活动单导学课程 苏教版高中数学选择性必修第一册2.1.1圆的方程(1)（含解析）
文档属性
| 名称 | 活动单导学课程 苏教版高中数学选择性必修第一册2.1.1圆的方程(1)（含解析） |  | |
| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 138.4KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 苏教版（2019） | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2022-10-10 05:57:28 | ||
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文档简介
2.1.1 圆的方程(1)
1. 根据确定圆的几何要素，探索并掌握圆的标准方程，并能根据方程写出圆心的坐标和圆的半径．
2. 在圆的方程的建立过程中，再次体会求曲线方程的一般方法．
3. 进一步培养学生用解析法研究几何问题的能力，渗透数形结合思想，培养学生观察问题、发现问题和解决问题的能力．
活动一 圆的标准方程的推导
问题1：什么叫圆？概念中的关键词是什么？
问题2：类比直线的点斜式方程的推导过程，探究推导以定点O为圆心，r为半径的圆的方程.
问题3：当圆心C为(a，b)，半径为r时，圆的方程又如何呢？
结论：圆的标准方程：
活动二 认识圆的标准方程
例1 分别说出下列圆的标准方程所表示圆的圆心与半径：
(1) (x－2)2＋(y－3)2＝7；
(2) (x＋5)2＋(y＋4)2＝18；
(3) x2＋(y＋1)2＝3；
(4) x2＋y2＝144；
(5) (x－4)2＋y2＝4.
活动三 求圆的标准方程
(1) 写出圆心为点A(2，－3)，半径长为5的圆的方程，并判断点M(5，－7)，
N(－，－1)是否在这个圆上；
(2) 求圆心为C(2，－3)，且经过坐标原点的圆的方程.
思考1
根据圆的标准方程，确定一个圆需要哪些独立的条件？
思考2
点M(x0，y0)与圆(x－a)2＋(y－b)2＝r2的关系有哪些？如何判断？
活动四 圆的标准方程的实际应用
例3 已知隧道的截面是半径为4 m的半圆，车辆只能在道路中心线一侧行驶，一辆宽为2.7 m，高为3 m的货车能不能驶入这个隧道？
思考3
假设货车的最大宽度为am，那么货车要驶入该隧道，限高为多少？
1. 圆(x＋1)2＋(y－2)2＝4的圆心与半径分别为( )
A. (－1，2)，2 B. (1，－2)，2 C. (－1，2)，4 D. (1，－2)，4
2. 已知半径为1的圆经过点(3，4)，则其圆心到原点的距离的最小值为( )
A. 4 B. 5 C. 6 D. 7
3. (多选)以直线2x＋y－4＝0与两坐标轴的一个交点为圆心，过另一个交点的圆的方程可能为( )
A. x2＋(y－4)2＝20 B. (x－4)2＋y2＝20
C. x2＋(y－2)2＝20 D. (x－2)2＋y2＝20
4. 已知点A(－4，－5)，B(6，－1)，则以线段AB为直径的圆的方程为________________．
5. 求下列圆的标准方程．
(1) 圆的内接正方形相对的两个顶点分别为A(5，6)，C(3，－4)；
(2) 过C(－1，1)，D(1，3)两点，圆心在x轴上的圆．
参考答案与解析
【活动方案】
问题1：圆是平面内到定点的距离等于定长的点的集合．关键词：定点就是圆心，定长就是半径．
问题2：以定点O为原点建立平面直角坐标系，设P(x，y)是圆上的任意一点．依题意，得OP＝r，将点P的坐标(x，y)代入，得＝r，化简，得x2＋y2＝r2.反过来，设(x0，y0)是方程x2＋y2＝r2的一组解，即x＋y＝r2，从而＝r，所以点P0(x0，y0)满足OP0＝r，即点P0在圆O上，故所求圆的方程为x2＋y2＝r2.
问题3：一般地，设P(x，y)是以C(a，b)为圆心，r为半径的圆上的任意一点，则CP＝r.
由两点间的距离公式，得
＝r，
即(x－a)2＋(y－b)2＝r2.①
反过来，若点P1的坐标(x1，y1)是方程①的解，
则(x1－a)2＋(y1－b)2＝r2，
即＝r，
这说明点P1(x1，y1)在以C(a，b)为圆心，r为半径的圆上．
结论：方程(x－a)2＋(y－b)2＝r2(r>0)叫作以点(a，b)为圆心，r为半径的圆的标准方程．
例1 (1) 圆心为点(2，3)，半径为.
(2) 圆心为点(－5，－4)，半径为3.
(3) 圆心为点(0，－1)，半径为.
(4) 圆心为点(0，0)，半径为12.
(5) 圆心为点(4，0)，半径为2.
例2 (1) 因为圆心为点A(2，－3)，半径长为5，
所以该圆的标准方程为(x－2)2＋(y＋3)2＝25.
将点M(5，－7)代入方程的左边，
得(5－2)2＋(－7＋3)2＝32＋42＝25＝右边，
所以点M(5，－7)在这个圆上．
将点N(－，－1)代入方程的左边，
得(－－2)2＋(－1＋3)2＝13＋4≠25，
所以点N不在这个圆上．
(2) 方法一：因为圆C经过坐标原点，
所以圆C的半径为r＝＝＝，
所以圆的方程为(x－2)2＋(y＋3)2＝13.
方法二：因为圆心为C(2，－3)，
所以设圆的方程为(x－2)2＋(y＋3)2＝r2.
因为原点在圆上，即原点的坐标满足圆的方程，
所以(0－2)2＋(0＋3)2＝r2，所以r2＝13，
所以圆的标准方程为(x－2)2＋(y＋3)2＝13.
思考1：确定一个圆需要圆的半径与圆心两个独立条件．
思考2：点M(x0，y0)与圆(x－a)2＋(y－b)2＝r2的关系及判断方法：
①当(x0－a)2＋(y0－b)2>r2时，点M在圆外；
②当(x0－a)2＋(y0－b)2＝r2时，点M在圆上；
③当(x0－a)2＋(y0－b)2例3 以某一截面半圆的圆心为坐标原点，半圆的直径 AB所在的直线为x轴，建立如图所示的平面直角坐标系，则半圆的方程为x2＋y2＝16(y≥0)．
将x＝2.7代入，得y＝＝<3，
即在离中心线2.7 m处，隧道的高度低于货车的高度，所以货车不能驶入这个隧道．
思考3：将x＝a代入x2＋y2＝16(y≥0)，
得a2＋y2＝16，解得y＝，
所以当货车的最大宽度为am时，货车要驶入该隧道，限高为 m.
【检测反馈】
1. A
2. A 解析：设圆心C(x，y)，则＝1，化简，得(x－3)2＋(y－4)2＝1，所以圆心C的轨迹是以M(3，4)为圆心，1为半径的圆，所以OC＋1≥OM＝＝5，所以OC≥5－1＝4，当且仅当点C在线段OM上时取得等号．
3. AD 解析：令x＝0，得y＝4；令y＝0，得x＝2，所以设直线2x＋y－4＝0与两坐标轴的交点分别为A(0，4)，B(2，0)，则AB＝＝2.以点A为圆心，过点B的圆的方程为x2＋(y－4)2＝20；以点B为圆心，过点A的圆的方程为(x－2)2＋y2＝20.故选AD.
4. (x－1)2＋(y＋3)2＝29 解析：由题意，得AB＝2，AB的中点为(1，－3)，所以以AB为直径的圆的方程为(x－1)2＋(y＋3)2＝29.
5. (1) 由题意，得AC为直径，则AC的中点为圆心，
所以圆心坐标为(4，1)，半径为r＝＝＝＝，所以圆的标准方程为(x－4)2＋(y－1)2＝26.
(2) 由题意，得线段CD的垂直平分线经过圆心，
由kCD＝＝1，CD的中点坐标为(0，2)，
得线段CD的垂直平分线为y＝－x＋2，
所以圆心坐标为(2，0)，r＝＝，
所以圆的标准方程为(x－2)2＋y2＝10.
1. 根据确定圆的几何要素，探索并掌握圆的标准方程，并能根据方程写出圆心的坐标和圆的半径．
2. 在圆的方程的建立过程中，再次体会求曲线方程的一般方法．
3. 进一步培养学生用解析法研究几何问题的能力，渗透数形结合思想，培养学生观察问题、发现问题和解决问题的能力．
活动一 圆的标准方程的推导
问题1：什么叫圆？概念中的关键词是什么？
问题2：类比直线的点斜式方程的推导过程，探究推导以定点O为圆心，r为半径的圆的方程.
问题3：当圆心C为(a，b)，半径为r时，圆的方程又如何呢？
结论：圆的标准方程：
活动二 认识圆的标准方程
例1 分别说出下列圆的标准方程所表示圆的圆心与半径：
(1) (x－2)2＋(y－3)2＝7；
(2) (x＋5)2＋(y＋4)2＝18；
(3) x2＋(y＋1)2＝3；
(4) x2＋y2＝144；
(5) (x－4)2＋y2＝4.
活动三 求圆的标准方程
(1) 写出圆心为点A(2，－3)，半径长为5的圆的方程，并判断点M(5，－7)，
N(－，－1)是否在这个圆上；
(2) 求圆心为C(2，－3)，且经过坐标原点的圆的方程.
思考1
根据圆的标准方程，确定一个圆需要哪些独立的条件？
思考2
点M(x0，y0)与圆(x－a)2＋(y－b)2＝r2的关系有哪些？如何判断？
活动四 圆的标准方程的实际应用
例3 已知隧道的截面是半径为4 m的半圆，车辆只能在道路中心线一侧行驶，一辆宽为2.7 m，高为3 m的货车能不能驶入这个隧道？
思考3
假设货车的最大宽度为am，那么货车要驶入该隧道，限高为多少？
1. 圆(x＋1)2＋(y－2)2＝4的圆心与半径分别为( )
A. (－1，2)，2 B. (1，－2)，2 C. (－1，2)，4 D. (1，－2)，4
2. 已知半径为1的圆经过点(3，4)，则其圆心到原点的距离的最小值为( )
A. 4 B. 5 C. 6 D. 7
3. (多选)以直线2x＋y－4＝0与两坐标轴的一个交点为圆心，过另一个交点的圆的方程可能为( )
A. x2＋(y－4)2＝20 B. (x－4)2＋y2＝20
C. x2＋(y－2)2＝20 D. (x－2)2＋y2＝20
4. 已知点A(－4，－5)，B(6，－1)，则以线段AB为直径的圆的方程为________________．
5. 求下列圆的标准方程．
(1) 圆的内接正方形相对的两个顶点分别为A(5，6)，C(3，－4)；
(2) 过C(－1，1)，D(1，3)两点，圆心在x轴上的圆．
参考答案与解析
【活动方案】
问题1：圆是平面内到定点的距离等于定长的点的集合．关键词：定点就是圆心，定长就是半径．
问题2：以定点O为原点建立平面直角坐标系，设P(x，y)是圆上的任意一点．依题意，得OP＝r，将点P的坐标(x，y)代入，得＝r，化简，得x2＋y2＝r2.反过来，设(x0，y0)是方程x2＋y2＝r2的一组解，即x＋y＝r2，从而＝r，所以点P0(x0，y0)满足OP0＝r，即点P0在圆O上，故所求圆的方程为x2＋y2＝r2.
问题3：一般地，设P(x，y)是以C(a，b)为圆心，r为半径的圆上的任意一点，则CP＝r.
由两点间的距离公式，得
＝r，
即(x－a)2＋(y－b)2＝r2.①
反过来，若点P1的坐标(x1，y1)是方程①的解，
则(x1－a)2＋(y1－b)2＝r2，
即＝r，
这说明点P1(x1，y1)在以C(a，b)为圆心，r为半径的圆上．
结论：方程(x－a)2＋(y－b)2＝r2(r>0)叫作以点(a，b)为圆心，r为半径的圆的标准方程．
例1 (1) 圆心为点(2，3)，半径为.
(2) 圆心为点(－5，－4)，半径为3.
(3) 圆心为点(0，－1)，半径为.
(4) 圆心为点(0，0)，半径为12.
(5) 圆心为点(4，0)，半径为2.
例2 (1) 因为圆心为点A(2，－3)，半径长为5，
所以该圆的标准方程为(x－2)2＋(y＋3)2＝25.
将点M(5，－7)代入方程的左边，
得(5－2)2＋(－7＋3)2＝32＋42＝25＝右边，
所以点M(5，－7)在这个圆上．
将点N(－，－1)代入方程的左边，
得(－－2)2＋(－1＋3)2＝13＋4≠25，
所以点N不在这个圆上．
(2) 方法一：因为圆C经过坐标原点，
所以圆C的半径为r＝＝＝，
所以圆的方程为(x－2)2＋(y＋3)2＝13.
方法二：因为圆心为C(2，－3)，
所以设圆的方程为(x－2)2＋(y＋3)2＝r2.
因为原点在圆上，即原点的坐标满足圆的方程，
所以(0－2)2＋(0＋3)2＝r2，所以r2＝13，
所以圆的标准方程为(x－2)2＋(y＋3)2＝13.
思考1：确定一个圆需要圆的半径与圆心两个独立条件．
思考2：点M(x0，y0)与圆(x－a)2＋(y－b)2＝r2的关系及判断方法：
①当(x0－a)2＋(y0－b)2>r2时，点M在圆外；
②当(x0－a)2＋(y0－b)2＝r2时，点M在圆上；
③当(x0－a)2＋(y0－b)2
将x＝2.7代入，得y＝＝<3，
即在离中心线2.7 m处，隧道的高度低于货车的高度，所以货车不能驶入这个隧道．
思考3：将x＝a代入x2＋y2＝16(y≥0)，
得a2＋y2＝16，解得y＝，
所以当货车的最大宽度为am时，货车要驶入该隧道，限高为 m.
【检测反馈】
1. A
2. A 解析：设圆心C(x，y)，则＝1，化简，得(x－3)2＋(y－4)2＝1，所以圆心C的轨迹是以M(3，4)为圆心，1为半径的圆，所以OC＋1≥OM＝＝5，所以OC≥5－1＝4，当且仅当点C在线段OM上时取得等号．
3. AD 解析：令x＝0，得y＝4；令y＝0，得x＝2，所以设直线2x＋y－4＝0与两坐标轴的交点分别为A(0，4)，B(2，0)，则AB＝＝2.以点A为圆心，过点B的圆的方程为x2＋(y－4)2＝20；以点B为圆心，过点A的圆的方程为(x－2)2＋y2＝20.故选AD.
4. (x－1)2＋(y＋3)2＝29 解析：由题意，得AB＝2，AB的中点为(1，－3)，所以以AB为直径的圆的方程为(x－1)2＋(y＋3)2＝29.
5. (1) 由题意，得AC为直径，则AC的中点为圆心，
所以圆心坐标为(4，1)，半径为r＝＝＝＝，所以圆的标准方程为(x－4)2＋(y－1)2＝26.
(2) 由题意，得线段CD的垂直平分线经过圆心，
由kCD＝＝1，CD的中点坐标为(0，2)，
得线段CD的垂直平分线为y＝－x＋2，
所以圆心坐标为(2，0)，r＝＝，
所以圆的标准方程为(x－2)2＋y2＝10.