2.1 简谐运动 学案（含答案）

2.1简谐运动
【学习目标】
认识弹簧振子．　
通过观察和分析，理解简谐运动的位移—时间图像是一条正弦曲线．　
经历对简谐运动运动学特征的探究过程，加深领悟用图像描绘运动的方法．
【课上探究】
思考与交流 知识点1：弹簧振子
1．机械振动：物体或物体的一部分在一个位置附近的 称为机械振动，简称振动．
注意：机械振动是机械运动的一种．
2．弹簧振子
如图所示，如果球与杆之间的摩擦可以 ，且弹簧的质量与小球的质量相比也可以 ，我们把小球和弹簧组成的系统称为 ．
平衡位置：弹簧未形变时，小球所受 的位置．
总结与提升
1．弹簧振子的运动是最典型的机械振动
振动特征：①有一个“中心位置”，即平衡位置；
②运动具有往复性．如图所示．
2.弹簧振子的理想化条件
(1)质量：弹簧的质量比小球(振子)的质量小得多，可以认为质量集中在小球(振子)上．
(2)体积：小球(振子)体积很小，可当成质点处理．
(3)阻力：忽略一切摩擦及阻力作用．
(4)弹性限度：小球(振子)的振动范围在弹簧的弹性限度内．
练习与拓展
【例1】　(多选)弹簧上端固定在O点，下端连接一小球，组成一个振动系统，如图所示，用手向下拉一小段距离后释放小球，小球便上下振动起来，关于小球的平衡位置，下列说法正确的是(　　)
A．在小球运动的最低点
B．在弹簧处于原长时的位置
C．在小球速度最大时的位置
D．在小球原来静止时的位置
思考与交流 知识点2弹簧振子的位移—时间图像
1．建立坐标系：以小球的 为坐标原点，沿着 方向建立坐标轴．小球在平衡位置 时它对平衡位置的位移为正，在 时为负．如图．
2．绘制图像：若用横轴表示振子运动的 ，纵轴表示振子在振动过程中离开 的位移x，则振子振动的x t图像如图所示，是一条正弦(或余弦)曲线．
总结与提升
1．建立坐标系
如图甲所示，以小球的平衡位置为坐标原点，规定小球在平衡位置右侧时的位移为正，在左侧时的位移为负．
甲　　　　　　　　乙　
2．绘制图像
(1)用频闪仪来显示小球在不同时刻的位置，由于拍摄时底片匀速移动，会在底片上留下小球和弹簧的一系列的像，得到如图乙所示图像．
(2)若用横轴表示振子运动的时间t，纵轴表示振子在振动过程中离开平衡位置的位移x，则振子振动的x t图像如图所示，是一条正弦(或余弦)曲线．
名师点睛：振动位移以平衡位置为参考点，在x t图像中，某时刻质点位置在t轴上方，表示位移为正(如图中t1、t3时刻)，位置在t轴下方，表示位移为负(如图中t2时刻)．
3．图像的物理意义
反映了振动物体相对平衡位置的位移随时间按正(余)弦规律变化．
练习与拓展
【例2】　如图甲所示，弹簧振子运动的最左端M和最右端N距离平衡位置的距离均为L，规定水平向右为正方向，振子的振动图像如图乙所示，下列说法正确的是(　　)
A．图中x0的大小等于L
B．0～时间内振子由M向O运动
～时间内振子由M向O运动 甲　　　　　　　　　　乙
D．0～时间内与～T时间内振子运动方向相反
变式训练2.一质点简谐运动的振动图象如图所示．
（1）该质点振动的振幅是________，周期是________s．
（2）该质点简谐运动的表达式________ cm，当t=1s时质点的位移________cm．
思考与交流 知识点3简谐运动
1．定义
如果物体的位移与时间的关系遵从 函数的规律，即它的振动图像(x t图像)是一条 曲线，这样的振动叫作简谐运动。
2．特点
简谐运动是最简单、最基本的 ，其振动过程关于 对称，是一种 运动．弹簧振子的运动就是 。
3．简谐运动的图像(如图所示)
(1)简谐运动的图像是振动物体的 的变化规律。
(2)简谐运动的图像是 曲线，从图像上可直接看出不同时刻振动质点的位移大小和方向、速度大小和方向的变化趋势。
总结与提升
简谐运动的位移、速度、加速度
(1)位移：从平衡位置指向振子所在位置的有向线段．
①大小：平衡位置到振子所在位置的距离．
②方向：从平衡位置指向振子所在位置．
③位移的表示方法：以平衡位置为坐标原点，以振动所在的直线为坐标轴，规定正方向，某时刻振子偏离平衡位置的位移可用该时刻振子所在位置的坐标来表示．
(2)速度:①物理含义：速度是描述振子在平衡位置附近振动快慢的物理量．在所建立的坐标轴(也称“一维坐标系”)上，速度的正负号表示振子运动方向与坐标轴的正方向相同或相反．
②特点：如图所示为一简谐运动的模型，振子在A、B间做简谐运动，O为平衡位置，则振子在O点速度最大，在A、B两点速度为零．
(3)加速度
①计算方式：a＝－，式中m表示振子的质量，k表示比例系数，x表示振子距平衡位置的位移．
②特点：加速度与位移呈线性关系，方向只在平衡位置发生改变．
练习与拓展
【例3】　(多选)如图所示是表示一质点做简谐运动的图像，下列说法正确的是(　　)
A．t＝0时刻振子的加速度最大
B．t1时刻振子正通过平衡位置向正方向运动
C．t2时刻振子的位移最大
D．t3时刻振子正通过平衡位置向正方向运动
变式训练3.如图所示，一弹簧振子做等幅振动，取向右为正，A、B两处为最大位移处，O为平衡位置,C为AO间某一位置，则振子（ ）
从B→O时，位移是正值，加速度为正值
从O→B时，位移是正值，速度为正值
C. 运动至C处时，位移为负值，加速度为负值
D. 运动至C处时，位移为正值，加速度为负值
【巩固训练】
1.弹簧振子周期为2s，从振子通过平衡位置向右运动起，经过1.8s时，其运动情况是（　　）
A. 向右减速 B. 向右加速 C. 向左减速 D. 向左加速
2.如图所示，轻弹簧上端固定，下端连接一小物块，物块沿竖直方向做简谐运动。以竖直向上为正方向，物块做简谐运动的表达式为y=0.1sin5πt(m)。t=0时刻，一小球从距物块h 高处自由落下，t=0.3s时，小球恰好与物块处于同一高度，重力加速度g取10m/s2 ， 空气阻力不计， 以下判断正确的是 （ ）
A. h=0.35 m B. 简谐运动的周期是 0.2 s
C. 0.3 s 内物块运动的路程是 0.1 m D. t=0.35s 时，物块与小球运动方向相同
3.如图所示，质量为M的物块钩在水平放置的左端固定的轻质弹簧的右端，构成一弹簧振子，物块可沿光滑水平面在BC间做简谐运动，振幅为A．在运动过程中将一质量为m的小物块轻轻地放在M上，第一次是当M运动到平衡位置O处时放在上面，第二次是当M运动到最大位移处C处时放在上面，观察到第一次放后的振幅为A1 ， 第二次放后的振幅为A2 ， 则（ ）
A. A1=A2=A B. A1 C. A1=A24.如图所示为波沿着一条固定的绳子向右刚好传播到B点时的波形，由图可判断出A点刚开始振动的方向是（ ）
A. 向左 B. 向右
C. 向下 D. 向上
5.一质点做简谐振动，从平衡位置运动到最远点需要 周期，则从平衡位置走过该距离的一半所需时间为（ ）
A. 1/8周期 B. 1/6周期 C. 1/10周期 D. 1/12周期
6.如图所示，将弹簧振子从平衡位置拉下一段距离 ，释放后振子在AB间振动。设AB=20cm，振子由A到B时间为0.1s，则下列说法正确的是（ ）
A. 振子的振幅为20cm，周期为0.2s
B. 振子在A，B两处受到的回复力分别为 与
C. 振子在A，B两处受到的回复力大小都是
D. 振子一次全振动通过的路程是20cm
7.有一个在光滑水平面内的弹簧振子，第一次用力把弹簧压缩x后释放让它振动，第二次把弹簧压缩2x后释放让它振动，则先后两次振动的周期之比和振幅之比分别为（ ）
A. 1∶1 1∶1 B. 1∶1 1∶2 C. 1∶4 1∶4 D. 1∶2 1∶2
8.如图所示，两根完全相同的弹簧和一根张紧的细线将甲、乙两物块束缚在光滑水平面上，已知甲的质量大于乙的质量．当细线突然断开后，两物块都开始做简谐运动，在运动过程中( )．
A. 甲的振幅大于乙的振幅 B. 甲的振幅小于乙的振幅
C. 甲的最大速度小于乙的最大速度
D. 甲的最大速度大于乙的最大速度
9.如图所示，AB用一轻弹簧连接，静止在水平地面上，AB的质量均为m，对A施加一竖直向下的力F，力F的大小等于 现撤去F，A做简谐振动，则A运动到最高点时，B对地面的压力为( )
0 B. mg
C. 2 mg D. 3 mg
10.如图所示，质量为M、倾角为α的斜面体（斜面光滑且足够长）放在粗糙的水平地面上，底部与地面的动摩擦因数为μ，斜面顶端与劲度系数为k、自然长度为L的轻质弹簧相连，弹簧的另一端连接着质量为m的物块。压缩弹簧使其长度为 时将物块由静止开始释放，且物块在以后的运动中，弹簧始终在弹性限度内，斜面体始终处于静止状态。重力加速度为g。
（1）求物块处于平衡位置时弹簧的长度；
（2）求弹簧的最大伸长量；
（3）为使斜面体始终处于静止状态，动摩擦因数μ应满足什么条件。（假设滑动摩擦力等于最大静摩擦力）
参考答案：
例1CD
例2A
变式2.（1）8，0.2．（2）x=8sin（10πt+ ）；8．
例3. ACD
变式3B
巩固：
B
A
B
D
D
C
B
C
B
（1）解：设物块在斜面上平衡时，弹簧伸长量为ΔL，有
解得
此时弹簧的长度为
（2）解：物块做简谐运动的振幅为
由对称性可知，最大伸长量为
（3）解：设物块位移x为正，则斜面体受力情况如图所示，由于斜面体平衡
所以有水平方向
竖直方向
又
F=k(x+ΔL)联立可得
为使斜面体始终处于静止状态，结合牛顿第三定律，应有|f|≤μFN2
所以
当x=－A时，上式右端达到最大值，于是有