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北京市房山区2023届高三上学期数学八月入学考试试卷
一、单选题
1．（2022高三上·房山开学考）已知全集，集合，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【知识点】补集及其运算
【解析】【解答】因为，，
所以或。
故答案为：A.
【分析】利用已知条件结合补集的运算法则，进而得出集合A的补集。
2．（2022高三上·房山开学考）若复数满足，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】复数代数形式的乘除运算
【解析】【解答】因为，所以。
故答案为：C
【分析】利用已知条件结合复数的乘除法运算法则，进而得出复数z。
3．（2022高三上·房山开学考）若直线是圆的一条对称轴，则m的值为（ ）
A． B．1 C． D．2
【答案】B
【知识点】直线和圆的方程的应用
【解析】【解答】由已知圆的标准方程是，圆心坐标为，
所以，．
故答案为：B．
【分析】由题意可得直线 过圆心，将圆心坐标代入直线方程，可求出m的值.
4．（2022高三上·房山开学考）已知函数，则对任意正实数恒成立的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【知识点】函数的定义域及其求法；函数解析式的求解及常用方法
【解析】【解答】因为定义域为，所以无意义，
所以，即。
故答案为：D
【分析】利用已知条件结合对数型函数的定义域求解方法得出函数的定义域，再利用代入法和函数的解析式，进而得出对任意正实数恒成立的。
5．（2022高三上·房山开学考）已知函数，则（ ）
A．在上单调递增
B．在上单调递减
C．在上单调递增
D．在上单调递减
【答案】D
【知识点】二倍角的余弦公式；余弦函数的单调性；余弦函数的零点与最值
【解析】【解答】，
时，，时函数取得最大值，A不符合题意；
时，，时函数取得最大值，B不符合题意；
时，，在此区间上递减，C不符合题意；
时，，在此区间上递减，D符合题意．
故答案为：D．
【分析】利用已知条件结合二倍角的余弦公式和x的取值范围，再结合构造法和余弦型函数的图象判断其单调性以及集合间的包含关系，进而判断出函数 在上单调递减，从而找出正确的选项。
6．（2022高三上·房山开学考）设是公比不为1的无穷等比数列，则“为递减数列”是“存在正整数，当时，”的（ ）
A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】A
【知识点】必要条件、充分条件与充要条件的判断
【解析】【解答】因为是公比不为1的无穷等比数列，
若为递减数列，
当，则，所以，令，则，
所以，所以时，
当，则，所以恒成立，
当，则，所以，当时，
当，则，此时恒成立，对任意均有，故充分性成立；
若存在正整数，当时，，
当且，则恒成立，所以对任意均有，但是为递增数列，故必要性不成立，
故“为递减数列”是“存在正整数，当时，”的充分不必要条件。
故答案为：A
【分析】利用已知条件结合充分条件、必要条件的判断方法，从而推出“为递减数列”是“存在正整数，当时，”的充分不必要条件。
7．（2022高三上·房山开学考）若，则（ ）
A．6 B．24 C． D．
【答案】B
【知识点】二项式定理
【解析】【解答】由二项式的展开式的通项为，
令，可得，
将代入，可得，
所以的系数.
故答案为：B.
【分析】在二项展开式的通项公式中，令x的幂指数等于2，求出r的值，即可求得的系数.
8．（2022高三上·房山开学考）如图，某池塘里浮萍的面积（单位：）与时间（单位：月）的关系为．则下列说法中正确的是（ ）
A．第5个月时，浮萍面积就会超过
B．浮萍每月增加的面积都相等
C．浮萍面积每月的增长率都相等
（注：浮萍面积每月增长率=）
D．若浮萍面积为时所对应的时间分别是，则
【答案】C
【知识点】函数模型的选择与应用
【解析】【解答】由图可知，过点，则，即，所以池塘里浮萍的面积（单位：）与时间（单位：月）的关系为，
当时，，A不符合题意；
当时，，当时，，当时，，
所以第一个月浮萍增加的面积为，第二个月浮萍增加的面积为，第三个月浮萍增加的面积为，B不符合题意；
浮萍面积每月增长率为，C符合题意；
因为，
所以，即，D不符合题意.
故答案为：C.
【分析】利用已知条件结合某池塘里浮萍的面积（单位：）与时间（单位：月）的关系图，再利用代入法得出第5个月时，浮萍面积不超过；再利用已知条件结合代入法和函数的解析式得出浮萍每月增加的面积不都相等；再利用已知条件结合增长率求解方法得出浮萍面积每月增长率；再结合已知条件和指数幂的运算法则，进而得出，从而找出说法正确的选项。
9．（2022高三上·房山开学考）正方体的棱长为2，S是正方体内部及表面上的点构成的集合，设集合，则表示的区域的面积为（ ）
A．4π B．2π C．π D．
【答案】D
【知识点】球的体积和表面积；球内接多面体
【解析】【解答】因为，
所以表示的区域为以为球心，1 为半径的球面位于正方体的内部部分，
所以表示的区域的面积：。
故答案为：D.
【分析】利用，所以表示的区域为以为球心，1 为半径的球面位于正方体的内部部分，再利用球的表面积公式得出表示的区域的面积。
10．（2022高三上·房山开学考）已知是边长为2的等边三角形，为圆的直径，若点为圆上一动点，则的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】平面向量数量积的含义与物理意义；平面向量数量积的运算；三角函数的最值
【解析】【解答】如图所示，
，
由图像可知，与夹角的范围为，
所以，
所以.
故答案为：B.
【分析】利用已知条件结合三角形法则和数量积的运算法则结合向量的模的求解公式得出的值，再利用两向量夹角的取值范围，从而结合数量积的定义和余弦型函数的图象求值域的方法，进而得出 的取值范围。
二、填空题
11．（2022高三上·房山开学考）函数的定义域是 .
【答案】
【知识点】函数的定义域及其求法
【解析】【解答】由题意知 ，解得且，
故函数的定义域为。
故答案为：。
【分析】利用已知条件结合分式函数求定义域的方法和偶次根式函数求定义域的方法，再结合交集的运算法则，进而得出函数f(x)的定义域。
12．（2022高三上·房山开学考）已知点为抛物线上的点，且点P到抛物线C的焦点F的距离为3，则 ．
【答案】2
【知识点】抛物线的定义
【解析】【解答】抛物线的焦点为，准线为，
因为点为抛物线上的点，且点P到抛物线C的焦点F的距离为3，
所以，得。
故答案为：2。
【分析】利用已知条件结合抛物线的标准方程求出焦点坐标和准线方程，再利用点为抛物线上的点，且点P到抛物线C的焦点F的距离为3，再结合抛物线的定义，进而得出实数m的值。
13．（2022高三上·房山开学考）已知函数，若对任意实数x都成立，则的一个取值为 ．
【答案】（答案不唯一）
【知识点】函数恒成立问题；三角函数的最值
【解析】【解答】，
要使对任意实数x都成立，则，
所以，
解得，
故答案为：（答案不唯一）。
【分析】利用已知条件结合辅助角公式化简函数为正弦型函数，要使对任意实数x都成立，则，从而结合代入法得出，进而得出 的一个取值。
14．（2022高三上·房山开学考）已知数列的各项均为正数，的前n项和满足．给出下列四个结论：
①的第2项小于1； ②为常数列；
③为递增数列； ④中存在小于的项．
其中所有正确结论的序号是 ．
【答案】②④
【知识点】数列的概念及简单表示法；数列的函数特性；数列的求和；数列递推式
【解析】【解答】因为，所以，
又，所以，则，即为常数列，故②正确；
因为的各项均为正数，当时，即，解得，故①错误；
由于，所以，
又数列的各项均为正数，所以，
所以，所以，故为递减数列，故③错误；
假设中每一项均大于或等于，
当取值变大时，也逐渐增大，当时，，又，
所以，与矛盾，故④正确；
故答案为：②④
【分析】利用，所以，再利用，所以，则，再结合常数列的定义判断出数列为常数列；再利用数列的各项均为正数，当时结合数列求和公式得出；由于，所以，再利用数列的各项均为正数，所以，所以，所以，再利用减函数的定义判断出数列为递减数列；假设中每一项均大于或等于，当取值变大时，也逐渐增大，当时，，再利用，所以与矛盾，进而找出结论正确的序号。
15．（2022高三上·房山开学考）已知函数是上的增函数，则a的取值范围是 ；的值为 ．
【答案】[0，1]；-1
【知识点】函数单调性的性质；函数的值；分段函数的应用
【解析】【解答】因为在R上单调递增，在上单调递增，
要使在上是增函数，
只需，解得：；
所以。
故答案为：；-1。
【分析】利用已知条件结合分段函数的解析式画出分段函数的图象，再结合分段函数的图象判断其单调性，要使在上是增函数，只需，进而得出实数a的取值范围，再结合代入法和分段函数的解析式求出函数值。
三、解答题
16．（2022高三上·房山开学考）在中，角A，B，C的对边分别为．
（1）求；
（2）若，且的面积为，求的周长．
【答案】（1）解：因为，所以，
又，所以，所以，所以
（2）解：因为的面积为，又，所以，
根据余弦定理，
所以，
所以.
【知识点】二倍角的正弦公式；余弦定理；三角形中的几何计算
【解析】【分析】(1)利用已知条件结合二倍角的正弦公式和三角形中角C的取值范围，进而得出角C的余弦值，再利用三角形中角C的取值范围，进而得出角C的值。
（2）利用已知条件结合三角形的面积公式得出a的值，再利用余弦定理得出c的值，再结合三角形的周长公式得出三角形 的周长。
17．（2022高三上·房山开学考）如图，在三棱柱中，，D为中点，四边形为正方形．
（1）求证：平面；
（2）再从条件①、条件②这两个条件中选择一个作为已知，求直线与平面所成角的正弦值．
条件①：；
条件②：．
注：如果选择条件①和条件②分别解答，按第一个解答计分．
【答案】（1）证明：取的中点，连接，
在三棱柱中，因为是的中点，所以，，
又因为平面，平面，所以平面，
同理可得平面，
又由且平面，所以平面平面，
因为平面，所以平面.
（2）解：若选条件①：
因为，，且，平面，
所以平面，
又因为平面，所以，
以为原点，以分别为轴、轴和轴建立空间直角坐标系，
如图所示，
因为且四边形为正方形，
可得，
则，
设平面的法向量为，则，
令，可得，所以，
设直线与平面所成角为，则，
即直线与平面所成角的正弦值为．
若选条件②：
解：因为四边形为正方形且，可得，
又因为，所以，
由，所以，
以为原点，以分别为轴、轴和轴建立空间直角坐标系，
如图所示，
因为且四边形为正方形，
可得，
则，
设平面的法向量为，则，
令，可得，所以，
设直线与平面所成角为，则，
即直线与平面所成角的正弦值为．
【知识点】直线与平面平行的判定；直线与平面所成的角
【解析】【分析】（1） 取的中点，连接，在三棱柱中，利用是的中点结合中点作中位线的方法和中位线的性质，所以，，再利用线线平行证出线面平行，所以平面，同理可得平面，再利用线面平行证出面面平行，所以平面平面，再利用面面平行的性质定理证出线面平行，从而证出平面。
（2） 若选条件①：利用，结合线线垂直证出线面垂直，所以平面，再利用线面垂直的定义证出线线垂直，所以，以为原点，以分别为轴、轴和轴建立空间直角坐标系，利用且四边形为正方形，从而得出点的坐标，再结合向量的坐标表示求出向量的坐标，再利用数量积求向量夹角公式和诱导公式得出直线与平面所成角的正弦值；
若选条件②：利用四边形为正方形且，可得的长，再利用，进而得出的长，再利用勾股定理，得出，从而以为原点，以分别为轴、轴和轴建立空间直角坐标系，再利用且四边形为正方形，从而得出
点的坐标，再结合向量的坐标表示求出向量的坐标，再利用数量积求向量夹角公式和诱导公式得出直线与平面所成角的正弦值。
18．（2022高三上·房山开学考）某人从家开车上班，有甲、乙两条路线可以选择，甲路线上有3个十字路口，在各路口遇到红灯的概率均为；乙路线上有2个十字路口，在各路口遇到红灯的概率依次为，．假设在各路口是否遇到红灯是相互独立的，遇到红灯停留的时间都是．
（1）若走甲路线，求该人恰好遇到1个红灯的概率；
（2）若走乙路线，求该人在上班途中因遇红灯停留总时间X的分布列和期望；
（3）若只考虑路口遇到红灯停留总时间最少，该人选择甲路线还是乙路线？（只写出结论）
【答案】（1）解：依题意甲路线上有3个十字路口，在各路口遇到红灯的概率均为，
所以该人走甲路线恰好遇到1个红灯的概率
（2）解：依题意，的可能取值为0，1，2．
所以，，．
随机变量的分布列为：
0 1 2
所以
（3）解：设选择甲路线遇到红灯次数（即遇到红灯停留总时间）为，随机变量服从二项分布，所以．
因为，所以选择乙路线上班最好．
【知识点】离散型随机变量及其分布列；离散型随机变量的期望与方差；二项分布与n次独立重复试验的模型；概率的应用
【解析】【分析】（1）利用已知条件结合二项分布求概率公式，进而得出该人走甲路线恰好遇到1个红灯的概率。
（2）利用已知条件求出随机变量X可能的取值，再利用独立事件乘法求概率公式和互斥事件加法求概率公式，进而得出随机变量X的分布列，再结合随机变量X的分布列求数学期望公式，进而得出随机变量X的数学期望。
（3） 设选择甲路线遇到红灯次数（即遇到红灯停留总时间）为，再利用已知条件得出随机变量服从二项分布，再结合二项分布求数学期望公式得出随机变量Y的数学期望，再结合比较法得出选择乙路线上班最好。
19．（2022高三上·房山开学考）已知函数．
（1）求曲线在点处的切线方程；
（2）设，讨论函数在上的单调性；
（3）证明：在上存在唯一的极大值点．
【答案】（1）解：由题得，所以切线的斜率
又，所以切点坐标为，
所以切线方程为
所以曲线在点处的切线方程为
（2）解：由题得，.
所以.
所以函数在上的单调递减.
（3）证明：由题得，.
当时，，所以，
所以函数在上单调递增.
当时，令，
所以函数在上单调递减，
所以.
所以存在，满足.
所以函数在上单调递增，在单调递减.
综合得函数在上单调递增，在单调递减.
所以在上存在唯一的极大值点
【知识点】利用导数研究函数的单调性；函数在某点取得极值的条件；利用导数研究曲线上某点切线方程
【解析】【分析】（1）利用已知条件结合导数的几何意义求出曲线在切点处的切线的斜率，再利用代入法求出切点的坐标，再结合点斜式求出曲线在切点处的切线方程，从而转化为一般式方程。
（2）利用已知条件结合求导的方法判断函数的单调性，进而求出函数的极大值点， 从而证出 在上存在唯一的极大值点。
20．（2022高三上·房山开学考）已知椭圆的长轴的两个端点分别为离心率为．
（1）求椭圆C的标准方程；
（2）M为椭圆C上除A，B外任意一点，直线交直线于点N，点O为坐标原点，过点O且与直线垂直的直线记为l，直线交y轴于点P，交直线l于点Q，求证：为定值．
【答案】（1）解：由已知，又，，所以，
椭圆标准方程为
（2）解：设，，则，，
直线的方程为，令得，即，
，
，，直线的方程是，
直线的方程为，令得，即，
由，因为，故解得，即，
所以，
【知识点】椭圆的标准方程；直线与圆锥曲线的综合问题
【解析】【分析】（1）利用已知条件结合椭圆的离心率公式，从而得出a的值，再利用椭圆中a，b，c三者的关系式得出b的值，从而得出椭圆的标准方程。
(2) 设，，再利用已知条件结合代入法得出，再利用点斜式设出直线的方程为，再利用赋值法得出点N的坐标，再结合两点求斜率公式得出直线BN的斜率，再结合，从而利用两直线垂直斜率之积等于-1，进而得出直线的斜率，再结合斜截式求出直线的方程，再利用点斜式求出直线的方程，再利用赋值法得出点P的坐标，再利用两直线相交，联立二者方程结合求出点Q的坐标，再利用两点求距离公式得出的值，从而证出 为定值。
21．（2022高三上·房山开学考）设和是两个等差数列，记，其中表示这个数中最小的数.
（1）若，，求的值；
（2）若，，证明是等差数列；
（3）证明：或者对任意实数，存在正整数，当时，；或者存在正整数，使得是等差数列.
【答案】（1）解：，，
；
（2）证明：，，
当时，
当时，，
所以关于单调递增，
所以，
所以对任意，因此，
所以是等差数列；
（3）证明：设数列和的公差分别为，则
，
所以，
①当时，取正整数，则当时，，因此，
此时，是等差数列；
②当时，对任意，
此时，是等差数列；
③当时，
当时，有，
所以
，
对任意正数，取正整数，
故当时，.
【知识点】归纳推理
【解析】【分析】(1)把 代入即可求得 的值；
(2)在(1)的启发下，证明当时，，所以 关于单调递增， 所以 从而得证 是等差数列；
(3)首先求{Cn}的通项公式，分d1>0，d1=0，d1<0三种情况讨论，可证明出 是等差数列.
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北京市房山区2023届高三上学期数学八月入学考试试卷
一、单选题
1．（2022高三上·房山开学考）已知全集，集合，则（ ）
A． B．
C． D．
2．（2022高三上·房山开学考）若复数满足，则（ ）
A． B． C． D．
3．（2022高三上·房山开学考）若直线是圆的一条对称轴，则m的值为（ ）
A． B．1 C． D．2
4．（2022高三上·房山开学考）已知函数，则对任意正实数恒成立的是（ ）
A． B．
C． D．
5．（2022高三上·房山开学考）已知函数，则（ ）
A．在上单调递增
B．在上单调递减
C．在上单调递增
D．在上单调递减
6．（2022高三上·房山开学考）设是公比不为1的无穷等比数列，则“为递减数列”是“存在正整数，当时，”的（ ）
A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
7．（2022高三上·房山开学考）若，则（ ）
A．6 B．24 C． D．
8．（2022高三上·房山开学考）如图，某池塘里浮萍的面积（单位：）与时间（单位：月）的关系为．则下列说法中正确的是（ ）
A．第5个月时，浮萍面积就会超过
B．浮萍每月增加的面积都相等
C．浮萍面积每月的增长率都相等
（注：浮萍面积每月增长率=）
D．若浮萍面积为时所对应的时间分别是，则
9．（2022高三上·房山开学考）正方体的棱长为2，S是正方体内部及表面上的点构成的集合，设集合，则表示的区域的面积为（ ）
A．4π B．2π C．π D．
10．（2022高三上·房山开学考）已知是边长为2的等边三角形，为圆的直径，若点为圆上一动点，则的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
二、填空题
11．（2022高三上·房山开学考）函数的定义域是 .
12．（2022高三上·房山开学考）已知点为抛物线上的点，且点P到抛物线C的焦点F的距离为3，则 ．
13．（2022高三上·房山开学考）已知函数，若对任意实数x都成立，则的一个取值为 ．
14．（2022高三上·房山开学考）已知数列的各项均为正数，的前n项和满足．给出下列四个结论：
①的第2项小于1； ②为常数列；
③为递增数列； ④中存在小于的项．
其中所有正确结论的序号是 ．
15．（2022高三上·房山开学考）已知函数是上的增函数，则a的取值范围是 ；的值为 ．
三、解答题
16．（2022高三上·房山开学考）在中，角A，B，C的对边分别为．
（1）求；
（2）若，且的面积为，求的周长．
17．（2022高三上·房山开学考）如图，在三棱柱中，，D为中点，四边形为正方形．
（1）求证：平面；
（2）再从条件①、条件②这两个条件中选择一个作为已知，求直线与平面所成角的正弦值．
条件①：；
条件②：．
注：如果选择条件①和条件②分别解答，按第一个解答计分．
18．（2022高三上·房山开学考）某人从家开车上班，有甲、乙两条路线可以选择，甲路线上有3个十字路口，在各路口遇到红灯的概率均为；乙路线上有2个十字路口，在各路口遇到红灯的概率依次为，．假设在各路口是否遇到红灯是相互独立的，遇到红灯停留的时间都是．
（1）若走甲路线，求该人恰好遇到1个红灯的概率；
（2）若走乙路线，求该人在上班途中因遇红灯停留总时间X的分布列和期望；
（3）若只考虑路口遇到红灯停留总时间最少，该人选择甲路线还是乙路线？（只写出结论）
19．（2022高三上·房山开学考）已知函数．
（1）求曲线在点处的切线方程；
（2）设，讨论函数在上的单调性；
（3）证明：在上存在唯一的极大值点．
20．（2022高三上·房山开学考）已知椭圆的长轴的两个端点分别为离心率为．
（1）求椭圆C的标准方程；
（2）M为椭圆C上除A，B外任意一点，直线交直线于点N，点O为坐标原点，过点O且与直线垂直的直线记为l，直线交y轴于点P，交直线l于点Q，求证：为定值．
21．（2022高三上·房山开学考）设和是两个等差数列，记，其中表示这个数中最小的数.
（1）若，，求的值；
（2）若，，证明是等差数列；
（3）证明：或者对任意实数，存在正整数，当时，；或者存在正整数，使得是等差数列.
答案解析部分
1．【答案】A
【知识点】补集及其运算
【解析】【解答】因为，，
所以或。
故答案为：A.
【分析】利用已知条件结合补集的运算法则，进而得出集合A的补集。
2．【答案】C
【知识点】复数代数形式的乘除运算
【解析】【解答】因为，所以。
故答案为：C
【分析】利用已知条件结合复数的乘除法运算法则，进而得出复数z。
3．【答案】B
【知识点】直线和圆的方程的应用
【解析】【解答】由已知圆的标准方程是，圆心坐标为，
所以，．
故答案为：B．
【分析】由题意可得直线 过圆心，将圆心坐标代入直线方程，可求出m的值.
4．【答案】D
【知识点】函数的定义域及其求法；函数解析式的求解及常用方法
【解析】【解答】因为定义域为，所以无意义，
所以，即。
故答案为：D
【分析】利用已知条件结合对数型函数的定义域求解方法得出函数的定义域，再利用代入法和函数的解析式，进而得出对任意正实数恒成立的。
5．【答案】D
【知识点】二倍角的余弦公式；余弦函数的单调性；余弦函数的零点与最值
【解析】【解答】，
时，，时函数取得最大值，A不符合题意；
时，，时函数取得最大值，B不符合题意；
时，，在此区间上递减，C不符合题意；
时，，在此区间上递减，D符合题意．
故答案为：D．
【分析】利用已知条件结合二倍角的余弦公式和x的取值范围，再结合构造法和余弦型函数的图象判断其单调性以及集合间的包含关系，进而判断出函数 在上单调递减，从而找出正确的选项。
6．【答案】A
【知识点】必要条件、充分条件与充要条件的判断
【解析】【解答】因为是公比不为1的无穷等比数列，
若为递减数列，
当，则，所以，令，则，
所以，所以时，
当，则，所以恒成立，
当，则，所以，当时，
当，则，此时恒成立，对任意均有，故充分性成立；
若存在正整数，当时，，
当且，则恒成立，所以对任意均有，但是为递增数列，故必要性不成立，
故“为递减数列”是“存在正整数，当时，”的充分不必要条件。
故答案为：A
【分析】利用已知条件结合充分条件、必要条件的判断方法，从而推出“为递减数列”是“存在正整数，当时，”的充分不必要条件。
7．【答案】B
【知识点】二项式定理
【解析】【解答】由二项式的展开式的通项为，
令，可得，
将代入，可得，
所以的系数.
故答案为：B.
【分析】在二项展开式的通项公式中，令x的幂指数等于2，求出r的值，即可求得的系数.
8．【答案】C
【知识点】函数模型的选择与应用
【解析】【解答】由图可知，过点，则，即，所以池塘里浮萍的面积（单位：）与时间（单位：月）的关系为，
当时，，A不符合题意；
当时，，当时，，当时，，
所以第一个月浮萍增加的面积为，第二个月浮萍增加的面积为，第三个月浮萍增加的面积为，B不符合题意；
浮萍面积每月增长率为，C符合题意；
因为，
所以，即，D不符合题意.
故答案为：C.
【分析】利用已知条件结合某池塘里浮萍的面积（单位：）与时间（单位：月）的关系图，再利用代入法得出第5个月时，浮萍面积不超过；再利用已知条件结合代入法和函数的解析式得出浮萍每月增加的面积不都相等；再利用已知条件结合增长率求解方法得出浮萍面积每月增长率；再结合已知条件和指数幂的运算法则，进而得出，从而找出说法正确的选项。
9．【答案】D
【知识点】球的体积和表面积；球内接多面体
【解析】【解答】因为，
所以表示的区域为以为球心，1 为半径的球面位于正方体的内部部分，
所以表示的区域的面积：。
故答案为：D.
【分析】利用，所以表示的区域为以为球心，1 为半径的球面位于正方体的内部部分，再利用球的表面积公式得出表示的区域的面积。
10．【答案】B
【知识点】平面向量数量积的含义与物理意义；平面向量数量积的运算；三角函数的最值
【解析】【解答】如图所示，
，
由图像可知，与夹角的范围为，
所以，
所以.
故答案为：B.
【分析】利用已知条件结合三角形法则和数量积的运算法则结合向量的模的求解公式得出的值，再利用两向量夹角的取值范围，从而结合数量积的定义和余弦型函数的图象求值域的方法，进而得出 的取值范围。
11．【答案】
【知识点】函数的定义域及其求法
【解析】【解答】由题意知 ，解得且，
故函数的定义域为。
故答案为：。
【分析】利用已知条件结合分式函数求定义域的方法和偶次根式函数求定义域的方法，再结合交集的运算法则，进而得出函数f(x)的定义域。
12．【答案】2
【知识点】抛物线的定义
【解析】【解答】抛物线的焦点为，准线为，
因为点为抛物线上的点，且点P到抛物线C的焦点F的距离为3，
所以，得。
故答案为：2。
【分析】利用已知条件结合抛物线的标准方程求出焦点坐标和准线方程，再利用点为抛物线上的点，且点P到抛物线C的焦点F的距离为3，再结合抛物线的定义，进而得出实数m的值。
13．【答案】（答案不唯一）
【知识点】函数恒成立问题；三角函数的最值
【解析】【解答】，
要使对任意实数x都成立，则，
所以，
解得，
故答案为：（答案不唯一）。
【分析】利用已知条件结合辅助角公式化简函数为正弦型函数，要使对任意实数x都成立，则，从而结合代入法得出，进而得出 的一个取值。
14．【答案】②④
【知识点】数列的概念及简单表示法；数列的函数特性；数列的求和；数列递推式
【解析】【解答】因为，所以，
又，所以，则，即为常数列，故②正确；
因为的各项均为正数，当时，即，解得，故①错误；
由于，所以，
又数列的各项均为正数，所以，
所以，所以，故为递减数列，故③错误；
假设中每一项均大于或等于，
当取值变大时，也逐渐增大，当时，，又，
所以，与矛盾，故④正确；
故答案为：②④
【分析】利用，所以，再利用，所以，则，再结合常数列的定义判断出数列为常数列；再利用数列的各项均为正数，当时结合数列求和公式得出；由于，所以，再利用数列的各项均为正数，所以，所以，所以，再利用减函数的定义判断出数列为递减数列；假设中每一项均大于或等于，当取值变大时，也逐渐增大，当时，，再利用，所以与矛盾，进而找出结论正确的序号。
15．【答案】[0，1]；-1
【知识点】函数单调性的性质；函数的值；分段函数的应用
【解析】【解答】因为在R上单调递增，在上单调递增，
要使在上是增函数，
只需，解得：；
所以。
故答案为：；-1。
【分析】利用已知条件结合分段函数的解析式画出分段函数的图象，再结合分段函数的图象判断其单调性，要使在上是增函数，只需，进而得出实数a的取值范围，再结合代入法和分段函数的解析式求出函数值。
16．【答案】（1）解：因为，所以，
又，所以，所以，所以
（2）解：因为的面积为，又，所以，
根据余弦定理，
所以，
所以.
【知识点】二倍角的正弦公式；余弦定理；三角形中的几何计算
【解析】【分析】(1)利用已知条件结合二倍角的正弦公式和三角形中角C的取值范围，进而得出角C的余弦值，再利用三角形中角C的取值范围，进而得出角C的值。
（2）利用已知条件结合三角形的面积公式得出a的值，再利用余弦定理得出c的值，再结合三角形的周长公式得出三角形 的周长。
17．【答案】（1）证明：取的中点，连接，
在三棱柱中，因为是的中点，所以，，
又因为平面，平面，所以平面，
同理可得平面，
又由且平面，所以平面平面，
因为平面，所以平面.
（2）解：若选条件①：
因为，，且，平面，
所以平面，
又因为平面，所以，
以为原点，以分别为轴、轴和轴建立空间直角坐标系，
如图所示，
因为且四边形为正方形，
可得，
则，
设平面的法向量为，则，
令，可得，所以，
设直线与平面所成角为，则，
即直线与平面所成角的正弦值为．
若选条件②：
解：因为四边形为正方形且，可得，
又因为，所以，
由，所以，
以为原点，以分别为轴、轴和轴建立空间直角坐标系，
如图所示，
因为且四边形为正方形，
可得，
则，
设平面的法向量为，则，
令，可得，所以，
设直线与平面所成角为，则，
即直线与平面所成角的正弦值为．
【知识点】直线与平面平行的判定；直线与平面所成的角
【解析】【分析】（1） 取的中点，连接，在三棱柱中，利用是的中点结合中点作中位线的方法和中位线的性质，所以，，再利用线线平行证出线面平行，所以平面，同理可得平面，再利用线面平行证出面面平行，所以平面平面，再利用面面平行的性质定理证出线面平行，从而证出平面。
（2） 若选条件①：利用，结合线线垂直证出线面垂直，所以平面，再利用线面垂直的定义证出线线垂直，所以，以为原点，以分别为轴、轴和轴建立空间直角坐标系，利用且四边形为正方形，从而得出点的坐标，再结合向量的坐标表示求出向量的坐标，再利用数量积求向量夹角公式和诱导公式得出直线与平面所成角的正弦值；
若选条件②：利用四边形为正方形且，可得的长，再利用，进而得出的长，再利用勾股定理，得出，从而以为原点，以分别为轴、轴和轴建立空间直角坐标系，再利用且四边形为正方形，从而得出
点的坐标，再结合向量的坐标表示求出向量的坐标，再利用数量积求向量夹角公式和诱导公式得出直线与平面所成角的正弦值。
18．【答案】（1）解：依题意甲路线上有3个十字路口，在各路口遇到红灯的概率均为，
所以该人走甲路线恰好遇到1个红灯的概率
（2）解：依题意，的可能取值为0，1，2．
所以，，．
随机变量的分布列为：
0 1 2
所以
（3）解：设选择甲路线遇到红灯次数（即遇到红灯停留总时间）为，随机变量服从二项分布，所以．
因为，所以选择乙路线上班最好．
【知识点】离散型随机变量及其分布列；离散型随机变量的期望与方差；二项分布与n次独立重复试验的模型；概率的应用
【解析】【分析】（1）利用已知条件结合二项分布求概率公式，进而得出该人走甲路线恰好遇到1个红灯的概率。
（2）利用已知条件求出随机变量X可能的取值，再利用独立事件乘法求概率公式和互斥事件加法求概率公式，进而得出随机变量X的分布列，再结合随机变量X的分布列求数学期望公式，进而得出随机变量X的数学期望。
（3） 设选择甲路线遇到红灯次数（即遇到红灯停留总时间）为，再利用已知条件得出随机变量服从二项分布，再结合二项分布求数学期望公式得出随机变量Y的数学期望，再结合比较法得出选择乙路线上班最好。
19．【答案】（1）解：由题得，所以切线的斜率
又，所以切点坐标为，
所以切线方程为
所以曲线在点处的切线方程为
（2）解：由题得，.
所以.
所以函数在上的单调递减.
（3）证明：由题得，.
当时，，所以，
所以函数在上单调递增.
当时，令，
所以函数在上单调递减，
所以.
所以存在，满足.
所以函数在上单调递增，在单调递减.
综合得函数在上单调递增，在单调递减.
所以在上存在唯一的极大值点
【知识点】利用导数研究函数的单调性；函数在某点取得极值的条件；利用导数研究曲线上某点切线方程
【解析】【分析】（1）利用已知条件结合导数的几何意义求出曲线在切点处的切线的斜率，再利用代入法求出切点的坐标，再结合点斜式求出曲线在切点处的切线方程，从而转化为一般式方程。
（2）利用已知条件结合求导的方法判断函数的单调性，进而求出函数的极大值点， 从而证出 在上存在唯一的极大值点。
20．【答案】（1）解：由已知，又，，所以，
椭圆标准方程为
（2）解：设，，则，，
直线的方程为，令得，即，
，
，，直线的方程是，
直线的方程为，令得，即，
由，因为，故解得，即，
所以，
【知识点】椭圆的标准方程；直线与圆锥曲线的综合问题
【解析】【分析】（1）利用已知条件结合椭圆的离心率公式，从而得出a的值，再利用椭圆中a，b，c三者的关系式得出b的值，从而得出椭圆的标准方程。
(2) 设，，再利用已知条件结合代入法得出，再利用点斜式设出直线的方程为，再利用赋值法得出点N的坐标，再结合两点求斜率公式得出直线BN的斜率，再结合，从而利用两直线垂直斜率之积等于-1，进而得出直线的斜率，再结合斜截式求出直线的方程，再利用点斜式求出直线的方程，再利用赋值法得出点P的坐标，再利用两直线相交，联立二者方程结合求出点Q的坐标，再利用两点求距离公式得出的值，从而证出 为定值。
21．【答案】（1）解：，，
；
（2）证明：，，
当时，
当时，，
所以关于单调递增，
所以，
所以对任意，因此，
所以是等差数列；
（3）证明：设数列和的公差分别为，则
，
所以，
①当时，取正整数，则当时，，因此，
此时，是等差数列；
②当时，对任意，
此时，是等差数列；
③当时，
当时，有，
所以
，
对任意正数，取正整数，
故当时，.
【知识点】归纳推理
【解析】【分析】(1)把 代入即可求得 的值；
(2)在(1)的启发下，证明当时，，所以 关于单调递增， 所以 从而得证 是等差数列；
(3)首先求{Cn}的通项公式，分d1>0，d1=0，d1<0三种情况讨论，可证明出 是等差数列.
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