高中数学北师大版（2019）必修 第一册：换底公式（含解析）

换底公式
基础全面练　(15分钟　30分)
1．设a＝lg 6，b＝lg 20，则log23＝(　　)
A． B．
C． D．
2．已知2x＝3y≠1，则＝(　　)
A．lg B．lg C．log32 D．log23
3．化简：(log43＋log83)(log32＋log92)＝________．
4．某种汽车安全行驶的稳定性系数μ随使用年数t的变化规律是μ＝μ0e－λt，其中μ0，λ是正常数．经检测，当t＝2时，μ＝0.90μ0，则当稳定性系数降为0.50μ0时该种汽车已使用的年数为________．(结果精确到1，参考数据：lg 2≈0.301 0，lg 3≈0.477 1)
5．计算下列各式：
(1)(log32＋log92)(log43＋log83)＋2；
(2)2lg 5＋lg 8＋lg 5·lg 20＋lg22.
综合提升练　(15分钟　30分)
一、选择题(每小题5分，共25分)
1.的值为(　　)
A．2 B． C．1 D．
2．若2.5x＝1 000，0.25y＝1 000，则－＝(　　)
A． B．3 C．－ D．－3
3．若log5·log36·log6x＝2，则x＝(　　)
A．9 B． C．25 D．
4．如果lg 2＝m，lg 3＝n，那么log1512＝(　　)
A． B．
C． D．
5．若alog32＝1，b＝log38·log82，则a，b关系不正确的是(　　)
A．a>b B．a>1，b<1
C．ab＝1 D．a＝b
二、填空题(每小题5分，共15分)
6．下列式子表示正确的是________．
①logab＝＝；　②log32＝；
③loga2b2＝＝；　④log332·log227＝15.
7．计算：log2·log3·log5＝________．
8．已知x，y，z为正数，3x＝4y＝6z，且2x＝py，则p＝________，，，的关系为________．
【变式训练】
已知log89＝a，log25＝b，则lg 3＝______．
三、解答题(每小题10分，共20分)
9．求下列各式的值：
(1)log427·log258·log95.
(2)log225·log3·log5.
10．设a>0，a≠1，x，y满足logax＋3logxa－logxy＝3，用logax表示logay，并求当x取何值时，logay取得最小值．
创新练
1．下列表中的对数值有且仅有一个是错误的：
x 3 5 8 9 15
lg x 2a-b a+c 3-3a-3c 4a-2b 3a-b+c+1
请将错误的一个改正为lg ________＝________．
2．若函数y＝2x，y＝5x与直线l：y＝10的交点的横坐标分别为x1和x2，求＋.
参考答案：
基础全面练　(15分钟　30分)
1．设a＝lg 6，b＝lg 20，则log23＝(　　)
A． B．
C． D．
【解析】选D.因为a＝lg 6＝lg 2＋lg 3，
b＝lg 20＝1＋lg 2，所以log23＝＝.
2．已知2x＝3y≠1，则＝(　　)
A．lg B．lg C．log32 D．log23
【解析】选D.令2x＝3y＝k(k>0且k≠1)，
所以x≠y≠0，x＝log2k，y＝log3k，
故＝＝＝log23.
3．化简：(log43＋log83)(log32＋log92)＝________．
【解析】原式＝
＝
＝log23·log32＝.
答案：
4．某种汽车安全行驶的稳定性系数μ随使用年数t的变化规律是μ＝μ0e－λt，其中μ0，λ是正常数．经检测，当t＝2时，μ＝0.90μ0，则当稳定性系数降为0.50μ0时该种汽车已使用的年数为________．(结果精确到1，参考数据：lg 2≈0.301 0，lg 3≈0.477 1)
【解析】由0.90μ0＝μ0(e－λ)2，得e－λ＝，
又0.50μ0＝μ0(e－λ)t，则＝()t，
两边取常用对数，得lg ＝lg 0.90，
故t＝＝≈13.
答案：13
5．计算下列各式：
(1)(log32＋log92)(log43＋log83)＋2；
(2)2lg 5＋lg 8＋lg 5·lg 20＋lg22.
【解析】(1)(log32＋log92)(log43＋log83)＋2＝＋5
＝···＋5＝×＋5＝.
(2)2lg 5＋lg 8＋lg 5·lg 20＋lg22
＝2lg 5＋lg 23＋lg 5·lg (4×5)＋lg22
＝2lg 5＋2lg 2＋2lg 5·lg 2＋lg25＋lg22
＝2(lg 5＋lg 2)＋2lg 5·lg 2＋lg25＋lg22
＝2＋(lg 5＋lg 2)2＝2＋1＝3.
一、选择题(每小题5分，共25分)
1.的值为(　　)
A．2 B． C．1 D．
【解析】选D.原式＝＝＝.
2．若2.5x＝1 000，0.25y＝1 000，则－＝(　　)
A． B．3 C．－ D．－3
【解析】选A.因为x＝log2.51 000，y＝log0.251 000，
所以＝＝log1 0002.5，
同理＝log1 0000.25，
所以－＝log1 0002.5－log1 0000.25＝log1 00010＝＝.
3．若log5·log36·log6x＝2，则x＝(　　)
A．9 B． C．25 D．
【解析】选D.因为由换底公式，
得··＝2，所以－＝2.
所以lg x＝－2lg 5＝lg .所以x＝.
4．如果lg 2＝m，lg 3＝n，那么log1512＝(　　)
A． B．
C． D．
【解析】选C.因为lg 2＝m，lg 3＝n，
所以log1512＝＝
＝＝.
【误区】本题求解时，由于对数的运算性质背错导致可能选B.
5．若alog32＝1，b＝log38·log82，则a，b关系不正确的是(　　)
A．a>b B．a>1，b<1
C．ab＝1 D．a＝b
【解析】选D.因为b＝log38·log82＝log32，alog32＝1，即a＝，所以ab＝1，a>1，0b，所以a，b关系不正确的是D.
二、填空题(每小题5分，共15分)
6．下列式子表示正确的是________．
①logab＝＝；　②log32＝；
③loga2b2＝＝；　④log332·log227＝15.
答案：①④
7．计算：log2·log3·log5＝________．
【解析】原式＝··＝＝－12.
答案：－12
8．已知x，y，z为正数，3x＝4y＝6z，且2x＝py，则p＝________，，，的关系为________．
【解析】设3x＝4y＝6z＝k(显然k>0，且k≠1)，
则x＝log3k，y＝log4k，z＝log6k；
由2x＝py，得2log3k＝plog4k＝p·；
因为log3k≠0，所以p＝2log34；
－＝－＝logk6－logk3＝logk2，
又＝logk4＝logk2，所以－＝.
答案：2log34　－＝
【变式训练】
已知log89＝a，log25＝b，则lg 3＝______．
【解析】由已知得a＝＝①，b＝＝②，由②得lg 2＝③，把③代入①得a＝，所以lg 3＝.
答案：
三、解答题(每小题10分，共20分)
9．求下列各式的值：
(1)log427·log258·log95.
(2)log225·log3·log5.
【解析】(1)原式＝··
＝··＝.
(2)原式＝log252·log32－4·log53－2
＝··＝16.
10．设a>0，a≠1，x，y满足logax＋3logxa－logxy＝3，用logax表示logay，并求当x取何值时，logay取得最小值．
【解析】由换底公式，得logax＋－＝3，
整理得(logax)2＋3－logay＝3logax，
所以logay＝(logax)2－3logax＋3
＝＋.
所以当logax＝，
即x＝a时，logay取得最小值.
创新练
1．下列表中的对数值有且仅有一个是错误的：
x 3 5 8 9 15
lg x 2a-b a+c 3-3a-3c 4a-2b 3a-b+c+1
请将错误的一个改正为lg ________＝________．
【解析】因为lg 9＝2lg 3，lg 8＝3(1－lg 5)，
所以在lg 3，lg 9，lg 5，lg 8中若有一个错，必还有一个错，所以这4个对数的值都对，所以lg 15的值错．
又lg 15＝lg 3＋lg 5，
则lg 15＝(2a－b)＋(a＋c)＝3a－b＋c.
答案：15　3a－b＋c
2．若函数y＝2x，y＝5x与直线l：y＝10的交点的横坐标分别为x1和x2，求＋.
【解析】因为2x1＝10，x1＝log210，5x2＝10，x2＝log510，
所以＋＝＋＝lg 2＋lg 5＝1.
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