2022-2023学年苏科版八年级数学上册2.4线段、角的轴对称性解答专项练习题（含答案）

2022-2023学年苏科版八年级数学上册《2.4线段、角的轴对称性》
解答专项练习题（附答案）
1．如图，在△ABC中，边AB的垂直平分线OM与边AC的垂直平分线ON交于点O，这两条垂直平分线分别交BC于点D、E．已知△ADE的周长为13cm．
（1）求线段BC；
（2）分别连接OA、OB、OC，若△OBC的周长为27cm，则OA的长为 　 　cm．
2．如图，△ABC中，BP平分线∠ABC，PC平分∠ACB．
（1）求证：点P到△ABC三边的距离相等；
（2）连接AP，求证：S△PAB：S△PBC：S△PAC＝AB：BC：AC．
3．如图，在△ABC中，边AB、AC的垂直平分线分别交BC于D、E．
（1）若BC＝6，求△ADE的周长；
（2）若∠BAC＝130°，求∠DAE的度数．
4．已知：在△ABC中，∠ABC＝60°，∠ACB＝40°，BD平分∠ABC，CD平分∠ACB，
（1）如图1，求∠BDC的度数；
（2）如图2，连接AD，作DE⊥AB，DE＝2，AC＝4，求△ADC的面积．
5．△ABC（∠C＞90°）的三条角平分线相交于点D，延长AD交BC于点E．作AF⊥BC，交BC延长线于点F．
（1）若∠BAC＝40°，则∠BDC＝　 　°；
（2）判断∠CDE与∠ABD的数量关系，并说明理由；
（3）求证∠ACD＝∠EAF+∠ABD．
6．已知：如图，在△ABC中，∠ABC和∠ACB的角平分线相交于点P，且PE⊥AB，PF⊥AC，垂足分别为E、F．
（1）求证：PE＝PF；
（2）若∠BAC＝60°，连接AP，求∠EAP的度数．
7．如图，已知△ABC的周长是20，BO和CO分别平分∠ABC和∠ACB，OD⊥BC于点D，OE⊥AB于点E，OF⊥AC于点F，且OD＝3，求△ABC的面积．
8．如图，在四边形ABCD中，BD所在的直线垂直平分线段AC，过点A作BC的平行线AF交CD于F，延长AB、DC交于点E．
求证：（1）AC平分∠EAF；
（2）∠FAD＝∠E．
9．如图，在△ABC中，点E是BC边上的一点，连接AE，BD垂直平分AE，垂足为F，交AC于点D，连接DE．
（1）若△ABC的周长为18，△DEC的周长为6，求AB的长．
（2）若∠ABC＝30°，∠C＝45°，求∠CDE的度数．
10．已知直线EF与直线AB、CD分别交于E、F两点，∠AEF和∠CFE的角平分线交于点P，且∠AEP+∠CFP＝90°．
（1）求证：AB∥CD；
（2）如图2，∠PEF和∠PFM的角平分线交于点Q，求∠Q的度数；
（3）如图3，若∠AEP：∠CFP＝2：1，延长线段EP得射线EP1，延长线段FP得射线FP2，射线EP1绕点E以每秒15°的速度逆时针旋转360°后停止，射线FP2绕点F以每秒3°的速度顺时针旋转180°以后停止．设它们同时旋转t秒，问t为多少时，射线EP1∥FP2，直接写出t的值t＝　 　秒．
11．如图，△ABC中，∠C＝90°，∠A＝30°，AB边上的垂直平分线DE，交AC于点D，交AB于点E，连接BD，求证：BD平分∠CBA．
12．如图，△ABE中，∠E＝90°，AC是∠BAE的角平分线．
（1）若∠B＝40°，求∠BAC的度数；
（2）若D是BC的中点，△ADC的面积为16，AE＝8，求BC的长．
13．如图，在ABC中，∠C＝90°，DE垂直平分AB，分别交AB，BC于D，E．
（1）若∠CAE＝∠B+30°，求∠B的大小；
（2）若∠CAE＝∠B，AD＝3，求AC的长．
14．AD是△ABC的角平分线，过点D作DE⊥AB于点E，且DE＝3，S△ABC＝20．
（1）如图1，若AB＝AC，求AC的长；
（2）如图2，若AB＝5，请直接写出AC的长．
15．如图，△ABC中，∠ABC＝25°，∠ACB＝55°，DE，FG分别为AB，AC的垂直平分线，E，G分别为垂足．
（1）直接写出∠BAC的度数；
（2）求∠DAF的度数；
（3）若BC的长为30，求△DAF的周长．
16．如图，BD和CD分别平分△ABC的内角∠EBA和外角∠ECA，BD交AC于点F，连接AD．
（1）求证：AD平分∠GAC；
（2）若AB＝AD，请判断△ABC的形状，并证明你的结论．
17．如图，△ABC中，AB的垂直平分线分别交AB、BC于点M、D，AC的垂直平分线分别交AC、BC于点N、E，△ADE的周长是7．
（1）求BC的长度；
（2）若∠B+∠C＝60°，则∠DAE度数是多少？请说明理由．
18．如图，AD是△ABC的高，AD垂直平分线分别交AB，AC于点E，F．
（1）求证：∠B＝∠AED．
（2）若DE＝1，求AB的长．
19．如图，在△ABC中，∠CAB＝60°，∠CAB的平分线AP与∠CBA的平分线BP相交于点P，连接CP．
（1）求证：CP平分∠ACB；
（2）若AP＝4，△ABC的周长为20，求△ABC的面积．
20．（1）如图1，在△ABC中，AD平分∠BAC交BC于D，DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，则有相等关系DE＝DF，AE＝AF．
（2）如图2，在（1）的情况下，如果∠MDN＝∠EDF，∠MDN的两边分别与AB、AC相交于M、N两点，其它条件不变，那么又有相等关系AM+　 　＝2AF，请加以证明．
（3）如图3，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠BAC＝60°，AC＝6，AD平分∠BAC交BC于D，∠MDN＝120°，ND∥AB，求四边形AMDN的周长．
参考答案
1．解：（1）∵OM是线段AB的垂直平分线，
∴DA＝DB，
同理，EA＝EC，
∵△ADE的周长13，
∴AD+DE+EA＝13，
∴BC＝DB+DE+EC＝AD+DE+EA＝13（cm）；
（2）连接OB，OC，
∵△OBC的周长为27，
∴OB+OC+BC＝27，
∵BC＝13，
∴OB+OC＝14，
∵OM垂直平分AB，
∴OA＝OB，
同理，OA＝OC，
∴OA＝OB＝OC＝7（cm），
故答案为：7．
2．（1）证明：过P作PD⊥AB于D，PE⊥BC于E，PF⊥AC于F，
∵BP平分线∠ABC，PC平分∠ACB．
∴PD＝PE，PE＝PF，
∴PD＝PE＝PF，
∴点P到△ABC三边的距离相等；
（2）证明：∵S△PAB：S△PBC：S△PAC＝AB PD：BC PE＝AC PF，
由（1）知，PD＝PE＝PF，
∴S△PAB：S△PBC：S△PAC＝AB：BC：AC．
3．解：（1）在△ABC中，边AB、AC的垂直平分线分别交BC于D、E，
∴DB＝DA，EA＝EC，
又BC＝6，
∴△ADE的周长＝AD+DE+EA＝BD+DE+EC＝BC＝6；
（2）∵∠BAC＝130°，
∴∠B+∠C＝50°，
∵DA＝DB，EA＝EC，
∴∠BAD＝∠B，∠EAC＝∠C，
∴∠BAD+∠EAC＝50°，
∴∠DAE＝∠BAC﹣（∠BAD+∠EAC）＝130°﹣50°＝80°．
4．解：（1）∵BD平分∠ABC，
∴∠DBC＝∠ABC＝×60°＝30°，
∵CD平分∠ACB，
∴∠DCB＝∠ACB＝×40°＝20°，
∴∠BDC＝180°﹣∠DBC﹣∠DCB
＝180°﹣30°﹣20°
＝130°；
（2）作DF⊥AC于F，DH⊥BC于H，如图2，
∵BD平分∠ABC，DE⊥AB，DH⊥BC，
∴DH＝DE＝2，
∵CD平分∠ACB，DF⊥AC，DH⊥BC，
∴DF＝DH＝2，
∴△ADC的面积＝DF AC＝×2×4＝4．
5．（1）解：如图，∵△ABC（∠C＞90°）的三条角平分线相交于点D，
∴BD平分∠ABC，CD平分∠ACB，
∴∠1＝∠2，∠3＝∠4，
∵∠BDC＝180°﹣∠2﹣∠3，
∴∠BDC＝180°﹣（∠ABC+∠ACB），
∵∠ABC+∠ACB＝180°﹣∠BAC＝180°﹣40°＝140°，
∴∠BDC＝180°﹣×140°＝110°；
故答案为110；
（2）解：∠CDE＝90°﹣∠ABD；
理由如下：
∵AE平分∠BAC，
∴∠CAE＝∠BAC，
∵∠ABC+∠ACB+∠BAC＝180°，
∴∠1+∠4+∠CAE＝90°，
∵∠CDE＝∠CAD+∠4，
∴∠1+∠4+∠CDE﹣∠4＝90°，
∴∠1+∠CDE＝90°，
即∠CDE＝90°﹣∠ABD；
（3）证明：∵∠5+∠3+∠CDE＝180°，∠CDE＝90°﹣∠1；
∴∠5+∠3+90°﹣∠1＝180°，
∵AF⊥BC，
∴∠5＝90°﹣∠EAF，
∴90°﹣∠EAF+∠3+90°﹣∠1＝180°，
而∠3＝∠4，
∴90°﹣∠EAF+∠4+90°﹣∠1＝180°，
∴∠4＝∠EAF+∠1，
即∠ACD＝∠EAF+∠ABD．
6．解：（1）过点P作PD⊥BC于D，
∵∠ABC和∠ACB的角平分线相交于点P，且PE⊥AB，PF⊥AC，
∴PD＝PE，PD＝PF，
∴PE＝PF；
（2）∵PE＝PF，PE⊥AB，PF⊥AC，
∴AP平分∠BAC，
∵∠BAC＝60°，
∴∠EAP＝＝30°．
7．解：∵OB、OC分别平分∠ABC和∠ACB，OD⊥BC于点D，OE⊥AB于点E，OF⊥AC于点F，
∴OE＝OF＝OD，
∵OD＝3，
∴OE＝OF＝OD＝3，
∵△ABC的周长是20，
∴S△ABC＝×AB×OE+×BC×OD+×AC×OF＝×（AB+BC+AC）×3
＝×20×3＝30．
8．证明：（1）∵BD所在的直线垂直平分线段AC，
∴BA＝BC，
∴∠BAC＝∠BCA，
∵BC∥AF，
∴∠CAF＝∠BCA，
∴∠CAF＝∠BAC，即AC平分∠EAF；
（2）∵BD所在的直线垂直平分线段AC，
∴DA＝DC，
∴∠DAC＝∠DCA，
∵∠DCA是△ACE的一个外角，
∴∠DCA＝∠E+∠EAC，
∴∠E+∠EAC＝∠FAD+∠CAF，
∵∠CAF＝∠EAC，
∴∠FAD＝∠E．
9．解：（1）∵BD是线段AE的垂直平分线，
∴AB＝BE，AD＝DE，
∵△ABC的周长为18，△DEC的周长为6，
∴AB+BE+EC+CD+AD＝18，CD+EC+DE＝CD+CE+AD＝6，
∴AB+BE＝18﹣6＝12，
∴AB＝6；
（2）∵∠ABC＝30°，∠C＝45°，
∴∠BAC＝180°﹣30°﹣45°＝105°，
在△BAD和△BED中，
，
∴△BAD≌△BED（SSS），
∴∠BED＝∠BAC＝105°，
∴∠CDE＝∠BED﹣∠C＝105°﹣45°＝60°．
10．解：（1）∵∠AEF和∠CFE的角平分线交于点P，
∴∠AEP＝∠PEF，∠PFE＝∠CFP，
∵∠AEP+∠CFP＝90°，
∴∠AEF+∠PFC＝180°，
∴AB∥CD；
（2）设∠PEQ＝α，
∵PE平分∠AEF，
∴∠AEP＝2α，
∵EQ平分∠PEF，
∴∠QEF＝∠PEQ＝α，
∵∠EPF＝90°，
∴∠PFE＝90°﹣2α，
∴∠PFM＝180°﹣（90°﹣2α）＝90°+2α，
∵FQ平分∠PFM，
∴∠PFQ＝45°+α，
∴∠Q＝180°﹣∠QEF﹣∠EFQ＝180°﹣α﹣（90°﹣2α）﹣（45°+α）＝45°；
（3）如图1，EP1∥FP2时，
∵∠AEP：∠CFP＝2：1，∠AEP+∠CFP＝90°，
∴∠AEP＝60°，∠CFP＝30°，
∴∠P1EF＝15°t﹣60°，∠P2FE＝30°﹣3°t，
∵EP1∥FP2，
∴∠P1EF＝∠P2FE，
∴15°t﹣60°＝30°﹣3°t，
∴t＝5；
如图2，EP1∥FP2时，
∴∠P1EF＝15°t﹣60°，∠EFP2＝3°t﹣30°，
∵EP1∥FP2，
∴∠P1EF+∠EFP2＝180°，
∴15°t﹣60°+3°t﹣30°＝180°，
∴t＝15；
综上所述：当t＝5或15时，射线EP1∥FP2，
故答案为5或15．
11．证明：∵DE是AB边上的中垂线，∠A＝30°，
∴AD＝BD，
∴∠ABD＝∠A＝30°，
∵∠C＝90°，
∴∠ABC＝90°﹣∠A＝90°﹣30°＝60°，
∴∠CBD＝∠ABC﹣∠ABD＝60°﹣30°＝30°，
∴∠ABD＝∠CBD，
∴BD平分∠CBA．
12．解：（1）∵∠B＝40°，∠E＝90°，
∴∠BAE＝90°﹣40°＝50°，
∵AC是∠BAE的角平分线，
∴∠BAC＝∠BAE＝25°；
（2）∵S△ADC＝DC AE，
∴×DC×8＝16，
∴DC＝4，
∵D是BC的中点，
∴BC＝2CD＝8．
13．解：（1）∵DE垂直平分AB，
∴EA＝EB，
∴∠EAB＝∠B，
∵∠C＝90°，
∴∠CAB+∠B＝90°，即∠B+30°+∠B+∠B＝90°，
解得，∠B＝20°；
（2）∵∠CAE＝∠B，
∴3∠B＝90°，
解得，∠B＝30°，
∵DE垂直平分AB，AD＝3，
∴AB＝6，
在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠B＝30°，
∴AC＝AB＝3．
14．解：（1）如图1，作DF⊥AC于F，
∵AD是△ABC的角平分线，DE⊥AB，DF⊥AC，
∴DF＝DE＝3，
由题意得，×AB×3+×AC×3＝20，
解得，AC＝AB＝；
（2）如图2，作DF⊥AC于F，
∵AD是△ABC的角平分线，DE⊥AB，DF⊥AC，
∴DF＝DE＝3，
由题意得，×5×3+×AC×3＝20，
解得，AC＝．
15．解：（1）∵∠ABC＝25°，∠ACB＝55°，
∴∠BAC＝180°﹣∠ABC﹣∠ACB＝100°；
（2）∵DE，FG分别为AB，AC的垂直平分线，
∴DA＝DB，FA＝FC，
∴∠DAB＝∠ABC＝25°，∠FAC＝∠ACB＝55°，
∴∠DAF＝∠BAC﹣∠DAB﹣∠FAC＝20°；
（3）△DAF的周长＝DA+DF+FA＝DB+DF+FC＝BC＝30．
16．（1）证明：过点D作DN⊥BA，DK⊥AC，DM⊥BC，垂足分别为点N、K、M．
∵BD、CD分别平分∠EBA、∠ECA，DN⊥BA，DK⊥AC，DM⊥BC，
∴DM＝DN＝DK，
∴AD平分∠GAC，∠ABD＝∠DBC，
∴∠GAD＝∠DAC，
∴AD平分∠GAC．
（2）解：△ABC是等腰三角形，
证明：∵AB＝AD，
∴∠ABD＝∠ADB，
∵BD平分∠ABC，
∴∠ABD＝∠CBD，
∴∠ADB＝∠CBD，
∴AD∥BC，
∴∠GAD＝∠ABC，∠DAC＝∠ACB，
∵AD平分∠GAC，
∴∠GAD＝∠CAD，
∴∠ABC＝∠ACB，
∴△ABC是等腰三角形．
17．解：（1）∵DM是线段AB的垂直平分线，
∴DA＝DB，
同理，EA＝EC，
∵△ADE的周长为7，
∴DA+DE+EA＝7，
∴BC＝DA+DE+EC＝7；
（2）∠DAE度数是60°，
理由如下：∵DA＝DB，EA＝EC，
∴∠DAB＝∠B，∠EAC＝∠C，
∵∠B+∠C＝60°，
∴∠ADE+∠AED＝2∠B+2∠C＝120°，
∴∠DAE＝180°﹣120°＝60°．
18．（1）证明：∵EF是AD的垂直平分线，
∴EA＝ED，
∵EH⊥AD，
∴∠AEH＝∠DEH，
∵EF⊥AD，BC⊥AD，
∴EF∥BC，
∴∠AEH＝∠B，
∴∠B＝∠AED；
（2）解：由（1）得：EF∥BC，
∴∠HED＝∠EDB，
∵∠AEH＝∠HED，∠AEH＝∠B，
∴∠B＝∠EDB，
∴BE＝DE，
∴AB＝2BE＝2DE＝2×1＝2．
19．（1）证明：过点P作PD⊥AB于D，作PE⊥BC于E，作PF⊥AC于F，
则PD，PE，PF分别是P到AB，BC，CA的距离，
∵AP平分∠CAB，BP平分∠ABC，
∴PD＝PF，PD＝PE，
∴PF＝PE，
∴CP平分∠ACB；
（2）解：∵∠CAB＝60°，
∴∠PAB＝30°，
在Rt△PAD中，PA＝4，
∴PD＝2，
∴S△ABC＝S△APB+S△BPC+S△CPA
＝AB PD+BC PE+CA PF
＝（AB+BC+CA） PD
＝×20×2
＝20．
20．（1）证明：∵AD平分∠BAC，
∴∠BAD＝∠CAD，
∵DE⊥AB，DF⊥AC，
∴∠AED＝∠AFD＝90°，
在△ADE和△ADF中，
，
∴△ADE≌△ADF（AAS），
∴DE＝DF，AE＝AF；
（2）解：AM+AN＝2AF；
证明如下：由（1）得DE＝DF，
∵∠MDN＝∠EDF，
∴∠MDE＝∠NDF，
在△MDE和△NDF中，
，
∴△MDE≌△NDF（ASA），
∴ME＝NF，
∴AM+AN＝（AE+ME）+（AF﹣NF）＝AE+AF＝2AF；
（3）由（2）可知AM+AN＝2AC＝2×6＝12，
∵∠BAC＝60°，AD平分∠BAC交BC于D，
∴∠BAD＝∠CAD＝30°，
∵ND∥AB，
∴∠ADN＝∠BAD＝30°，
∴∠CAD＝∠ADN，
∴AN＝DN，
在Rt△CDN中，DN＝2CN，
∵AC＝6，
∴DN＝AN＝×6＝4，
∵∠BAC＝60°，∠MDN＝120°，
∴∠CDE＝∠MDN，
∴DM＝DN＝4，
∴四边形AMDN的周长＝12+4×2＝20．