2022-2023鲁教版数学八年级上册 第二章分式与分式方程 单元测试 (含解析）

2022-2023鲁教版数学八年级上册第二章分式与分式方程单元测试
一、选择题
下列各式中，从左到右的变形正确的是( )
A. B. C. D.
下列计算结果正确的是( )
A. B.
C. D.
若分式有意义，则的取值范围是( )
A. B. C. D.
若、的值均扩大为原来的倍，则下列分式的值保持不变的是( )
A. B. C. D.
下列分式中，是最简分式的是( )
A. B. C. D.
计算的结果是( )
A. B. C. D.
关于式子，下列说法正确的是( )
A. 当时，其值为 B. 当时，其值为
C. 当时，其值为正数 D. 当时，其值为正数
已知两个不等于的实数、满足，则等于( )
A. B. C. D.
关于的方程无解，则的值为( )
A. B. C. D.
为应对市场对新冠疫苗越来越大的需求，某大型疫苗生产企业在更新技术后，加快了生产速度，现在平均每天比更新技术前多生产万份疫苗，现在生产万份疫苗所需的时间比更新技术前生产万份疫苗所需时间少用天，设现在每天生产万份，据题意可列方程为( )
A. B. C. D.
二、填空题
当______时，分式的值是．
某市对一段全长米的道路进行改造，原计划每天修米为了尽量减少施工对城市交通所造成的影响，实际施工时，每天修路比原计划的倍还多米，那么修这条路实际用了________________天
______ ．
若关于的分式方程的解为正数，则的取值范围为 ．
若关于的分式方程有增根时，则的值为______．
若，则______．
三、计算题
计算：
； ；
； ．
四、解答题
先化简，再从中选一个适合的整数代入求值．
端午节是我国的传统节日，人们素有吃粽子的习俗．某商场在端午节来临之际用元购进、两种粽子个，购买种粽子与购买种粽子的费用相同．已知种粽子的单价是种粽子单价的倍．
求、两种粽子的单价各是多少？
若计划用不超过元的资金再次购进、两种粽子共个，已知、两种粽子的进价不变．求种粽子最多能购进多少个？
某公司生产的一种营养品信息如表已知甲食材每千克的进价是乙食材的倍，用元购买的甲食材比用元购买的乙食材多千克．
营养品信息表
营养成分 每千克含铁毫克
配料表 原料 每千克含铁
甲食材 毫克
乙食材 毫克
规格 每包食材含量 每包单价
包装 千克 元
包装 千克 元
问甲、乙两种食材每千克进价分别是多少元？
该公司每日用元购进甲、乙两种食材并恰好全部用完．
问每日购进甲、乙两种食材各多少千克？
已知每日其他费用为元，且生产的营养品当日全部售出若的数量不低于的数量，则为多少包时，每日所获总利润最大？最大总利润为多少元？
某文具店店主到批发中心选购甲、乙两种品牌的文具盒，预计购进乙品牌文具盒的数量个与甲品牌文具盒的数量个之间的函数关系如图所示．
求与之间的函数关系式；
该店主用元选购了甲品牌的文具盒，又用同样的钱选购了乙品牌的文具盒．已知甲品牌文具盒的单价是乙品牌单价的倍，求所选购的甲、乙文具盒的数量．
济南某社区为倡导健康生活，推进全民健身，去年购进，两种健身器材若干件．经了解，种健身器材的单价是种健身器材的倍，用元购买种健身器材比用元购买种健身器材多件．
，两种健身器材的单价分别是多少元
若今年两种健身器材的单价和去年保持不变，该社区计划再购进，两种健身器材共件，且种健身器材的数量不少于种健身器材的倍，请你确定一种购买方案使得购进，两种健身器材的费用最少．
1.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查分式的基本性质，解题的关键是熟练运用分式的基本性质，本题属于基础题型．根据分式的基本性质即可求出答案．
【解答】
解：．，把左边的分子分母都约去，即可得出右边，故A选项符合题意；
B.，故B选项不符合题意；
C.，分子分母没有公因式，不能约分，故C选项不符合题意；
D.，分子分母没有乘以同一个因式，故D选项不符合题意．
故选A．
2.【答案】
【解析】解：、，故此选项不符合题意；
B、，故此选项不符合题意；
C、，正确，故此选项符合题意；
D、，故此选项不符合题意；
故选：．
根据幂的乘方，幂的混合运算，分式的混合运算法则进行计算，然后作出判断．
本题考查幂的乘方，幂的混合运算，分式的混合运算，掌握运算法则是解题基础．
3.【答案】
【解析】解：由题意得，，
解得．
故选D．
根据分式有意义，分母不等于列不等式求解即可．
本题考查了分式有意义的条件，从以下三个方面透彻理解分式的概念：
分式无意义分母为零；分式有意义分母不为零；分式值为零分子为零且分母不为零．
4.【答案】
【解析】解：．，不符合题意；
B.，不符合题意；
C.，不符合题意；
D.，符合题意；
故选：．
根据分式的基本性质，，的值均扩大为原来的倍，求出每个式子的结果，看结果等于原式的即是答案．
本题考查分式的基本性质，解题的关键是熟练运用分式的基本性质．
5.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查了最简分式，分式的化简过程，首先要把分子分母分解因式，互为相反数的因式是比较易忽视的问题．在解题中一定要引起注意．最简分式的标准是分子，分母中不含有公因式，不能再约分．判断的方法是把分子、分母分解因式，并且观察有无互为相反数的因式，这样的因式可以通过符号变化化为相同的因式从而进行约分．
【解答】
解：．，不是最简分式，错误；
B.，不是最简分式，错误；
C.，不是最简分式，错误；
D.，是最简分式，正确．
故选D．
6.【答案】
【解析】解： ．
故本题选A。
本题考查分式的乘方，解题关键是掌握分式的乘方计算法则难点是确定结果的符号．
分式乘方时，确定乘方结果的符号与有理数乘方相同，即正分式的任何次幂都为正，负分式的偶次幂为正，奇次幂为负。
7.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查分式的除法和分式的值，分式有意义的条件．
首先根据分式的除法运算法则化简原式，然后由分式有意义的条件求出的取值范围即可判断、；根据的取值范围得出分式的分子和分母的符号，即可判断、．
【解答】
解：
，
，，
，，故A、B错误；
当时，，
，故C错误；
当时，，
，故D正确．
8.【答案】
【解析】解：
，
两个不等于的实数、满足，
，
当时，原式，
故选：．
先把所求式子通分，然后将分子变形，再根据两个不等于的实数、满足，可以得到，再将代入化简后的式子即可解答本题．
本题考查分式的化简求值，解答本题的关键是明确分式化简求值的方法．
9.【答案】
【解析】
【分析】
本题主要考查了分式方程的解法、分式方程的增根问题，首先去分母，得，然后根据分式方程无解得出，最后代入计算即可求解．
【解答】
解：去分母得：，
由分式方程无解，得到，即，
代入整式方程得：，
解得：，
故选A．
10.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查了由实际问题抽象出分式方程，找准等量关系，正确列出分式方程是解题的关键．
由现在平均每天比更新技术前多生产万份疫苗及现在每天生产万份疫苗，可得出更新技术前每天生产万份疫苗，利用工作时间工作总量工作效率，结合现在生产万份疫苗所需的间比更新技术前生产万份疫苗所需时间少用天，即可得出关于的分式方程，此题得解．
【解答】
解：现在平均每天比更新技术前多生产万份疫苗，且现在每天生产万份疫苗，
更新技术前每天生产万份疫苗．
依题意得：．
11.【答案】
【解析】解：分式的值是，则且，
解得：．
故答案为：．
直接利用分式的值为零则分子为零分母不为零，进而得出答案．
此题主要考查了分式的值为零的条件，注意分式的分母不为零是解题关键．
12.【答案】
【解析】
【分析】
本题主要考查了列代数式分式，解答此题根据时间工作量工作效率列出代数式即可．
【解析】
解：实际工作量为，实际工效为：．
故实际用时天
故答案为．

13.【答案】
【解析】解：原式，
故答案为：
原式约分即可得到结果．
此题考查了分式的乘除法，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
14.【答案】且．
【解析】
【分析】
本题考查了分式方程的解法，考核学生的计算能力，解题时注意解分式方程必须检验．先解出这个分式方程的解，然后去掉增根以及根据解为正数列出不等式，从而得到的取值范围．
【解答】
解：，
去分母，得，
去括号，得，
移项，得，
合并同类项，得，
系数化为，得，
，
，
，
．
方程的解为正数，
，
．
的取值范围为：且．
故答案为：且．

15.【答案】
【解析】解：，
方程两边都乘得，
方程化简得，
原方程增根为，
把代入整式方程得．
故答案为：．
增根是分式方程化为整式方程后产生的使分式方程的分母为的根．把增根代入化为整式方程的方程即可求出的值．
本题考查了分式方程的增根，增根确定后可按如下步骤进行：化分式方程为整式方程；把增根代入整式方程即可求得相关字母的值．
16.【答案】
【解析】解：当时，
．
故答案为：．
利用完全平方公式对所求的式子进行整理，再代入相应的值运算即可．
本题主要考查分式的化简求值，解答的关键是对相应的运算法则的掌握与运用．
17.【答案】； ； ； ．
【解析】略
18.【答案】解：
，
要使分式有意义，可选取，
当时，原式．
【解析】根据分式的混合运算法则把原式化简，根据分式有意义的条件选择一个整数代入计算即可．
本题考查的是分式的化简求值、分式有意义的条件，掌握分式的混合运算法则是解题的关键．
19.【答案】解：设种粽子单价为元个，则种粽子单价为元个，两种粽子各自的总价为元
根据题意，得：，
解得：，
经检验，是原方程的解，且符合题意，
．
答：种粽子单价为元个，种粽子单价为元个．
设购进种粽子个，则购进种粽子个，
依题意，得：，
解得：．
答：种粽子最多能购进个．
【解析】本题考查了分式方程的应用以及一元一次不等式的应用，解题的关键是：找准等量关系，正确列出分式方程；根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式．
设种粽子单价为元个，则种粽子单价为元个，根据数量总价单价结合用元购进、两种粽子个，即可得出关于的分式方程，解之经检验后即可得出结论；
设购进种粽子个，则购进种粽子个，根据总价单价数量结合总价不超过元，即可得出关于的一元一次不等式，解之取其中的最大值即可得出结论．
20.【答案】解：设乙食材每千克进价为元，则甲食材每千克进价为元，
由题意得，
解得，
经检验，是所列方程的根，且符合题意，
元，
答：甲食材每千克进价为元，乙食材每千克进价为元；
设每日购进甲食材千克，乙食材千克，
由题意得，解得，
答：每日购进甲食材千克，乙食材千克；
设为包，则为包，
的数量不低于的数量，
，
，
设总利润为元，根据题意得：
，
，
随的增大而减小，
当时，的最大值为，
答：当为包时，总利润最大，最大总利润为元．
【解析】设乙食材每千克进价为元，则甲食材每千克进价为元，根据“用元购买的甲食材比用元购买的乙食材多千克”列分式方程解答即可；
设每日购进甲食材千克，乙食材千克，根据的结论以及“每日用元购进甲、乙两种食材并恰好全部用完”列方程组解答即可；
设为包，则为包，根据“的数量不低于的数量”求出的取值范围；设总利润为元，根据题意求出与的函数关系式，再根据一次函数的性质，即可得到获利最大的进货方案，并求出最大利润．
本题考查一次函数的应用、分式方程的应用、一元一次不等式的应用，解答本题的关键是明确题意，列出相应的分式方程和一次函数关系式，利用一次函数的性质和不等式的性质解答，注意分式方程要检验．
21.【答案】解：设与的函数关系式为，
点，在该函数图象上，
，
解得，
即与的函数关系式为；
设乙种文具盒的单价为元，则甲种文具盒的单价为元，
则，，
，
解得，
经检验，是原分式方程的解，
，，
答：所选购的甲种文具盒个、乙种文具盒个．
【解析】根据函数图象中的数据，可以计算出与之间的函数关系式；
根据题意和中的函数关系式，可以计算出所选购的甲、乙文具盒的数量．
本题考查一次函数的应用、分式方程的应用，解答本题的关键是明确题意，列出相应的函数关系式和分式方程，注意分式方程要检验．
22.【答案】解：设种型号健身器材的单价为元件，种型号健身器材的单价为元件，
根据题意得：，
解得：，
经检验是原方程的解，且符合题意，
则元，
答：，两种健身器材的单价分别是元，元；
设购买种型号健身器材件，则购买种型号的健身器材件，
设费用为元，根据题意得：
种健身器材的数量不少于种健身器材的倍，
，解得：，
，
随的增大而减小，
当时，取最小值
答：购进件型健身器材、件型健身器材时健身器材费用最小．
【解析】本题考查了分式方程的应用以及一次函数的应用，解题的关键是：找准等量关系，正确列出分式方程；根据各数量之间的关系，正确列出一次函数，
设种型号健身器材的单价为元件，种型号健身器材的单价为元件，根据“用元购买种健身器材比用元购买种健身器材多件”，列出分式方程，解之即可得出结论；
设购买种型号健身器材件，则购买种型号的健身器材件，设费用为元，列出的函数解析式，根据种健身器材的数量不少于种健身器材的倍，求出的取值范围，即可求出的最小值，从而得出购买方案．
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