了y＝log2 016x图像一直单调上升的趋势，而只运用了一部分图像解题．
二、填空题(每小题5分，共15分)
6．函数f(x)＝x2＋mx－6的一个零点是－6，则另一个零点是________．
【解析】由二次方程根与系数的关系得，方程的另一个根为1，故另一个零点为1.
答案：1
7．已知函数f(x)＝则f(f(1))＝________；设g(x)＝f(x)＋x＋a，若函数g(x)存在2个零点，则实数a的取值范围是________．
【解析】由题意得
f(1)＝ln 1＝0，f(f(1))＝f(0)＝e0＝1.
函数g(x)＝f(x)＋x＋a存在2个零点等价于函数y＝f(x)的图象与直线y＝－x－a存在2个不同的交点，在平面直角坐标系内画出函数y＝f(x)的图象及动直线y＝－x－a，
平移直线l，由图易得要使与两曲线有2个不同的交点，则有－a≤1，解得a≥－1.
答案：1　[－1，＋∞)
【变式训练】
已知函数f(x)＝logax＋x－b(a＞0，且a≠1).当2＜a＜3＜b＜4时，函数f(x)的零点x0∈(n，n＋1)，n∈N＋，则n＝________．
【解析】因为2＜a＜3＜b＜4，
当x＝2时f(2)＝loga2＋2－b＜0；
当x＝3时，f(3)＝loga3＋3－b＞0，
所以f(x)的零点x0在区间(2，3)内，所以n＝2.
答案：2
8．函数f(x)＝x2＋(2a－1)x＋a－2的一个零点比1大，另一个零点比1小，则实数a的取值范围是________．
【解析】因为f(x)＝x2＋(2a－1)x＋a－2的函数图像为开口向上的抛物线，且有两个零点，一个大于1，另一个小于1，则f(1)＝12＋(2a－1)×1＋a－2<0，解得a<，故实数a的取值范围为.
答案：
三、解答题(每小题10分，共20分)
9．已知函数f(x)＝x2－(k－2)x＋k2＋3k＋5有两个零点．
(1)若函数的两个零点是－1和－3，求k的值；
(2)当－4【解析】(1)因为－1和－3是函数f(x)的两个零点，所以－1和－3是关于x的方程x2－(k－2)x＋k2＋3k＋5＝0的两个实数根，
则　解得k＝－2.
(2)因为函数f(x)的两个零点为α和β，则α和β是关于x的方程x2－(k－2)x＋k2＋3k＋5＝0的两个根，所以
则α2＋β2＝(α＋β)2－2αβ＝－k2－10k－6.又－4故α2＋β2的取值范围为.
10．定义在R上的偶函数y＝f(x)在(－∞，0]上是增加的，函数f(x)的一个零点为－，求满足f(logx)≥0的x的取值范围．
【解析】因为－是函数的一个零点，
所以f＝0.
因为y＝f(x)是偶函数，且在(－∞，0]上是增加的，所以对于f(logx)≥0，当logx≤0，即x≥1时，有logx≥－，解得x≤2，即1≤x≤2，由对称性可知，
当logx>0时，有logx≤，解得≤x<1，
综上所述，x的取值范围是.
创新练
函数零点有时是不易求或求不出来的，如f(x)＝lg x＋x.但函数值易求，如我们可以求出f＝lg ＋＝－1＋＝－，f(1)＝lg 1＋1＝1.那么能判断f(x)＝lg x＋x在区间内有零点吗？
【解析】能，因为f(x)＝lg x＋x在区间内是连续的，函数值从－变化到1势必在内某点处的函数值为0.
【变式训练】
已知函数y＝f和y＝g在上的图像如图所示：
给出下列四个结论：
①方程f＝0有且仅有6个根；
②方程g＝0有且仅有3个根；
③方程f＝0有且仅有5个根；
④方程g＝0有且仅有4个根．
其中正确结论的个数是(　　)
A．4个　　B．3个　　C．2个　　D．1个
【解析】选B.由图像可得－2≤g(x)≤2，－2≤f(x)≤2.对于①，由于满足方程f＝0的g有三个不同值，一个值在－2与－1之间，一个值为0，一个值在1到2之间，由g的图像可得每个g值对应了2个x值，故满足f＝0的x值有6个，即方程f(g(x))＝0有且仅有6个根，故①正确．
对于②，由图像可得满足g＝0的f有两个，一个值处于－2与－1之间，由f(x)的图像可得此时对应一个x值；另一个值处于0与1之间，由f的图像可得此时对应三个x值，因此该方程有且仅有4个根．故②不正确．
对于③，由于满足方程f＝0的f有3个不同的值，从图中可知一个f等于0，一个f∈，一个f∈.而当f＝0时，对应了3个不同的x值；当f∈时，只对应一个x值；当f∈时，也只对应一个x值．故满足方程f＝0的x值共有5个，故③正确．
对于④，由于满足方程g＝0的g值有2个，而结合图像可得每个g值对应2个不同的x值，故满足方程g＝0的x值有4个，即方程g＝0有且仅有4个根，故④正确．综上得①③④正确．
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