高中数学北师大版（2019）必修 第一册：对数的运算性质（含解析）

对数的运算性质
基础全面练　(20分钟　35分)
1．设alog34＝2，则4－a＝(　　)
A． B. C． D．
2．log35－log315＝(　　)
A．－1 B．1
C．0 D．log3(－10)
3．设a＝log310，b＝log37，则3a－b＝(　　)
A． B． C． D．
4．已知lg 2＝0.301，lg 3＝0.477，则lg 12＝(　　)
A．0.778 B．1.079 C．0.301 D．0.477
5．(lg 5)2－(lg 2)2＋lg 4＝________．
6．里氏震级M的计算方式为：M＝lg A－lg A0，其中A是测震仪记录的地震曲线的最大振幅，A0是相应的标准地震的振幅．假设在一次地震中，测震仪记录的最大振幅是1 000，此时标准地震的振幅为0.001，则此次地震的震级为几级？9级地震的最大振幅是5级地震最大振幅的多少倍？
综合突破练　(30分钟　60分)
一、选择题(每小题5分，共25分)
1．根据有关资料，围棋状态空间复杂度的上限M约为3361，而可观测宇宙中普通物质的原子总数N约为1080. 则下列各数中与最接近的是(参考数据：lg 3≈0.48)(　　)
A．1033 B．1053 C．1073 D．1093
2．已知x，y为正实数，则(　　)
A．2lg x＋lg y＝2lg x＋2lg y B．2lg (x＋y)＝2lg x·2lg y
C．2lg x·lg y＝2lg x＋2lg y D．2lg (xy)＝2lg x·2lg y
3．若lg a，lg b是方程2x2－4x＋1＝0的两个实根，则的值为(　　)
A．2 B． C．4 D．
4．已知log545＝a，则log53等于(　　)
A． B．
C． D．
5．已知x＝log32，则log38－2log312用x表示为(　　)
A．－x－2 B．x－2
C．－x＋2 D．x＋2
二、填空题(每小题5分，共15分)
6．(lg 2)2＋lg 5·lg 20＋＋0.027×＝________．
7．方程lg x＋lg (x－1)＝1－lg 5的根是________．
8．若xlog34＝1，则x＝______，4x＋4－x＝______．
三、解答题(每小题10分，共20分)
9．化简：
(1).
(2)(lg 5)2＋lg 2lg 50＋2．
10．已知函数f(x)＝a＋bx(b＞0，b≠1)的图象过点(1，4)和点(2，16).
(1)求f(x)的表达式；
(2) 当x∈(－3，4]时，求函数g(x)＝log2f(x)＋x2－6的值域．
创新练
1．已知二次函数f(x)＝(lg a)x2＋2x＋4lg a的最大值是3，则a的值为________．
2．设a>1，若对于任意的x∈[a，2a]，都有y∈[a，a2]满足方程logax＋logay＝3，求a的取值范围．
参考答案：
基础全面练　(20分钟　35分)
1．设alog34＝2，则4－a＝(　　)
A． B. C． D．
【解析】选B.由alog34＝2可得log34a＝2，所以4a＝9，
所以有4－a＝.
2．log35－log315＝(　　)
A．－1 B．1
C．0 D．log3(－10)
【解析】选A.log35－log315＝log3＝log33－1＝－1.
3．设a＝log310，b＝log37，则3a－b＝(　　)
A． B． C． D．
【解析】选C.因为a＝log310，b＝log37，
所以3a＝10，3b＝7，所以3a－b＝＝.
4．已知lg 2＝0.301，lg 3＝0.477，则lg 12＝(　　)
A．0.778 B．1.079 C．0.301 D．0.477
【解析】选B.因为lg 12＝lg 3＋lg 4＝lg 3＋2lg 2＝0.477＋2×0.301＝1.079.
5．(lg 5)2－(lg 2)2＋lg 4＝________．
【解析】原式＝(lg 5＋lg 2)(lg 5－lg 2)＋lg 4
＝lg 5－lg 2＋2lg 2＝lg 5＋lg 2＝1.
答案：1
6．里氏震级M的计算方式为：M＝lg A－lg A0，其中A是测震仪记录的地震曲线的最大振幅，A0是相应的标准地震的振幅．假设在一次地震中，测震仪记录的最大振幅是1 000，此时标准地震的振幅为0.001，则此次地震的震级为几级？9级地震的最大振幅是5级地震最大振幅的多少倍？
【解析】由M＝lg A－lg A0知，M＝lg 1 000－lg 0.001＝6，所以此次地震的震级为6级．设9级地震的最大振幅为A1，5级地震的最大振幅为A2，
则lg ＝lg A1－lg A2＝(lg A1－lg A0)－(lg A2－lg A0)＝9－5＝4.所以＝104＝10 000.
所以9级地震的最大振幅是5级地震最大振幅的10 000倍．
综合突破练　(30分钟　60分)
一、选择题(每小题5分，共25分)
1．根据有关资料，围棋状态空间复杂度的上限M约为3361，而可观测宇宙中普通物质的原子总数N约为1080. 则下列各数中与最接近的是(参考数据：lg 3≈0.48)(　　)
A．1033 B．1053 C．1073 D．1093
【解析】选D.由已知得，lg ＝lg M－lg N≈361×lg 3－80×lg 10≈361×0.48－80＝93.28＝lg 1093.28.故与最接近的是1093.
2．已知x，y为正实数，则(　　)
A．2lg x＋lg y＝2lg x＋2lg y B．2lg (x＋y)＝2lg x·2lg y
C．2lg x·lg y＝2lg x＋2lg y D．2lg (xy)＝2lg x·2lg y
【解析】选D.2lg x＋lg y＝2lg x·2lg y，故A错误；2lg x·2lg y＝2lg x＋lg y＝2lg (x·y)，故B错误，D正确；2lg x·lg y＝(2lg x)lg y，故C错误．
3．若lg a，lg b是方程2x2－4x＋1＝0的两个实根，则的值为(　　)
A．2 B． C．4 D．
【解析】选A.＝(lg a－lg b)2＝(lg a＋lg b)2－4lg a lg b＝22－4×＝2.
4．已知log545＝a，则log53等于(　　)
A． B．
C． D．
【解析】选D.因为log545＝log5(5×9)＝log55＋log59＝1＋log532＝1＋2log53＝a，
所以log53＝.
5．已知x＝log32，则log38－2log312用x表示为(　　)
A．－x－2 B．x－2
C．－x＋2 D．x＋2
【解析】选A.原式＝3log32－4log32－2＝－log32－2＝－x－2.
二、填空题(每小题5分，共15分)
6．(lg 2)2＋lg 5·lg 20＋＋0.027×＝________．
【解析】(lg 2)2＋lg 5·lg 20＋()0＋0.027×＝(lg 2)2＋lg 5 (2lg 2＋lg 5)＋1＋[(0.3)3] ×9＝(lg 2＋lg 5)2＋1＋×9＝1＋1＋100＝102.
答案：102
7．方程lg x＋lg (x－1)＝1－lg 5的根是________．
【解析】方程变形为lg [x(x－1)]＝lg 2，
所以x(x－1)＝2，解得x＝2或x＝－1.
经检验x＝－1不合题意，舍去，
所以原方程的根为x＝2.
答案：x＝2
8．若xlog34＝1，则x＝______，4x＋4－x＝______．
【解析】因为xlog34＝1，所以x＝＝log43，
从而4x＋4－x＝4＋＝3＋＝.
答案：log43　
三、解答题(每小题10分，共20分)
9．化简：
(1).
(2)(lg 5)2＋lg 2lg 50＋2．
【解析】(1)原式＝
＝＝.
(2)原式＝(lg 5)2＋lg 2(lg 5＋1)＋21·2
＝lg 5·(lg 5＋lg 2)＋lg 2＋2＝1＋2.
10．已知函数f(x)＝a＋bx(b＞0，b≠1)的图象过点(1，4)和点(2，16).
(1)求f(x)的表达式；
(2) 当x∈(－3，4]时，求函数g(x)＝log2f(x)＋x2－6的值域．
【解析】(1)由题知所以或(舍去).所以f＝4x.
(2)g(x)＝log24x＋x2－6＝log222x＋x2－6＝2x＋x2－6＝－7.
因为－1∈(－3，4]，所以g(x)min＝－7，当x＝4时，g(x)max＝18；
函数g(x)的值域为.
创新练
1．已知二次函数f(x)＝(lg a)x2＋2x＋4lg a的最大值是3，则a的值为________．
【解析】因为二次函数f(x)有最大值，
所以lg a<0.
又f(x)max＝＝＝3，
所以4(lg a)2－3lg a－1＝0，
所以lg a＝1或lg a＝－.
因为lg a<0，所以lg a＝－.
所以a＝10．
答案：10
2．设a>1，若对于任意的x∈[a，2a]，都有y∈[a，a2]满足方程logax＋logay＝3，求a的取值范围．
【解析】因为logax＋logay＝3，
所以logaxy＝3，
所以xy＝a3.所以y＝.
因为函数y＝(a>1)在(0，＋∞)上是减少的，
又当x＝a时，y＝a2，当x＝2a时，y＝＝，
所以 [a，a2]，所以≥a，
又a>1，所以a≥2，
所以a的取值范围为[2，＋∞).
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