高中数学第一章 预备知识1.1集合：集合的基本关系提升训练（含解析）

集合的基本关系
基础过关练
题组一　子集、真子集及其应用
1.已知集合A={x|x是菱形},B={x|x是正方形},C={x|x是平行四边形},那么A,B,C之间的关系是 (　　)
A.A B C B.B A C
C.C B A D.A=B C
2.(2021江西临川二中高一上月考)下列说法正确的是 (　　)
A.Q Z B.R N
C.N Q D.Z N*
3.能正确表示集合M={x∈R|0≤x≤2}和集合N={x∈R|x2-x=0}关系的Venn图是(　　)
4.已知集合A={x|x=2k,k∈Z},B={x|x=4k,k∈Z},则A与B之间的关系是 (　　)
A.A=B B.B A
C.A B D.B A
5.已知集合A={x∈N+|x-3<0},则满足条件B A的集合B的个数为　 (　　)
A.2 B.3 C.4 D.8
6.已知集合A {0,1,2},且集合A中至少含有一个偶数,则这样的集合A的个数为 (　　)
A.6 B.5 C.4 D.3
7.(2021陕西宝鸡高一上期中联考)集合{x∈N|x=5-2n,n∈N}的非空真子集的个数是 (　　)
A.2 B.3 C.6 D.7
8.(2021北京房山高一上期中)已知集合A={x|-1A.B∈A B.A B
C.B A D.A=B
题组二　集合相等及其应用
9.已知集合M={(x,y)|x+y<0,xy>0},P={(x,y)|x<0,y<0},那么 (　　)
A.P M B.M P
C.M=P D.M≠P
10.已知集合A=,B=xx=k±,k∈Z,则集合A,B之间的关系为　　　　.
11.设a,b∈R,集合{a,1}={0,a+b},则b-a=　　　　.
12.(2021湖北汉川二中高一上期中)已知集合A={a2+4a+1,a+1},B={x|x2+px+q=0},1∈A.
(1)求实数a的值;
(2)若A=B,求实数p,q的值.
题组三　由集合间的关系确定参数问题
13.已知 {x|x2-x+a=0},则实数a的取值范围是 (　　)
A.a< B.a≤ C.a≥ D.a>
14.设集合A={-1,1},集合B={x|x2-2ax+b=0},若B≠ ,B A,则有序实数对(a,b)不可能是 (　　)
A.(-1,1) B.(-1,0)
C.(0,-1) D.(1,1)
15.已知集合A={-1,3,m},B={3,4},若B A,则实数m=　　　　.
16.已知A={x|x2+3(a+1)x+a2-1=0},B={0}.若A B,求a的取值范围.
17.已知a∈R,x∈R,集合A={2,4,x2-5x+9},B={3,x2+ax+a},C={x2+(a+1)x-3,1}.
(1)求使集合A={2,3,4}的x的值;
(2)求使2∈B,B A的a,x的值;
(3)求使集合B=C的a,x的值.
综合提升练
一、选择题
1.所有济南市的人构成集合A,所有烟台市的人构成集合B,所有山东省的人构成集合C,则集合A,B,C的关系为 (　　)
A.B A C B.A B,B C
C.A C,B C D.A C,B C
2.下列关系中正确的是 (　　)
A.1∈{0,1} B.1 {0,1}
C.1 {0,1} D.{1}∈{0,1}
3.(2021山西吕梁高一上期中联考)已知集合A={x|0A.4 B.8
C.16 D.64
4.下面各选项中,两个集合相等的是 (　　)
A.M={(1,2)},N={(2,1)}
B.M={1,2},N={(1,2)}
C.M= ,N={ }
D.M={x|x2-2x+1=0},N={1}
5.若M P,M Q,P={0,1,2},Q={0,2,4},则满足上述条件的集合M的个数是 (　　)
A.1 B.2
C.4 D.8
6.集合M={x|x=3n,n∈N},集合N={x|x=3n,n∈N},则集合M与集合N的关系为 (　　)
A.M N B.N M
C.M=N D.M N且N M
7.已知集合A={x|ax2+2x+a=0,a∈R},若集合A有且仅有2个子集,则a的取值是 (　　)
A.1 B.-1
C.0,1 D.-1,0,1
8.设集合A={1,0},集合B={2,3},集合M={x|x=b(a+b),a∈A,b∈B},则集合M的真子集的个数为 (　　)
A.7 B.12
C.16 D.15
9.已知集合A={y|0≤yA.2 B.4
C.8 D.16
二、填空题
10.方程x2-2x-8=0的解集为A,方程ax-2=0的解集为B,若B A,则实数a的取值集合为　　　　.
11.已知集合A={3,4,4m-4},集合B={3,m2},若B A,则实数m=　　　　.
三、解答题
12.(2021江西景德镇一中高一上期中)设集合A={x|-x2+3x+10≥0},B={x|m+1≤x≤2m-1},且B A,求实数m的取值范围.
13.(2021河北沧州七校联盟高一上期中联考)已知集合A={2,6}.
(1)若集合B={a+1,a2-23},且A=B,求a的值;
(2)若集合C={x|ax2-x+6=0},且A与C有包含关系,求a的取值范围.
参考答案：
基础过关练
1.B 2.C 3.B 4.D 5.C
6.A 7.C 8.C 9.C 13.B
14.B
1.B　集合A,B,C之间的关系如图.
故选B.
2.C　因为N表示自然数集,N*表示正整数集,Z表示整数集,Q表示有理数集,R表示实数集,
所以Z Q,N R,N Q,N* Z,所以A、B、D错误,C正确,故选C.
3.B　由x2-x=0得x=1或x=0,故N={0,1},易得N M,其对应的题中Venn图是选项B.
4.D　用列举法表示集合A和B,A={…,-4,-2,0,2,4,…},知A中的元素是2的整数倍,B={…,-8,-4,0,4,8,…},知B中的元素是4的整数倍,显然B是A的真子集,故选D.
5.C　集合A={x∈N+|x-3<0}={1,2},含2个元素,其子集有4个,故满足条件B A的集合B的个数为4.故选C.
6.A　集合{0,1,2}的子集为 ,{0},{1},{2},{0,1},{0,2},{1,2},{0,1,2},其中至少含有一个偶数的集合有6个.
7.C　当n=0时,x=5;当n=1时,x=3;当n=2时,x=1,故集合共有3个元素,其非空真子集的个数是23-2=6,故选C.
易错警示
本题要注意求的是集合的非空真子集,故计算子集个数时需去掉空集及该集合本身.
8.C　∵集合A={x|-1∴B A.故选C.
9.C　∵∴∴M=P.
10.答案　A=B
解析　由题得,A=
xx=(2k+1),k∈Z=…,-,-,-,,,,…,
B=xx=k±,k∈Z=…,-,-,-,,,,…,故A=B.
11.答案　1
解析　由集合{a,1}={0,a+b}得a=0,且a+b=1,解得a=0,b=1,因此b-a=1.
12.解析　(1)∵1∈A,∴a2+4a+1=1或a+1=1,解得a=-4或a=0,
当a=0 时,A={1,1},不符合集合中元素的互异性,故舍去;
当a=-4时,A={1,-3},符合题意.
故实数a的值为-4.
(2)由(1)知A={1,-3},∵A=B,
∴在集合B中,方程x2+px+q=0的两根分别为1,-3,
由一元二次方程根与系数的关系,得
p=-[1+(-3)]=2,q=1×(-3)=-3.
13.B　∵ {x|x2-x+a=0},∴方程x2-x+a=0有实根,∴Δ=(-1)2-4a≥0,∴a≤.
14.B　当a=-1,b=1时,B={x|x2+2x+1=0}={-1},符合题意;
当a=-1,b=0时,B={x|x2+2x=0}={0,-2},不符合题意;
当a=0,b=-1时,B={x|x2-1=0}={-1,1},符合题意;
当a=1,b=1时,B={x|x2-2x+1=0}={1},符合题意.故选B.
15.答案　4
解析　∵B A,B={3,4},A={-1,3,m},
∴4∈A,∴m=4.
16.解析　当A= 时,A B成立,
此时Δ=9(a+1)2-4(a2-1)<0,
解得-当A≠ 时,0是方程的唯一根,
所以
解得a=-1.
综上所述,a的取值范围是a-17.解析　(1)由题意,得x2-5x+9=3,解得x=2或x=3.
(2)∵2∈B,B A,∴
解得或
(3)∵B=C,∴
解得或
综合提升练
1.D 2.A 3.D 4.D 5.C
6.D 7.D 8.D 9.C
一、选择题
1.答案　D
信息提取　①A={所有济南市的人};②B={所有烟台市的人};③C={所有山东省的人};④分析集合A,B,C的关系.
数学建模　本题是以山东省及其下辖的两城市间的关系为背景,构建集合模型,利用集合间的包含关系描述现实生活中城市间的隶属关系.求解的关键是将集合间的包含关系转化为元素与集合间的关系.
解析　因为集合A,B中的元素都在集合C内,但集合C中的元素除济南市的人和烟台市的人外,还包括其他市的人,所以A C,B C.故选D.
2.A　选项A中关系正确;选项B中,元素1属于集合{0,1},关系错误;选项C中,元素与集合的关系,不能用符号“ ”,关系错误;选项D中,集合与集合的关系,不能用符号“∈”,关系错误.故选A.
3.D　根据题意,得A={1,2,3,4,5,6},即集合A的子集的个数为26=64.故选D.
4.D　A中,(1,2),(2,1)表示两个不同的点,∴M≠N,∴该选项不符合;
B中,M有两个元素1,2,N有一个元素(1,2),∴M≠N,∴该选项不符合;
C中,集合M是空集,集合N是含有一个元素的集合,∴M≠N,∴该选项不符合;
D中,由x2-2x+1=0得x1=x2=1,∴M={1}=N,∴该选项符合.
故选D.
5.C　设P,Q中的公共元素组成集合C,则C={0,2},M C,这样的集合M共有22=4个.
6.D　依题意得M={1,3,9,27,…,3n,…},N={0,3,6,9,12,…,3n,…},因此1∈M,1 N;0∈N,0 M;3∈M,3∈N,∴M N且N M.故选D.
7.D　由题意可得,集合A中只含有一个元素.
当a=0时,A={x|2x=0}={0},此时集合A有两个子集:{0}, ,满足题意.
当a≠0时,Δ=4-4a2=0,解得a=±1.当a=1时,集合A={-1},此时集合A有两个子集:{-1}, ,满足题意;当a=-1时,集合A={1},此时集合A有两个子集:{1}, ,满足题意.
综上所述,a的取值是-1,0,1.故选D.
8.D　a=1,b=2时,x=6;a=1,b=3时,x=12;a=0,b=2时,x=4;a=0,b=3时,x=9.故集合M={4,6,9,12},故集合M的真子集的个数为24-1=15.故选D.
9.C　由题意得B={x|x2-2x-3≤0,x∈N}={x|-1≤x≤3,x∈N}={0,1,2,3}.当a分别取1,2,3时,所得集合A分别为{0},{0,1},{0,1,2},均满足A B;当a=4时,A={0,1,2,3},不满足A B;同理,当a≥5时均不满足A B,所以满足条件的正整数a所构成的集合为{1,2,3},由于{1,2,3}中含三个元素,所以其子集有8个,故选C.
二、填空题
10.答案　
解析　由方程x2-2x-8=0得A={-2,4}.当a=0时,B= ,符合题意;当a≠0时,B≠ ,此时-2∈B或4∈B,因此-2a-2=0或4a-2=0,解得a=-1或a=.因此实数a的取值集合为.
11.答案　-2
解析　由B A得m2=4或m2=4m-4,
解得m=±2.
当m=2时,A={3,4,4},不符合题意,舍去;
当m=-2时,A={3,4,-12},符合题意.
因此,m的值为-2.
三、解答题
12.解析　因为-x2+3x+10≥0,所以(x-5)(x+2)≤0,解得-2≤x≤5,
所以集合A={x|-2≤x≤5}.
因为B={x|m+1≤x≤2m-1},B A,
所以当集合B是空集时,2m-1当集合B不是空集时,
解得2≤m≤3.
综上所述,实数m的取值范围为(-∞,3].
13.解析　(1)因为集合A={2,6},集合B={a+1,a2-23},且A=B,
所以a+1=2或a+1=6.
当a+1=2,即a=1时,B={-22,2},此时A≠B;
当a+1=6,即a=5时,B={2,6},此时A=B.
故a的值为5.
(2)若2∈C,则4a+4=0,所以a=-1,此时C={-3,2},A与C没有包含关系.
因为A与C有包含关系,
所以只能是C A,
当C≠ 时,6∈C,则a=0,此时C={6},满足C A.
当C= 时,解得a>.
综上,a的取值范围为.