3.3.1抛物线定义及其标准方程 学案（含答案）

3.3.1 抛物线定义及其标准方程
【学习目标】
1.在具体的情境和数学实验中，了解抛物线的定义;
2.经历抛物线标准方程的建立过程，再次体验求曲线方程的一般方法；理解曲线与方程的关系;
3.理解P的几何意义，能根据抛物线方程求焦点和准线方程;
4.充分认识到“数与形”的联系，体会“数形结合”的思想.
【学习重难点】
探究抛物线定义；
探究抛物线标准方程及根据抛物线方程写出焦点和准线方程.
【学习方法】
明标自学、合作助学
【学习过程】
活动一 探究抛物线定义
创设情境 观察下面几幅图片，你看到了什么曲线？你们以前学过这类的曲线吗？
学生回答：
思考1：满足什么条件的点形成的轨迹是抛物线呢？下面我们来完成一个小实验？然后再回答。
数学实验 如图，在画板上画一条直线，把一个直角三角板的一边紧贴直线，把一条细绳的一端固定在三角板的顶点A处，取细绳长等于点A到直角顶点H的距离，并且把细绳的另一端固定在点F处。用笔尖靠着直角三角板的边AH，并扣紧细绳，然后上下移动三角板，笔尖画出的曲线是什么图形？
小组合作：
学生回答：
思考2：根据你们亲手做的实验，你能给出抛物线的定义吗？
活动二 数学建构
1.抛物线定义：平面内，到一个定点F和一条定直线（F不在上）的距离 的点的轨迹叫做抛物线.其中，定点F叫做抛物线的焦点，定直线叫做抛物线的准线，F到直线l的距离简称焦准距.
焦准距一般用字母P表示.
数学表达式： (M是抛物线上的任意一点，d是M到定直线的距离.)
注意：当定点F在定直线l时，动点轨迹是 .
活动三 数学运用
例1 已知定点F和定直线l，定点F不在定直线l上，动圆M过点F且与直线l相切，试探究圆心M的轨迹是什么？理由？
变式 已知动点的坐标满足，则动点的轨迹是（ ）
椭圆 B. 双曲线 C. 抛物线 D.以上都不对
活动四 探究抛物线标准方程
类比椭圆、双曲线标准方程的推导，抛物线的标准方程又如何推导？方程有什么特点？
思考3：求椭圆、双曲线标准方程的推导过程的一般步骤是什么？
思考4：比较椭圆、双曲线标准方程的建立过程，你认为如何建立坐标系，可能使所求抛物线的方程形式简单？
学生活动：
思考5：根据你们推导的抛物线方程，哪个方程形式最简单？
数学建构 抛物线标准方程
思考6：椭圆、双曲线的标准方程不止一个，那么抛物线的标准方程呢？请探究完后填写下表：
焦准距：P（P>0）
图形
开口方向 开口向右
标准方程
焦点坐标
准线方程
思考7：抛物线的标准方程的特点：
抛物线顶点都在 ；
对称轴为 所在的坐标轴、与准线 ；
焦准距为 ，一次项系数绝对值2P是焦点（或准线）到原点的距离的 倍；
抛物线焦点位置判断：
①若一次项的变量为（或），则对称轴为（或）轴，焦点就在（或）轴上；
②二次项单独在某一边，且系数为 .
(5)一次项系数正负决定抛物线的 .
【自我检测】
下列是否为抛物线的标准方程，如果不是请将化为标准方程；并说出开口方向
①； ②； ③； ④； ⑤
； ； ； ； ；
； ； ； ； ；
【数学运用】
例2 求下列抛物线的焦点坐标和准线方程；
①； ②； ③； ④；
变式1 求下列抛物线的焦点坐标和准线方程.
① ②
变式2： 求抛物线的焦点和准线方程.
变式3： 求抛物线的焦点和准线方程.
【课堂小结】
【达标查学】
抛物线的焦点坐标是（ ）
A. B. C. D.
2. 抛物线的准线方程是 .
3.平面上动点M与定点的距离比M到轴的距离大1 , 求动点M的轨迹方程
4.（多选）下列结论中，抛物线可以有的是（ ）
A.焦点在x轴上 B.抛物线上横坐标为1的点到焦点的距离等于6
C.焦点到准线距离为5 D.由原点向过焦点的某直线作垂线，垂足坐标为（2,1）
【作业】金太阳“固学案”P67-P68：“抛物线”标准方程. （限时：40分钟）
【学后反思】
【课后探究】
思考：一个动点满足下列条件，则动点的轨迹是（ ）
A. 圆 B. 椭圆 C. 双曲线 D. 抛物线
画一画： 如图，首先，对折，使得点A和点F重合，标记折痕和直线a的交点A1；依次继续对折，使得点B和点F 重合，标记折痕和直线b的交点为B1，……
思考：
1.能否不折纸完成上面的操作？
2.点E1与点E、F的位置关系是什么？
3.最后用平滑的曲线将A1、B1、…、N1连接起来，看看是什么图形？
4.以前学习认识过这种曲线吗？生活中这种曲线的应用你了解吗？
5.你能给出这种曲线的定义吗？