3.1.2 椭圆的简单几何性质
对点1-----范围
【知识点梳理】
如图，椭圆的标准方程为.
①椭圆落在直线和围成的矩形框里：
；.
②P为椭圆上动点，()的最大值为，最小值
为.
【巩固训练题】
1.椭圆的范围为( )
A. ， B. ， C. ， D. ，
2.若圆与椭圆有公共点，则实数的取值范围是 ．
3.椭圆上任意一点到其中一个焦点的距离恒大于，则的取值范围为
对点2-----顶点及长短轴
【知识点梳理】
如图，椭圆的标准方程为.
长轴：线段；
短轴：线段.
四个顶点：，；
，.
【巩固训练题】
1.椭圆的长轴长是( )
A. B. C. D.
2.椭圆的焦点在轴上，长轴长是短轴长的倍，则的值为( )
A. B. C. D.
3.已知椭圆的一个焦点是圆的圆心，且短轴长为，则椭圆的左顶点为( )
A. B. C. D.
4.已知椭圆的焦点为，，过的直线与交于，两点．若，，则的方程为( )
A. B. C. D.
对点3------离心率
【知识点梳理】
如图，椭圆的标准方程为.
①概念：离心率e=；
②离心率与椭圆的关系：离心率越大，角越小，椭圆越扁平；离心率越小，
角越大，椭圆越接近于圆.
【巩固训练题】
1.下列四个椭圆中，形状最扁的是( )
A. B. C. D.
2.已知椭圆：的一个焦点为，则的离心率为
A. B. C. D.
3.已知椭圆的离心率为，则的值为( )
A. B. C. 或 D. 或
4.如图所示，圆柱形玻璃杯中水的液面呈椭圆形状，则该椭圆的离心率为( )
A. B. C. D.
对点4-------迁移拓展
1.已知，是椭圆的左、右焦点，是椭圆的左顶点，点在过且斜率为的直线上，为等腰三角形，，则椭圆的离心率为( )
A. B. C. D.
2.是椭圆上的一点，为左顶点，为右焦点，轴，若，则椭圆的离心率为( )
A. B. C. D.
3.已知椭圆的左、右焦点分别为，，过上的作轴的垂线，垂足为，若四边形是菱形，则的离心率为( )
A. B. C. D.3.1.2 椭圆的简单几何性质
对点1-----范围
1.椭圆的范围为( )
A. ， B. ， C. ， D. ，
【答案】B
解析：椭圆方程：，化为标准形式：.
>，焦点在轴上，，，．
故选B．
注：椭圆方程化为标准形式之后，思路就清晰了！
2.若圆与椭圆有公共点，则实数的取值范围是 ．
【答案】
解析：如图.
圆的圆心为O(0，0)，半径r=a；
椭圆中的变量范围，.
当切仅当2圆与椭圆有公共点.
故答案为．
注：画图，根据圆与椭圆的相对位置关系，迅速得出结论！
3.椭圆上任意一点到其中一个焦点的距离恒大于，则的取值范围为
解析：①当时，焦点在轴上，.
椭圆上点到焦点的最短距离=，由不等式组得： ；
②当时，焦点在轴上，.
，解得.
故答案为．
注：，最长距离为.
对点2-----顶点及长短轴
1.椭圆的长轴长是( )
A. B. C. D.
【答案】C
解析：椭圆方程变形为标准式：.
由，得m>0，，.
椭圆的长轴长．
故选C．
注：化为标准式后，大的分母为.
2.椭圆的焦点在轴上，长轴长是短轴长的倍，则的值为( )
A. B. C. D.
【答案】B
解析：椭圆：的焦点在轴上，则其标准方程为：.
，.
，，．
故选B．
注：焦点在y轴上，下面的分母大，是.
3.已知椭圆的一个焦点是圆的圆心，且短轴长为，则椭圆的左顶点为( )
A. B. C. D.
【答案】D
解析：已知圆的圆心坐标是，是已知椭圆的一个焦点，．
2，b=4，．
椭圆的焦点在轴上，椭圆的左顶点为．
故选D．
注：椭圆四个顶点坐标与焦点在哪个轴上有关.
4.已知椭圆的焦点为，，过的直线与交于，两点．若，，则的方程为( )
A. B. C. D.
【答案】B
解析：如图，设，则，．
，即， .
=a，点A为下顶点.
Rt中，=1，=b.
依据三角形相似，可求出点B坐标，代入椭圆的标准方程
，得，.
，b==.
椭圆方程为．
故选B．
注：根据题中数据得出结论“点A为下顶点”是关键.
对点3------离心率
1.下列四个椭圆中，形状最扁的是( )
A. B. C. D.
【答案】A
解析：A选项：，，则=，；
B选项：，，则=，；
C选项：，，则=，；
D选项：，，则=，.
最大，选项A中椭圆最扁.
故选A．
2.已知椭圆：的一个焦点为，则的离心率为
A. B. C. D.
【答案】C
解析：焦点在横轴上，且c=2.
，(负值舍去).
．
故选C．
3.已知椭圆的离心率为，则的值为( )
A. B. C. 或 D. 或
【答案】C
解析：①当椭圆的焦点在轴上时，，.
，，，
，得，符合；
②当椭圆的焦点在轴上时，，.
，，，
，得，符合.
综合①②得或．
故选C．
注：第1题焦点确定在横轴，而第2题焦点不确定在横轴还是纵轴，需要分类讨论.
4.如图所示，圆柱形玻璃杯中水的液面呈椭圆形状，则该椭圆的离心率为( )
A. B. C. D.
【答案】C
解：设椭圆的标准方程为.
椭圆的短轴长(2b)等于圆柱底面圆的直径，下面研究长轴长(2a):
右图为杯子的轴截面(过椭圆长轴)，等腰直角三角形CAB中，
BC=2a，AB=2b，2a=，.
．
故选C．
注：这是一个实际问题，关键是看出“椭圆的短轴长(2b)等于圆柱底面圆的直径”.
对点4-------迁移拓展
1.已知，是椭圆的左、右焦点，是椭圆的左顶点，点在过且斜率为的直线上，为等腰三角形，，则椭圆的离心率为( )
A. B. C. D.
【答案】D
解析：如图，，，.
由为等腰三角形，且，可知.
Rt中，=，=c，=.
点.
=，即，整理得：，离心率．
故选．
注：本题迁移进了“初中解三角形”及“两点求斜率”的知识.
2.是椭圆上的一点，为左顶点，为右焦点，轴，若，则椭圆的离心率为( )
A. B. C. D.
【答案】D
解析：如图，不妨设点P在横轴上方.
代入椭圆方程，，整理，得， .
对于Rt，由，即即，
==()(a-c)，代入①，得2()=a，.
．
故选D．
注：过焦点且与长轴垂直的弦叫通径，通径长为2，这个结论记住.
3.已知椭圆的左、右焦点分别为，，过上的作轴的垂线，垂足为，若四边形是菱形，则的离心率为( )
A. B. C. D.
【答案】C
解析：如图,四边形为菱形，边长为2c.
Rt中，=2c，=c，=.
对于，根据余弦定理，有
=
.
c.
，c+=2a，()c=a，e===．
故选：．
注：本题迁移进了“余弦定理”等相关解三角形的知识.
