高中数学北师大版（2019）必修 第一册：4.4指数函数、幂函数、对数函数增长的比较 同步练习（含解析）

指数函数、幂函数、对数函数增长的比较
基础全面练　(20分钟　35分)
1．某学校开展研究性学习活动，某同学获得一组试验数据如表：
x 1.99 3 4 5.1 6.12
y 1.5 4.04 7.5 12 18.01
对于表中数据，现给出以下拟合曲线，其中拟合程度最好的是(　　)
A．y＝2x－2 B．y＝
C．y＝log2x D．y＝(x2－1)
2．f(x)＝x2，g(x)＝2x，h(x)＝log2x，当x∈(4，＋∞)时，对三个函数的大小进行比较，下列选项中正确的是(　　)
A．f(x)＞g(x)＞h(x)
B．g(x)＞f(x)＞h(x)
C．g(x)＞h(x)＞f(x)
D．f(x)＞h(x)＞g(x)
3．若a>1，n>0，那么当x足够大时，ax，xn，logax，nx中最大的是(　　)
A．ax　　　B．xn　　　C．logax　　　D．nx
4．函数y＝x2与函数y＝x ln x在区间(0，＋∞)上增长较快的一个是__________.
5．生活经验告诉我们，当水注入容器(设单位时间内进水量相同)时，水的高度随着时间的变化而变化，在下图中请选择与容器相匹配的图象，A对应________；B对应________；C对应________；D对应________．
6．用模型f(x)＝ax＋b来描述某企业每季度的利润f(x)(亿元)和生产成本投入x(亿元)的关系．统计表明，当每季度投入1(亿元)时利润y1＝1(亿元)，当每季度投入2(亿元)时利润y2＝2(亿元)，当每季度投入3(亿元)时利润y3＝2(亿元).又定义：当f(x)使[f(1)－y1]2＋[f(2)－y2]2＋[f(3)－y3]2的数值最小时为最佳模型．
(1)当b＝时，求相应的a使f(x)＝ax＋b成为最佳模型．
(2)根据题(1)得到的最佳模型，请预测每季度投入4(亿元)时利润y4(亿元)的值．
综合突破练　(30分钟　60分)
一、选择题(每小题5分，共25分)
1．以下四种说法中，正确的是(　　)
A．幂函数增长的速度比一次函数增长的速度快
B．对任意的x＞0，xn＞logax
C．对任意的x＞0，ax＞logax
D．不一定存在x0，当x＞x0时，总有ax＞xn＞logax
2．某林区的森林蓄积量每年比上一年平均增长10.4%，要增长到原来的x倍，需经过y年，则函数y＝f(x)的图像大致为(　　)
3．为了治理沙尘暴，A市政府大力加强环境保护，其周边草场绿色植被面积每年都比上一年增长10.4%，那么经过x年绿色植被的面积为y，则y＝f(x)的图像大致为(　　)
4．下列函数关系中，可以看出是指数型函数y＝kax(k∈R，a>0且a≠1)模型的是(　　)
A．竖直向上发射的信号弹，从发射到落回地面，信号弹的高度与时间的关系(不计空气阻力)
B．我国人口年自然增长率为1%，这样我国人口总数随年份的变化关系
C．如果某人t s内骑车行进了1 km，那么此人骑车的平均速度v与时间t的函数关系
D．信件的邮资与其重量间的函数关系
5．四人赛跑，假设他们走过的路fi(x)(i∈{1，2，3，4})和时间x(x＞1)的函数关系分别是f1(x)＝x2，f2(x)＝4x，f3(x)＝log2x，f4(x)＝2x，如果他们一直跑下去，最终跑在最前面的人具有的函数关系是(　　)
A．f1(x)＝x2 B．f2(x)＝4x
C．f3(x)＝log2x D．f4(x)＝2x
二、填空题(每小题5分，共15分)
6．如图所示是某受污染的湖泊在自然净化过程中某种有害物质的剩留量y与净化时间t(月)的近似函数关系：y＝at(t≥0，a>0且a≠1)的图象．
有以下说法：①第4个月时，剩留量就会低于；
②每月减少的有害物质质量都相等；
③当剩留量为，，时，所经过的时间分别是t1，t2，t3，则t1＋t2＝t3.
其中所有正确说法的序号是________．
7．为了保证信息安全，传输必须使用加密方式，有一种方式其加密解密原理如下：明文密文密文明文，已知加密为Y＝AX－2(X为明文，Y为密文)，如果明文“3”通过加密后得到密文为“6”，再发送，接受方通过解密得到明文“3”，若接受方接到密文为“14”，则原发的明文是________．
8．三个变量y1，y2，y3随自变量x的变化情况如表：
x 1 3 5 7 9 11
y1 5 135 625 1 715 3 645 6 633
y2 5 29 245 2 189 19 685 177 149
y3 5 6.1 6.61 6.95 7.20 7.40
其中关于x呈对数型函数变化的变量是______，呈指数型函数变化的变量是________，呈幂函数型函数变化的变量是________．
三、解答题(每小题10分，共20分)
9．若不等式3x210．已知甲、乙两个工厂在今年的1月份的利润都是6万元，且甲厂在2月份的利润是14万元，乙厂在2月份的利润是8万元．若甲、乙两个工厂的利润(万元)与月份x之间的函数关系式分别符合下列函数模型：f(x)＝a1x2＋b1x＋6，g(x)＝a23x＋b2(a1，a2，b1，b2∈R).
(1)求甲、乙两个工厂今年5月份的利润．
(2)在同一直角坐标系下画出函数f(x)与g(x)的草图，并根据草图比较今年甲、乙两个工厂的利润的大小情况．
创新练
　某校甲、乙两食堂2019年1月份的营业额相等，甲食堂的营业额逐月增加，并且每月增加值相等；乙食堂的营业额也逐月增加，且每月增加的百分比相同．已知2019年9月份两食堂的营业额又相等，则2019年5月份营业额较高的是(　　)
A．甲 B．乙
C．甲、乙相等 D．不确定
参考答案：
基础全面练　(20分钟　35分)
1．某学校开展研究性学习活动，某同学获得一组试验数据如表：
x 1.99 3 4 5.1 6.12
y 1.5 4.04 7.5 12 18.01
对于表中数据，现给出以下拟合曲线，其中拟合程度最好的是(　　)
A．y＝2x－2 B．y＝
C．y＝log2x D．y＝(x2－1)
【解析】选D.方法一：相邻的自变量之差大约为1，相邻的函数值之差大约为2.5，3.5，4.5，6，基本上是逐渐增加的，二次曲线拟合程度最好，故选D.
方法二：比较四个函数值的大小，可以采用特殊值代入法，可取x＝4，经检验易知选D.
2．f(x)＝x2，g(x)＝2x，h(x)＝log2x，当x∈(4，＋∞)时，对三个函数的大小进行比较，下列选项中正确的是(　　)
A．f(x)＞g(x)＞h(x)
B．g(x)＞f(x)＞h(x)
C．g(x)＞h(x)＞f(x)
D．f(x)＞h(x)＞g(x)
【解析】选B.画出函数的图像(图略)，当x∈(4，＋∞)时，指数函数的图像位于二次函数图像的上方，二次函数的图像位于对数函数图像的上方，故g(x)＞f(x)＞h(x).
3．若a>1，n>0，那么当x足够大时，ax，xn，logax，nx中最大的是(　　)
A．ax　　　B．xn　　　C．logax　　　D．nx
【解析】选A.由指数函数、幂函数和对数函数增长快慢的差别易知，当x足够大时，ax>xn>logax.
4．函数y＝x2与函数y＝x ln x在区间(0，＋∞)上增长较快的一个是__________.
【解析】当x变大时，x比ln x增长要快，
所以x2要比x ln x增长得快．
答案：y＝x2
5．生活经验告诉我们，当水注入容器(设单位时间内进水量相同)时，水的高度随着时间的变化而变化，在下图中请选择与容器相匹配的图象，A对应________；B对应________；C对应________；D对应________．
【解析】A容器下粗上细，水高度的变化先慢后快，故与④对应；B容器为球形，水高度变化为快—慢—快，应与①对应；C，D容器都是柱形的，水高度的变化速度都应是直线型，但C容器细，D容器粗，故水高度的变化为：C容器快，与③对应，D容器慢，与②对应．
答案：④　①　③　②
6．用模型f(x)＝ax＋b来描述某企业每季度的利润f(x)(亿元)和生产成本投入x(亿元)的关系．统计表明，当每季度投入1(亿元)时利润y1＝1(亿元)，当每季度投入2(亿元)时利润y2＝2(亿元)，当每季度投入3(亿元)时利润y3＝2(亿元).又定义：当f(x)使[f(1)－y1]2＋[f(2)－y2]2＋[f(3)－y3]2的数值最小时为最佳模型．
(1)当b＝时，求相应的a使f(x)＝ax＋b成为最佳模型．
(2)根据题(1)得到的最佳模型，请预测每季度投入4(亿元)时利润y4(亿元)的值．
【解析】(1)b＝时，f(1)＝a＋，所以[f(1)－1]2＝＝a2－a＋，f(2)＝2a＋，[f(2)－2]2＝＝4a2－a＋，f(3)＝3a＋，[f(3)－2]2＝＝9a2－a＋，
所以[f(1)－1]2＋[f(2)－2]2＋[f(3)－2]2＝14a2－a＋＝14a2－14a＋＝14＋，所以a＝时，f(x)＝x＋为最佳模型．
(2)f(x)＝＋，则f(4)＝，
所以预测y4＝(亿元)．
综合突破练　(30分钟　60分)
一、选择题(每小题5分，共25分)
1．以下四种说法中，正确的是(　　)
A．幂函数增长的速度比一次函数增长的速度快
B．对任意的x＞0，xn＞logax
C．对任意的x＞0，ax＞logax
D．不一定存在x0，当x＞x0时，总有ax＞xn＞logax
【解析】选D.对于A，幂函数与一次函数的增长速度受幂指数及一次项系数的影响，幂指数与一次项系数不确定，增长幅度不能比较；对于B，C，当0＜a＜1时，显然不成立．当a＞1，n＞0时，一定存在x0，使得当x＞x0时，总有ax＞xn＞logax，但若去掉限制条件“a＞1，n＞0”，则结论不成立．
2．某林区的森林蓄积量每年比上一年平均增长10.4%，要增长到原来的x倍，需经过y年，则函数y＝f(x)的图像大致为(　　)
【解析】选D.由题意，设林区原来的蓄积量为a，
则ax＝a(1＋10.4%)y，即1.104y＝x，
则y＝log1.104x，
故y＝f(x)的图像大致为D.
3．为了治理沙尘暴，A市政府大力加强环境保护，其周边草场绿色植被面积每年都比上一年增长10.4%，那么经过x年绿色植被的面积为y，则y＝f(x)的图像大致为(　　)
【解析】选D.设a为草场绿色植被的初始面积，由已知条件可得函数关系y＝f(x)＝a(1＋10.4%)x.
4．下列函数关系中，可以看出是指数型函数y＝kax(k∈R，a>0且a≠1)模型的是(　　)
A．竖直向上发射的信号弹，从发射到落回地面，信号弹的高度与时间的关系(不计空气阻力)
B．我国人口年自然增长率为1%，这样我国人口总数随年份的变化关系
C．如果某人t s内骑车行进了1 km，那么此人骑车的平均速度v与时间t的函数关系
D．信件的邮资与其重量间的函数关系
【解析】选B.A.竖直向上发射的信号弹，从发射到落回地面，信号弹的高度与时间的关系，是二次函数关系；
B．我国人口年自然增长率为1%，这样我国人口总数随年份的变化关系，是指数型函数关系；
C．如果某人t s内骑车行进了1 km，那么此人骑车的平均速度v与时间t的函数关系，是反比例函数关系；
D．信件的邮资与其重量间的函数关系，是一次函数关系．
5．四人赛跑，假设他们走过的路fi(x)(i∈{1，2，3，4})和时间x(x＞1)的函数关系分别是f1(x)＝x2，f2(x)＝4x，f3(x)＝log2x，f4(x)＝2x，如果他们一直跑下去，最终跑在最前面的人具有的函数关系是(　　)
A．f1(x)＝x2 B．f2(x)＝4x
C．f3(x)＝log2x D．f4(x)＝2x
【解析】选D.显然四个函数中，指数函数是增长最快的，故最终跑在最前面的人具有的函数关系是f4(x)＝2x.
【解题技巧】令x＝5，显然只有D最大．
二、填空题(每小题5分，共15分)
6．如图所示是某受污染的湖泊在自然净化过程中某种有害物质的剩留量y与净化时间t(月)的近似函数关系：y＝at(t≥0，a>0且a≠1)的图象．
有以下说法：①第4个月时，剩留量就会低于；
②每月减少的有害物质质量都相等；
③当剩留量为，，时，所经过的时间分别是t1，t2，t3，则t1＋t2＝t3.
其中所有正确说法的序号是________．
【解析】由于函数的图象经过点，故函数的关系式为y＝；当t＝4时，y＝<，故①正确；当t＝1时，y＝，减少，当t＝2时，y＝，减少，故每月减少的有害物质质量不相等，故②不正确；分别令y＝，，，解得t1＝log，t2＝log，t3＝log，t1＋t2＝t3，故③正确．
答案：①③
7．为了保证信息安全，传输必须使用加密方式，有一种方式其加密解密原理如下：明文密文密文明文，已知加密为Y＝AX－2(X为明文，Y为密文)，如果明文“3”通过加密后得到密文为“6”，再发送，接受方通过解密得到明文“3”，若接受方接到密文为“14”，则原发的明文是________．
【解析】依题意得，Y＝AX－2中，当X＝3时，Y＝6，故6＝A3－2，解得A＝2.所以加密为Y＝2X－2，因此，当Y＝14时，由14＝2X－2，解得X＝4.
答案：4
8．三个变量y1，y2，y3随自变量x的变化情况如表：
x 1 3 5 7 9 11
y1 5 135 625 1 715 3 645 6 633
y2 5 29 245 2 189 19 685 177 149
y3 5 6.1 6.61 6.95 7.20 7.40
其中关于x呈对数型函数变化的变量是______，呈指数型函数变化的变量是________，呈幂函数型函数变化的变量是________．
【解析】由表中数据可知，y1随x的增加成倍增加，但没有y2增长快，属于幂函数型函数变化，y2随x的增加呈爆炸式增加，属于指数型函数变化，y3随x的增加而增加，增加速度越来越慢，属于对数函数变化．
答案：y3　y2　y1
三、解答题(每小题10分，共20分)
9．若不等式3x2【解析】由题意，知3x2当x∈时，若a>1，则函数y＝logax的图象显然在函数y＝3x2图象的下方，所以a>1不成立；
当010．已知甲、乙两个工厂在今年的1月份的利润都是6万元，且甲厂在2月份的利润是14万元，乙厂在2月份的利润是8万元．若甲、乙两个工厂的利润(万元)与月份x之间的函数关系式分别符合下列函数模型：f(x)＝a1x2＋b1x＋6，g(x)＝a23x＋b2(a1，a2，b1，b2∈R).
(1)求甲、乙两个工厂今年5月份的利润．
(2)在同一直角坐标系下画出函数f(x)与g(x)的草图，并根据草图比较今年甲、乙两个工厂的利润的大小情况．
【解析】(1)依题意：由
得解得
所以f(x)＝4x2－4x＋6.
由得解得
所以g(x)＝×3x＋5＝3x－1＋5，
所以甲工厂在今年5月份的利润为f(5)＝86万元，乙工厂在今年5月份的利润为g(5)＝86万元，故有f(5)＝g(5)，即甲、乙两个工厂今年5月份的利润相等，均为86万元．
(2)作函数图像如图所示：
从图中，可以看出今年甲、乙两个工厂的利润：
当x＝1或x＝5时，有f(x)＝g(x)；
当1g(x)；
当5创新练
　某校甲、乙两食堂2019年1月份的营业额相等，甲食堂的营业额逐月增加，并且每月增加值相等；乙食堂的营业额也逐月增加，且每月增加的百分比相同．已知2019年9月份两食堂的营业额又相等，则2019年5月份营业额较高的是(　　)
A．甲 B．乙
C．甲、乙相等 D．不确定
【解析】选A.设甲以后每个月比前一个月增加相同的营业额a(a>0)，乙每个月比前一个月增加营业额的百分比为x，由题意得，1＋8a＝1×(1＋x)8，5月份甲的营业额为1＋4a，5月份乙的营业额为1×(1＋x)4，即.
因为(1＋4a)2－(1＋8a)＝16a2>0，
所以1＋4a>.
所以2019年5月份营业额较高的是甲．
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