课时分层作业26 指数函数的性质的应用

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课时分层作业(二十六)　指数函数的性质的应用
(建议用时：60分钟)
[合格基础练]
一、选择题
1．设a＝40.9，b＝80.48，c＝－1.5，则(　　)
A．c>a>b　　　　　 B．b>a>c
C．a>b>c D．a>c>b
2．若2a＋1<3－2a，则实数a的取值范围是(　　)
A．(1，＋∞) B.
C．(－∞，1) D.
3．若函数f(x)＝3(2a－1)x＋3在R上是减函数，则实数a的取值范围是(　　)
A. B.
C.∪(1，＋∞) D.
4．已知函数f(x)＝3x－x，则f(x)(　　)
A．是奇函数，且在R上是增函数
B．是偶函数，且在R上是增函数
C．是奇函数，且在R上是减函数
D．是偶函数，且在R上是减函数
5．函数y＝ax在[0,1]上的最大值与最小值的和为3，则函数y＝2ax－1在[0,1]上的最大值是(　　)2·1·c·n·j·y
A．6 B．1
C．3 D.
二、填空题
6．已知a＝，函数f(x)＝ax，若实数m，n满足f(m)>f(n)，则m，n的大小关系为________．21·世纪*教育网
7．若－18．函数f(x)＝1－x2的单调递增区间为________．
三、解答题
9．求下列函数的单调区间：
(1)y＝a－x2＋3x＋2(a>1)；(2)y＝2|x－1|.
10．已知函数f(x)＝a－(x∈R)．
(1)用定义证明：不论a为何实数，f(x)在R上为增函数；
(2)若f(x)为奇函数，求a的值；
(3)在(2)的条件下，求f(x)在区间[1,5]上的最小值．
[等级过关练]
1．若函数f(x)＝a|2x－4|(a>0，且a≠1)，满足f(1)＝，则f(x)的单调递减区间是(　　)www.21-cn-jy.com
A．(－∞，2]　　　　 B．[2，＋∞)
C. [－2，＋∞) D．(－∞，－2]
2．设函数f(x)＝若f＝4，则b＝(　　)
A．1 B.
C. D.
3．已知函数f(x)＝为奇函数，则m的值等于________．
4．已知(a2＋a＋2)x>(a2＋a＋2)1－x，则x的取值范围是________．
5．已知函数f(x)＝.
(1)若a＝－1，求函数f(x)的单调增区间；
(2)如果函数f(x)有最大值3，求实数a的值．
答案与解析
[合格基础练]
一、选择题
1．设a＝40.9，b＝80.48，c＝－1.5，则(　　)
A．c>a>b　　　　　 B．b>a>c
C．a>b>c D．a>c>b
D　[a＝40.9＝21.8，b ( http: / / www.21cnjy.com )＝80.48＝21.44，c＝－1.5＝21.5，因为函数y＝2x在R上是增函数，且1.8>1.5>1.44，所以21.8>21.5>21.44，即a>c>b.]21教育网
2．若2a＋1<3－2a，则实数a的取值范围是(　　)
A．(1，＋∞) B.
C．(－∞，1) D.
B　[∵函数y＝x在R上为减函数，∴2a＋1>3－2a，∴a>.]
3．若函数f(x)＝3(2a－1)x＋3在R上是减函数，则实数a的取值范围是(　　)
A. B.
C.∪(1，＋∞) D.
A　[由于底数3∈(1，＋∞)， ( http: / / www.21cnjy.com )所以函数f(x)＝3(2a－1)x＋3的单调性与y＝(2a－1)x＋3的单调性相同．因为函数f(x)＝3(2a－1)x＋3在R上是减函数，所以y＝(2a－1)x＋3在R上是减函数，所以2a－1<0，即a<，从而实数a的取值范围是，选A.]21cnjy.com
4．已知函数f(x)＝3x－x，则f(x)(　　)
A．是奇函数，且在R上是增函数
B．是偶函数，且在R上是增函数
C．是奇函数，且在R上是减函数
D．是偶函数，且在R上是减函数
A　[因为f(x)＝3x－x，且定义域为R，所以f(－x)＝3－x－－x＝x－3x＝－＝－f(x)，即函数f(x)是奇函数．21世纪教育网版权所有
又y＝3x在R上是增函数，y＝x在R上是减函数，所以f(x)＝3x－x在R上是增函数．]
5．函数y＝ax在[0,1]上的最大值与最小值的和为3，则函数y＝2ax－1在[0,1]上的最大值是(　　)2·1·c·n·j·y
A．6 B．1
C．3 D.
C　[函数y＝ax在[0,1]上是 ( http: / / www.21cnjy.com )单调的，最大值与最小值都在端点处取到，故有a0＋a1＝3，解得a＝2，因此函数y＝2ax－1＝4x－1在[0,1]上是单调递增函数，故x＝1时，ymax＝3.]【来源：21·世纪·教育·网】
二、填空题
6．已知a＝，函数f(x)＝ax，若实数m，n满足f(m)>f(n)，则m，n的大小关系为________．21·世纪*教育网
mf(n)，∴m7．若－1b1,0.2x>1，又因为0.5x<0.2x，所以b8．函数f(x)＝1－x2的单调递增区间为________．
[0，＋∞)　[由于底数∈(0,1)，所以函数f(x)＝1－x2的单调性与y＝1－x2的单调性相反，f(x)＝1－x2的单调递增区间就是y＝1－x2的单调递减区间．由y＝1－x2的图象(图略)可知：当x≤0时，y＝1－x2是增函数；当x≥0时，y＝1－x2是减函数，所以函数f(x)＝1－x2的单调递增区间为[0，＋∞)．]
三、解答题
9．求下列函数的单调区间：
(1)y＝a－x2＋3x＋2(a>1)；(2)y＝2|x－1|.
[解]　(1)设u＝－x2＋3x＋2＝－2＋，易知u在上是增函数，在上是减函数，
∴a>1时，y＝au在上是增函数，在上是减函数．
(2)当x∈(1，＋∞)时，函数y＝2x－1，因为t＝x－1为增函数，y＝2t为增函数，
∴y＝2x－1为增函数；
当x∈(－∞，1)时，函数y＝21－x.
而t＝1－x为减函数，y＝2t为增函数，
∴y＝21－x为减函数．
故函数y＝2|x－1|在(－∞，1)上为减函数，在(1，＋∞)上为增函数．
10．已知函数f(x)＝a－(x∈R)．
(1)用定义证明：不论a为何实数，f(x)在R上为增函数；
(2)若f(x)为奇函数，求a的值；
(3)在(2)的条件下，求f(x)在区间[1,5]上的最小值．
[解]　(1)证明：∵f(x)的定义域为R，任取x1∵x1∴2x1－2x2<0，(1＋2x1)(1＋2x2)>0，
∴f(x1)－f(x2)<0，即f(x1)∴不论a为何实数，f(x)在R上为增函数．
(2)∵f(x)在x∈R上为奇函数，
∴f(0)＝0，即a－＝0，解得a＝.
(3)由(2)知，f(x)＝－，
由(1)知，f(x)为增函数，
∴f(x)在区间[1,5]上的最小值为f(1)．
∵f(1)＝－＝，
∴f(x)在区间[1,5]上的最小值为.
[等级过关练]
1．若函数f(x)＝a|2x－4|(a>0，且a≠1)，满足f(1)＝，则f(x)的单调递减区间是(　　)www.21-cn-jy.com
A．(－∞，2]　　　　 B．[2，＋∞)
C. [－2，＋∞) D．(－∞，－2]
B　[∵f(1)＝a|2－4|＝a2＝，
∴a＝，a＝－(舍去)．
∴f(x)＝|2x－4|.
∴f(x)的单调递减区间为[2，＋∞)．]
2．设函数f(x)＝若f＝4，则b＝(　　)
A．1 B.
C. D.
D　[f＝f＝f.当－b<1，即 ( http: / / www.21cnjy.com )b>时，3×－b＝4，解得b＝(舍去)．当－b≥1，即b≤时，2eq \s\up15(－b)＝4＝22，解得b＝.]
3．已知函数f(x)＝为奇函数，则m的值等于________．
1　[由题意可知，f(0)＝＝＝0，
∴m＝1.]
4．已知(a2＋a＋2)x>(a2＋a＋2)1－x，则x的取值范围是________．
　[∵a2＋a＋2＝2＋>1，
∴y＝(a2＋a＋2)x为R上的增函数，
∴x>1－x，即x>.]
5．已知函数f(x)＝.
(1)若a＝－1，求函数f(x)的单调增区间；
(2)如果函数f(x)有最大值3，求实数a的值．
[解]　(1)当a＝－1时，f(x)＝－x2－4x＋3，
令g(x)＝－x2－4x＋3＝－(x＋2)2＋7，
由于g(x)在(－2，＋∞)上递减，
y＝x在R上是减函数，
∴f(x)在(－2，＋∞)上是增函数，
即f(x)的单调增区间是(－2，＋∞)．
(2)令h(x)＝ax2－4x＋3，f(x)＝h(x)，由于f(x)有最大值3，
所以h(x)应有最小值－1.
因此必有解得a＝1，
即当f(x)有最大值3时，a的值为1.
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