2022-2023学年华东师大版八年级数学上册13.3等腰三角形达标测试题（含答案）
文档属性
| 名称 | 2022-2023学年华东师大版八年级数学上册13.3等腰三角形达标测试题（含答案） |  | |
| 格式 | doc | ||
| 文件大小 | 290.6KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 华师大版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2022-10-09 21:04:21 | ||
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文档简介
2022-2023学年华东师大版八年级数学上册《13.3等腰三角形》达标测试题（附答案）
一．选择题（共8小题，满分24分）
1．如图，△ABC中，∠ABC与∠ACB的平分线交于点F，过点F作DE∥BC交AB于点D，交AC于点E，那么下列结论，①△BDF是等腰三角形；②DE＝BD+CE；③若∠A＝50°，∠BFC＝105°；④BF＝CF．其中正确的有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
2．等腰三角形的一个角比另一个角2倍少20度，等腰三角形顶角的度数是（ ）
A．140°或44°或80° B．20°或80°
C．44°或80° D．140°
3．如图，AE垂直于∠ABC的平分线交于点D，交BC于点E，CE＝BC，若△ABC的面积为2，则△CDE的面积为（ ）
A． B． C． D．
4．如图，BD，CE分别是△ABC的高线和角平分线，且相交于点O．若AB＝AC，∠A＝40°，则∠BOE的度数是（ ）
A．60° B．55° C．50° D．40°
5．如图，在等边三角形ABC中，D为AC边的中点，E为BC边的延长线上一点，CE＝CD，DM⊥BC于点M．下列结论错误的是（ ）
A．BM＝3CM B．BM＝EM C．CM＝CE D．DM＝2CM
6．如图，已知：∠MON＝30°，点A1，A2，A3，…在射线ON上，点B1，B2，B3，…在射线OM上，△A1B1A2，△A2B2A3，△A3B3A4，…均为等边三角形，若OA1＝1，则B2022B2023的长为（ ）
A．2021 B．2022 C． D．
7．下列三角形：①有两个角等于60°的三角形；②有一个角等于60°的等腰三角形；③三个外角（每个顶点处各取一个外角）都相等的三角形；④一腰上的中线也是这条腰上的高的等腰三角形．其中是等边三角形的有（ ）
A．①②③④ B．①②④ C．①③ D．②③④
8．如图，在第一个△ABA1中，∠B＝20°，AB＝A1B，在A1B上取一点C，延长AA1到A2，使得A1A2＝A1C，得到第二个△A1A2C；在A2C上取一点D，延长A1A2到A3，使得A2A3＝A2D；…，按此做法进行下去，则第5个三角形中，以点A4为顶点的等腰三角形的底角的度数为（ ）
A．5° B．10° C．175° D．170°
二．填空题（共8小题，满分24分）
9．如图，△ABC中，AB＝BD，点D，E分别是AC，BD上的点，且∠ABD＝∠DCE，若∠BEC＝105°，则∠A的度数是 ．
10．如图，O是直线AB上一点，∠AOC＝35°，CO⊥DO，OC＝OB，OD交CB于点E，则∠CED＝ ．
11．如图，CE平分∠ACB．且CE⊥DB，∠DAB＝∠DBA，AC＝9，△CBD的周长为14，则DB的长为 ．
12．在△ABC中，∠B＝50°，当∠A为 时，△ABC是等腰三角形．
13．如图，△ABC是面积为1的等边三角形，取BC边中点E，作ED∥AB，EF∥AC，得到四边形EDAF，它的面积记作S1；取BE中点E1，作E1D1∥FB，E1F1∥EF，得到四边形E1D1FF1，它的面积记作S2，照此规律作下去，则S2019＝ ．
14．已知如图，在△ABC，∠BAC＝135°，AB⊥AD，DC＝AB+AD，则∠ACB＝ 度．
15．如图，线段AB＝a，点P是AB中垂线MN上的一动点，过点P作直线CD∥AB．若在直线CD上存在点Q使得△ABQ为等腰三角形，且满足条件的点Q有且只有3个，则PM的长为 ．
16．如图，已知：∠MON＝30°，点A1、A2、A3、…在射线OM上，点B1、B2、B3、…在射线ON上，△A1B1B2、△A2B2B3、△A3B3B4、…均为等边三角形，若OB1＝1，则△A8B8B9的边长为 ．
三．解答题（共9小题，满分72分）
17．如图，在△ABC中，AB＝AC，点D，点E分别是BC，AC上一点，且DE⊥AD．若∠BAD＝55°，∠B＝50°，求∠DEC的度数．
18．如图，在△ABC中，AB＝AD＝DC，∠BAD＝26°，求∠B和∠C的度数．
19．如图，在△ABC中，AB＝AC，AD是BC边上的中线，AE⊥BE于点E，且BE＝BC．求证：AB平分∠EAD．
20．已知一个等腰三角形的两个内角分别为（2x﹣2）°和（3x﹣5）°，求这个等腰三角形各内角的度数．
21．如图，在△ABC中，AB＝AC，点D、E、F分别在AB、BC、AC边上，且BE＝CF，BD＝CE．
（1）求证：△DEF是等腰三角形；
（2）当∠A＝50°时，求∠DEF的度数．
22．如图，AD平分∠BAC，AD⊥BD，垂足为点D，DE∥AC．
求证：△BDE是等腰三角形．
23．如图，点O是等边△ABC内一点，∠AOB＝110°，∠BOC＝α．以OC为一边作等边三角形OCD，连接AC、AD．
（1）当α＝150°时，试判断△AOD的形状，并说明理由；
（2）探究：当α为多少度时，△AOD是等腰三角形？
24．如图，在△ABC中，AB＝AC，D在边AC上，且BD＝DA＝BC．
（1）如图1，填空∠A＝ °，∠C＝ °．
（2）如图2，若M为线段AC上的点，过M作直线MH⊥BD于H，分别交直线AB、BC于点N、E．
①求证：△BNE是等腰三角形；
②试写出线段AN、CE、CD之间的数量关系，并加以证明．
25．如图，在△ABC中，AB＝AC＝2，∠B＝∠C＝40°，点D在线段BC上运动（D不与B、C重合），连接AD，作∠ADE＝40°，DE交线段AC于E．
（1）当∠BDA＝115°时，∠EDC＝ °，∠DEC＝ °；点D从B向C运动时，∠BDA逐渐变 （填“大”或“小”）；
（2）当DC等于多少时，△ABD≌△DCE，请说明理由；
（3）在点D的运动过程中，△ADE的形状可以是等腰三角形吗？若可以，请直接写出∠BDA的度数．若不可以，请说明理由．
参考答案
一．选择题（共8小题，满分24分）
1．解：∵DE∥BC，
∴∠DFB＝∠FBC，
∵BF平分∠ABC，
∴∠DBF＝∠FBC，
∴∠DBF＝∠DFB，
∴△BDF是等腰三角形，故①正确；
∴BD＝DF，
同理可得：EC＝FE，
∴DE＝BD+CE，故②正确；
∵∠A＝50°，∴∠BFC＝90°+∠A＝90°+25°＝115°，故③错误；
无法得出BF＝FC，故④错误；
故选：B．
2．解：设另一个角是x，表示出一个角是2x﹣20°，
①x是顶角，2x﹣20°是底角时，x+2（2x﹣20°）＝180°，
解得x＝44°，
所以，顶角是44°；
②x是底角，2x﹣20°是顶角时，2x+（2x﹣20°）＝180°，
解得x＝50°，
所以，顶角是2×50°﹣20°＝80°；
③x与2x﹣20°都是底角时，x＝2x﹣20°，
解得x＝20°，
所以，顶角是180°﹣20°×2＝140°；
综上所述，这个等腰三角形的顶角度数是44°或80°或140°．
故选：A．
3．解：∵BD平分∠ABC，
∴∠ABD＝∠EBD．
∵AE⊥BD，
∴∠ADB＝∠EDB．
在△ADB和△EDB中，∠ABD＝∠EBD，BD＝BD，∠ADB＝∠EDB，
∴△ADB≌△EBD，
∴AD＝ED．
∵CE＝BC，△ABC的面积为2，
∴△AEC的面积为．
又∵AD＝ED，
∴△CDE的面积＝△AEC的面积＝．
故选：A．
4．解：∵AB＝AC，∠A＝40°，
∴∠ABC＝∠ACB＝70°，
∵CE平分∠ACB，
∴∠ACE＝∠ACB＝35°，
∵BD⊥AC，
∴∠ODC＝90°，
∴∠BOE＝∠COD＝90°﹣35°＝55°，
故选：B．
5．解：∵三角形ABC是等边△ABC，
∴∠ACB＝∠ABC＝60°，
又∵CE＝CD，
∴∠E＝∠CDE，
又∵∠ACB＝∠E+∠CDE，
∴∠E＝∠ACB＝30°，
连接BD，
∵等边△ABC中，D是AC的中点，
∴∠DBC＝∠ABC＝×60°＝30°，
∴∠DBC＝∠E＝30°，
∴DB＝DE，
又∵DM⊥BC，
∴BM＝EM，故B正确；
∵CM＝CD＝CE，故C正确；故D错误，
∴ME＝3CM，
∴BM＝3CM，故A正确；
故选：D．
6．解：∵△A1B1A2是等边三角形，
∴A1B1＝A2B1，∠3＝∠4＝∠12＝60°，
∴∠2＝120°，
∵∠MON＝30°，
∴∠1＝180°﹣120°﹣30°＝30°，
又∵∠3＝60°，
∴∠5＝180°﹣60°﹣30°＝90°，
∵∠MON＝∠1＝30°，
∴OA1＝A1B1＝1，
∴A2B1＝1，
∵△A2B2A3、△A3B3A4是等边三角形，
∴∠11＝∠10＝60°，∠13＝60°，
∵∠4＝∠12＝60°，
∴A1B1∥A2B2∥A3B3，B1A2∥B2A3，
∴∠1＝∠6＝∠7＝30°，∠5＝∠8＝90°，
∴A2B2＝2B1A2＝2，
∴B1B2＝，
∵B3A3＝2B2A3，
∴A3B3＝4B1A2＝4，
∴B2B3＝2，
∵A4B4＝8B1A2＝8，
∴B3B4＝4，
以此类推，BnBn+1的长为 2n﹣1，
∴B2022B2023的长为22021，
故选：C．
7．解：①两个角为60度，则第三个角也是60度，则其是等边三角形；
②有一个角等于60°的等腰三角形是等边三角形；
③三个外角相等，则三个内角相等，则其是等边三角形；
④根据等边三角形的性质，可得该等腰三角形的腰与底边相等，则三角形三边相等．
所以都正确．
故选：A．
8．解：∵在△ABA1中，∠B＝20°，AB＝A1B，
∴∠BA1A＝＝80°，
∵A1A2＝A1C，∠BA1A是△A1A2C的外角，
∴∠CA2A1＝＝＝40°；A
同理可得∠DA3A2＝20°，∠EA4A3＝10°，
∴∠An＝，
以点A4为顶点的等腰三角形的底角为∠A5．
∠A5＝＝5°，
故选：A．
二．填空题（共8小题，满分24分）
9．解：∵BA＝BD，
∴∠A＝∠BDA，设∠A＝∠BDA＝x，∠ABD＝∠ECD＝y，
则有，
解得x＝85°，
故答案为85°．
10．解：∵OC＝OB，
∴∠C＝∠OBC，
∵∠AOC＝∠C+∠OBC＝35°，
∴∠C＝×35°＝17.5°，
∵OC⊥OD，
∴∠COD＝90°，
∴∠CED＝∠C+∠COD＝17.5°+90°＝107.5°，
故答案为107.5°．
11．解：∵CE平分∠ACB且CE⊥DB，
∴∠DCE＝∠BCE，∠CED＝∠CEB，
又∵CE＝CE，
∴△CDE≌△CBE（ASA），
∴CD＝CB，
∵∠DAB＝∠DBA，
∴AD＝BD，
∴AC＝AD+CD＝BD+CD＝9，
又∵△CBD的周长为14，
∴BC＝14﹣9＝5，
∴CD＝5，
∴AD＝9﹣5＝4＝BD，
故答案为：4．
12．解：①∠B是顶角，∠A＝（180°﹣∠B）÷2＝65°；
②∠B是底角，∠B＝∠A＝50°．
③∠A是顶角，∠B＝∠C＝50°，则∠A＝180°﹣50°×2＝80°，
∴当∠A的度数为50°或65°或80°时，△ABC是等腰三角形．
故答案为：50°或65°或80°．
13．解：∵E是BC的中点，ED∥AB，
∴DE是△ABC的中位线，
∴DE＝AB，
∴S△DCE＝S△ABC＝
同理，S△BEF＝S△ABC＝
∴S1＝S△ABC﹣S△DCE﹣S△BEF＝1﹣﹣＝，
同理求得S2＝，
…
Sn＝，
S2019＝，
故答案为：．
14．解：延长DA到E，使AE＝AB，
∵DC＝AB+AD，
∴DE＝CD，
∴∠DCE＝∠DEC，
∵AB⊥AD，
∴△ABE是等腰直角三角形，
∴∠AEB＝∠ABE＝45°，
∵∠BAD＝135°，
∴∠CAE＝135°，
在△ABC与△AEC中，，
∴△ABC≌△AEC（SAS），
∴BC＝EC，∠ACE＝∠ACB，∠AEC＝∠ABC，
设∠ACD＝∠ACE＝α，
∴∠AEC＝∠ABC＝2α，
∴2α+2α+2α+45°+45°＝180°，
∴α＝15°，
∴∠ACB＝15°，
故答案为：15．
15．解：如图所示，分别以A，B为圆心，AB长为半径画弧，
①当直线CD经过两弧的交点时，直线CD与两弧共有3个交点G1，G2，G3，
此时满足△GAB是等腰三角形的点G有且只有3个，△PAB是等边三角形，
∴PM＝a；
②当直线CD与两弧均相切时，直线CD与两弧、直线MN共有3个交点G1，G2，G3，
此时满足△GAB是等腰三角形的点G有且只有3个，
∴PM＝AG1＝AB＝a，
故答案为：a或a．
16．解：∵△A1B1B2是等边三角形，
∴∠A1B1B2＝∠A1B2O＝60°，A1B1＝A1B2，
∵∠O＝30°，
∴∠A2A1B2＝∠O+∠A1B2O＝90°，
∵∠A1B1B2＝∠O+∠OA1B1，
∴∠O＝∠OA1B1＝30°，
∴OB1＝A1B1＝A1B2＝2，
在Rt△A2A1B2中，∵∠A1A2B2＝30°
∴A2B2＝2A1B2＝2，
同法可得A3B3＝22，A4B4＝23，…，AnBn＝2n﹣1，
∴△A8B8B9的边长＝27＝128，
故答案为128．
三．解答题（共9小题，满分72分）
17．解：∵AB＝AC，
∴∠B＝∠C，
∵∠B＝50°，
∴∠C＝50°，
∴∠BAC＝180°﹣50°﹣50°＝80°，
∵∠BAD＝55°，
∴∠DAE＝25°，
∵DE⊥AD，
∴∠ADE＝90°，
∴∠DEC＝∠DAE+∠ADE＝115°．
18．解：在△ABC中，AB＝AD＝DC，
∵AB＝AD，在三角形ABD中，
∠B＝∠ADB＝（180°﹣26°）×＝77°，
又∵AD＝DC，在三角形ADC中，
∴∠C＝＝77°×＝38.5°．
19．证明：∵AB＝AC，AD是BC边上的中线，
∴BD＝BC，AD⊥BC，
∵BE＝BC，
∴BD＝BE，
∵AE⊥BE，
∴AB平分∠EAD．
20．解：①当（2x﹣2）°和（3x﹣5）°是两个底角时，2x﹣2＝3x﹣5，x＝3，
∴三个内角分别是4°，4°，172°；
②当2x﹣2是顶角时，2x﹣2+2（3x﹣5）＝180°，解得x＝24，
∴三个内角分别是46°，67°，67°；
③当3x﹣5是顶角时，3x﹣5+2（2x﹣2）＝180°，解得x＝27，
∴三个内角分别是76°，52°，52°
21．（1）证明：∵AB＝AC，
∴∠B＝∠C，
在△BDE和△CEF中，
，
∴△BDE≌△CEF（SAS），
∴DE＝EF，
∴△DEF是等腰三角形；
（2）解：∵△BDE≌△CEF，
∴∠BDE＝∠CEF，
∴∠BED+∠CEF＝∠BED+∠BDE，
∵∠B+（∠BED+∠BDE）＝180°，
∠DEF+（∠BED+∠BDE）＝180°，
∴∠B＝∠DEF，
∵∠A＝50°，AB＝AC，
∴∠B＝（180°﹣50°）＝65°，
∴∠DEF＝65°．
22．证明：∵DE∥AC，
∴∠1＝∠3，
∵AD平分∠BAC，
∴∠1＝∠2，
∴∠2＝∠3，
∵AD⊥BD，
∴∠2+∠B＝90°，∠3+∠BDE＝90°，
∴∠B＝∠BDE，
∴BE＝DE，
∴△BDE是等腰三角形．
23．解：（1）∵△OCD是等边三角形，
∴OC＝CD，
而△ABC是等边三角形，
∴BC＝AC，
∵∠ACB＝∠OCD＝60°，
∴∠BCO＝∠ACD，
在△BOC与△ADC中，
∵，
∴△BOC≌△ADC，
∴∠BOC＝∠ADC，
而∠BOC＝α＝150°，∠ODC＝60°，
∴∠ADO＝150°﹣60°＝90°，
∴△ADO是直角三角形；
（2）∵设∠CBO＝∠CAD＝a，∠ABO＝b，∠BAO＝c，∠CAO＝d，
则a+b＝60°，b+c＝180°﹣110°＝70°，c+d＝60°，
∴b﹣d＝10°，
∴（60°﹣a）﹣d＝10°，
∴a+d＝50°，
即∠DAO＝50°，
①要使AO＝AD，需∠AOD＝∠ADO，
∴190°﹣α＝α﹣60°，
∴α＝125°；
②要使OA＝OD，需∠OAD＝∠ADO，
∴110°+80°+60°+α＝360°
∴α＝110°；
③要使OD＝AD，需∠OAD＝∠AOD，
110°+50°+60°+α＝360°，
∴α＝140°．
所以当α为110°、125°、140°时，三角形AOD是等腰三角形．
24．解：（1）∵BD＝BC，
∴∠BDC＝∠C，
∵AB＝AC，
∴∠ABC＝∠C，
∴∠A＝∠DBC，
∵AD＝BD，
∴∠A＝∠DBA，
∴∠A＝∠DBA＝∠DBC＝∠ABC＝∠C，
∵∠A+∠ABC+∠C＝5∠A＝180°，
∴∠A＝36°，∠C＝72°；
故答案为：36，72；
（2）①∵∠A＝∠ABD＝36°，
∠B＝∠C＝72°，
∴∠ABD＝∠CBD＝36°，
∵BH⊥EN，
∴∠BHN＝∠EHB＝90°，
在△BNH与△BEH中，
，
∴△BNH≌△BEH，
∴BN＝BE，
∴△BNE是等腰三角形；
②CD＝AN+CE，
理由：由①知，BN＝BE，
∵AB＝AC，
∴AN＝AB﹣BN＝AC﹣BE，
∵CE＝BE﹣BC，
∵CD＝AC﹣AD＝AC﹣BD＝AC﹣BC，
∴CD＝AN+CE．
25．解：（1）∠EDC＝180°﹣∠ADB﹣∠ADE＝180°﹣115°﹣40°＝25°，
∠DEC＝180°﹣∠EDC﹣∠C＝180°﹣40°﹣25°＝115°，
∠BDA逐渐变小；
故答案为：25°，115°，小；
（2）当DC＝2时，△ABD≌△DCE，
理由：∵∠C＝40°，
∴∠DEC+∠EDC＝140°，
又∵∠ADE＝40°，
∴∠ADB+∠EDC＝140°，
∴∠ADB＝∠DEC，
又∵AB＝DC＝2，
∴△ABD≌△DCE（AAS），
（3）当∠BDA的度数为110°或80°时，△ADE的形状是等腰三角形，
理由：∵∠BDA＝110°时，
∴∠ADC＝70°，
∵∠C＝40°，
∴∠DAC＝70°，∠AED＝∠C+∠EDC＝30°+40°＝70°，
∴∠DAC＝∠AED，
∴△ADE的形状是等腰三角形；
∵当∠BDA的度数为80°时，
∴∠ADC＝100°，
∵∠C＝40°，
∴∠DAC＝40°，
∴∠DAC＝∠ADE，
∴△ADE的形状是等腰三角形．
一．选择题（共8小题，满分24分）
1．如图，△ABC中，∠ABC与∠ACB的平分线交于点F，过点F作DE∥BC交AB于点D，交AC于点E，那么下列结论，①△BDF是等腰三角形；②DE＝BD+CE；③若∠A＝50°，∠BFC＝105°；④BF＝CF．其中正确的有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
2．等腰三角形的一个角比另一个角2倍少20度，等腰三角形顶角的度数是（ ）
A．140°或44°或80° B．20°或80°
C．44°或80° D．140°
3．如图，AE垂直于∠ABC的平分线交于点D，交BC于点E，CE＝BC，若△ABC的面积为2，则△CDE的面积为（ ）
A． B． C． D．
4．如图，BD，CE分别是△ABC的高线和角平分线，且相交于点O．若AB＝AC，∠A＝40°，则∠BOE的度数是（ ）
A．60° B．55° C．50° D．40°
5．如图，在等边三角形ABC中，D为AC边的中点，E为BC边的延长线上一点，CE＝CD，DM⊥BC于点M．下列结论错误的是（ ）
A．BM＝3CM B．BM＝EM C．CM＝CE D．DM＝2CM
6．如图，已知：∠MON＝30°，点A1，A2，A3，…在射线ON上，点B1，B2，B3，…在射线OM上，△A1B1A2，△A2B2A3，△A3B3A4，…均为等边三角形，若OA1＝1，则B2022B2023的长为（ ）
A．2021 B．2022 C． D．
7．下列三角形：①有两个角等于60°的三角形；②有一个角等于60°的等腰三角形；③三个外角（每个顶点处各取一个外角）都相等的三角形；④一腰上的中线也是这条腰上的高的等腰三角形．其中是等边三角形的有（ ）
A．①②③④ B．①②④ C．①③ D．②③④
8．如图，在第一个△ABA1中，∠B＝20°，AB＝A1B，在A1B上取一点C，延长AA1到A2，使得A1A2＝A1C，得到第二个△A1A2C；在A2C上取一点D，延长A1A2到A3，使得A2A3＝A2D；…，按此做法进行下去，则第5个三角形中，以点A4为顶点的等腰三角形的底角的度数为（ ）
A．5° B．10° C．175° D．170°
二．填空题（共8小题，满分24分）
9．如图，△ABC中，AB＝BD，点D，E分别是AC，BD上的点，且∠ABD＝∠DCE，若∠BEC＝105°，则∠A的度数是 ．
10．如图，O是直线AB上一点，∠AOC＝35°，CO⊥DO，OC＝OB，OD交CB于点E，则∠CED＝ ．
11．如图，CE平分∠ACB．且CE⊥DB，∠DAB＝∠DBA，AC＝9，△CBD的周长为14，则DB的长为 ．
12．在△ABC中，∠B＝50°，当∠A为 时，△ABC是等腰三角形．
13．如图，△ABC是面积为1的等边三角形，取BC边中点E，作ED∥AB，EF∥AC，得到四边形EDAF，它的面积记作S1；取BE中点E1，作E1D1∥FB，E1F1∥EF，得到四边形E1D1FF1，它的面积记作S2，照此规律作下去，则S2019＝ ．
14．已知如图，在△ABC，∠BAC＝135°，AB⊥AD，DC＝AB+AD，则∠ACB＝ 度．
15．如图，线段AB＝a，点P是AB中垂线MN上的一动点，过点P作直线CD∥AB．若在直线CD上存在点Q使得△ABQ为等腰三角形，且满足条件的点Q有且只有3个，则PM的长为 ．
16．如图，已知：∠MON＝30°，点A1、A2、A3、…在射线OM上，点B1、B2、B3、…在射线ON上，△A1B1B2、△A2B2B3、△A3B3B4、…均为等边三角形，若OB1＝1，则△A8B8B9的边长为 ．
三．解答题（共9小题，满分72分）
17．如图，在△ABC中，AB＝AC，点D，点E分别是BC，AC上一点，且DE⊥AD．若∠BAD＝55°，∠B＝50°，求∠DEC的度数．
18．如图，在△ABC中，AB＝AD＝DC，∠BAD＝26°，求∠B和∠C的度数．
19．如图，在△ABC中，AB＝AC，AD是BC边上的中线，AE⊥BE于点E，且BE＝BC．求证：AB平分∠EAD．
20．已知一个等腰三角形的两个内角分别为（2x﹣2）°和（3x﹣5）°，求这个等腰三角形各内角的度数．
21．如图，在△ABC中，AB＝AC，点D、E、F分别在AB、BC、AC边上，且BE＝CF，BD＝CE．
（1）求证：△DEF是等腰三角形；
（2）当∠A＝50°时，求∠DEF的度数．
22．如图，AD平分∠BAC，AD⊥BD，垂足为点D，DE∥AC．
求证：△BDE是等腰三角形．
23．如图，点O是等边△ABC内一点，∠AOB＝110°，∠BOC＝α．以OC为一边作等边三角形OCD，连接AC、AD．
（1）当α＝150°时，试判断△AOD的形状，并说明理由；
（2）探究：当α为多少度时，△AOD是等腰三角形？
24．如图，在△ABC中，AB＝AC，D在边AC上，且BD＝DA＝BC．
（1）如图1，填空∠A＝ °，∠C＝ °．
（2）如图2，若M为线段AC上的点，过M作直线MH⊥BD于H，分别交直线AB、BC于点N、E．
①求证：△BNE是等腰三角形；
②试写出线段AN、CE、CD之间的数量关系，并加以证明．
25．如图，在△ABC中，AB＝AC＝2，∠B＝∠C＝40°，点D在线段BC上运动（D不与B、C重合），连接AD，作∠ADE＝40°，DE交线段AC于E．
（1）当∠BDA＝115°时，∠EDC＝ °，∠DEC＝ °；点D从B向C运动时，∠BDA逐渐变 （填“大”或“小”）；
（2）当DC等于多少时，△ABD≌△DCE，请说明理由；
（3）在点D的运动过程中，△ADE的形状可以是等腰三角形吗？若可以，请直接写出∠BDA的度数．若不可以，请说明理由．
参考答案
一．选择题（共8小题，满分24分）
1．解：∵DE∥BC，
∴∠DFB＝∠FBC，
∵BF平分∠ABC，
∴∠DBF＝∠FBC，
∴∠DBF＝∠DFB，
∴△BDF是等腰三角形，故①正确；
∴BD＝DF，
同理可得：EC＝FE，
∴DE＝BD+CE，故②正确；
∵∠A＝50°，∴∠BFC＝90°+∠A＝90°+25°＝115°，故③错误；
无法得出BF＝FC，故④错误；
故选：B．
2．解：设另一个角是x，表示出一个角是2x﹣20°，
①x是顶角，2x﹣20°是底角时，x+2（2x﹣20°）＝180°，
解得x＝44°，
所以，顶角是44°；
②x是底角，2x﹣20°是顶角时，2x+（2x﹣20°）＝180°，
解得x＝50°，
所以，顶角是2×50°﹣20°＝80°；
③x与2x﹣20°都是底角时，x＝2x﹣20°，
解得x＝20°，
所以，顶角是180°﹣20°×2＝140°；
综上所述，这个等腰三角形的顶角度数是44°或80°或140°．
故选：A．
3．解：∵BD平分∠ABC，
∴∠ABD＝∠EBD．
∵AE⊥BD，
∴∠ADB＝∠EDB．
在△ADB和△EDB中，∠ABD＝∠EBD，BD＝BD，∠ADB＝∠EDB，
∴△ADB≌△EBD，
∴AD＝ED．
∵CE＝BC，△ABC的面积为2，
∴△AEC的面积为．
又∵AD＝ED，
∴△CDE的面积＝△AEC的面积＝．
故选：A．
4．解：∵AB＝AC，∠A＝40°，
∴∠ABC＝∠ACB＝70°，
∵CE平分∠ACB，
∴∠ACE＝∠ACB＝35°，
∵BD⊥AC，
∴∠ODC＝90°，
∴∠BOE＝∠COD＝90°﹣35°＝55°，
故选：B．
5．解：∵三角形ABC是等边△ABC，
∴∠ACB＝∠ABC＝60°，
又∵CE＝CD，
∴∠E＝∠CDE，
又∵∠ACB＝∠E+∠CDE，
∴∠E＝∠ACB＝30°，
连接BD，
∵等边△ABC中，D是AC的中点，
∴∠DBC＝∠ABC＝×60°＝30°，
∴∠DBC＝∠E＝30°，
∴DB＝DE，
又∵DM⊥BC，
∴BM＝EM，故B正确；
∵CM＝CD＝CE，故C正确；故D错误，
∴ME＝3CM，
∴BM＝3CM，故A正确；
故选：D．
6．解：∵△A1B1A2是等边三角形，
∴A1B1＝A2B1，∠3＝∠4＝∠12＝60°，
∴∠2＝120°，
∵∠MON＝30°，
∴∠1＝180°﹣120°﹣30°＝30°，
又∵∠3＝60°，
∴∠5＝180°﹣60°﹣30°＝90°，
∵∠MON＝∠1＝30°，
∴OA1＝A1B1＝1，
∴A2B1＝1，
∵△A2B2A3、△A3B3A4是等边三角形，
∴∠11＝∠10＝60°，∠13＝60°，
∵∠4＝∠12＝60°，
∴A1B1∥A2B2∥A3B3，B1A2∥B2A3，
∴∠1＝∠6＝∠7＝30°，∠5＝∠8＝90°，
∴A2B2＝2B1A2＝2，
∴B1B2＝，
∵B3A3＝2B2A3，
∴A3B3＝4B1A2＝4，
∴B2B3＝2，
∵A4B4＝8B1A2＝8，
∴B3B4＝4，
以此类推，BnBn+1的长为 2n﹣1，
∴B2022B2023的长为22021，
故选：C．
7．解：①两个角为60度，则第三个角也是60度，则其是等边三角形；
②有一个角等于60°的等腰三角形是等边三角形；
③三个外角相等，则三个内角相等，则其是等边三角形；
④根据等边三角形的性质，可得该等腰三角形的腰与底边相等，则三角形三边相等．
所以都正确．
故选：A．
8．解：∵在△ABA1中，∠B＝20°，AB＝A1B，
∴∠BA1A＝＝80°，
∵A1A2＝A1C，∠BA1A是△A1A2C的外角，
∴∠CA2A1＝＝＝40°；A
同理可得∠DA3A2＝20°，∠EA4A3＝10°，
∴∠An＝，
以点A4为顶点的等腰三角形的底角为∠A5．
∠A5＝＝5°，
故选：A．
二．填空题（共8小题，满分24分）
9．解：∵BA＝BD，
∴∠A＝∠BDA，设∠A＝∠BDA＝x，∠ABD＝∠ECD＝y，
则有，
解得x＝85°，
故答案为85°．
10．解：∵OC＝OB，
∴∠C＝∠OBC，
∵∠AOC＝∠C+∠OBC＝35°，
∴∠C＝×35°＝17.5°，
∵OC⊥OD，
∴∠COD＝90°，
∴∠CED＝∠C+∠COD＝17.5°+90°＝107.5°，
故答案为107.5°．
11．解：∵CE平分∠ACB且CE⊥DB，
∴∠DCE＝∠BCE，∠CED＝∠CEB，
又∵CE＝CE，
∴△CDE≌△CBE（ASA），
∴CD＝CB，
∵∠DAB＝∠DBA，
∴AD＝BD，
∴AC＝AD+CD＝BD+CD＝9，
又∵△CBD的周长为14，
∴BC＝14﹣9＝5，
∴CD＝5，
∴AD＝9﹣5＝4＝BD，
故答案为：4．
12．解：①∠B是顶角，∠A＝（180°﹣∠B）÷2＝65°；
②∠B是底角，∠B＝∠A＝50°．
③∠A是顶角，∠B＝∠C＝50°，则∠A＝180°﹣50°×2＝80°，
∴当∠A的度数为50°或65°或80°时，△ABC是等腰三角形．
故答案为：50°或65°或80°．
13．解：∵E是BC的中点，ED∥AB，
∴DE是△ABC的中位线，
∴DE＝AB，
∴S△DCE＝S△ABC＝
同理，S△BEF＝S△ABC＝
∴S1＝S△ABC﹣S△DCE﹣S△BEF＝1﹣﹣＝，
同理求得S2＝，
…
Sn＝，
S2019＝，
故答案为：．
14．解：延长DA到E，使AE＝AB，
∵DC＝AB+AD，
∴DE＝CD，
∴∠DCE＝∠DEC，
∵AB⊥AD，
∴△ABE是等腰直角三角形，
∴∠AEB＝∠ABE＝45°，
∵∠BAD＝135°，
∴∠CAE＝135°，
在△ABC与△AEC中，，
∴△ABC≌△AEC（SAS），
∴BC＝EC，∠ACE＝∠ACB，∠AEC＝∠ABC，
设∠ACD＝∠ACE＝α，
∴∠AEC＝∠ABC＝2α，
∴2α+2α+2α+45°+45°＝180°，
∴α＝15°，
∴∠ACB＝15°，
故答案为：15．
15．解：如图所示，分别以A，B为圆心，AB长为半径画弧，
①当直线CD经过两弧的交点时，直线CD与两弧共有3个交点G1，G2，G3，
此时满足△GAB是等腰三角形的点G有且只有3个，△PAB是等边三角形，
∴PM＝a；
②当直线CD与两弧均相切时，直线CD与两弧、直线MN共有3个交点G1，G2，G3，
此时满足△GAB是等腰三角形的点G有且只有3个，
∴PM＝AG1＝AB＝a，
故答案为：a或a．
16．解：∵△A1B1B2是等边三角形，
∴∠A1B1B2＝∠A1B2O＝60°，A1B1＝A1B2，
∵∠O＝30°，
∴∠A2A1B2＝∠O+∠A1B2O＝90°，
∵∠A1B1B2＝∠O+∠OA1B1，
∴∠O＝∠OA1B1＝30°，
∴OB1＝A1B1＝A1B2＝2，
在Rt△A2A1B2中，∵∠A1A2B2＝30°
∴A2B2＝2A1B2＝2，
同法可得A3B3＝22，A4B4＝23，…，AnBn＝2n﹣1，
∴△A8B8B9的边长＝27＝128，
故答案为128．
三．解答题（共9小题，满分72分）
17．解：∵AB＝AC，
∴∠B＝∠C，
∵∠B＝50°，
∴∠C＝50°，
∴∠BAC＝180°﹣50°﹣50°＝80°，
∵∠BAD＝55°，
∴∠DAE＝25°，
∵DE⊥AD，
∴∠ADE＝90°，
∴∠DEC＝∠DAE+∠ADE＝115°．
18．解：在△ABC中，AB＝AD＝DC，
∵AB＝AD，在三角形ABD中，
∠B＝∠ADB＝（180°﹣26°）×＝77°，
又∵AD＝DC，在三角形ADC中，
∴∠C＝＝77°×＝38.5°．
19．证明：∵AB＝AC，AD是BC边上的中线，
∴BD＝BC，AD⊥BC，
∵BE＝BC，
∴BD＝BE，
∵AE⊥BE，
∴AB平分∠EAD．
20．解：①当（2x﹣2）°和（3x﹣5）°是两个底角时，2x﹣2＝3x﹣5，x＝3，
∴三个内角分别是4°，4°，172°；
②当2x﹣2是顶角时，2x﹣2+2（3x﹣5）＝180°，解得x＝24，
∴三个内角分别是46°，67°，67°；
③当3x﹣5是顶角时，3x﹣5+2（2x﹣2）＝180°，解得x＝27，
∴三个内角分别是76°，52°，52°
21．（1）证明：∵AB＝AC，
∴∠B＝∠C，
在△BDE和△CEF中，
，
∴△BDE≌△CEF（SAS），
∴DE＝EF，
∴△DEF是等腰三角形；
（2）解：∵△BDE≌△CEF，
∴∠BDE＝∠CEF，
∴∠BED+∠CEF＝∠BED+∠BDE，
∵∠B+（∠BED+∠BDE）＝180°，
∠DEF+（∠BED+∠BDE）＝180°，
∴∠B＝∠DEF，
∵∠A＝50°，AB＝AC，
∴∠B＝（180°﹣50°）＝65°，
∴∠DEF＝65°．
22．证明：∵DE∥AC，
∴∠1＝∠3，
∵AD平分∠BAC，
∴∠1＝∠2，
∴∠2＝∠3，
∵AD⊥BD，
∴∠2+∠B＝90°，∠3+∠BDE＝90°，
∴∠B＝∠BDE，
∴BE＝DE，
∴△BDE是等腰三角形．
23．解：（1）∵△OCD是等边三角形，
∴OC＝CD，
而△ABC是等边三角形，
∴BC＝AC，
∵∠ACB＝∠OCD＝60°，
∴∠BCO＝∠ACD，
在△BOC与△ADC中，
∵，
∴△BOC≌△ADC，
∴∠BOC＝∠ADC，
而∠BOC＝α＝150°，∠ODC＝60°，
∴∠ADO＝150°﹣60°＝90°，
∴△ADO是直角三角形；
（2）∵设∠CBO＝∠CAD＝a，∠ABO＝b，∠BAO＝c，∠CAO＝d，
则a+b＝60°，b+c＝180°﹣110°＝70°，c+d＝60°，
∴b﹣d＝10°，
∴（60°﹣a）﹣d＝10°，
∴a+d＝50°，
即∠DAO＝50°，
①要使AO＝AD，需∠AOD＝∠ADO，
∴190°﹣α＝α﹣60°，
∴α＝125°；
②要使OA＝OD，需∠OAD＝∠ADO，
∴110°+80°+60°+α＝360°
∴α＝110°；
③要使OD＝AD，需∠OAD＝∠AOD，
110°+50°+60°+α＝360°，
∴α＝140°．
所以当α为110°、125°、140°时，三角形AOD是等腰三角形．
24．解：（1）∵BD＝BC，
∴∠BDC＝∠C，
∵AB＝AC，
∴∠ABC＝∠C，
∴∠A＝∠DBC，
∵AD＝BD，
∴∠A＝∠DBA，
∴∠A＝∠DBA＝∠DBC＝∠ABC＝∠C，
∵∠A+∠ABC+∠C＝5∠A＝180°，
∴∠A＝36°，∠C＝72°；
故答案为：36，72；
（2）①∵∠A＝∠ABD＝36°，
∠B＝∠C＝72°，
∴∠ABD＝∠CBD＝36°，
∵BH⊥EN，
∴∠BHN＝∠EHB＝90°，
在△BNH与△BEH中，
，
∴△BNH≌△BEH，
∴BN＝BE，
∴△BNE是等腰三角形；
②CD＝AN+CE，
理由：由①知，BN＝BE，
∵AB＝AC，
∴AN＝AB﹣BN＝AC﹣BE，
∵CE＝BE﹣BC，
∵CD＝AC﹣AD＝AC﹣BD＝AC﹣BC，
∴CD＝AN+CE．
25．解：（1）∠EDC＝180°﹣∠ADB﹣∠ADE＝180°﹣115°﹣40°＝25°，
∠DEC＝180°﹣∠EDC﹣∠C＝180°﹣40°﹣25°＝115°，
∠BDA逐渐变小；
故答案为：25°，115°，小；
（2）当DC＝2时，△ABD≌△DCE，
理由：∵∠C＝40°，
∴∠DEC+∠EDC＝140°，
又∵∠ADE＝40°，
∴∠ADB+∠EDC＝140°，
∴∠ADB＝∠DEC，
又∵AB＝DC＝2，
∴△ABD≌△DCE（AAS），
（3）当∠BDA的度数为110°或80°时，△ADE的形状是等腰三角形，
理由：∵∠BDA＝110°时，
∴∠ADC＝70°，
∵∠C＝40°，
∴∠DAC＝70°，∠AED＝∠C+∠EDC＝30°+40°＝70°，
∴∠DAC＝∠AED，
∴△ADE的形状是等腰三角形；
∵当∠BDA的度数为80°时，
∴∠ADC＝100°，
∵∠C＝40°，
∴∠DAC＝40°，
∴∠DAC＝∠ADE，
∴△ADE的形状是等腰三角形．