2022-2023学年北师大版九年级数学上册4.4探索三角形相似的条件解答专题提升训练（含答案）

2022-2023学年北师大版九年级数学上册《4.4探索三角形相似的条件》
解答专题提升训练（附答案）
1．如图，点C、D在线段AB上，△PCD是等腰三角形，PC＝PD，且△ACP∽△APB．求证：△ACP∽△PDB．
2．如图，在Rt△ABC中，∠B＝90°，AB＝6cm，BC＝8cm，点P从点A出发，以1cm/s的速度沿AB运动；同时，点Q从点B出发，以2cm/s的速度沿BC运动．当点Q到达点C时，P、Q两点同时停止运动．设点P、Q运动时间为t（s）．当△PBQ与△ABC相似时，t的值是多少？
3．如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，E是边AC上一点，且BE＝BC，过点A作BE的垂线，交BE的延长线于点D，求证：△ADE∽△ABC．
4．如图，已知∠B＝∠E＝90°，AB＝6，BF＝3，CF＝5，DE＝15，DF＝25．
求证：△ABC∽△DEF．
5．已知：在△ABC中，BD，CE分别是AC，AB边上的高，连接ED．
求证：△ABC∽△ADE．
6．如图，点D为△ABC边AB上一点，AD＝2，BD＝6，AC＝4．求证：△ACD∽△ABC．
7．如图，在矩形ABCD中，AB＝3，AD＝6，动点E在边BC上，连接DE，过点A作AH⊥DE，垂足为H，AH交CD于F．
（1）求证：△CDE∽△DAF；
（2）当FC＝2时，求EC的长．
（3）若直线AF与线段BC延长线交于点G，当△DEB∽△GFD时，求DF的长．
8．如图，AD为△ABC的角平分线，AD的垂直平分线交BC的延长线于E，交AB于F，连接AE．求证：△BAE∽△ACE．
9．如图，在边长为4的正方形ABCD中，P是BC上的点，且BP＝3PC，Q是CD的中点，求证：△ADQ∽△QCP．
10．如图，在△ABC中，BD⊥AC于点D，DE⊥AB于点E，BD DE＝BE CD．求证：△BCD∽△BDE．
11．如图，在△ABC中，点D在BC边上，点E在AC边上，且AD＝AB，∠DEC＝∠B．求证：△AED∽△ADC．
12．如图，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝120°，D为BC边上一点，E为AC边上一点，且∠ADE＝30°，求证：△ABD∽△DCE．
13．如图，在△ABC和△DEC中，∠A＝∠D，∠BCE＝∠ACD．求证：△ABC∽△DEC．
14．如图，在△ABC和△ACD中，AD⊥CD于点D，AC⊥BC于点C．请再添加一个条件，使△ABC∽△CAD，并加以证明．
15．已知：CD是△ABC的角平分线，以B为圆心，BD为半径画弧交CD于E．
求证：△ACD∽△BCE．
16．如图，将△ABC绕点A旋转至△AB'C'的位置，点B'恰好在BC上，AC与B'C'交于点E，连接CC'．
（1）求证：；
（2）求证：△ABB'∽△ACC'．
17．如图，DA⊥AB于A，EB⊥AB于B，C是AB上的动点，若∠DCE＝90°．
求证：△ACD∽△BEC．
18．已知：如图，点D在三角形ABC的边AB上，DE交AC于点E，∠ADE＝∠B，点F在AD上，且AD2＝AF AB．
求证：（1）；
（2）△AEF∽△ACD．
19．如图，正方形ABCD的边长为2，BE＝CE，MN＝1，线段MN的两端在边CD，AD上滑动，当DM为多长时，△ABE与以点D，M，N为顶点的三角形相似？请说明理由．
20．如图，在矩形ABCD中，点E，F分别在CD，AD上，连结AE，BF，AE⊥BF且AE＝BF．
（1）求证：AB＝AD．
（2）连结EF，BE，线段FD是线段AD与AF的比例中项．
①若AD＝4，求线段FD的长．
②求证：△DEF∽△CEB．
参考答案
1．证明：∵PC＝PD，
∴∠PCD＝∠PDC，
∵△ACP∽△APB，
∴∠APC＝∠B，
∵∠APC+∠A＝∠PCD＝∠PDC＝∠B+∠DPB，
∴∠A＝∠BPD，
又∵∠APC＝∠B，
∴△ACP∽△PDB．
2．解：当△PBQ∽△ABC时，，
即，
解得t＝；
当△PBQ∽△CBA时，，
即，
解得t＝，
综上所述，当△PBQ与△ABC相似时，t的值是或．
3．证明：∵BE＝BC，
∴∠C＝∠CEB，
∵∠CEB＝∠AED，
∴∠C＝∠AED，
∵AD⊥BE，
∴∠D＝∠ABC＝90°，
∴△ADE∽△ABC．
4．证明：∵BF＝3，CF＝5，
∴BC＝BF+CF＝8，
∵DE＝15，DF＝25．∠E＝90°，
∴EF＝＝20，
∴，，
∴，
∵∠B＝∠E＝90°，
∴△ABC∽△DEF．
5．证明：设BD与CE交于点O，
∵BD，CE分别是AC，AB边上的高，
∴∠BEC＝∠BDC，
∵∠BOE＝∠COD，
∴∠ABD＝∠ACE，
∵∠A＝∠A，
∴△ABD∽△ACE，
∴，
∴，
∵∠A＝∠A，
∴△ABC∽△ADE．
6．解：∵AD＝2，BD＝6，
∴AB＝8，
∴，，
∴，
又∵∠A＝∠A，
∴△ACD∽△ABC．
7．（1）证明：∵四边形ABCD是矩形
∴∠ADC＝∠BCD＝90°．
又∵AF⊥DE，
∴∠DCE＝∠ADF＝90°，∠EDC＝∠DAF＝90°﹣∠DFA，
∴△ADF∽△DCE；
（2）解：∵四边形ABCD是矩形，
∴DC＝AB＝3，
∵FC＝2，
∴DF＝DC﹣FC＝1，
∵△ADF∽△DCE
∴＝，
∴EC＝＝＝；
（3）解：如图中，
∵△ADF∽△DCE
∴＝，
∴＝＝＝2，
设EC＝x，则DF＝2x，
∵△DEB∽△GFD，
∴＝，
∴FG＝＝
∵△ADF∽△GCF，
∴＝，
∴FG＝ ，
∴＝
解得x＝，
∴DF＝2x＝．
8．证明：∵AD是∠BAC的平分线，
∴∠BAD＝∠CAD，
∵EF是AD的垂直平分线，
∴AE＝DE，
∴∠EAD＝∠EDA，
∵∠EAC＝∠EAD﹣∠CAD，∠B＝∠ADE﹣∠BAD，
∴∠CAE＝∠B，
∴△BAE∽△ACE．
9．证明：∵四边形ABCD是正方形，BP＝3PC，Q是CD的中点，
∴QC＝QD＝AD，CP＝AD，
∴，
又∵∠ADQ＝∠QCP＝90°，
∴△ADQ∽△QCP．
10．证明：∵点BD⊥AC于点D，DE⊥AB于点E，
∴∠BDC＝∠BED＝90°，
∵BD DE＝BE CD，
∴，
∴△BCD∽△BDE．
11．解：∵AD＝AB，
∴∠B＝∠ADB，
∵∠DEC＝∠B，
∴∠ADB＝∠DEC，
∴180°﹣∠ADB＝180°﹣∠DEC，
∴∠ADC＝∠AED，
∵∠DAE＝∠CAD，
∴△AED∽△ADC．
12．证明：∵AB＝AC，且∠BAC＝120°，
∴∠ABD＝∠ACB＝30°，
∵∠ADE＝30°，
∴∠ABD＝∠ADE＝30°，
∵∠ADC＝∠ADE+∠EDC＝∠ABD+∠DAB，
∴∠EDC＝∠DAB，
∴△ABD∽△DCE．
13．证明：∵∠BCE＝∠ACD，
∴∠DCE＝∠ACB，
又∵∠A＝∠D，
∴△ABC∽△DEC．
14．解：添加条件：AB∥CD（答案不唯一），
证明：∵AD⊥CD，AC⊥BC，
∴∠ADC＝∠ACB＝90°，
∵AB∥CD，
∴∠CAB＝∠DCA，
∴△ABC∽△CAD．
15．证明：∵BE＝BD，
∴∠BDE＝∠BED，
∵∠BDE+∠ADC＝180°，∠BED+∠CEB＝180°，
∴∠ADC＝∠CEB，
∵CD是△ABC的角平分线，
∴∠ACD＝∠BCE，
∴△ACD∽△BCE．
16．证明：（1）由旋转的性质可知，∠ECB′＝∠AC′E，
∵∠CEB′＝∠AEC′，
∴△CEB′∽△C′EA，
∴＝；
（2）∵∠BAC＝∠B′AC′，
∴∠BAB′＝∠CAC′，
∵AB＝AB′，AC＝AC′，
∴＝，
∴△ABB′∽△ACC′．
17．证明：∵DA⊥AB，EB⊥AB，
∴∠DAC＝∠CBE＝90°，
∴∠ADC+∠DCA＝90°，
∵∠DCE＝90°，
∴∠DCA+∠BCE＝90°，
∴∠BCE＝∠ADC，
∴△ACD∽△BEC．
18．证明：（1）∵∠ADE＝∠B，
∴DE∥BC，
∴；
（2）∵AD2＝AF AB，
∴，
由（1）得：，
∴．
∵∠A＝∠A，
∴△AEF∽△ACD．
19．解：当DM＝或时，△ABC与以点D，M，N为顶点的三角形相似，
理由：∵正方形ABCD边长是2，BE＝CE，
∴BE＝1，
∴AE＝＝，
①假设△ABE∽△NDM，
∴DM：BE＝MN：AE．
∴DM：1＝1：，
∴DM＝．
②假设△ABE∽△MDN，
∴DM：BA＝MN：AE．
∴DM：2＝1：，
∴DM＝．
综上所述，DM＝或．
20．（1）证明：∵四边形ABCD是矩形，
∴∠BAD＝∠ADE＝90°，
∴∠ABF+∠AFB＝90°，
∵AE⊥BF，
∴∠DAE+∠AFB＝90°，
∴∠ABF＝∠DAE，
在△ABF和△DAE中，
，
∴△ABF≌△DAE（AAS），
∴AB＝AD；
（2）①由（1）可知，△ABF≌△DAE，
∴AF＝DE，
∴DF＝CE，
∵线段DF是线段AF与AD的比例中项，
∴DF2＝AF AD，
∵AD＝4，
∴DF2＝（4﹣DF）×4，
∴DF＝﹣2+2（负值舍去）；
②∵线段DF是线段AF与AD的比例中项，
∴DF2＝AF AD，
∴＝，
∵∠FDE＝∠BCE＝90°，
∴△DEF∽△CEB．