高中数学北师大版（2019）必修 第一册：对数函数的概念对数函数y=log2x的图像和性质（含解析）

对数函数的概念　对数函数y＝log2x的图像和性质
基础全面练　(20分钟　35分)
1．下列函数是对数函数的是(　　)
A．y＝ln x 　　 B．y＝ln (x＋1)
C．y＝logxe 　　 D．y＝logxx
2．函数f(x)＝＋lg (1＋x)的定义域是(　　)
A．(－∞，－1) 　　 B．(1，＋∞)
C．(－1，1)∪(1，＋∞) 　　 D．(－∞，＋∞)
3．对数函数的图像过点M(16，4)，则此对数函数的解析式为(　　)
A．y＝log4x B．y＝logx
C．y＝logx D．y＝log2x
4．若f(x)＝logax＋(a2－4a－5)是对数函数，则a＝________．
5．若函数y＝f(x)是函数y＝5x的反函数，则f(f(5))＝________.
6．若函数y＝loga(x＋a)(a＞0且a≠1)的图像过点(－1，0).
(1)求a的值．
(2)求函数的定义域．
综合突破练　(30分钟　60分)
一、选择题(每小题5分，共25分)
1．若对数函数f(x)满足f(9)＝2，则f(3)＝(　　)
A．0 B．1 C．3 D．4
2．函数y＝的定义域是(　　)
A．(3，＋∞) B．(－∞，4]
C．(4，＋∞) D．(0，4]
3．设集合M＝，N＝，则集合M∪N等于(　　)
A．(－∞，0)∪[1，＋∞) 　　 B．[0，＋∞)
C．(－∞，1] 　　 D．(－∞，0)∪(0，1)
4．函数y＝log2x，x∈的值域为(　　)
A．[2，4] B．[－1，2]
C．[－2，2] D．[－2，1]
5．已知f(x)是函数y＝log2x的反函数，则y＝f(1－x)的图像是(　　)
二、填空题(每小题5分，共15分)
6．已知函数f(x)＝log3x＋logx，则f()＝________．
7．已知函数f(x)＝loga(x＋2)，若图象过点(6，3)，f(x)＝________，f(30)＝________．
8．设f(x)是奇函数，当x>0时，f(x)＝log2x，则当x<0时，f(x)＝________．
【变式训练】
函数f(x)＝log2x在区间[a，2a](a>0)上最大值与最小值之差为________．
三、解答题(每小题10分，共20分)
9．求下列函数的定义域：
(1)y＝log3(1－x).　　(2)y＝.
10．(1)已知f(x)＝log3x，若f(x)＝－2，求x的值．
(2)若log2m<0创新练
　设方程2x＋x－3＝0的根是a，方程log2x＋x－3＝0的根为b，求a＋b的值．
【变式训练】
已知对数函数f(x)＝(m2－m－1)·log(m＋1)x，求f(27)的值．
参考答案：
基础全面练　(20分钟　35分)
1．下列函数是对数函数的是(　　)
A．y＝ln x 　　 B．y＝ln (x＋1)
C．y＝logxe 　　 D．y＝logxx
【解析】选A.对数函数底数不能是自变量x，所以C，D都不对．对数函数的真数是自变量x，所以B不对．
2．函数f(x)＝＋lg (1＋x)的定义域是(　　)
A．(－∞，－1) 　　 B．(1，＋∞)
C．(－1，1)∪(1，＋∞) 　　 D．(－∞，＋∞)
【解析】选C.由真数1＋x>0得，x>－1.
又因为1－x≠0，所以x>－1，且x≠1.
3．对数函数的图像过点M(16，4)，则此对数函数的解析式为(　　)
A．y＝log4x B．y＝logx
C．y＝logx D．y＝log2x
【解析】选D.设f(x)＝logax(a>0，a≠1)，过点M(16，4)，
所以loga16＝4，所以a＝2.
4．若f(x)＝logax＋(a2－4a－5)是对数函数，则a＝________．
【解析】由已知得a2－4a－5＝0，
又因为a＞0，a≠1，所以a＝5.
答案：5
5．若函数y＝f(x)是函数y＝5x的反函数，则f(f(5))＝________.
【解析】因为y＝f(x)与y＝5x互为反函数，
所以f(x)＝log5x.
所以f(f(5))＝f(log55)＝f(1)＝log51＝0.
答案：0
6．若函数y＝loga(x＋a)(a＞0且a≠1)的图像过点(－1，0).
(1)求a的值．
(2)求函数的定义域．
【解析】(1)将(－1，0)代入y＝loga(x＋a)(a＞0，a≠1)中，有0＝loga(－1＋a)，
则－1＋a＝1，所以a＝2.
(2)由(1)知y＝log2(x＋2)，
由x＋2＞0，解得x＞－2，
所以函数的定义域为{x|x＞－2}．
综合突破练　(30分钟　60分)
一、选择题(每小题5分，共25分)
1．若对数函数f(x)满足f(9)＝2，则f(3)＝(　　)
A．0 B．1 C．3 D．4
【解析】选B.设对数函数为f(x)＝logax(a>0，a≠1)，所以2＝loga9.
所以a＝3.所以解析式为y＝log3x.
所以f(3)＝log33＝1.
2．函数y＝的定义域是(　　)
A．(3，＋∞) B．(－∞，4]
C．(4，＋∞) D．(0，4]
【解析】选D.由2－log2x≥0，得log2x≤log24，
所以x≤4，又因为x>0，所以0【误区】本题易忽视真数x>0，从而误选B.
3．设集合M＝，N＝，则集合M∪N等于(　　)
A．(－∞，0)∪[1，＋∞) 　　 B．[0，＋∞)
C．(－∞，1] 　　 D．(－∞，0)∪(0，1)
【解析】选C.因为M＝(0，1]，N＝(－∞，0]，
所以M∪N＝(－∞，1].
4．函数y＝log2x，x∈的值域为(　　)
A．[2，4] B．[－1，2]
C．[－2，2] D．[－2，1]
【解析】选C.因为y＝log2x是增函数，
所以ymin＝log2＝－2，ymax＝log24＝2.
所以，其值域为[－2，2].
5．已知f(x)是函数y＝log2x的反函数，则y＝f(1－x)的图像是(　　)
【解析】选C.函数y＝log2x的反函数为y＝2x，故f(x)＝2x，于是f(1－x)＝21－x＝，此函数在R上为减函数，其图像过点(0，2)，所以C选项中的图像符合要求．
【解题技巧】本题求出f(x)＝2x后，令x＝－1，x＝1，计算y＝f(1－x)的函数值，从而得到答案．
二、填空题(每小题5分，共15分)
6．已知函数f(x)＝log3x＋logx，则f()＝________．
【解析】f()＝log3＋log＝－＝0.
答案：0
7．已知函数f(x)＝loga(x＋2)，若图象过点(6，3)，f(x)＝________，f(30)＝________．
【解析】代入(6，3)，得3＝loga(6＋2)＝loga8，
即a3＝8，所以a＝2，所以f(x)＝log2(x＋2)，所以f(30)＝log232，令log232＝m，所以2m＝32＝25，所以m＝5.
答案：log2(x＋2)　5
【误区】该题的解析式为f(x)＝loga(x＋2)，解题过程中注意别写成了f(x)＝log2x.
8．设f(x)是奇函数，当x>0时，f(x)＝log2x，则当x<0时，f(x)＝________．
【解析】当x<0时，－x>0，f(－x)＝log2(－x).
又因为f(x)为奇函数，
所以f(－x)＝－f(x)＝log2(－x)，
故当x<0时，f(x)＝－log2(－x).
答案：－log2(－x)
【变式训练】
函数f(x)＝log2x在区间[a，2a](a>0)上最大值与最小值之差为________．
【解析】因为f(x)是增函数，所以f(x)max＝f(2a)＝log22a，f(x)min＝f(a)＝log2a.
所以f(x)max－f(x)min＝log22a－log2a＝log22＝1.
答案：1
三、解答题(每小题10分，共20分)
9．求下列函数的定义域：
(1)y＝log3(1－x).　　(2)y＝.
【解析】(1)因为当1－x>0，即x<1时，函数y＝log3(1－x)有意义，
所以函数y＝log3(1－x)的定义域为(－∞，1).
(2)由log2x≠0，得x>0且x≠1.
所以函数y＝的定义域为{x|x>0，且x≠1}．
10．(1)已知f(x)＝log3x，若f(x)＝－2，求x的值．
(2)若log2m<0【解析】(1)因为f(x)＝－2，所以f(x)＝log3x＝－2，
由指数、对数式互化得x＝3－2＝.
(2)因为log2m<0所以log2mf(x)＝log2x在区间(0，＋∞)上是增加的，
所以0创新练
　设方程2x＋x－3＝0的根是a，方程log2x＋x－3＝0的根为b，求a＋b的值．
【解析】将方程整理得2x＝3－x，log2x＝3－x.
由图可知，a是指数函数y＝2x的图像与直线y＝3－x的交点A的横坐标，b是对数函数y＝log2x的图像与直线y＝3－x交点B的横坐标．
由于函数y＝log2x与y＝2x互为反函数，
它们的图像关于直线y＝x对称，
因此，A，B两点也关于直线y＝x对称．
于是点A为(a，b)，点B为(b，a).
由于点A、点B都在直线y＝－x＋3上，
故有b＝－a＋3或a＝－b＋3，即a＋b＝3.
【变式训练】
已知对数函数f(x)＝(m2－m－1)·log(m＋1)x，求f(27)的值．
【解析】因为f(x)是对数函数，
故　解得m＝2，
所以f(x)＝log3x，f(27)＝log327＝3.
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