2022-2023学年人教版八年级数学上册12.2三角形全等的判定解答题专题提升训练（含答案）
文档属性
| 名称 | 2022-2023学年人教版八年级数学上册12.2三角形全等的判定解答题专题提升训练（含答案） |  | |
| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 557.3KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 人教版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2022-10-09 21:09:45 | ||
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文档简介
2022-2023学年人教版八年级数学上册《12.2三角形全等的判定》
解答题专题提升训练（附答案）
1．如图，C、E分别在AB、DF上，O是CF的中点，EO＝BO，求证：∠ACE+∠DEC＝180°．
证明：∵O是CF的中点，
∴ ＝ ，
在△COB和△FOE中，
．
∴△COB≌△FOE （ ），
∴∠ ＝∠ ，（ ）．
∴AB∥DF，（ ）．
∴∠ACE+∠DEC＝180°．（ ）．
2．如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，点E为对角线BD上一点，∠A＝∠BEC，且AD＝BE．
（1）求证：△ABD≌△ECB；
（2）若∠BDC＝70°，求∠DBC的度数．
3．如图，在△ABC中，点D在AC上，BD平分∠ABC，延长BA到点E，使得BE＝BC，连接DE，若∠ADE＝38°，∠C＝42°，求∠BAD的度数．
4．如图所示，点E在△ABC外部，点D在BC边上，DE交AC于F，若∠1＝∠3，∠E＝∠C，AE＝AC，问△ABC≌△ADE吗？请说明理由．
5．如图，△AOB≌△COD，OD与AB交于点G，OB与CD交于点E．
（1）∠AOD与∠COB的数量关系是：∠AOD ∠COB；
（2）求证：△AOG≌△COE；
（3）若OA＝OB，当A，O，C三点共线时，恰好OB⊥CD，则此时∠AOB＝ °．
6．△ABC和△ADE如图所示，其中∠ABC＝∠ACB，∠ADE＝∠AED，∠BAC＝∠DAE．
（1）如图①，连接BE、CD，求证：BE＝CD；
（2）如图②，连接BE、CD、BD，若∠BAC＝∠DAE＝60°，CD⊥AE，AD＝3，CD＝5，求BD的长．
7．如图，点C、E、F、B在同一直线上，点A、D在BC异侧，AB∥CD，AB＝CD，BF＝CE．
（1）试说明：∠A＝∠D；
（2）若AB＝CF，∠A比∠B的余角大20°，求∠D的度数．
8．如图，Rt△ACB中，∠ACB＝90°，∠CAB与∠ABC的角平分线BE，AD相交于点G，过G作AD垂线交BC的延长线于点F，交AC于点H．
（1）求∠DGB的大小；
（2）若AD＝10，GF＝6，求GH长度；
（3）若S△ABG＝5，求四边形ABDE的面积．
9．如图，在△ABC中，AD⊥BC，CE⊥AB，垂足分别为D，E，AD与CE相交于点F，且AE＝CD．
（1）求证：AB＝CB；
（2）若DF＝3，CD＝4，求点F到AC的距离．
10．如图，点A、B、C、D在同一条直线上，△ACE≌△DBF，已知AC＝5，BC＝2，求AD的长．
11．如图，在四边形ABCD中，AB＝CD，E、F是对角线BD上两点，且BE＝DF，AE⊥BD，CF⊥BD，垂足分别是E、F．
（1）求证：△ABE≌△CDF；
（2）若AC与BD交于点O，求证：OA＝OC．
12．如图，A、B、C、D在同一直线上，AB＝CD，AE∥BF，AE＝BF．请将证明“CE∥DF”推理过程补充完整．
证明：∵AE∥BF，∴∠A＝ （ ）
∵AB＝CD，
∴AB+BC＝CD+BC（ ）
即AC＝BD
在△ACE与△BDF中
∴△ACE≌△BDF（ ）
∴ （ ）
∴CE∥DF（ ）
13．如图，△ABC中，∠ABC＝45°，D为BC上一点，∠ADC＝60°，AE⊥BC于点E，CF⊥AD于点F，AE、CF相交于点G，∠CAE＝15°．
（1）求∠ACF的度数；
（2）求证：DF＝AG．
14．如图，点D为△ABC边AC上一点，过点D作DE∥AB，点O为BE的中点，连接AO并延长，交DE的延长线于点F，连接AE、BF．
（1）试判断四边形ABFE的形状，并说明理由；
（2）若AB＝BF，AC＝10，∠C＝30°，求OC的长．
15．如图，A，E，F，B在同一条直线上，CE⊥AB，DF⊥AB，垂足分别为E，F，AE＝BF，∠A＝∠B．
（1）求证：△ADF≌△BCE．
（2）当BC⊥AD时，，OA＝3时，求OD的长．
16．已知AB＝AC，AD＝AE，∠BAC＝∠DAE．
（1）如图1，当点D在BC上时，求证：BD＝CE；
（2）如图2，当点D、E、C在同一直线上，且∠BAC＝α，∠BAE＝β时，求∠DBC的度数（用含α和β的式子表示）．
17．如图，在四边形ABCD中，点E为对角线BD上一点，∠A＝∠BEC，∠ABD＝∠BCE，且AD＝BE．
（1）证明：①△ABD≌△ECB；②AD∥BC；
（2）若BC＝15，AD＝6，请求出DE的长度．
18．如图，已知点A、C分别在∠GBE的边BG、BE上，且AB＝AC，AD∥BE，与∠ACE的平分线CD交于点D，连接BD．求证：BD平分∠ABC．
19．小明利用一根长3 m的竿子来测量路灯AB的高度．他的方法如下：如图，在路灯前选一点P，使BP＝3m，并测得∠APB＝70°，然后把竖直的竿子CD（CD＝3m）在BP的延长线上左右移动，使∠CPD＝20°，此时测得BD＝11.2m．请根据这些数据，计算出路灯AB的高度．
20．已知AC、BD相交于点O，OA＝OC，OB＝OD．
（1）求证：△AOB≌△COD；
（2）连接BC，若AB＝8，BC＝10，求OB的取值范围．
21．如图，长方形ABCD中，AB＝4cm，BC＝6cm，现有一动点P从A出发以2cm/秒的速度，沿矩形的边A﹣B﹣C﹣D﹣A返回到点A停止，设点P运动的时间为t秒．
（1）当t＝3时，BP＝ cm；
（2）当t为何值时，连接CP，DP，△CDP是等腰三角形；
（3）Q为AD边上的点，且DQ＝5，当t为何值时，以长方形的两个顶点及点P为顶点的三角形与△DCQ全等．
22．如图，已知四边形ABCD中，AB＝BC＝8cm，CD＝6cm，∠B＝∠C，动点P、Q同时从A、B两点出发，分别沿AB、BC方向匀速运动，点Q运动的速度是每秒2cm，点P运动的速度是每秒acm（a≤2），当点Q到达点C时，P、Q两点都停止运动，设运动时间为t秒．
（1）BQ＝ ，BP＝ ．（用含a或t的代数式表示）
（2）运动过程中，连接PQ，DQ，△BPQ与△CDQ能否全等？若能，请求出相应的t和a的值，若不能，说明理由．
23．如图，已知△ABC中，∠B＝∠C，AB＝8，BC＝6，点D为AB的中点，如果点P在线段BC上以每秒2个单位长度的速度由B点向C点运动，同时，点Q在线段CA上以每秒a个单位长度的速度由C点向A点运动，设运动时间为t（秒）（0≤t≤3）
（1）PC＝ （用含t的代数式表示）；
（2）若点P、Q的运动速度相等，经过1秒后，△BPD与△CQP是否全等，请说明理由；
（3）若点P、Q的运动速度不相等，当点Q的运动速度a＝ 时，能够使△BPD与△CQP全等．
24．已知正方形ABCD中，边长为10cm，点E在AB边上，BE＝6cm，如果点P在线段BC上以4cm/s的速度由点B向点C运动，同时点Q在线段CD上以acm/的速度由点C向点D运动，设运动的时间为t秒，
（1）CP的长为 cm（用含t的代数式表示）
（2）若以E、B、P为顶点的三角形和以P、C、Q为顶点的三角形全等，求a的值
25．如图，已知△ABC中，AB＝AC＝24厘米，∠ABC＝∠ACB，BC＝16厘米，点D为AB的中点．如果点P在线段BC上以4厘米/秒的速度由B点向C点运动．同时，点Q在线段CA上由C点以a厘米/秒的速度向A点运动．设运动的时间为t秒．
（1）直接写出：
①BD＝ 厘米； ②BP＝ 厘米；
③CP＝ 厘米； ④CQ＝ 厘米；
（可用含t、a的代数式表示）
（2）若以D，B，P为顶点的三角形和以P，C，Q为顶点的三角形全等，试求a、t的值．
26．如图，在矩形ABCD中，AD＝3，DC＝5，动点M从A点出发沿线段AD﹣DC以每秒1个单位长度的速度向终点C运动；动点N同时从C点出发沿线段CD﹣DA以每秒3个单位长度的速度向终点A运动．ME⊥PQ于点E，NF⊥PQ于点F，设运动的时间为t秒．
（1）在运动过程中当M、N两点相遇时，求t的值．
（2）在整个运动过程中，求DM的长．（用含t的代数式表示）
（3）当△DEM与△DFN全等时，请直接写出所有满足条件的DN的长．
27．如图，在△ABC中，AB＝AC＝18cm，BC＝10cm，AD＝2BD．动点P以2cm/s的速度沿射线BC运动，同时，点Q从点C出发，以acm/s的速度向终点A运动，当Q点停止运动时，P点也随之停止运动，设点P的运动时间为t（s）（t＞0）．
（1）用含t的代数式表示PC的长；
（2）若点Q的运动速度为1cm/s，当△CQP是以∠C为顶角的等腰三角形时，求t的值；
（3）当点Q的运动速度为多少时，能使△BPD与△CQP在某一时刻全等．
参考答案
1．证明：∵O是CF的中点，
∴CO＝FO，
在△COB和△FOE中，
，
∴△COB≌△FOE（SAS），
∴∠OBC＝∠OEF（全等三角形对应角相等），
∴AB∥DF（内错角相等，两直线平行），
∴∠ACE+∠DEC＝180°（两直线平行，同旁内角互补）．
故答案为：CO；FO；SAS；OBC；OEF；全等三角形对应角相等；内错角相等，两直线平行；两直线平行，同旁内角互补．
2．（1）证明：∵AD∥BC，
∴∠ADB＝∠EBC，
在△ABD和△ECB中，
，
∴△ABD≌△ECB（ASA）；
（2）解：∵△ABD≌△ECB，
∴BD＝BC，
∴∠BDC＝∠BCD＝70°，
∴∠DBC＝40°．
3．解：∵BD平分∠ABC，
∴∠EBD＝∠CBD，
在△BDE和△BDC中，
，
∴△BDE≌△BDC（SAS），
∴∠E＝∠C＝42°，
∵∠ADE＝38°，
∴∠BAD＝∠ADE+∠E＝38°+42°＝80°．
4．解：△ABC和△ADE全等，
理由是：∵∠ADC＝∠B+∠1＝∠3+∠ADE，
又∵∠1＝∠3，
∴∠B＝∠ADE，
在△ABC和△ADE中，
，
∴△ABC≌△ADE（AAS），
即△ABC和△ADE全等．
5．（1）解：∵△AOB≌△COD，
∴∠AOB＝∠COD，
∴∠AOB﹣∠BOD＝∠COD﹣∠BOD，
即∠AOD＝∠COB，
故答案为：＝；
（2）证明：∵△AOB≌△COD，
∴OA＝OC，∠A＝∠C，
在△AOG和△COE中，
，
∴△AOG≌△COE（ASA）；
（3）如图，∵△AOB≌△COD，
∴OA＝OC，OB＝OD，
∵OA＝OB，
∴OA＝OB＝OC＝OD，
∵OB⊥CD，
∴CE＝DE，
∴OE是△ACD的中位线，
∴OE∥AD，
∴∠ODA＝∠BOD，
∵OA＝OD，
∴∠OAD＝∠ODA，
∵∠OAD+∠ODA+∠AOD＝∠BOD+∠BOC+∠AOD＝180°，∠AOD＝∠BOC，
∴∠AOD＝∠BOD＝∠BOC＝60°，
∴∠AOB＝120°，
故答案为：120．
6．（1）证明：∵∠ABC＝∠ACB，∠ADE＝∠AED，CAD
∴AB＝AC，AE＝AD，
∵，∠BAC＝∠DAE，
∴∠BAE＝∠CAD，
∴△ABE≌△ACD（SAS），
∴BE＝CD．
（2）解：∵∠ADE＝∠AED，
∴AE＝AD，
∵∠DAE＝60°，
∴△DAE是等边三角形，
∴AD＝ED＝3，∠AED＝∠ADE＝60°，
∵CD⊥AE，
∴∠ADC＝×60°＝30°，
由（1）知：△ABE≌△ACD，
∴BE＝CD＝5，∠AEB＝∠ADC＝30°，
∴∠BED＝90°，
∴BD＝．
7．解：（1）∵AB∥CD，
∴∠C＝∠B，
∵CE＝BF，
∴CE+EF＝FB+EF，
即CF＝BE，
在△AEB和△DFC中，
，
∴△AEB≌△DFC（SAS），
∴∠A＝∠D；
（2）设∠B＝x，则∠B的余角为90°﹣x，
∵∠A比∠B的余角大20°，
∴∠A＝90°﹣x+20°＝110°﹣x，
∵BE＝CF，AB＝CF，
∴AB＝BE，
∴∠AEB＝∠A＝110°﹣x，
由三角形内角和为180°得：2（110°﹣x）+x＝180°，
解得：x＝40°，
∴∠D＝∠A＝110°﹣40°＝70°．
8．解：（1）∵△ABC的角平分线AD、BE相交于点G，
∴∠GAB+∠GBA＝（∠CAB+∠CBA）＝45°，
∴∠DGB＝∠GAB+∠ABG＝45°；
（2）∵∠ACB＝90°，
∴∠FCH＝90°，
由（1）知：∠DGB＝45°，
∴∠AGB＝135°，
又∵GF⊥AD，
∴∠FGB＝90°+45°＝135°，
∴∠AGB＝∠FGB，
∵∠AHG＝∠CHF，∠AGH＝∠FCH＝90°，
∴∠BFH＝∠CAD＝∠BAD，
在△ABG和△FBG中，
，
∴△ABG≌△FBG（ASA），
∴GA＝GF，
∵AD＝10，GF＝6，
∴DG＝AD﹣AG＝AD﹣FG＝10﹣6＝4，
∵∠F＝∠CAD，∠AGH＝∠FGD，AG＝FG，
∴△AGH≌△FGD（AAS），
∴GH＝DG＝4；
（3）如图，
∵△ABG≌△FBG，△AGH≌△FGD，
∴S△AGB＝S△FBG，S△AGH＝S△FGD，GH＝GD，
∵∠HGD＝90°，
∴∠HDG＝∠DHG＝45°＝∠BGD，
∴HD∥EG，
∴S△EGH＝S△EGD，
∵S四边形ABDE＝S△ABG+S△AEG+S△EGD+S△GBD＝S△ABG+（S△AEG+S△EGH）+S△GBD
＝S△ABG+S△FGD+S△GBD
＝S△ABG+S△FBG
＝2S△ABG
＝2×5
＝10．
9．证明：（1）∵AD⊥BC，CE⊥AB，
∴∠AEF＝∠CDF＝∠BEC＝∠BDA＝90°．
在△AEF和△CDF中，
∴△AEF≌△CDF（AAS），
∴EF＝DF，AF＝CF．
∴EF+CF＝DF+AF，
∴EC＝DA，
在△ABD和△CBE中，
∴△ABD≌△CBE（AAS），
∴AB＝CB；
（2）∵△AEF≌△CDF，
∴AF＝CF，
∵DF＝3，CD＝4，
∴在Rt△CDF中，CF=5，
∴AD＝AF+DF＝CF+DF＝5+3＝8，
在Rt△ADC中，AC=，
设点F到AC的距离为h，
∵，
∴，
∴点F到AC的距离为．
10．解：∵AC＝5，△ACE≌△DBF，
∴BD＝AC＝5，
∵BC＝2，AC＝5，
∴AB＝AC﹣BC＝5﹣2＝3，
∴AD＝BD+AB＝5+3＝8．
11．证明：（1）∵AE⊥BD，CF⊥BD，
∴∠AEB＝∠CFD＝90°，
∵AB＝CD，BE＝DF，
∴Rt△ABE≌Rt△CDF（HL）；
（2）∵△ABE≌△CDF，
∴∠ABE＝∠CDF，
∴AB∥CD，
∵AB＝CD，
∴四边形ABCD是平行四边形，
∴AO＝CO．
12．证明：∵AE∥BF，
∴∠A＝∠FBD（两直线平行，同位角相等），
∵AB＝CD，
∴AB+BC＝CD+BC（等式的性质），
即AC＝BD，
在△ACE与△BDF中，
，
∴△ACE≌△BDF（SAS），
∴∠ECA＝∠D（全等三角形的对应角相等），
∴CE∥DF（同位角相等，两直线平行），
故答案为：∠FBD，两直线平行，同位角相等，等式的性质，∠A＝∠FBD，SAS，∠ECA＝∠D，全等三角形的对应角相等，同位角相等，两直线平行．
13．（1）解：∵∠ABC＝45°，∠ADC＝60°，
∴∠BAD＝∠ADC﹣∠ABC＝60°﹣45°＝15°，
∵AE⊥BC，
∴∠AEB＝90°，
∴△ABE是等腰直角三角形，
∴∠BAE＝45°，
∴∠DAE＝∠BAE﹣∠BAD＝45°﹣15°＝30°，
∴∠CAF＝∠DAE+∠CAE＝30°+15°＝45°，
∵CF⊥AD，
∴∠AFC＝90°，
∴∠ACF＝90°﹣∠CAF＝45°；
（2）证明：由（1）可知，∠DAC＝45°，∠AFG＝∠CFD＝90°，∠ACF＝∠CAF＝45°，
∴AF＝CF，
∵AE⊥CB，
∴∠CEG＝∠AFG＝90°，
∵∠CGE＝∠AGF，
∴∠FAG＝∠FCD，
在△AFG和△CFD中，
，
∴△AFG≌△CFD（ASA），
∴GF＝DF，
由（1）可知，∠FAG＝30°，
∵∠AFG＝90°，
∴FG＝AG，
∴DF＝AG．
14．解：（1）四边形ABFE是平行四边形，理由如下：
∵DE∥AB，
∴∠ABO＝∠FEO．
∵O是BE中点，
∴OB＝OE．
在△AOB和△FOE中，
，
∴△AOB≌△FOE（ASA）．
∴AO＝FO．
∴四边形ABFE是平行四边形；
（2）∵四边形ABFE是平行四边形，AB＝BF，
∴四边形ABFE是菱形，
∴AF⊥BE，
∵AC＝10，∠C＝30°，
∴OA＝5，
∴OC＝OA＝5．
15．（1）证明：∵CE⊥AB，DF⊥AB，
∴∠AFD＝∠BEC＝90°，
∵AE＝BF，
∴AE+EF＝BF+EF，
即AF＝BE，
在△ADF和△BCE中，
，
∴△ADF≌△BCE（ASA）；
（2）解：∵BC⊥AD，∠A＝∠B，
∴∠A＝∠B＝45°，
∴OA＝OB＝3，AB=，
∵，
∴，
∴，
∴AD=4，
∴OD＝AD﹣OA＝4﹣3＝1．
16．（1）证明：∵∠BAC＝∠DAE，
∴∠BAC﹣∠CAD＝∠DAE﹣∠CAD，
即∠BAD＝∠CAE，
在△ABD和△ACE中，
，
∴△ABD≌△ACE（SAS），
∴BD＝CE；
（2）解：∵AB＝AC，AD＝AE，∠BAC＝∠DAE＝α，
∴∠ABC＝∠ACB＝＝90°﹣α＝∠ADE＝∠AED，
由（1）得△ABD≌△ACE，
∴∠ADB＝∠AEC＝180°﹣∠AED＝90°+α，
∴∠DBC＝360°﹣∠BCA﹣∠CAD﹣∠ADB
＝360°﹣（90°﹣α）﹣（2α﹣β）﹣（90°+α）
＝180°﹣2α+β．
17．（1）证明：①在△ABD与△ECB中，
，
∴△ABD≌△ECB（AAS）；
②由①得，△ABD≌△ECB，
∴∠ADB＝∠EBC，
∴AD∥BC；
（2）解：∵△ABD≌△ECB，
∴BD＝BC＝15，BE＝AD＝6，
∴DE＝BD﹣BE＝15﹣6＝9．
18．证明：∵AD∥BE，
∴∠ADC＝∠DCE，
∵CD平分∠ACE，
∴∠ACD＝∠DCE，
∴∠ACD＝∠ADC，
∴AC＝AD，
∵AB＝AC，
∴AB＝AD，
∴∠ABD＝∠ADB，
∵AD∥BE，
∴∠ADB＝∠DBC，
∴∠ABD＝∠DBC，
∵BD平分∠ABC．
19．解：∵∠CPD＝20°，∠APB＝70°，∠CDP＝∠ABP＝90°，
∴∠DCP＝∠APB＝70°．
在△CPD和△PAB中，
，
∴△CPD≌△PAB（ASA）．
∴DP＝AB．
∵BD＝11.2m，BP＝3m，
∴DP＝BD﹣BP＝8.2m，即AB＝8.2m．
答：路灯AB的高度是8.2m．
20．（1）证明：在△AOB和△COD中，
，
∴△AOB≌△COD（SAS）；
（2）解：由（1）知，△AOB≌△COD，
∴CD＝AB＝8，
在△BCD中，BC﹣CD＜BD＜BC+CD，
即2＜2OB＜18，
∴1＜OB＜9．
21．解：（1）当t＝3时，点P走过的路程为：2×3＝6，
∵AB＝4，
∴点P运动到线段BC上，
∴BP＝6﹣4＝2，
故答案为：2；
（2）①当点P在AB上时，△CDP是等腰三角形，
∴PD＝CP，
在矩形ABCD中，AD＝BC，∠A＝∠B＝90°，
∴△DAP≌△CBP（HL），
∴AP＝BP，
∴AP＝＝2，
∴t＝＝1，
②当点P在BC上时，△CDP是等腰三角形，
∵∠C＝90°，
∴CD＝CP＝4，
∴BP＝CB﹣CD＝2，
∴t＝＝3，
③当点P在AD上时，△CDP是等腰三角形，
∵∠D＝90°，
∴DP＝CD＝4，
∴t＝＝9，
综上所述，t＝1或3或9时，△CDP是等腰三角形；
（3）根据题意，如图，连接CQ，则AB＝CD＝4，∠A＝∠B＝∠C＝∠D＝90o，DQ＝5，
∴要使一个三角形与△DCQ全等，则另一条直角边必须等于DQ，
①当点P运动到P1时，CP1＝DQ＝5，此时△DCQ≌△CDP1，
∴点P的路程为：AB+BP1＝4+1＝5，
∴t＝5÷2＝2.5，
②当点P运动到P2时，BP2＝DQ＝5，此时△CDQ≌△ABP2，
∴点P的路程为：AB+BP2＝4+5＝9，
∴t＝9÷2＝4.5，
③当点P运动到P3时，AP3＝DQ＝5，此时△CDQ≌△ABP3，
∴点P的路程为：AB+BC+CD+DP3＝4+6+4+1＝15，
∴t＝15÷2＝7.5，
④当点P运动到P4时，即P与Q重合时，DP4＝DQ＝5，此时△CDQ≌△CDP4，
∴点P的路程为：AB+BC+CD+DP4＝4+6+4+5＝19，
∴t＝19÷2＝9.5，
综上所述，时间的值可以是：t＝2.5，4.5，7.5或9.5，
故答案为：2.5或4.5或7.5或9.5．
22．解：（1）由题意得，AP＝atcm，BP＝（8﹣at）cm，BQ＝2tcm，
故答案为：2tcm，（8﹣at）cm；
（2）△BPQ与△CDQ能全等；
∵∠B＝∠C，
∴△BPQ与△CDQ全等存在两种情况：
①当△PBQ≌△QCD时，PB＝CQ，BQ＝CD，
∴2t＝6，8﹣at＝8﹣2t，
∴a＝2，t＝3；
②当△PBQ≌△DCQ时，PB＝DC，BQ＝CQ，
∴8﹣at＝6，2t＝8﹣2t，
∴a＝1，t＝2；
综上，△BPQ与△CDQ能全等，此时a＝2，t＝3或a＝1，t＝2．
23．解：（1）由题意得：PB＝2t，
则PC＝6﹣2t；
故答案为：6﹣2t；
（2，理由是：
当t＝a＝1时，PB＝CQ＝2，
∴PC＝6﹣2＝4，
∵∠B＝∠C，
∴AC＝AB＝8，
∵D是AB的中点，
∴BD＝AB＝4，
∴BD＝PC＝4，
在△CQP和△BPD中，
，
∴△CQP≌△BPD（SAS）；
（3）∵点P、Q的运动速度不相等，
∴PB≠CQ，
当△BPD与△CQP全等，且∠B＝∠C，
∴BP＝PC＝3，CQ＝BD＝4，
∵BP＝2t＝3，CQ＝at＝4，
∴t＝，
∴a＝4，
∴a＝，
∴当a＝时，能够使△BPD与△CQP全等，
故答案为：．
24．解：（1）PC＝BC﹣BP＝（10﹣4t）cm；
故答案为：（10﹣4t）；
（2）①若△EBP≌△PCQ
则EB＝PC＝6，即BP＝CQ＝4，t＝1
得：a＝4；
②若△EBP≌△QCP
则EB＝CQ＝6，BP＝CP＝5，则t＝
得：，
解得：a＝．
25．解（1）由题意得：①BD＝12，②BP＝4t；③CP＝16﹣4t，④CQ＝at，
（2）∵BP＝4t，BD＝12，CP＝16﹣4t，CQ＝at，
∵∠B＝∠C，
∴分两种情况：
①若△DBP≌△QCP，
则，
∴，
∴，
②若△DBP≌△PCQ，
则，
∴，
∴．
，综上所述，a的值为6、t的值为2或a的值为4、t的值为1．
故答案为：12，4t，（16﹣4t），at．
26．解：（1）根据题意得t+3t＝3+5，
解得t＝2，
即t的值为2；
（2）当0≤t≤3时，DM＝3﹣t；
当3＜t≤8时，DM＝t﹣3；
（3）∵ME⊥PQ，NF⊥PQ，
∴∠DEM＝∠DFN＝90°，
∵∠MDN＝90°，
∴∠DME＝∠NDF，
∴当DM＝DN时，
△DEM与△DFN全等，
当0≤t≤时，3﹣t＝5﹣3t，解得t＝1，此时DN的长为2；
当＜t≤时，3﹣t＝3t﹣5，解得t＝2，此时DN的长为1，
当＜t≤3时，3t﹣5＝t﹣3，解得t＝1，不合题意舍去；
＜t＜8时，3＝t﹣3，解得t＝6，此时DN的长为3．
综上所述，DN的长为1或2或3．
27．解：（1）依题意，得BP＝2tcm，
∵BC＝10cm，
∴PC＝BC﹣BP＝（10﹣2t）cm或PC＝BP﹣BC＝（2t﹣10）cm；
（2）当△CQP是以∠C为顶角的等腰三角形时，CQ＝CP，
∴t＝10﹣2t或t＝2t﹣10，
解得t＝或t＝10；
（3）∵AD＝2BD，AD+DB＝AB＝18cm，
∴BD＝AB＝6cm．
如果△BPD与△CQP全等，那么可分两种情况：
①当BP＝CQ，BD＝CP时，△BPD≌△CQP，
∴2t＝at，10﹣2t＝6，
∴t＝2，a＝2；
②当BP＝CP，BD＝CQ时，△BPD≌△CPQ，
∵BP+CP＝BC＝10cm，
∴BP＝CP＝BC＝5cm，
∵2t＝5，解得t＝2.5，
∵at＝6，
∴2.5a＝6，
解得：a＝2.4，
综上所述：当点Q的运动速度为2或2.4cm/s时，能使△BPD与△CQP全等．
解答题专题提升训练（附答案）
1．如图，C、E分别在AB、DF上，O是CF的中点，EO＝BO，求证：∠ACE+∠DEC＝180°．
证明：∵O是CF的中点，
∴ ＝ ，
在△COB和△FOE中，
．
∴△COB≌△FOE （ ），
∴∠ ＝∠ ，（ ）．
∴AB∥DF，（ ）．
∴∠ACE+∠DEC＝180°．（ ）．
2．如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，点E为对角线BD上一点，∠A＝∠BEC，且AD＝BE．
（1）求证：△ABD≌△ECB；
（2）若∠BDC＝70°，求∠DBC的度数．
3．如图，在△ABC中，点D在AC上，BD平分∠ABC，延长BA到点E，使得BE＝BC，连接DE，若∠ADE＝38°，∠C＝42°，求∠BAD的度数．
4．如图所示，点E在△ABC外部，点D在BC边上，DE交AC于F，若∠1＝∠3，∠E＝∠C，AE＝AC，问△ABC≌△ADE吗？请说明理由．
5．如图，△AOB≌△COD，OD与AB交于点G，OB与CD交于点E．
（1）∠AOD与∠COB的数量关系是：∠AOD ∠COB；
（2）求证：△AOG≌△COE；
（3）若OA＝OB，当A，O，C三点共线时，恰好OB⊥CD，则此时∠AOB＝ °．
6．△ABC和△ADE如图所示，其中∠ABC＝∠ACB，∠ADE＝∠AED，∠BAC＝∠DAE．
（1）如图①，连接BE、CD，求证：BE＝CD；
（2）如图②，连接BE、CD、BD，若∠BAC＝∠DAE＝60°，CD⊥AE，AD＝3，CD＝5，求BD的长．
7．如图，点C、E、F、B在同一直线上，点A、D在BC异侧，AB∥CD，AB＝CD，BF＝CE．
（1）试说明：∠A＝∠D；
（2）若AB＝CF，∠A比∠B的余角大20°，求∠D的度数．
8．如图，Rt△ACB中，∠ACB＝90°，∠CAB与∠ABC的角平分线BE，AD相交于点G，过G作AD垂线交BC的延长线于点F，交AC于点H．
（1）求∠DGB的大小；
（2）若AD＝10，GF＝6，求GH长度；
（3）若S△ABG＝5，求四边形ABDE的面积．
9．如图，在△ABC中，AD⊥BC，CE⊥AB，垂足分别为D，E，AD与CE相交于点F，且AE＝CD．
（1）求证：AB＝CB；
（2）若DF＝3，CD＝4，求点F到AC的距离．
10．如图，点A、B、C、D在同一条直线上，△ACE≌△DBF，已知AC＝5，BC＝2，求AD的长．
11．如图，在四边形ABCD中，AB＝CD，E、F是对角线BD上两点，且BE＝DF，AE⊥BD，CF⊥BD，垂足分别是E、F．
（1）求证：△ABE≌△CDF；
（2）若AC与BD交于点O，求证：OA＝OC．
12．如图，A、B、C、D在同一直线上，AB＝CD，AE∥BF，AE＝BF．请将证明“CE∥DF”推理过程补充完整．
证明：∵AE∥BF，∴∠A＝ （ ）
∵AB＝CD，
∴AB+BC＝CD+BC（ ）
即AC＝BD
在△ACE与△BDF中
∴△ACE≌△BDF（ ）
∴ （ ）
∴CE∥DF（ ）
13．如图，△ABC中，∠ABC＝45°，D为BC上一点，∠ADC＝60°，AE⊥BC于点E，CF⊥AD于点F，AE、CF相交于点G，∠CAE＝15°．
（1）求∠ACF的度数；
（2）求证：DF＝AG．
14．如图，点D为△ABC边AC上一点，过点D作DE∥AB，点O为BE的中点，连接AO并延长，交DE的延长线于点F，连接AE、BF．
（1）试判断四边形ABFE的形状，并说明理由；
（2）若AB＝BF，AC＝10，∠C＝30°，求OC的长．
15．如图，A，E，F，B在同一条直线上，CE⊥AB，DF⊥AB，垂足分别为E，F，AE＝BF，∠A＝∠B．
（1）求证：△ADF≌△BCE．
（2）当BC⊥AD时，，OA＝3时，求OD的长．
16．已知AB＝AC，AD＝AE，∠BAC＝∠DAE．
（1）如图1，当点D在BC上时，求证：BD＝CE；
（2）如图2，当点D、E、C在同一直线上，且∠BAC＝α，∠BAE＝β时，求∠DBC的度数（用含α和β的式子表示）．
17．如图，在四边形ABCD中，点E为对角线BD上一点，∠A＝∠BEC，∠ABD＝∠BCE，且AD＝BE．
（1）证明：①△ABD≌△ECB；②AD∥BC；
（2）若BC＝15，AD＝6，请求出DE的长度．
18．如图，已知点A、C分别在∠GBE的边BG、BE上，且AB＝AC，AD∥BE，与∠ACE的平分线CD交于点D，连接BD．求证：BD平分∠ABC．
19．小明利用一根长3 m的竿子来测量路灯AB的高度．他的方法如下：如图，在路灯前选一点P，使BP＝3m，并测得∠APB＝70°，然后把竖直的竿子CD（CD＝3m）在BP的延长线上左右移动，使∠CPD＝20°，此时测得BD＝11.2m．请根据这些数据，计算出路灯AB的高度．
20．已知AC、BD相交于点O，OA＝OC，OB＝OD．
（1）求证：△AOB≌△COD；
（2）连接BC，若AB＝8，BC＝10，求OB的取值范围．
21．如图，长方形ABCD中，AB＝4cm，BC＝6cm，现有一动点P从A出发以2cm/秒的速度，沿矩形的边A﹣B﹣C﹣D﹣A返回到点A停止，设点P运动的时间为t秒．
（1）当t＝3时，BP＝ cm；
（2）当t为何值时，连接CP，DP，△CDP是等腰三角形；
（3）Q为AD边上的点，且DQ＝5，当t为何值时，以长方形的两个顶点及点P为顶点的三角形与△DCQ全等．
22．如图，已知四边形ABCD中，AB＝BC＝8cm，CD＝6cm，∠B＝∠C，动点P、Q同时从A、B两点出发，分别沿AB、BC方向匀速运动，点Q运动的速度是每秒2cm，点P运动的速度是每秒acm（a≤2），当点Q到达点C时，P、Q两点都停止运动，设运动时间为t秒．
（1）BQ＝ ，BP＝ ．（用含a或t的代数式表示）
（2）运动过程中，连接PQ，DQ，△BPQ与△CDQ能否全等？若能，请求出相应的t和a的值，若不能，说明理由．
23．如图，已知△ABC中，∠B＝∠C，AB＝8，BC＝6，点D为AB的中点，如果点P在线段BC上以每秒2个单位长度的速度由B点向C点运动，同时，点Q在线段CA上以每秒a个单位长度的速度由C点向A点运动，设运动时间为t（秒）（0≤t≤3）
（1）PC＝ （用含t的代数式表示）；
（2）若点P、Q的运动速度相等，经过1秒后，△BPD与△CQP是否全等，请说明理由；
（3）若点P、Q的运动速度不相等，当点Q的运动速度a＝ 时，能够使△BPD与△CQP全等．
24．已知正方形ABCD中，边长为10cm，点E在AB边上，BE＝6cm，如果点P在线段BC上以4cm/s的速度由点B向点C运动，同时点Q在线段CD上以acm/的速度由点C向点D运动，设运动的时间为t秒，
（1）CP的长为 cm（用含t的代数式表示）
（2）若以E、B、P为顶点的三角形和以P、C、Q为顶点的三角形全等，求a的值
25．如图，已知△ABC中，AB＝AC＝24厘米，∠ABC＝∠ACB，BC＝16厘米，点D为AB的中点．如果点P在线段BC上以4厘米/秒的速度由B点向C点运动．同时，点Q在线段CA上由C点以a厘米/秒的速度向A点运动．设运动的时间为t秒．
（1）直接写出：
①BD＝ 厘米； ②BP＝ 厘米；
③CP＝ 厘米； ④CQ＝ 厘米；
（可用含t、a的代数式表示）
（2）若以D，B，P为顶点的三角形和以P，C，Q为顶点的三角形全等，试求a、t的值．
26．如图，在矩形ABCD中，AD＝3，DC＝5，动点M从A点出发沿线段AD﹣DC以每秒1个单位长度的速度向终点C运动；动点N同时从C点出发沿线段CD﹣DA以每秒3个单位长度的速度向终点A运动．ME⊥PQ于点E，NF⊥PQ于点F，设运动的时间为t秒．
（1）在运动过程中当M、N两点相遇时，求t的值．
（2）在整个运动过程中，求DM的长．（用含t的代数式表示）
（3）当△DEM与△DFN全等时，请直接写出所有满足条件的DN的长．
27．如图，在△ABC中，AB＝AC＝18cm，BC＝10cm，AD＝2BD．动点P以2cm/s的速度沿射线BC运动，同时，点Q从点C出发，以acm/s的速度向终点A运动，当Q点停止运动时，P点也随之停止运动，设点P的运动时间为t（s）（t＞0）．
（1）用含t的代数式表示PC的长；
（2）若点Q的运动速度为1cm/s，当△CQP是以∠C为顶角的等腰三角形时，求t的值；
（3）当点Q的运动速度为多少时，能使△BPD与△CQP在某一时刻全等．
参考答案
1．证明：∵O是CF的中点，
∴CO＝FO，
在△COB和△FOE中，
，
∴△COB≌△FOE（SAS），
∴∠OBC＝∠OEF（全等三角形对应角相等），
∴AB∥DF（内错角相等，两直线平行），
∴∠ACE+∠DEC＝180°（两直线平行，同旁内角互补）．
故答案为：CO；FO；SAS；OBC；OEF；全等三角形对应角相等；内错角相等，两直线平行；两直线平行，同旁内角互补．
2．（1）证明：∵AD∥BC，
∴∠ADB＝∠EBC，
在△ABD和△ECB中，
，
∴△ABD≌△ECB（ASA）；
（2）解：∵△ABD≌△ECB，
∴BD＝BC，
∴∠BDC＝∠BCD＝70°，
∴∠DBC＝40°．
3．解：∵BD平分∠ABC，
∴∠EBD＝∠CBD，
在△BDE和△BDC中，
，
∴△BDE≌△BDC（SAS），
∴∠E＝∠C＝42°，
∵∠ADE＝38°，
∴∠BAD＝∠ADE+∠E＝38°+42°＝80°．
4．解：△ABC和△ADE全等，
理由是：∵∠ADC＝∠B+∠1＝∠3+∠ADE，
又∵∠1＝∠3，
∴∠B＝∠ADE，
在△ABC和△ADE中，
，
∴△ABC≌△ADE（AAS），
即△ABC和△ADE全等．
5．（1）解：∵△AOB≌△COD，
∴∠AOB＝∠COD，
∴∠AOB﹣∠BOD＝∠COD﹣∠BOD，
即∠AOD＝∠COB，
故答案为：＝；
（2）证明：∵△AOB≌△COD，
∴OA＝OC，∠A＝∠C，
在△AOG和△COE中，
，
∴△AOG≌△COE（ASA）；
（3）如图，∵△AOB≌△COD，
∴OA＝OC，OB＝OD，
∵OA＝OB，
∴OA＝OB＝OC＝OD，
∵OB⊥CD，
∴CE＝DE，
∴OE是△ACD的中位线，
∴OE∥AD，
∴∠ODA＝∠BOD，
∵OA＝OD，
∴∠OAD＝∠ODA，
∵∠OAD+∠ODA+∠AOD＝∠BOD+∠BOC+∠AOD＝180°，∠AOD＝∠BOC，
∴∠AOD＝∠BOD＝∠BOC＝60°，
∴∠AOB＝120°，
故答案为：120．
6．（1）证明：∵∠ABC＝∠ACB，∠ADE＝∠AED，CAD
∴AB＝AC，AE＝AD，
∵，∠BAC＝∠DAE，
∴∠BAE＝∠CAD，
∴△ABE≌△ACD（SAS），
∴BE＝CD．
（2）解：∵∠ADE＝∠AED，
∴AE＝AD，
∵∠DAE＝60°，
∴△DAE是等边三角形，
∴AD＝ED＝3，∠AED＝∠ADE＝60°，
∵CD⊥AE，
∴∠ADC＝×60°＝30°，
由（1）知：△ABE≌△ACD，
∴BE＝CD＝5，∠AEB＝∠ADC＝30°，
∴∠BED＝90°，
∴BD＝．
7．解：（1）∵AB∥CD，
∴∠C＝∠B，
∵CE＝BF，
∴CE+EF＝FB+EF，
即CF＝BE，
在△AEB和△DFC中，
，
∴△AEB≌△DFC（SAS），
∴∠A＝∠D；
（2）设∠B＝x，则∠B的余角为90°﹣x，
∵∠A比∠B的余角大20°，
∴∠A＝90°﹣x+20°＝110°﹣x，
∵BE＝CF，AB＝CF，
∴AB＝BE，
∴∠AEB＝∠A＝110°﹣x，
由三角形内角和为180°得：2（110°﹣x）+x＝180°，
解得：x＝40°，
∴∠D＝∠A＝110°﹣40°＝70°．
8．解：（1）∵△ABC的角平分线AD、BE相交于点G，
∴∠GAB+∠GBA＝（∠CAB+∠CBA）＝45°，
∴∠DGB＝∠GAB+∠ABG＝45°；
（2）∵∠ACB＝90°，
∴∠FCH＝90°，
由（1）知：∠DGB＝45°，
∴∠AGB＝135°，
又∵GF⊥AD，
∴∠FGB＝90°+45°＝135°，
∴∠AGB＝∠FGB，
∵∠AHG＝∠CHF，∠AGH＝∠FCH＝90°，
∴∠BFH＝∠CAD＝∠BAD，
在△ABG和△FBG中，
，
∴△ABG≌△FBG（ASA），
∴GA＝GF，
∵AD＝10，GF＝6，
∴DG＝AD﹣AG＝AD﹣FG＝10﹣6＝4，
∵∠F＝∠CAD，∠AGH＝∠FGD，AG＝FG，
∴△AGH≌△FGD（AAS），
∴GH＝DG＝4；
（3）如图，
∵△ABG≌△FBG，△AGH≌△FGD，
∴S△AGB＝S△FBG，S△AGH＝S△FGD，GH＝GD，
∵∠HGD＝90°，
∴∠HDG＝∠DHG＝45°＝∠BGD，
∴HD∥EG，
∴S△EGH＝S△EGD，
∵S四边形ABDE＝S△ABG+S△AEG+S△EGD+S△GBD＝S△ABG+（S△AEG+S△EGH）+S△GBD
＝S△ABG+S△FGD+S△GBD
＝S△ABG+S△FBG
＝2S△ABG
＝2×5
＝10．
9．证明：（1）∵AD⊥BC，CE⊥AB，
∴∠AEF＝∠CDF＝∠BEC＝∠BDA＝90°．
在△AEF和△CDF中，
∴△AEF≌△CDF（AAS），
∴EF＝DF，AF＝CF．
∴EF+CF＝DF+AF，
∴EC＝DA，
在△ABD和△CBE中，
∴△ABD≌△CBE（AAS），
∴AB＝CB；
（2）∵△AEF≌△CDF，
∴AF＝CF，
∵DF＝3，CD＝4，
∴在Rt△CDF中，CF=5，
∴AD＝AF+DF＝CF+DF＝5+3＝8，
在Rt△ADC中，AC=，
设点F到AC的距离为h，
∵，
∴，
∴点F到AC的距离为．
10．解：∵AC＝5，△ACE≌△DBF，
∴BD＝AC＝5，
∵BC＝2，AC＝5，
∴AB＝AC﹣BC＝5﹣2＝3，
∴AD＝BD+AB＝5+3＝8．
11．证明：（1）∵AE⊥BD，CF⊥BD，
∴∠AEB＝∠CFD＝90°，
∵AB＝CD，BE＝DF，
∴Rt△ABE≌Rt△CDF（HL）；
（2）∵△ABE≌△CDF，
∴∠ABE＝∠CDF，
∴AB∥CD，
∵AB＝CD，
∴四边形ABCD是平行四边形，
∴AO＝CO．
12．证明：∵AE∥BF，
∴∠A＝∠FBD（两直线平行，同位角相等），
∵AB＝CD，
∴AB+BC＝CD+BC（等式的性质），
即AC＝BD，
在△ACE与△BDF中，
，
∴△ACE≌△BDF（SAS），
∴∠ECA＝∠D（全等三角形的对应角相等），
∴CE∥DF（同位角相等，两直线平行），
故答案为：∠FBD，两直线平行，同位角相等，等式的性质，∠A＝∠FBD，SAS，∠ECA＝∠D，全等三角形的对应角相等，同位角相等，两直线平行．
13．（1）解：∵∠ABC＝45°，∠ADC＝60°，
∴∠BAD＝∠ADC﹣∠ABC＝60°﹣45°＝15°，
∵AE⊥BC，
∴∠AEB＝90°，
∴△ABE是等腰直角三角形，
∴∠BAE＝45°，
∴∠DAE＝∠BAE﹣∠BAD＝45°﹣15°＝30°，
∴∠CAF＝∠DAE+∠CAE＝30°+15°＝45°，
∵CF⊥AD，
∴∠AFC＝90°，
∴∠ACF＝90°﹣∠CAF＝45°；
（2）证明：由（1）可知，∠DAC＝45°，∠AFG＝∠CFD＝90°，∠ACF＝∠CAF＝45°，
∴AF＝CF，
∵AE⊥CB，
∴∠CEG＝∠AFG＝90°，
∵∠CGE＝∠AGF，
∴∠FAG＝∠FCD，
在△AFG和△CFD中，
，
∴△AFG≌△CFD（ASA），
∴GF＝DF，
由（1）可知，∠FAG＝30°，
∵∠AFG＝90°，
∴FG＝AG，
∴DF＝AG．
14．解：（1）四边形ABFE是平行四边形，理由如下：
∵DE∥AB，
∴∠ABO＝∠FEO．
∵O是BE中点，
∴OB＝OE．
在△AOB和△FOE中，
，
∴△AOB≌△FOE（ASA）．
∴AO＝FO．
∴四边形ABFE是平行四边形；
（2）∵四边形ABFE是平行四边形，AB＝BF，
∴四边形ABFE是菱形，
∴AF⊥BE，
∵AC＝10，∠C＝30°，
∴OA＝5，
∴OC＝OA＝5．
15．（1）证明：∵CE⊥AB，DF⊥AB，
∴∠AFD＝∠BEC＝90°，
∵AE＝BF，
∴AE+EF＝BF+EF，
即AF＝BE，
在△ADF和△BCE中，
，
∴△ADF≌△BCE（ASA）；
（2）解：∵BC⊥AD，∠A＝∠B，
∴∠A＝∠B＝45°，
∴OA＝OB＝3，AB=，
∵，
∴，
∴，
∴AD=4，
∴OD＝AD﹣OA＝4﹣3＝1．
16．（1）证明：∵∠BAC＝∠DAE，
∴∠BAC﹣∠CAD＝∠DAE﹣∠CAD，
即∠BAD＝∠CAE，
在△ABD和△ACE中，
，
∴△ABD≌△ACE（SAS），
∴BD＝CE；
（2）解：∵AB＝AC，AD＝AE，∠BAC＝∠DAE＝α，
∴∠ABC＝∠ACB＝＝90°﹣α＝∠ADE＝∠AED，
由（1）得△ABD≌△ACE，
∴∠ADB＝∠AEC＝180°﹣∠AED＝90°+α，
∴∠DBC＝360°﹣∠BCA﹣∠CAD﹣∠ADB
＝360°﹣（90°﹣α）﹣（2α﹣β）﹣（90°+α）
＝180°﹣2α+β．
17．（1）证明：①在△ABD与△ECB中，
，
∴△ABD≌△ECB（AAS）；
②由①得，△ABD≌△ECB，
∴∠ADB＝∠EBC，
∴AD∥BC；
（2）解：∵△ABD≌△ECB，
∴BD＝BC＝15，BE＝AD＝6，
∴DE＝BD﹣BE＝15﹣6＝9．
18．证明：∵AD∥BE，
∴∠ADC＝∠DCE，
∵CD平分∠ACE，
∴∠ACD＝∠DCE，
∴∠ACD＝∠ADC，
∴AC＝AD，
∵AB＝AC，
∴AB＝AD，
∴∠ABD＝∠ADB，
∵AD∥BE，
∴∠ADB＝∠DBC，
∴∠ABD＝∠DBC，
∵BD平分∠ABC．
19．解：∵∠CPD＝20°，∠APB＝70°，∠CDP＝∠ABP＝90°，
∴∠DCP＝∠APB＝70°．
在△CPD和△PAB中，
，
∴△CPD≌△PAB（ASA）．
∴DP＝AB．
∵BD＝11.2m，BP＝3m，
∴DP＝BD﹣BP＝8.2m，即AB＝8.2m．
答：路灯AB的高度是8.2m．
20．（1）证明：在△AOB和△COD中，
，
∴△AOB≌△COD（SAS）；
（2）解：由（1）知，△AOB≌△COD，
∴CD＝AB＝8，
在△BCD中，BC﹣CD＜BD＜BC+CD，
即2＜2OB＜18，
∴1＜OB＜9．
21．解：（1）当t＝3时，点P走过的路程为：2×3＝6，
∵AB＝4，
∴点P运动到线段BC上，
∴BP＝6﹣4＝2，
故答案为：2；
（2）①当点P在AB上时，△CDP是等腰三角形，
∴PD＝CP，
在矩形ABCD中，AD＝BC，∠A＝∠B＝90°，
∴△DAP≌△CBP（HL），
∴AP＝BP，
∴AP＝＝2，
∴t＝＝1，
②当点P在BC上时，△CDP是等腰三角形，
∵∠C＝90°，
∴CD＝CP＝4，
∴BP＝CB﹣CD＝2，
∴t＝＝3，
③当点P在AD上时，△CDP是等腰三角形，
∵∠D＝90°，
∴DP＝CD＝4，
∴t＝＝9，
综上所述，t＝1或3或9时，△CDP是等腰三角形；
（3）根据题意，如图，连接CQ，则AB＝CD＝4，∠A＝∠B＝∠C＝∠D＝90o，DQ＝5，
∴要使一个三角形与△DCQ全等，则另一条直角边必须等于DQ，
①当点P运动到P1时，CP1＝DQ＝5，此时△DCQ≌△CDP1，
∴点P的路程为：AB+BP1＝4+1＝5，
∴t＝5÷2＝2.5，
②当点P运动到P2时，BP2＝DQ＝5，此时△CDQ≌△ABP2，
∴点P的路程为：AB+BP2＝4+5＝9，
∴t＝9÷2＝4.5，
③当点P运动到P3时，AP3＝DQ＝5，此时△CDQ≌△ABP3，
∴点P的路程为：AB+BC+CD+DP3＝4+6+4+1＝15，
∴t＝15÷2＝7.5，
④当点P运动到P4时，即P与Q重合时，DP4＝DQ＝5，此时△CDQ≌△CDP4，
∴点P的路程为：AB+BC+CD+DP4＝4+6+4+5＝19，
∴t＝19÷2＝9.5，
综上所述，时间的值可以是：t＝2.5，4.5，7.5或9.5，
故答案为：2.5或4.5或7.5或9.5．
22．解：（1）由题意得，AP＝atcm，BP＝（8﹣at）cm，BQ＝2tcm，
故答案为：2tcm，（8﹣at）cm；
（2）△BPQ与△CDQ能全等；
∵∠B＝∠C，
∴△BPQ与△CDQ全等存在两种情况：
①当△PBQ≌△QCD时，PB＝CQ，BQ＝CD，
∴2t＝6，8﹣at＝8﹣2t，
∴a＝2，t＝3；
②当△PBQ≌△DCQ时，PB＝DC，BQ＝CQ，
∴8﹣at＝6，2t＝8﹣2t，
∴a＝1，t＝2；
综上，△BPQ与△CDQ能全等，此时a＝2，t＝3或a＝1，t＝2．
23．解：（1）由题意得：PB＝2t，
则PC＝6﹣2t；
故答案为：6﹣2t；
（2，理由是：
当t＝a＝1时，PB＝CQ＝2，
∴PC＝6﹣2＝4，
∵∠B＝∠C，
∴AC＝AB＝8，
∵D是AB的中点，
∴BD＝AB＝4，
∴BD＝PC＝4，
在△CQP和△BPD中，
，
∴△CQP≌△BPD（SAS）；
（3）∵点P、Q的运动速度不相等，
∴PB≠CQ，
当△BPD与△CQP全等，且∠B＝∠C，
∴BP＝PC＝3，CQ＝BD＝4，
∵BP＝2t＝3，CQ＝at＝4，
∴t＝，
∴a＝4，
∴a＝，
∴当a＝时，能够使△BPD与△CQP全等，
故答案为：．
24．解：（1）PC＝BC﹣BP＝（10﹣4t）cm；
故答案为：（10﹣4t）；
（2）①若△EBP≌△PCQ
则EB＝PC＝6，即BP＝CQ＝4，t＝1
得：a＝4；
②若△EBP≌△QCP
则EB＝CQ＝6，BP＝CP＝5，则t＝
得：，
解得：a＝．
25．解（1）由题意得：①BD＝12，②BP＝4t；③CP＝16﹣4t，④CQ＝at，
（2）∵BP＝4t，BD＝12，CP＝16﹣4t，CQ＝at，
∵∠B＝∠C，
∴分两种情况：
①若△DBP≌△QCP，
则，
∴，
∴，
②若△DBP≌△PCQ，
则，
∴，
∴．
，综上所述，a的值为6、t的值为2或a的值为4、t的值为1．
故答案为：12，4t，（16﹣4t），at．
26．解：（1）根据题意得t+3t＝3+5，
解得t＝2，
即t的值为2；
（2）当0≤t≤3时，DM＝3﹣t；
当3＜t≤8时，DM＝t﹣3；
（3）∵ME⊥PQ，NF⊥PQ，
∴∠DEM＝∠DFN＝90°，
∵∠MDN＝90°，
∴∠DME＝∠NDF，
∴当DM＝DN时，
△DEM与△DFN全等，
当0≤t≤时，3﹣t＝5﹣3t，解得t＝1，此时DN的长为2；
当＜t≤时，3﹣t＝3t﹣5，解得t＝2，此时DN的长为1，
当＜t≤3时，3t﹣5＝t﹣3，解得t＝1，不合题意舍去；
＜t＜8时，3＝t﹣3，解得t＝6，此时DN的长为3．
综上所述，DN的长为1或2或3．
27．解：（1）依题意，得BP＝2tcm，
∵BC＝10cm，
∴PC＝BC﹣BP＝（10﹣2t）cm或PC＝BP﹣BC＝（2t﹣10）cm；
（2）当△CQP是以∠C为顶角的等腰三角形时，CQ＝CP，
∴t＝10﹣2t或t＝2t﹣10，
解得t＝或t＝10；
（3）∵AD＝2BD，AD+DB＝AB＝18cm，
∴BD＝AB＝6cm．
如果△BPD与△CQP全等，那么可分两种情况：
①当BP＝CQ，BD＝CP时，△BPD≌△CQP，
∴2t＝at，10﹣2t＝6，
∴t＝2，a＝2；
②当BP＝CP，BD＝CQ时，△BPD≌△CPQ，
∵BP+CP＝BC＝10cm，
∴BP＝CP＝BC＝5cm，
∵2t＝5，解得t＝2.5，
∵at＝6，
∴2.5a＝6，
解得：a＝2.4，
综上所述：当点Q的运动速度为2或2.4cm/s时，能使△BPD与△CQP全等．