高中数学北师大版（2019）必修 第一册：对数函数的图像和性质（含解析）

对数函数的图像和性质
基础全面练　(15分钟　30分)
1．函数y＝的定义域是(　　)
A．(3，＋∞) B．[3，＋∞)
C．(4，＋∞) D．[4，＋∞)
2．如图是三个对数函数的图像，则a，b，c的大小关系是(　　)
A．a>b>c B．c>b>a
C．c>a>b D．a>c>b
3．(2020·全国卷Ⅲ)设a＝log32，b＝log53，c＝，则(　　)
A．a＜c＜b B．a＜b＜c
C．b＜c＜a D．c＜a＜b
4．函数y＝log (1－3x)的值域为(　　)
A．(－∞，＋∞) B．(－∞，0)
C．(0，＋∞) D．(1，＋∞)
5．已知y＝loga(3a－1)恒为正值，求a的取值范围．
综合突破练　(30分钟　60分)
一、选择题(每小题5分，共25分)
1．已知函数f(x)＝|log2x|，正数m，n满足mA．，2 B．，2
C．， D．，4
2．已知实数a＝log45，b＝，c＝log30.4，则a，b，c的大小关系为(　　)
A．b＜c＜a B．b＜a＜c
C．c＜a＜b D．c＜b＜a
3．对任意实数a，b，定义运算“*”如下：a*b＝
则函数f(x)＝log (3x－2)*log2x的值域为(　　)
A．[0，＋∞) B．(－∞，0]
C． D．
4．当05．已知f(x)＝是(－∞，＋∞)上的减函数，那么a的取值范围是(　　)
A．(0，1) B．
C． D．
二、填空题(每小题5分，共15分)
6．已知定义域为R的偶函数f(x)在[0，＋∞)上是增加的，且f＝0，则不等式f(log4x)<0的解集是________．
7．已知函数f(x)＝2＋log3x(1≤x≤9)，则函数g(x)＝f2(x)＋f(x2)的最大值为________．
8．已知函数f(x)＝loga(2x－a)，x∈.当a＝时，函数的最小值为________；若恒有f(x)>0，则实数a的取值范围是________．
【变式训练】
函数y＝log3(x2－2x)的递减区间是______．
三、解答题(每小题10分，共20分)
9．比较下列各组中两个数的大小：
(1)log31.9，log32.
(2)log23，log0.32.
(3)logaπ，loga3.141.
10．已知f(x)＝log4(4x－1).
(1)求f(x)的定义域．
(2)讨论f(x)的单调性．
(3)求f(x)在区间上的值域．
创新练
已知实数x满足4x－10·2x＋16≤0，求函数y＝(log3x)2－log3＋2的值域．
【变式训练】
已知函数f(x)＝loga(ax2－x)，是否存在实数a，使它在区间[2，4]上是增加的？如果存在，求出a的取值范围；如果不存在，说明理由．
参考答案：
基础全面练　(15分钟　30分)
1．函数y＝的定义域是(　　)
A．(3，＋∞) B．[3，＋∞)
C．(4，＋∞) D．[4，＋∞)
【解析】选D.由log2x－2≥0，得log2x≥log24，所以x≥4.
2．如图是三个对数函数的图像，则a，b，c的大小关系是(　　)
A．a>b>c B．c>b>a
C．c>a>b D．a>c>b
【解析】选D.令y＝1，如图所示．
则b3．(2020·全国卷Ⅲ)设a＝log32，b＝log53，c＝，则(　　)
A．a＜c＜b B．a＜b＜c
C．b＜c＜a D．c＜a＜b
【解析】选A.因为a＝log323＜log39＝＝c，
b＝log533＞log525＝＝c，所以a＜c＜b.
4．函数y＝log (1－3x)的值域为(　　)
A．(－∞，＋∞) B．(－∞，0)
C．(0，＋∞) D．(1，＋∞)
【解析】选C.因为3x>0，所以－3x<0，
所以1－3x<1.
令t＝1－3x，又y＝logt是关于t的减函数，
所以y＝logt>log1＝0.
5．已知y＝loga(3a－1)恒为正值，求a的取值范围．
【解析】当即1时，y＝loga(3a－1)恒为正值．
综上，a的取值范围为a>1或综合突破练　(30分钟　60分)
一、选择题(每小题5分，共25分)
1．已知函数f(x)＝|log2x|，正数m，n满足mA．，2 B．，2
C．， D．，4
【解析】选A.
画出函数f(x)＝|log2x|的图象的大致示意图，如图所示
已知正数m，n满足m所以0因为f(m)＝f(n)，所以|log2m|＝|log2n|，即－log2m＝log2n，
所以log2mn＝0，解得mn＝1.
结合题图知，函数f(x)＝|log2x|在(0，1)为减函数，在(1，＋∞)为增函数．
因为0函数f(x)在区间[m2，n]上，当x＝m2时，f(x)取得最大值，
即f(m2)＝|log2m2|＝－log2m2＝2，解得m＝，n＝2.
2．已知实数a＝log45，b＝，c＝log30.4，则a，b，c的大小关系为(　　)
A．b＜c＜a B．b＜a＜c
C．c＜a＜b D．c＜b＜a
【解析】选D.a＝log45>log44＝1，b＝＝1，c＝log30.4所以c＜b＜a.
3．对任意实数a，b，定义运算“*”如下：a*b＝
则函数f(x)＝log (3x－2)*log2x的值域为(　　)
A．[0，＋∞) B．(－∞，0]
C． D．
【解析】选B.在同一平面直角坐标系中分别画出y＝log(3x－2)和y＝log2x这两个函数的图像，如示意图1所示．所以f(x)图像如示意图2.
　
由图可得f(x)＝
所以值域为(－∞，0].
4．当0【解析】选D.因为函数y＝ax与y＝logax互为反函数，
所以它们的图像关于直线y＝x对称，
且当05．已知f(x)＝是(－∞，＋∞)上的减函数，那么a的取值范围是(　　)
A．(0，1) B．
C． D．
【解析】选C.因为f(x)＝logax(x≥1)是递减的，
所以0＜a＜1且f(1)＝0.
因为f(x)＝(3a－1)x＋4a(x＜1)为递减的，
所以3a－1＜0，所以a＜.
又因为f(x)＝
是(－∞，＋∞)上的减函数，
所以(3a－1)×1＋4a≥0，所以a≥.
所以a∈.
【误区】本题容易忽视函数在定义域上是递减的，而不仅是在两段上分别是递减的．
二、填空题(每小题5分，共15分)
6．已知定义域为R的偶函数f(x)在[0，＋∞)上是增加的，且f＝0，则不等式f(log4x)<0的解集是________．
【解析】因为f(log4x)<0，所以－答案：
7．已知函数f(x)＝2＋log3x(1≤x≤9)，则函数g(x)＝f2(x)＋f(x2)的最大值为________．
【解题技巧】先化简f2(x)＝(2＋log3x)2，f(x2)＝2＋log3x2，再求出g(x)进行解答．
【解析】由题意可得：可得x∈[1，3]，
故g(x)的定义域为[1，3].
g(x)＝f2(x)＋f(x2)＝(log3x)2＋6log3x＋6，
令t＝log3x，t∈[0，1]，得g(t)＝t2＋6t＋6，
故当t＝1时，g(t)取最大值g(1)＝13.
答案：13
8．已知函数f(x)＝loga(2x－a)，x∈.当a＝时，函数的最小值为________；若恒有f(x)>0，则实数a的取值范围是________．
【解析】当a＝时，函数f(x)＝log在区间上为减函数，当x＝时取最小值为log＝log1＝0.
因为函数f(x)在区间上恒有f(x)>0，所以a>1，且 2×－a>1；或 0答案：0　
【变式训练】
函数y＝log3(x2－2x)的递减区间是______．
【解析】令u＝x2－2x(x>2或x<0)，则y＝log3u，且y＝log3u是增函数，
u＝x2－2x(x>2或x<0)的递减区间是(－∞，0)，
故y＝log3(x2－2x)的递减区间是(－∞，0).
答案：(－∞，0)
三、解答题(每小题10分，共20分)
9．比较下列各组中两个数的大小：
(1)log31.9，log32.
(2)log23，log0.32.
(3)logaπ，loga3.141.
【解析】(1)因为函数y＝log3x在(0，＋∞)上是增函数，1.9<2，故log31.9(2)因为log23>log22＝1，log0.32故log23>log0.32.
(3)当a>1时，y＝logax在(0，＋∞)上是增函数，π>3.141，故logaπ>loga3.141；
当03.141，故logaπ10．已知f(x)＝log4(4x－1).
(1)求f(x)的定义域．
(2)讨论f(x)的单调性．
(3)求f(x)在区间上的值域．
【解析】(1)由4x－1>0，解得x>0，
因此f(x)的定义域为(0，＋∞).
(2)设0因此log4(4－1)即f(x1)故f(x)在(0，＋∞)上是增函数．
(3)因为f(x)在区间上是递增的，
又f＝0，f(2)＝log415，因此f(x)在区间上的值域为[0，log415].
创新练
已知实数x满足4x－10·2x＋16≤0，求函数y＝(log3x)2－log3＋2的值域．
【解析】不等式4x－10·2x＋16≤0可化为(2x)2－10·2x＋16≤0，即(2x－2)(2x－8)≤0.
从而有2≤2x≤8，即1≤x≤3.
所以0≤log3x≤1.
因为函数y＝(log3x)2－log3＋2，
可化为y＝(log3x)2－log3x＋2
＝＋，
当log3x＝时，ymin＝，
当log3x＝1时，ymax＝，
所以所求函数的值域为.
【变式训练】
已知函数f(x)＝loga(ax2－x)，是否存在实数a，使它在区间[2，4]上是增加的？如果存在，求出a的取值范围；如果不存在，说明理由．
【解析】存在实数a满足题意．
设g(x)＝ax2－x.
当a>1时，为使函数y＝f(x)＝loga(ax2－x)在区间[2，4]上是增加的，
只需g(x)＝ax2－x在区间[2，4]上是增加的，
故应满足
解得a>，所以a>1.
当0故
无解，此时a不存在．
综上，当a>1时，函数f(x)＝loga(ax2－x)在区间[2，4]上是增加的．
PAGE