高中数学：集合的概念与表示提升训练（含解析）

集合的概念与表示
基础过关练
题组一　集合的含义与特征
1.(2021山西运城高一上联考)下列所给对象能构成集合的是 (　　)　　
A.2020年全国Ⅰ卷数学试题的所有难题
B.比较接近2的全体正数
C.未来世界的高科技产品
D.所有整数
2.若以方程x2-5x+6=0和x2-x-2=0的解为元素组成集合M,则M中元素的个数为 (　　)
A.1 B.2 C.3 D.4
3.如果有一集合含有三个元素:1,x,x2-x,则实数x的取值范围是　　　　.
题组二　元素与集合的关系
4.已知集合A中含有三个元素:2,4,6,且当a∈A时,6-a∈A,那么a等于 (　　)
A.2 B.2或4 C.4 D.0
5.(2021吉林二中高一上月考)下列表示正确的是 (　　)
A.0∈N B.∈N
C.π R D.0.333 Q
6.已知集合A中元素满足x=3k-1,k∈Z,则下列表示正确的是(　　)
A.-1 A B.-11∈A
C.3k2-1∈A D.-34 A
7.已知x,y都是非零实数,z=++可能的取值组成的集合为A,则下列判断正确的是 (　　)
A.3∈A,-1 A B.3∈A,-1∈A
C.3 A,-1∈A D.3 A,-1 A
8.由x,,1组成的集合与x2,x+y,0组成的集合是同一个集合,求x2021+y2022的值.
题组三　集合的表示方法
9.下列集合中,不同于另外三个集合的是 (　　)
A.{x|x=1} B.{x|x2=1}
C.{1} D.{y|(y-1)2=0}
10.下列说法中正确的是 (　　)
A.某校高一(1)班所有聪明的学生可以构成一个集合
B.集合{a,b,c}与集合{c,b,a}是同一个集合
C.方程x2-2x+1=0的解构成的集合是{1,1}
D.0与{0}表示同一个集合
11.把集合{x|x2-4x-5=0}用列举法表示为 (　　)
A.{x=-1,x=5} B.{x|x=-1或x=5}
C.{x2-4x-5=0} D.{-1,5}
12.(2021广东深圳实验学校高一上期中)方程组的解集是 (　　)
A.(4,5) B.(5,-4)
C.{(5,-4)} D.{(-4,5)}
13.下列说法中正确的个数为 (　　)
(1)很小的实数可以构成集合;
(2)集合{y|y=x2-1}与集合{(x,y)|y=x2-1}是同一个集合;
(3)1,,,,0.5这些数组成的集合有5个元素;
(4)集合{(x,y)|xy<0,x∈R,y∈R}是指第二和第四象限内的点集.
A.0 B.1 C.2 D.3
14.已知集合A=,用列举法可表示为　　　　.
15.用适当的方法表示下列集合:
(1)所有能被3整除的整数;
(2)满足方程x=|x|,x∈Z的所有x的值组成的集合B;
(3)图中阴影部分的点(含边界)的坐标组成的集合.
综合提升练
一、选择题
1.下列对象能构成集合的是 (　　)
A.新冠疫情防控期间A市学习勤奋的学生
B.cos60°,sin30°,sin45°
C.我国较长的河流
D.小于π的正整数
2.已知集合A={1,3,4,5,8},集合B={2,3,5,6,8},若集合C={x|x∈A,x B},则集合C= (　　)
A.{1,2,4,6} B.{3,5,8}
C.{1,4} D.{2,6}
3.已知集合A={(x,y)|x2+y2≤3,x∈Z,y∈Z},则A中元素的个数为　　 (　　)
A.9 B.8 C.5 D.4
4.用列举法表示集合,正确的是 (　　)
A.(-1,1),(0,0) B.{(-1,1),(0,0)}
C.{x=-1或0,y=1或0} D.{-1,0,1}
5.已知3∈{1,a,a-2},则实数a的值为 (　　)
A.3 B.5 C.3或5 D.无解
6.集合A={1,2,3,5},当x∈A时,x-1 A,x+1 A,则称x 为A的一个“孤立元素”,则A中孤立元素的个数为 (　　)
A.1 B.2 C.3 D.4
7.已知集合M={a,2a-1,2a2-1},若1∈M,则M中所有元素之和为(　　)
A.3 B.1 C.-3 D.-1
8.已知集合A={0,1,2},集合B={-1,3},记A+B={a+b|a∈A,b∈B},则A+B中元素的个数为 (　　)
A.5 B.6 C.7 D.8
9.已知集合A={(x,y)|x2+y2≤1,x,y∈Z},B={(x,y)||x|≤2,|y|≤2,x,y∈Z},定义集合A B={(x1+x2,y1+y2)|(x1,y1)∈A,(x2,y2)∈B},则A B中元素的个数为 (　　)
A.77 B.49 C.45 D.30
二、填空题
10.用列举法表示集合{(x,y)|y=-x2+2,x∈N,y∈N}为　　　　　　.
11.已知集合A={1,2,3},B={(x,y)|x∈A,y∈A,x+y∈A},则B中所含元素的个数为　　　.
12.若集合A={x|ax2+x+1=0,x∈R}仅含有一个元素,则实数a的值是　　　　.
13.已知集合A={m+2,2m2+m},若3∈A,则m的值为　　　　.
14.已知集合A={x|x2-2x+a>0},且1 A,则实数a的取值范围是　　　　.
三、解答题
15.集合M满足条件:若a∈M,则∈M(a≠±1且a≠0).
(1)若3∈M,求集合M;
(2)集合M内的元素能否只有一个 请说明理由;
(3)请写出集合M的元素个数的所有可能值,并说明理由.
16.已知a,b∈N+,现规定:a*b=集合M={(a,b)|a*b=36,a,b∈N+}.
(1)用列举法表示a与b一个为奇数,一个为偶数时的集合M;
(2)当a与b同为奇数或同为偶数时,集合M中共有多少个元素
参考答案：
基础过关练
1.D 2.C 4.B 5.A 6.C
7.B 9.B 10.B 11.D 12.D
13.B
1.D　选项A,B,C中的对象都具有不确定性,所以它们的对象不能构成集合;而选项D中的对象具有确定性,能构成集合.故选D.
2.C　方程x2-5x+6=0有两个不同的解2,3,方程x2-x-2=0有两个不同的解-1,2,因为2是相同的,所以在集合M中记为1个元素,所以共有3个元素.
3.答案　x≠0,1,2,
解析　由集合中元素的互异性可得x≠1,x2-x≠1,x2-x≠x,解得x≠0,1,2,.
4.B　若a=2,则6-2=4∈A;若a=4,则6-4=2∈A;若a=6,则6-6=0 A.因此a=2或a=4.故选B.
5.A　对于A,∵0是自然数,所以0∈N,故A正确;对于B,是分数, N,故B不正确;对于C,π是无理数,属于实数,即π∈R,故C不正确;对于D,0.333是有理数,即0.333∈Q,故D不正确.故选A.
6.C　令3k-1=-1,解得k=0∈Z,∴-1∈A;令3k-1=-11,解得k=- Z,∴-11 A;
∵k2∈Z,∴3k2-1∈A;令3k-1=-34,解得k=-11∈Z,∴-34∈A.故选C.
7.B　当x>0,y>0时,z=1+1+1=3;当x>0,y<0时,z=1-1-1=-1;当x<0,y>0时,z=-1+1-1=-1;当x<0,y<0时,z=-1-1+1=-1.所以3∈A,-1∈A.故选B.
8.解析　由x,,1组成一个集合,可知x≠0,x≠1,由题意可得=0,即y=0,此时两集合中的元素分别为x,0,1和x2,x,0,因此x2=1,解得x=-1或x=1(不满足集合中元素的互异性,舍去),因此x=-1,且y=0,
所以x2021+y2022=(-1)2021+02022=-1.
易错警示
由元素与集合的关系求出参数的值后,一定要检验所求出的集合是否满足集合中元素的互异性.
9.B　A中,{x|x=1}={1};B中,{x|x2=1}={x|x=1或x=-1}={1,-1};D中,{y|(y-1)2=0}={y|y=1}={1}.综上,只有B中集合和另外三个集合不同,故选B.
10.B　A中,“聪明的学生”没有明确的标准,不具有确定性,他们的全体不能构成集合,故A错误;B中,集合{a,b,c}与集合{c,b,a}的元素完全相同,因此它们是同一个集合,故B正确;C中,方程x2-2x+1=0的解构成的集合应为{1},故C错误;D中,0表示元素,{0}表示一个集合,故D错误.
11.D　解方程x2-4x-5=0得x=-1或x=5,因此集合{x|x2-4x-5=0}用列举法可表示为{-1,5},故选D.
12.D　由解得所以方程组的解集是{(-4,5)},故选D.
13.B　(1)中,“很小的实数”没有明确的标准,不具有确定性,不能构成集合;(2)中,集合{y|y=x2-1}表示函数y=x2-1中函数值y组成的集合,即{y|y≥-1},而集合{(x,y)|y=x2-1}表示抛物线y=x2-1上的点集,故不是同一个集合;(3)中,=,=0.5,它们分别只能算一个,因此这些数组成的集合中只有3个元素;(4)中,集合{(x,y)|xy<0,x∈R,y∈R}是指平面直角坐标系中横坐标与纵坐标异号的点组成的集合,即第二和第四象限内的点集.故只有(4)正确.故选B.
14.答案　{4,3,2,1}
解析　根据题意知,5-x是12的因数,所以5-x可能的取值为1,2,3,4,6,12,从而可得到对应x的值为4,3,2,1,-1,-7.因为x∈N,所以x的值为4,3,2,1,所以集合A用列举法可表示为{4,3,2,1}.
15.解析　(1){x|x=3n,n∈Z}.
(2)B={x|x=|x|,x∈Z}.
(3)(x,y)-1≤x≤2,-≤y≤1,且xy≥0.
综合提升练
1.D 2.C 3.A 4.B 5.B
6.A 7.C 8.B 9.C
一、选择题
1.D　对于A,学习是否勤奋的标准不确定,故不满足集合中元素的确定性,故A不能构成集合;对于B,由于cos60°=sin30°=,不符合集合中元素的互异性,故B不能构成集合;对于C,因为我国较长的河流的标准不确定,所以不满足集合中元素的确定性,故C不能构成集合;对于D,小于π的正整数分别为1,2,3,所以能构成集合,故选D.
2.C　因为x∈A且x B,且仅有1∈A,1 B,4∈A,4 B,所以集合C中的元素有1,4,所以C={1,4},故选C.
3.A　当x=-1时,y=-1,0,1;当x=0时,y=-1,0,1;当x=1时,y=-1,0,1.所以集合A={(-1,-1),(-1,0),(-1,1),(0,-1),(0,0),(0,1),(1,-1),(1,0),(1,1)},共有9个元素.
4.B　集合={(-1,1),(0,0)},故选B.
5.B　∵3∈{1,a,a-2},∴a=3或a-2=3.当a=3时,a-2=1,与集合中元素的互异性矛盾,不满足题意;当a-2=3时,a=5,集合为{1,5,3},满足题意.综上,实数a的值为5.故选B.
6.A　当x=1时,1+1=2∈A,故不满足孤立元素的定义;当x=2时,2+1=3∈A,故不满足孤立元素的定义;当x=3时,3-1=2∈A,故不满足孤立元素的定义;当x=5时,5-1=4 A,5+1=6 A,故满足孤立元素的定义.故A中孤立元素的个数为1.故选A.
7.C　若a=1,则2a-1=1,不满足集合中元素的互异性,舍去;若2a-1=1,则a=1,不满足集合中元素的互异性,舍去;若2a2-1=1,解得a=1(舍)或a=-1,所以M={-1,-3,1},则M中所有元素之和为-3.故选C.
8.B　依题意得,集合A+B是由集合A中的元素a与集合B中的元素b的和a+b构成的,即A+B={-1,0,1,3,4,5},因此集合A+B中有6个元素,故选B.
9.C　当x1=0时,y1∈{-1,0,1},而x2,y2∈{-2,-1,0,1,2},此时x1+x2∈{-2,-1,0,1,2},y1+y2∈{-3,-2,-1,0,1,2,3},
则A B中元素的个数为5×7=35.
当x1=±1时,y1=0,而x2,y2∈{-2,-1,0,1,2},此时x1+x2∈{-3,-2,-1,0,1,2,3},y1+y2∈{-2,-1,0,1,2}.
由于x1+x2∈{-2,-1,0,1,2},y1+y2∈{-2,-1,0,1,2}时,A B中的元素与前面重复,故此时与前面不重复的元素个数为2×5=10,则A B中元素的个数为35+10=45.
二、填空题
10.答案　{(0,2),(1,1)}
解析　由x∈N得,x取0,1,2,…,当x=0时,y=2∈N;当x=1时,y=1∈N;当x≥2时,y≤-2,不符合题意.故集合{(x,y)|y=-x2+2,x∈N,y∈N}={(0,2),(1,1)}.
11.答案　3
解析　根据x∈A,y∈A,x+y∈A知,当x=1时,y=1或y=2;当x=2时,y=1;当x=3时,y不存在.因此集合B={(1,1),(1,2),(2,1)},有3个元素.
12.答案　0或
解析　依题意得方程ax2+x+1=0有唯一解,当a=0时,方程ax2+x+1=0就是x+1=0,有唯一解,符合题意;当a≠0时,有Δ=1-4a=0,解得a=.
综上所述,a的值是0或.
13.答案　-
解析　∵集合A={m+2,2m2+m},3∈A,
∴m+2=3或2m2+m=3,解得m=1或m=-.当m=1时,m+2=3,2m2+m=3,不符合集合中元素的互异性,故m=1舍去;当m=-时,符合题意.
14.答案　a≤1
解析　因为1 A,所以12-2+a≤0,解得 a≤1.
三、解答题
15.解析　(1)∵3∈M,∴=-2∈M,=-∈M,=∈M,而=3,∴M=.
(2)不能.假设M中只有一个元素,则a=,化简,得a2=-1,无实数解,所以M中不可能只有一个元素.
(3)M的元素个数只能为4.
理由如下:
假设M中有两个元素,则a∈M,可得出∈M,由(2)知,a≠,因此=-∈M,且a=-,即a2=-1,无解,故M中不可能有两个元素.假设M中有三个元素,则a==,即a2=-1,无解,故M中不可能有三个元素.由上述结论可得,若a∈M,则∈M,-∈M,∈M,且互不相等,由集合的条件知∈M,化简,得=a∈M.
因此M中只能有四个元素,即M的元素个数为4.
16.解析　(1)当a与b一个为奇数,一个为偶数时,集合M中的元素(a,b)满足a×b=36,a,b∈N+.
∵1×36=36,3×12=36,4×9=36,9×4=36,12×3=36,36×1=36,
∴当a与b一个为奇数,一个为偶数时,M={(1,36),(3,12),(4,9),(9,4),(12,3),(36,1)}.
(2)当a与b同为奇数或同为偶数时,集合M中的元素(a,b)满足a+b=36,a,b∈N+.
∵1+35=36,2+34=36,3+33=36,……,34+2=36,35+1=36,
∴当a与b同为奇数或同为偶数时,集合M中共有35个元素.