人教版义务教育教科书八年级数学 上甘岭区中学2013—2014学年度第一学期
课题：§13.4.2 数学活动
课标要求
教学目标 知识技能 1.能写出轴对称的美术字，画出它们的对称轴．2.能利用轴对称设计图案．3.探索并证明等腰三角形中相等的线段.4.积极参与数学活动，在数学活动过程中，积累活动经验．
数学思考 通过数学活动加深学生对轴对称的理解与运用.
解决问题 运用轴对称的知识解决实际问题.
情感态度 通过活动培养学生的学习兴趣，体会数学带给我们的快乐.
重点 美术字与轴对称和利用轴对称的性质探索并证明等腰三角形中相等的线段．
难点 轴对称的应用.
学情分析 本节课的数学活动将第十三章“轴对称”的知识运用于实际生活和数学探究中，用轴对称研究美术字的对称和写出轴对称的美术字；利用轴对称设计美丽的图案，体验数学与生活的紧密联系；用轴对称发现等腰三角形中相等的线段，从不同的角度去探索等腰三角形，进一步体验证明一个数学命题的一般方法和步骤．学生通过本章的学习已具备能力可开展本节数学活动的教学.
教法 演示、探究
学法 观察、操作、合作学习
教具 三角板、圆规
教学程序设计
教学环节 教学内容 师生活动 设计意图
一、美术字与轴对称 活动1：美术字与轴对称：问题1：从轴对称的角度观察它们，你能发现它们的共同特点吗？ 问题2：猜想下列几个未写完的美术字是什么汉字或字母？ 问题3你能再写出几个轴对称的美术字吗？并画出它们的对称轴． 师出示问题，学生思考并在图中作出对称轴后，班内交流. 休会美术字与轴对称的关系，会在实际中应用轴对称设计美术字，并能找出成轴对称汉字的对称轴.
二、利用轴对称设计图案 活动2：利用轴对称设计图案 问题4：思考这两个图案是怎样得到的？ 师出示问题，学生思考并回答. 体会利用轴对称进行图案设计的快乐，并在操作中体会两种图形变换：平移、轴对称的关系.
教学环节 教学内容 师生活动 设计意图
操作：请动手在一张纸上画一个你喜欢的图形，将这张纸折叠，描图，再打开纸．（1）改变折痕的位置并重复几次，你又得到什么？（2）对称轴的方向和位置的变化对图形有什么影响？ 归纳：对称轴方向和位置发生变化时，得到的图形的方向和位置也会发生变化．有时，将平移和轴对称结合起来，可以设计出更丰富的图案，许多镶边和背景图案就是这样设计的.操作：请你利用平移和轴对称设计图案．
三、等腰三角形中相等的线段 活动3：等腰三角形中相等的线段问题5：等腰三角形底边中点到两腰的距离相等吗？ 等腰三角形是轴对称图形，将△ABC沿对称轴折叠，观察DE 与DF 的数量关系？如何证明DE =DF ？ 已知：如图，在△ABC 中，AB =AC，D 是BC 边的中点，DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别为E，F．求证：DE =DF. 变式1：如果DE，DF 分别是AB，AC 上的中线，它们还有相等的数量关系吗？ 变式2：如果DE，DF分别是∠ADB，∠ADC 的平分线 ，它们还有相等的数量关系吗？ 思考：由等腰三角形是轴对称图形，利用类似方法，还可以得到等腰三角形中哪些相等的线段，并证明结论． 学生独立思考后，小组交流，班内汇报，师生共同补充. 选用轴对称探究等腰三角形中相等的线段.进一步体验证明一个数学命题的一般方法和步骤．
教学环节 教学内容 师生活动 设计意图
四、小结 谈谈你的收获和体会（1）解决本节课中的问题，用到了什么知识？（2）举例说明轴对称在实际生活中还有哪些运用？（3）等腰三角形中有哪些相等的线段？探究等腰三角形中相等的线段的一般步骤是什么？ 师引导学生归纳总结. 旨在让学生学会归纳总结，梳理知识，提高认识.
五、作业 课后作业: （1）在实际生活中，轴对称无处不在，请你用给定的图形“○○，△△， — —”（两个圆，两个三角形，两条线段）为构件，尽可能多地构思出独特且有实际生活意义的成轴对称的一对图形，并写出一两句诙谐、贴切的解说词．如：两盏电灯．（2）请探究等边三角形有哪些相等的线段？ 检测学生对本节知识的掌握情况.
附：板书设计
教学反思：
在教学中，学生们都能积极参与到活动中来，并能与同伴进行交流、讨论. 有部分同学因操作慢没有跟上，今后教师可适当减少他们的操作量（或加大能够完成同学的操作量）使进度尽量一致.在活动3中，学生对等腰三角形中相等的线段讨论的效果非常好，在完成对命题的证明过程中较前阶段有一定的进步.
学生板演区
例题板演区
活动1：美术字与轴对称
活动2：利用轴对称设计图案
活动3：等腰三角形中相等的线段
§ 13.4.2 数学活动
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第3页 共3页人教版义务教育教科书八年级数学 上甘岭区中学2013—2014学年度第一学期
课题：§13.5.1 轴对称章末复习
课标要求
教学目标 知识技能 1.复习本章的重点内容，整理本章知识，形成知识体系． 2．巩固和运用轴对称的相关知识解决问题，进一步发展推理能力，能够用符号表示推理证明，体会证明的必要性．
数学思考 使学生经历分析问题,解决问题,进一步归纳总结的过程.
解决问题 通过有理有据的推理证明、精炼准确地表达推理过程，注重分析思路，学会思考问题，注重书写格式，学会清楚地表达思考的过程.
情感态度 培养逻辑思维能力，发展基本的创新意识和能力.
重点 轴对称的性质、等腰三角形的性质和判定，构建本章知识结构．
难点 对轴对称的性质的理解，应用本章知识解决实际问题。
学情分析 本章的内容是从生活中的对称入手，学生已学习了轴对称及基本性质，欣赏、体验轴对称在现实生活中的广泛运用．在此基础上，利用轴对称探索等腰三角形的性质，学习它的判定，并进一步学习等边三角形．可进行建构本章知识体系、综合运用知识解决实际问题的教学.
教法 归纳、探究、讨论
学法 动手操作、合作学习
教具 三角板
教学程序设计
教学环节 教学内容 师生活动 设计意图
一、知识梳理 知识梳理 （1）在现实世界中存在着大量的轴对称现象，你能举出一些例子吗？成轴对称的图形有什么特点？（2）在我们学过的几何图形中，有哪些是轴对称图形？它们的对称轴与这个图形有怎样的位置关系？（3）一个图形经过轴对称变换后，对应点所连线段与对称轴有什么关系？如何作出一个图形的轴对称图形？（4）在平面直角坐标系中，如果两个图形关于x 轴或y 轴对称，那么对应点的坐标有什么关系？请举例说明．（5）利用等腰三角形的轴对称性，我们发现了它的哪些性质？你能通过全等三角形加以证明吗？等边三角形作为特殊的等腰三角形，有哪些特殊性质？ 师提问，学生思考后回答，师生共同评价. 通过问题让学生自己去回想本章所学知识.
二、知识框图 知识框图：整理一下本章所学的主要知识，你能发现它们之间的联系吗？你能画出一个本章的知识结构图吗？ （1）回顾本章的学习过程，说一说轴对称的性质在本章中重要作用是如何体现的？（2）等腰三角形与等边三角形之间有什么特殊的关系？ 师生共同归纳，形成本章知识结构图. 通过完善本章知识结构图，让学生对本章知识的认识形成体系，并能运用相关知识解决问题，提高学生的综合运用知识的能力.
教学环节 教学内容 师生活动 设计意图
三、例题 引导 例1：判断下列说法是否正确，如不正确，请说明原因．（1）两个全等三角形一定关于某直线对称；（2）等腰三角形一边上的高、中线及这边对角的平分线重合；（3）点（3，1）与点（-3，1）关于y 轴对称；（4）三角形中30°的角所对的边等于斜边的一半．例2：如图，是由三个小正方形组成的图形，请你在图中补画一个小正方形，使补画后的图形为轴对称图形．参考答案：例3：已知：如图，△ABC 是等边三角形，BD 是AC 边上的高，延长BC 到E，使CE =CD，过点D 作DF⊥BE于F．求证：（1）BD =DE；：（2）BF =EF；（3）请猜想FC 与BF 间的数量关系，并说明理由． 学生独立完成，师个别指导，全班讲评. 通过三道例题的引领，旨在提高学生综合运用知识解决实际问题的能力.
四、巩固练习 课堂练习 课本P91-93页复习题13第2、4-8、10、12-14题 学生练习后全班交流，师讲评. 对学习本章所学知识进行巩固应用.
五、体验收获 谈谈你的收获和体会（1）本章的核心知识有哪些？这些知识间有什么样的联系？（2）通过本节课的复习，你认为等腰三角形的性质和判定在解题中有哪些作用？ 师引导学生归纳总结. 旨在让学生学会归纳总结，梳理知识，提高认识.
六、实践延伸 课后作业: 课本P91-93页复习题13第1、3、9、11题 检测学生对本节知识的掌握情况.
附：板书设计
教学反思：
通过本节课的复习，旨在让学生进一步巩固轴对称、线段的垂直平分线、等腰（边）三角形相关知识，并能灵活运用所学的方法解决简单的实际问题，体会到数学与实际生活的密切联系，培养学生的应用意识．在复习过程中1．按知识发展与学生认知为顺序，设计教学流程：2．注重应用，培养学生的应用意识．而这堂课以复习所学知识为主，主动学习的学生收获颇丰，学习比较被动的学生的练习量没达到，以后注意改进．
学生板演区
例题板演区
知识结构图：
§ 13.5.1 轴对称章末复习
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第3页 共3页人教版义务教育教科书八年级数学 上甘岭区中学2013—2014学年度第一学期
课题：§13.4.1 最短路径问题
课标要求
教学目标 知识技能 能利用轴对称解决简单的最短路径问题，体会图形的变化在解决最值问题中的作用，感悟转化思想．
数学思考 通过观察、操作，体会数学转化思想的运用.
解决问题 通过观察、操作，运用所学知识解决路径最短问题..
情感态度 在观察、操作的过程中感受数学的应用价值，提高学生学习数学的兴趣.
重点 利用轴对称将最短路径问题转化为“两点之间，线段最短”问题
难点 转化思想的运用.
学情分析 学习学习了轴对称的相关知识及“两点之间，线段最短”（三角形两边之和大于第三边）可进行本节课：最短路径问题的研究.
教法 观察、演示、引导
学法 操作、讨论、合作探究
教具 三角板、圆规
教学程序设计
教学环节 教学内容 师生活动 设计意图
一、情境引入 引言：前面我们研究过一些关于“两点的所有连线中，线段最短”、“连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短”等的问题，我们称它们为最短路径问题．现实生活中经常涉及到选择最短路径的问题，本节将利用数学知识探究数学史中著名的“将军饮马问题”． 师出示引言 点明本节课要研究的问题.
二、探索新知 问题1：相传，古希腊亚历山大里亚城里有一位久负盛名的学者，名叫海伦．有一天，一位将军专程拜访海伦，求教一个百思不得其解的问题： 从图中的A 地出发，到一条笔直的河边l 饮马，然后到B 地．到河边什么地方饮马可使他所走的路线全程最短？ 精通数学、物理学的海伦稍加思索，利用轴对称的知识回答了这个问题．这个问题后来被称为“将军饮马问题”． 你能将这个问题抽象为数学问题吗？ 追问1：这是一个实际问题，你打算首先做什么？ 追问2：你能用自己的语言说明这个问题的意思，并把它抽象为数学问题吗？ 师出示问题1，学生思考、讨论并回答. 让学生将实际问题抽象为数学问题，即将最短路径问题抽象为：线段和最小问题.
教学环节 教学内容 师生活动 设计意图
（1）从A 地出发，到河边l 饮马，然后到B 地； （2）在河边饮马的地点有无穷多处，把这些地点与A，B 连接起来的两条线段的长度之和，就是从A 地到饮马地点，再回到B 地的路程之和； （3）现在的问题是怎样找出使两条线段长度之和为最短的直线l上的点．设C 为直线上的一个动点，上面的问题就转化为：当点C 在l 的什么位置时，AC 与CB 的和最小（如图）． 问题2：如图，点A，B 在直线l 的同侧，点C 是直线上的一个动点，当点C 在l 的什么位置时，AC 与CB的和最小？ 追问1：对于问题2，如何将点B“移”到l 的另一侧B′处，满足直线l 上的任意一点C，都保持CB 与CB′的长度相等？ 追问2：你能利用轴对称的有关知识，找到上问中符合条件的点B′吗？ 问题3：你能用所学的知识证明AC +BC最短吗？ 证明：如图，在直线l 上任取一点C′（与点C 不重合），连接AC′，BC′，B′C′．由轴对称的性质知，BC =B′C，BC′=B′C′．∴ AC +BC = AC +B′C = AB′， AC′+BC′ = AC′+B′C′．在△AB′C′中， AB′＜AC′+B′C′， ∴ AC +BC＜AC′+BC′． 即AC +BC 最短． 学生独立思考，画图分析，并尝试回答，相互补充.对有困难的学生可进行追问。师生共同分析，然后学生说明，师板书证明过程. 通过搭建问题平台，先让学生通过解决“异侧”然后转化为解决“同侧”，渗透转化思想.通过证明，明了最短路径问题的实质
教学环节 教学内容 师生活动 设计意图
追问1：证明AC +BC 最短时，为什么要在直线l 上任取一点C′（与点C 不重合），证明AC +BC ＜AC′+BC′？这里的“C′”的作用是什么？ 若直线l 上任意一点（与点C 不重合）与A，B 两点的距离和都大于AC +BC，就说明AC + BC 最小．追问2：回顾前面的探究过程，我们是通过怎样的过程、借助什么解决问题的？ 学生相互交流，师适时点拨.学生相互回答，互相补充. 让学生进一步体会作法的正确性，提高逻辑思维能力.通过反思，体会轴对称的“桥梁”作用，感悟转化思想，丰富数学活动经验.
三、应用提高 练习：如图，一个旅游船从大桥AB 的P 处前往山脚下的Q 处接游客，然后将游客送往河岸BC 上，再返回P 处，请画出旅游船的最短路径． 造桥选址问题：如图，A和B两地在一条河的两岸，现在要在河上造一座桥MN。桥造在何处可使从A到B的路径AMNB最短？（假定河的两岸是平行的直线，桥要与河垂直） 学生练习后全班交流，师讲评. 对学习本节课所学知识进行巩固应用.
四、体验收获 谈谈你的收获和体会（1）本节课研究问题的基本过程是什么？ （2）轴对称在所研究问题中起什么作用？ 师引导学生归纳总结. 旨在让学生学会归纳总结，梳理知识，提高认识.
五、作业 课后作业: 课本P93页复习题13第15题 检测学生对本节知识的掌握情况.
附：板书设计
教学反思：
本课教学中学生参与的情况较好，小组合作交流中能互相帮助，能理解最短路径问题的解决方法，对轴对称有了进一步的认识，但在证明的过程中，部分同学能理解但表述的不好，今后加强学生的符号语言表达能力的训练.
学生板演区
例题板演区
最短路径问题：
线段和最小问题.
桥梁：轴对称
§ 13.4.1. 最短路径问题
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