《中学教材全解》高中数学（人教B版选修1-1）本章练测：第二章 圆锥曲线与方程（含答案）

第二章 圆锥曲线与方程 （人教实验B版选修1-1）
建议用时
实际用时
满分
实际得分
120分钟
150分
一、选择题(本题共12小题，每小题5分，共60分)
1.若椭圆的离心率是，则双曲线的离心率是（ ）
A. B. C. D.
2.方程表示的曲线是（ ）
A.双曲线 B.椭圆
C.双曲线的一部分 D.椭圆的一部分
3.已知A（3，2），B（-4，0），P是椭圆 上一点，则｜PA｜+｜PB｜的最大值为（ ）
A.10 B.10- C.10+ D.10+2
4.以椭圆的左焦点为焦点的抛物线的标准方程是（　　）
A. B.
C. D.
5.已知双曲线中心在原点且一个焦点为，直线与其交于两点，中点的横坐标为，则此双曲线的方程是（ ）
A. B.
C. D.
6.设抛物线的焦点为F，准线为l，P为抛物线上一点，PA⊥l，A为垂足，如果直线AF斜率为 ，那么｜PF｜＝（ ）
A.4 B.8 C.8 D.16
7.已知椭圆，直线交椭圆于两点，△的面积为（为原点），则函数（　　）
A.是奇函数
B.是偶函数
C.不是奇函数，也不是偶函数
D.奇偶性与有关
8.以椭圆的右焦点为圆心的圆恰好过椭圆的中心，与椭圆的一个交点为，椭圆的左焦点为，且直线与此圆相切，则椭圆的离心率为（ ）
A. B. C.－ D.－１
9.双曲线的左焦点为，顶点为，是双曲线上任意一点，则分别以线段、为直径的两圆位置关系为( ) A.相交 B.相切
C.相离 D.以上情况都有可能
10.已知方程和，其中,它们所表示的曲线可能是下列图象中的（ ）
11.已知抛物线上一点0到其焦点的距离为5，双曲线的左顶点为，若双曲线的一条渐近线与直线平行，则实数的值是（ ）
A. B. C. D.
12.椭圆的左、右焦点分别为，为椭圆上任一点，且的最大值的取值范围是，其中，则椭圆的离心率的取值范围是（　　）
A. B.
C. D.
二、填空题(本题共4小题，每小题4分，共16分)
13.已知椭圆与双曲线－有共同的焦点，是椭圆和双曲线的一个交点，则 ．
14.双曲线的一条准线是，则的值为________．
15.椭圆和双曲线的公共焦点为是两曲线的一个交点, 那么的值是 ．
16.若过两点和的直线与抛物线没有交点，那么实数的取值范围是_________．
三、解答题（本题共6小题，共74分）
17.(本小题满分12分)已知椭圆的离心率，过点和的直线与原点的距离为．
（1）求椭圆的方程．
（2）已知定点，若直线 与椭圆交于两点．问：是否存在，使以为直径的圆过点?请说明理由．
18.(本小题满分12分)已知抛物线方程为，直线过抛物线的焦点且被抛物线截得的弦长为3，求的值．
19.(本小题满分12分) 设双曲线的离心率为，若右准线与两条渐近线相交于两点，为右焦点，△为等边三角形．
（1）求双曲线的离心率的值；
（2）若双曲线被直线截得的弦长为，求双曲线的方程．
20．（本小题满分12分）已知抛物线、椭圆和双曲线都经过点，它们在轴上有共同焦点，椭圆和双曲线的对称轴是坐标轴，抛物线的顶点为坐标原点．
（1）求这三条曲线的方程.
（2）已知动直线过点，交抛物线于两点，是否存在垂直于轴的直线被以为直径的圆截得的弦长为定值？若存在，求出直线的方程；若不存在，说明理由．

21.（本小题满分12分）已知椭圆的离心率 ，短轴长为2.设是椭圆上的两点，向量m＝ ，n= ，且m·n=0，O为坐标原点.
（1）求椭圆的方程.
（2）试问：△AOB的面积是否为定值？如果是，请给予证明；如果不是，请说明理由.
22．(本小题满分14分)设分别为椭圆：的左、右两个焦点.
（1）若椭圆上的点到两点的距离之和等于，写出椭圆的方程和焦点坐标.
（2）设点是（1）中所得椭圆上的动点，求线段的中点的轨迹方程.
（3）已知椭圆具有性质：若是椭圆上关于原点对称的两个点，点是椭圆上任意一点，当直线、的斜率都存在，并记为、时，那么与之积是与点位置无关的定值.试对双曲线写出类似的性质，并加以证明．
第二章 圆锥曲线与方程 （人教实验B版选修1-1）
答题纸
得分：_________
一、选择题
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
答案
二、填空题
13. 　　　　　　　14. 15. 16.
三、解答题
17.
18.
19.
20.
21.
22.

第二章 圆锥曲线与方程 （人教实验B版选修1-1）
答案
一、选择题
1.B 解析：由椭圆的离心率为，得.设,则,.又双曲线中，.
2.D 解析：方程可化为．
3. C 解析：易知B为椭圆的左焦点，因为 <1，所以点A在椭圆内.
设椭圆的右焦点为E(4，0)，根据椭圆的定义可得，｜PB｜+｜PE｜＝2a=10，
故有｜PA｜+｜PB｜＝｜PA｜+10-｜PE｜＝10+(｜PA｜-｜PE｜).
当P、A、E三点不共线时，有｜PA｜-｜PE｜<｜AE｜；
当P位于射线AE与椭圆的交点处时，有｜PA｜-｜PE｜＝|AE｜；
当P位于射线EA与椭圆的交点处时，有｜PA｜-｜PE｜＝-｜AE｜；
故有-｜AE｜≤｜PA｜-｜PE｜≤｜AE｜.
而｜AE｜＝ = ，
所以｜PA｜+｜PB｜＝10+(｜PA｜-｜PE｜)∈［10- ，10+ ］.
4.D 解析：由椭圆的方程知，，∴，∴ 抛物线的焦点为（－2，0），∴ 抛物线的标准方程是．
5.D 解析：设双曲线方程为．将代入，
整理得．
由根与系数的关系得，则．
又，解得，，所以双曲线的方程是
6. B 解析：由已知条件及抛物线的定义知△PAF为正三角形，
∴｜PF｜=｜AF｜＝ =8.
7.B 解析：是直线与椭圆相交所得的△的面积，由椭圆的对称性可知 ，所以是偶函数．
8.D 解析：由题意得，，.
在直角三角形中,,即,整理得.
等式两边同除以，得,即，解得或（舍去）.
故
9.B 解析：如图所示，设的中点为，若在双曲线左支上，则，即圆心距为两圆半径之和，此时两圆外切；若在双曲线右支上，同理可求得，此时两圆内切，所以两圆位置关系为相切.
10.B 解析：方程可化成，可化成.
对于A：由双曲线图象可知：，，∴，即直线的斜率应大于0，故错；
对于C：由椭圆图象可知：，，∴ ，即直线的斜率应小于0，故错；同理错.所以选B．
11. B 解析：依题意知，所以，所以，所以，点的坐标为.
又，所以直线的斜率为.由题意得，解得.
12. B 解析：设，，，则，，.又可看做点到原点的距离的平方，
所以，所以＝.
由题意知，即，则.
二、填空题
13. 解析：因为椭圆与双曲线有共同的焦点，
所以其焦点位于轴上，由其对称性可设在双曲线的右支上，左、右焦点分别为,
由椭圆以及双曲线的定义可得， ，
由①②得，．所以．
14. 解析：由题意可知双曲线的焦点在轴上，所以.双曲线方程可化为，
因此，，.因为准线是，所以，即，
解得.
15. 解析：由题意知，，联立方程得 解得
取点坐标为，则，.
.
16. 解析：过两点的直线方程为，与抛物线联立并消去得．
因为直线与抛物线没有交点，所以方程无解，即，解得．
三、解答题
17.解：（1）直线的方程为．　　
依题意得解得
所以椭圆方程为．
（2）假若存在这样的值，
由得,
　 所以．　　　　　　　　　　　　　　　　　　　①
　 设、，则　　　　　　　　 　　　　②
　 而．
当且仅当时，以为直径的圆过点，则，
即，
所以．　　　　　　　　　　　　　　　③
　 将②式代入③式整理解得．经验证，使①成立．
综上可知，存在，使得以为直径的圆过点．
18.解：由直线l过抛物线的焦点，得直线l的方程为
由消去，得.
由题意得， .
设直线与抛物线交于则.
，解得.
19.解：（1）双曲线的右准线的方程为，两条渐近线方程为，
　 所以两交点坐标为、．
　 设直线与轴的交点为,因为△为等边三角形，则有,
　 所以，即,
解得，．所以．
（2）由（1）得双曲线的方程为．
把代入得．
依题意所以，且．
所以双曲线被直线截得的弦长为
　 .
因为，所以,
整理得,
所以或．
所以双曲线的方程为或．
20.解：（1）设抛物线方程为，
将代入方程得，所以抛物线方程为，
则抛物线的焦点坐标为.
由题意知椭圆、双曲线的焦点为所以.
对于椭圆，,所以，
，所以，
所以椭圆方程为.
对于双曲线，，所以，，
所以，所以双曲线方程为.
（2）存在.理由如下：假设存在垂直于轴的直线被以为直径的圆截得的弦长为定值.
设的中点为，的方程为，以为直径的圆交于两点，的中点为
令则，所以
所以
当时，为定值，所以为定值，此时的方程为.
21. 解：(1)由题意知解得 ∴ 椭圆的方程为=1.
(2)∵≠，设AB的方程为y=kx+b.
由即=0，
∴∴
∴ ，.∵ m·n=0，∴=0，
∴)=0，代入整理得=4，
∴ S＝ =1.
∴ △AOB的面积为定值1.
22.解：（1）椭圆的焦点在轴上，由椭圆上的点到两点的距离之和是4，得，即.
又点在椭圆上，因此，得，于是.
所以椭圆的方程为，焦点，.
（2）设椭圆上的动点，线段的中点满足，
即，.因此，即为所求的轨迹方程.
（3）类似的性质为：若是双曲线上关于原点对称的两个点，点是双曲线上任意一点，
当直线的斜率都存在，并记为时，那么与之积是与点位置无关的定值.
证明如下：设点的坐标为，则点的坐标为，其中.
又设点的坐标为，由，得.
将代入得.