26.2 二次函数的图象与性质
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一、选择题
1、［2021·较易］如图是二次函数y＝ax2+bx+c图象的一部分，图象过点A（﹣3，0），对称轴为直线x＝﹣1，给出四个结论：
①abc＞0；
②2a﹣b＝0；
③4ac﹣b2＜0；
④若点B（﹣，y1）、C（﹣，y2）为函数图象上的两点，则y1＞y2；
⑤am2+bm＜a﹣b（m为任意实数）；
其中，正确结论的个数是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
［思路分析］根据函数图象和题意，可以判断各个小题中的结论是否正确，从而可以解答本题．
［答案详解］解：由函数图象可得，a＜0，c＞0，
∵对称轴为直线x＝﹣1，
∴x＝﹣＝﹣1，
∴b＝2a＞0，即2a﹣b＝0，故②正确；
∴abc＞0，故①正确，
由图可知，二次函数与x轴有两个交点，
∴Δ＝b2﹣4ac＞0，即4ac﹣b2＜0，故③正确；
∵函数图象开口向下，对称轴为直线x＝﹣1，
∴当x＜﹣1时，y随x的增大而增大，
若点B（﹣，y1）、C（﹣，y2）为函数图象上的两点，则y1＞y2，故④正确，
由图可知，当x＝﹣1时，y取得最大值，
∴am2+bm+c≤a﹣b+c，即am2+bm≤a﹣b，故⑤错误．
故选：D．
［经验总结］本题考查二次函数图象与系数的关系、二次函数图象上点的坐标特征，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质解答．
2、［2021·较易］已知二次函数y＝﹣x2+2x+4，则下列关于这个函数图象和性质的说法，正确的是（ ）
A．图象的开口向下
B．图象的顶点坐标是（1，3）
C．当x＜1时，y随x的增大而减少
D．图象与x轴有唯一交点
［思路分析］先利用配方法得到y＝﹣（x﹣1）2+5，可根据二次函数的性质可对A、B、C进行判断；通过解方程﹣x2+2x+4＝0可对D进行判断．
［答案详解］解：∵y＝﹣x2+2x+4＝﹣（x﹣1）2+5，
∴抛物线的开口向下，顶点坐标为（1，5），抛物线的对称轴为直线x＝1，当x＜1时，y随x的增大而增大，
令y＝0，则﹣x2+2x+4＝0，
∴△＝4﹣4×（﹣1）×4＝20＞0，
∴抛物线与x轴有两个交点．
故选：A．
［经验总结］本题考查了抛物线与x轴的交点：把求二次函数y＝ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）与x轴的交点坐标问题转化为解关于x的一元二次方程根的判断．也考查了二次函数的性质．
3、［2021·较易］若抛物线y＝x2﹣2x+m2﹣1的顶点在x轴上，则m的值是（ ）
A．1 B． C．﹣ D．±
［思路分析］抛物线的顶点在x轴上时，抛物线与x轴的交点只有一个，因此根的判别式Δ＝0，可据此求出m的值．
［答案详解］解：∵抛物线y＝x2﹣2x+m2﹣1的顶点在x轴上，
∴b2﹣4ac＝0，
即4﹣4（m2﹣1）＝0，
解得m＝±．
故选：D．
［经验总结］本题考查了二次函数的性质，解题的关键是了解当顶点在x轴上时，抛物线与x轴有唯一的公共点．
4、［2021·较易］一次函数y＝x+a与二次函数y＝ax2﹣a在同一坐标系中的大致图象可能是（ ）
A． B．
C． D．
［思路分析］根据二次函数的图象和一次函数与x轴，与y轴的交点可得相关图象进行判断．
［答案详解］解：由一次函数y＝x+a可知，一次函数的图象与x轴交于（﹣a，0），与y轴交于点（0，a），由二次函数y＝ax2﹣a可知，抛物线与x轴交于（﹣1，0）和（1，0），与y轴交于点（0，﹣a），
∵两个函数的图象与x轴交于不同的两点，与y轴交于不同的两点，
∴A、B、D不可能，
选项C中，由直线经过一、三、四象限可知a＜0，由抛物线可知开口向下，交y轴的正半轴，则a＜0，故C有可能；
故选：C．
［经验总结］本题考查了一次函数的图象，二次函数的图象，函数图象与坐标轴的交点，以及函数图象与系数的关系，解答本题的关键是明确题意，利用一次函数的性质和二次函数的性质解答．
5、［2021·较易］若二次函数y＝﹣x2+mx在﹣2≤x≤1时的最大值为5，则m的值是（ ）
A．﹣2或6 B．2或6 C．﹣或6 D．﹣或﹣2
［思路分析］表示出对称轴，分三种情况，找出关于m的方程，解之即可得出结论．
［答案详解］解：∵y＝﹣x2+mx，
∴抛物线开口向下，抛物线的对称轴为x＝﹣＝，
①当≤﹣2，即m≤﹣4时，当x＝﹣2时，函数最大值为5，
∴﹣4﹣2m＝5，
解得：m＝﹣4.5；
②当≥1，即m≥2时，当x＝1时，函数最大值为5，
∴﹣1+m＝5，
解得：m＝6．
③当﹣2＜＜1，即﹣4＜m＜2时，当x＝时，函数最大值为5，
∴﹣+＝5，
解得m＝2（舍去）或m＝﹣2（舍去），
综上所述，m＝﹣4.5或m＝6，
故选：C．
［经验总结］本题考查了二次函数的最值、解一元二次方程，解题的关键是：分三种情况，找出关于m的方程．
6、［2021·较易］若两个不相交的函数图象在竖直方向上的最短距离称为这两个函数的“和谐值”．则抛物线y＝x2﹣2x+3与直线y＝x﹣2的“和谐值”为（ ）
A．3 B．2 C． D．
［思路分析］通过x2﹣2x+3﹣（x﹣2）求解．
［答案详解］解：∵抛物线开口向上，
∴抛物线在直线上方，
设“和谐值”为h，
∵h＝x2﹣2x+3﹣（x﹣2）＝（x﹣）2+，
∴该函数最小值为，
故选：D．
［经验总结］本题考查二次函数的性质，解题关键是掌握求“和谐值”的方法，并不是抛物线顶点到直线竖直距离最小．
7、［2021·较易］二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，下面五条信息：①c＜0；②ab＜0；③a﹣b+c＞0；④2a﹣3b＝0；⑤c﹣4b＞0．你认为其中正确的个数有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
［思路分析］观察图象易得a＞0，﹣＝＞0，所以b＜0，2a﹣3b＞0，因此ab＜0，由此可以判定①②是正确的，而④是错误的；
当x＝﹣1，y＝a﹣b+c，由点（﹣1，a﹣b+c）在第二象限可以判定a﹣b+c＞0③是正确的；
当x＝2时，y＝4a+2b+c＝2×（﹣3b）+2b+c＝c﹣4b，由点（2，c﹣4b）在第一象限可以判定c﹣4b＞0⑤是正确的．
［答案详解］解：∵抛物线开口方向向上，
∴a＞0，
∵与y轴交点在x轴的下方，
∴c＜0，
∵﹣＝＞0，
∴2a＝﹣3b，
∵a＞0，
∴b＜0，
2a﹣3b＞0，
∴ab＜0，
由此看来①②是正确的，而④是错误的；
当x＝﹣1，y＝a﹣b+c，
而点（﹣1，a﹣b+c）在第二象限，
∴③a﹣b+c＞0是正确的；
当x＝2时，y＝4a+2b+c＝2×（﹣3b）+2b+c＝c﹣4b，
而点（2，c﹣4b）在第一象限，
∴⑤c﹣4b＞0正确．
其中正确信息的有①②③⑤．
故选：D．
［经验总结］本题主要考查二次函数图象与系数的关系，以及从函数图象中获取信息的能力，解题的关键是熟练掌握并应用二次函数的图象和性质．
8、［2021·较易］抛物线y＝ax2+bx+c的图象经过原点和第一、二、三象限，那么下列结论成立的是（ ）
A．a＜0，b＜0，c＝0 B．a＞0，b＜0，c＝0
C．a＜0，b＞0，c＝0 D．a＞0，b＞0，c＝0
［思路分析］根据抛物线所在的象限确定字母的符号．
［答案详解］解：如图所示：抛物线开口向上，对称轴在y轴左侧，过原点．
∴a＞0，b＞0，c＝0．
故选：D．
［经验总结］本题考查二次函数的图象，掌握a，b，c对图象位置的作用是求解本题的关键．
二、填空题
9、［2022·较易］如果抛物线C与抛物线y＝x2+3x关于y轴对称，那么抛物线C的表达式是 ．
［思路分析］根据抛物线y＝5x2+1与抛物线C关于y轴对称，将抛物线解析式中x换成﹣x，整理后即可得出结论．
［答案详解］解：∵抛物线C与抛物线y＝x2+3x关于y轴对称，
∴抛物线C的解析式为y＝（﹣x）2+3 （﹣x），即y＝x2﹣3x．
故答案为：y＝x2﹣3x．
［经验总结］本题考查了二次函数图象与几何变换，解题的关键是能够熟练的找出已知函数关于y轴对称的函数解析式．本题属于基础题，难度不大，解决该题型题目时，根据函数图象的变换找出变换后的函数解析式是关键．
10、［2022·较易］函数y＝的自变量x的取值范围是 ．
［思路分析］根据题目中的函数解析式和二次根式有意义的条件、分式有意义的条件，可以求得x的取值范围．
［答案详解］解：∵函数y＝，
∴，
解得x≥﹣2且x≠0，
故答案为：x≥﹣2且x≠0．
［经验总结］本题考查二次函数的性质，解答本题的关键是明确二次根式有意义的条件、分式有意义的条件．
11、［2022·较易］在平面直角坐标系中，二次函数y＝﹣x2+mx+3过点（4，3），当0≤x≤a时，y有最大值7，最小值3，则a的取值范围是 ．
［思路分析］先求得抛物线的解析式，根据二次函数的性质以及二次函数图象上点的坐标特征即可得到a的取值范围．
［答案详解］解：∵二次函数y＝﹣x2+mx+3过点（4，3），
∴3＝﹣16+4m+3，
∴m＝4，
∴y＝﹣x2+4x+3，
∵y＝﹣x2+4x+3＝﹣（x﹣2）2+7，
∴抛物线开口向下，对称轴是直线x＝2，顶点为（2，7），函数有最大值7，
把y＝3代入y＝﹣x2+4x+3得3＝﹣x2+4x+3，解得x＝0或x＝4，
∵当0≤x≤a时，y有最大值7，最小值3，
∴2≤a≤4．
故答案为：2≤a≤4．
［经验总结］本题考查了待定系数法求二次函数的解析式，二次函数图象上点的坐标特征，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键．
12、［2022·较易］若点P（m，n）在二次函数y＝x2+2x+2的图象上，且点P到y轴的距离小于2，则n的取值范围是 ．
［思路分析］由题意可知﹣2＜m＜2，根据m的范围即可确定n的范围．
［答案详解］解：∵y＝x2+2x+2＝（x+1）2+1，
∴二次函数y＝x2+2x+2的图象开口向上，顶点为（﹣1，1），对称轴是直线x＝﹣1，
∵P（m，n）到y轴的距离小于2，
∴﹣2＜m＜2，
而﹣1﹣（﹣2）＜2﹣（﹣1），
当m＝2，n＝（2+1）2+1＝10，
当m＝﹣1时，n＝1，
∴n的取值范围是1≤n＜10，
故答案为：1≤n＜10．
［经验总结］本题考查二次函数的性质，解题的关键是掌握二次函数的图象及性质．
13、［2022·较易］已知二次函数y＝﹣（x﹣2）2+t，当x＜2时，y随x的增大而 .（填“增大”或“减小”）
［思路分析］由抛物线开口方向及对称轴求解．
［答案详解］解：∵y＝﹣（x﹣2）2+t，
∴抛物线开口向下，对称轴为直线x＝2，
∴x＜2时，y随x增大而增大，
故答案为：增大．
［经验总结］本题考查二次函数的性质，解题关键是掌握二次函数图象与系数的关系．
14、［2022·较易］二次函数y＝ax2+bx+c，自变量x与函数y的对应值如表：
x … ﹣3 ﹣1 1 3 …
y … ﹣4 2 4 2 …
则当﹣3＜x＜3时，y满足的范围是 ．
［思路分析］利用二次函数图象上点的坐标特征可根据x＝﹣3及x＝3时y的值，结合二次函数图象的顶点坐标，即可找出﹣3＜x＜3时y的取值范围．
［答案详解］解：从表格看出，函数的对称轴为x＝1，顶点为（1，4），函数有最大值4，
∴抛物线开口向下，
∴当﹣3＜x＜3时，﹣4＜y≤4，
故答案为，﹣4＜y≤4．
［经验总结］本题考查了二次函数的性质，二次函数图象上点的坐标特征，解题的关键是学会看懂表格信息，灵活运用所学知识解决问题，属于基础题．
三、解答题
15、［2022·较难］已知抛物线y＝ax2+bx+c（a＞0）经过点A（﹣1，m），B（3，m），与y轴交于点C．
（1）若抛物线经过点P（1，1），求b+2c的值；
（2）当m＝0，且﹣1≤x≤0时，y的最小值为﹣3．
①求抛物线的解析式；
②直线y＝kx（k≠1）与抛物线交于点D，与直线BC交于点E，连接CD，当＝时，求k的值．
［思路分析］（1）利用抛物线的对称性求得抛物线的对称轴，从而得到b与a的关系，利用待定系数法将（1，1）代入解析式，整理即可得出结论；
（2）①利用待定系数法解得即可；
②利用三角形的面积关系得到点D与点E的横坐标的关系，设点D栋横坐标为5m，则点E的横坐标为3m，利用BC解析式表示出点E坐标，代入直线y＝kx中求得k值，从而得到点D坐标，将点D坐标代入抛物线解析式，即可求得m值，将m值代入k的关系式即可求得结论．
［答案详解］解：（1）∵抛物线y＝ax2+bx+c（a＞0）经过点A（﹣1，m），B（3，m），
∴抛物线的对称轴为直线x＝＝1．
∴＝1．
∴a＝﹣b，
∵抛物线经过点P（1，1），
∴a+b+c＝1．
∴﹣b+b+c＝1．
∴b+c＝1．
∴b+2c＝2；
（2）①当m＝0时，点A（﹣1，0），B（3，0），
∵抛物线的对称轴为直线x＝1，a＞0，
∴当x＜1时，y随x的增大而减小．
∵当m＝0，且﹣1≤x≤0时，y的最小值为﹣3，
∴当x＝0时，y的最小值为﹣3，
∴抛物线经过点（0，﹣3）．
∴，
解得：．
∴抛物线的解析式为y＝x2﹣2x﹣3．
②∵抛物线与y轴交于点C，
∴C（0，﹣3）．
设直线BC的解析式为y＝kx+n，
∴，
解得：，
∴直线BC的解析式为y＝x﹣3．
∵＝，
∴＝．
∴点E与点D的横坐标的比为3：5，
设点D栋横坐标为5m，则点E的横坐标为3m，
∵点E在直线BC上，
∴E（3m，3m﹣3）．
∴3mk＝3m﹣3．
∴k＝．
∴直线y＝kx是解析式为y＝x．
∴D（5m，5m﹣5）．
∵点D在抛物线y＝x2﹣2x﹣3上，
∴25m2﹣10m﹣3＝5m﹣5．
解得：m＝﹣或m＝．
∴k＝6或﹣．
［经验总结］本题主要考查了待定系数法确定函数的解析式，二次函数的性质，抛物线上的点的坐标的特征，一次函数图象的性质一次函数图象上点的坐标的特征，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键．
16、［2022·较难］已知，如图，矩形ABCD中，AD＝3，DC＝4，菱形EFGH的三个顶点E，G，H分别在矩形ABCD的边AB，CD，DA上，AH＝1，连接CF．
（1）当点G在边DC上运动时；探究：点F到边DC的距离FM是否为定值？如果是，请求出这个值；如果不是，请说明理由．
（2）当DG为何值时，△FCG的面积最小，并求出这个最小值．
［思路分析］（1）过F作FM⊥DC，交DC延长线于M，连接GE，由于AB∥CD，可得∠AEG＝∠MGE，同理有∠HEG＝∠FGE，利用等式性质有∠AEH＝∠MGF，再结合∠A＝∠M＝90°，HE＝FG，可证△AHE≌△MFG，从而有FM＝HA＝1（即无论菱形EFGH如何变化，点F到直线CD的距离始终为定值1）；
（2）由题易知S△FCG＝FM CG＝，要使S△FCG有最小值，则需CG最小，所以DG最大，在Rt△DHG中，当HG最大时，DG最大，在△AHE中，AE≤AB＝4，HG2＝HE2≤17，可以求出最小值．
［答案详解］解：（1）点F到边DC的距离FM是定值．
过F作FM⊥DC，交DC延长线于M，连接GE，
∵AB∥CD，
∴∠AEG＝∠MGE，
∵HE∥GF，
∴∠HEG＝∠FGE，
∴∠AEH＝∠MGF，
在△AHE和△MFG中，∠A＝∠M＝90°，HE＝FG，
∴△AHE≌△MFG（HL），
∴FM＝HA＝1，
即无论菱形EFGH如何变化，点F到直线CD的距离始终为定值1，
（2）由题易知：S△FCG＝FM CG＝，
要使S△FCG有最小值，
则需CG最小，所以DG最大，
在Rt△DHG中，当HG最大时，DG最大，
在△AHE中，AE≤AB＝4，
∴HE2≤17，
∴HG2＝HE2≤17，
∵DG2+4≤17，
∴DG≤，
当DG＝时，CG＝4﹣，
∴S△FCG的最小值＝GC＝2﹣，
即当DG＝时，△FCG的面积最小值为2﹣．
［经验总结］本题考查了矩形、菱形的性质、全等三角形的判定和性质、勾股定理．解题的关键是作辅助线：过F作FM⊥DC，交DC延长线于M，连接GE，构造全等三角形和内错角．
17、［2021·较难］已知二次函数y＝x2﹣6x+8．
（1）将解析式化成顶点式；
（2）写出它的开口方向、对称轴和顶点坐标；
（3）x取什么值时，y随x的增大而增大；x取什么值时，y随x增大而减小．
［思路分析］（1）利用配方法将解析式化成顶点式；
（2）根据二次函数的性质解答；
（3）根据抛物线的开口方向、对称轴以及二次函数的性质解答．
［答案详解］解：（1）y＝x2﹣6x+8＝x2﹣6x+9﹣1＝（x﹣3）2﹣1；
（2）开口向上，对称轴是直线x＝3，顶点坐标是（3，﹣1）；
（3）x＞3时，y随x的增大而增大；x＜3时，y随x增大而减小．
［经验总结］本题考查的是二次函数的三种形式、配方法的应用以及二次函数的性质，灵活运用配方法把一般式化为顶点式是解题的关键．
18、［2020·较难］已知二次函数y＝﹣2x2﹣4x+1，先用配方法转化成y＝a（x﹣h）2+k，再写出函数的顶点坐标、对称轴以及描述该函数的增减性．
［思路分析］利用配方法整理成顶点式，然后写出顶点坐标和对称轴，由对称轴和抛物线开口方向写出函数的单调性．
［答案详解］解：∵y＝﹣2x2﹣4x+1＝﹣2（x+1）2+3．
∴该函数的图象的顶点坐标是（﹣1，3），对称轴为直线x＝﹣1，抛物线开口方向向下，
∴当x＜﹣1时，y随x的增大而增大，当x＞﹣1时，y随x的增大而减小．
［经验总结］本题考查了二次函数的三种形式，二次函数的性质，二次函数图象与x轴的交点问题，熟练掌握配方法的操作整理成顶点式形式求出顶点坐标和对称轴更加简便．
19、［2022·较易］已知抛物线y1＝﹣x2﹣6x+c．
（1）若抛物线y1过点（﹣2，18），求抛物线y1的表达式及对称轴；
（2）如图，若抛物线y1过点A，点A的横坐标为﹣，平移抛物线y1，使平移后的抛物线y2仍过点A，过点A作CB∥x轴，分别交两条抛物线于C，B两点，且CB＝8，点M（﹣5，m）在抛物线y1上，点N（3，n）在抛物线y2上，试判定m与n的大小关系，并说明理由．
［思路分析］（1）根据待定系数法即可求得解析式，把解析式化成顶点式即可求得对称轴；
（2）通过题意求得抛物线y1的对称轴为直线x＝﹣3，抛物线y2的对称轴为直线x＝1，然后根据二次函数的对称性和增减性即可判断．
［答案详解］解：（1）∵抛物线y1＝﹣x2﹣6x+c过点（﹣2，18），
∴﹣4+12+c＝18，
∴c＝10，
∴抛物线y1的表达式为y1＝﹣x2﹣6x+10，
∵y1＝﹣x2﹣6x+10＝﹣（x+3）2+19，
∴对称轴为直线x＝﹣3；
（2）∵y1＝﹣x2﹣6x+c，
∴抛物线y1的对称轴为直线x＝﹣3，
∵CB＝8，
∴两抛物线的对称轴间的距离为4，
∴抛物线y2的对称轴为直线x＝1，
∵点M（﹣5，m）在抛物线y1上，点N（3，n）在抛物线y2上，
∴点M（﹣5，m）关于直线x＝﹣3的对称点为（﹣1，m），点N（3，n）关于直线x＝1的对称点是（﹣1，n），
由图象可知，当x＝﹣1时，y1＞y2，
∴m＞n．
［经验总结］本题考查了待定系数法求二次函数的解析式，二次函数图象与几何变换，二次函数的性质，求得抛物线的对称轴是解题的关键．
20、［2022·较易］已知抛物线y＝﹣x2+bx+c与x轴交于A（﹣1，0），B（3，0）两点，与y轴交于点C，顶点为D．
（1）求该抛物线的解析式；
（2）连接BC，CD，BD，P为BD的中点，连接CP，则线段CP的长是 ．
注：抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的对称轴是直线x＝﹣，顶点坐标是（﹣，）．
［思路分析］（1）利用待定系数法即可得出；
（2）把二次函数的解析式化成顶点式，即可求得D的坐标，进一步求得点P的坐标，令x＝0即可求得C的坐标，利用勾股定理即可求得CP的长．
［答案详解］解：（1）∵抛物线y＝﹣x2+bx+c与x轴交于A（﹣1，0），B（3，0）两点，
∴，
解得：，
∴抛物线的解析式为y＝﹣x2+2x+3；
（2）∵y＝﹣x2+2x+3＝﹣（x﹣1）2+4，
∴D（1，4），
把x＝0代入y＝﹣x2+2x+3，得y＝3，
∴C（0，3），
∵P为BD的中点，
∴P（2，2），
∴CP＝＝．
故答案为：．
［经验总结］本题考查了待定系数法求二次函数的解析式，勾股定理的应用，熟练掌握待定系数法是解题的关键．26.2 二次函数的图象与性质
— 易错精选 —
一、选择题
1、［2021·较易］如图是二次函数y＝ax2+bx+c图象的一部分，图象过点A（﹣3，0），对称轴为直线x＝﹣1，给出四个结论：
①abc＞0；
②2a﹣b＝0；
③4ac﹣b2＜0；
④若点B（﹣，y1）、C（﹣，y2）为函数图象上的两点，则y1＞y2；
⑤am2+bm＜a﹣b（m为任意实数）；
其中，正确结论的个数是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
2、［2021·较易］已知二次函数y＝﹣x2+2x+4，则下列关于这个函数图象和性质的说法，正确的是（ ）
A．图象的开口向下
B．图象的顶点坐标是（1，3）
C．当x＜1时，y随x的增大而减少
D．图象与x轴有唯一交点
3、［2021·较易］若抛物线y＝x2﹣2x+m2﹣1的顶点在x轴上，则m的值是（ ）
A．1 B． C．﹣ D．±
4、［2021·较易］一次函数y＝x+a与二次函数y＝ax2﹣a在同一坐标系中的大致图象可能是（ ）
A． B．
C． D．
5、［2021·较易］若二次函数y＝﹣x2+mx在﹣2≤x≤1时的最大值为5，则m的值是（ ）
A．﹣2或6 B．2或6 C．﹣或6 D．﹣或﹣2
6、［2021·较易］若两个不相交的函数图象在竖直方向上的最短距离称为这两个函数的“和谐值”．则抛物线y＝x2﹣2x+3与直线y＝x﹣2的“和谐值”为（ ）
A．3 B．2 C． D．
7、［2021·较易］二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，下面五条信息：①c＜0；②ab＜0；③a﹣b+c＞0；④2a﹣3b＝0；⑤c﹣4b＞0．你认为其中正确的个数有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
8、［2021·较易］抛物线y＝ax2+bx+c的图象经过原点和第一、二、三象限，那么下列结论成立的是（ ）
A．a＜0，b＜0，c＝0 B．a＞0，b＜0，c＝0
C．a＜0，b＞0，c＝0 D．a＞0，b＞0，c＝0
二、填空题
9、［2022·较易］如果抛物线C与抛物线y＝x2+3x关于y轴对称，那么抛物线C的表达式是 ．
10、［2022·较易］函数y＝的自变量x的取值范围是 ．
11、［2022·较易］在平面直角坐标系中，二次函数y＝﹣x2+mx+3过点（4，3），当0≤x≤a时，y有最大值7，最小值3，则a的取值范围是 ．
12、［2022·较易］若点P（m，n）在二次函数y＝x2+2x+2的图象上，且点P到y轴的距离小于2，则n的取值范围是 ．
13、［2022·较易］已知二次函数y＝﹣（x﹣2）2+t，当x＜2时，y随x的增大而 .（填“增大”或“减小”）
14、［2022·较易］二次函数y＝ax2+bx+c，自变量x与函数y的对应值如表：
x … ﹣3 ﹣1 1 3 …
y … ﹣4 2 4 2 …
则当﹣3＜x＜3时，y满足的范围是 ．
三、解答题
15、［2022·较难］已知抛物线y＝ax2+bx+c（a＞0）经过点A（﹣1，m），B（3，m），与y轴交于点C．
（1）若抛物线经过点P（1，1），求b+2c的值；
（2）当m＝0，且﹣1≤x≤0时，y的最小值为﹣3．
①求抛物线的解析式；
②直线y＝kx（k≠1）与抛物线交于点D，与直线BC交于点E，连接CD，当＝时，求k的值．
16、［2022·较难］已知，如图，矩形ABCD中，AD＝3，DC＝4，菱形EFGH的三个顶点E，G，H分别在矩形ABCD的边AB，CD，DA上，AH＝1，连接CF．
（1）当点G在边DC上运动时；探究：点F到边DC的距离FM是否为定值？如果是，请求出这个值；如果不是，请说明理由．
（2）当DG为何值时，△FCG的面积最小，并求出这个最小值．
17、［2021·较难］已知二次函数y＝x2﹣6x+8．
（1）将解析式化成顶点式；
（2）写出它的开口方向、对称轴和顶点坐标；
（3）x取什么值时，y随x的增大而增大；x取什么值时，y随x增大而减小．
18、［2020·较难］已知二次函数y＝﹣2x2﹣4x+1，先用配方法转化成y＝a（x﹣h）2+k，再写出函数的顶点坐标、对称轴以及描述该函数的增减性．
19、［2022·较易］已知抛物线y1＝﹣x2﹣6x+c．
（1）若抛物线y1过点（﹣2，18），求抛物线y1的表达式及对称轴；
（2）如图，若抛物线y1过点A，点A的横坐标为﹣，平移抛物线y1，使平移后的抛物线y2仍过点A，过点A作CB∥x轴，分别交两条抛物线于C，B两点，且CB＝8，点M（﹣5，m）在抛物线y1上，点N（3，n）在抛物线y2上，试判定m与n的大小关系，并说明理由．
20、［2022·较易］已知抛物线y＝﹣x2+bx+c与x轴交于A（﹣1，0），B（3，0）两点，与y轴交于点C，顶点为D．
（1）求该抛物线的解析式；
（2）连接BC，CD，BD，P为BD的中点，连接CP，则线段CP的长是 ．
注：抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的对称轴是直线x＝﹣，顶点坐标是（﹣，）．
