2022-2023鲁教版数学 九年级上册 第二章直角三角形的边角关系 单元测试 （含解析)

2022-2023鲁教版数学九年级上册第二章直角三角形的边角关系单元测试
一、选择题
在中，，，，则的值是( )
A. B. C. D.
如图，在中，，，若，则的长为( )
A. B. C. D.
如图，升国旗时，某同学站在离国旗米处行注目礼，当国旗升至顶端时，该同学视线的仰角为，已知双眼离地面为米，则旗杆的高度为( )
A. 米 B. 米
C. 米 D. 米
如图，在中，，是上一点，，，，则长为( )
A.
B.
C.
D.
如图，一艘船由港沿北偏东方向航行至港，然后再沿北偏西方向航行至港，港在港北偏东方向，则，两港之间的距离为．( )
A. B. C. D.
如图，在一个米高的楼顶上有一信号塔，某同学为了测量信号塔的高度，在地面的处测得信号塔下端的仰角为，然后他正对塔的方向前进了米到达地面的处，又测得信号塔顶端的仰角为，于点，、、在一条直线上．信号塔的高度为( )
A. 米
B. 米
C. 米
D. 米
图是年世界数学大会的会徽，其主体图案如图是由四个全等的直角三角形组成的四边形．若，，则的长为( )
A. B. C. D.
如图，、、是小正方形的顶点，且每个小正方形的边长为，则的值为( )
B. C. D.
如图，在四边形中，，，，，则的值为( )
A.
B.
C.
D.
如图，中，，、相交于点，，，，则的面积是( )
A. B. C. D.
在中，若锐角、满足，则对的形状描述最确切的是( )
A. 直角三角形 B. 钝角三角形 C. 等腰直角三角形 D. 等边三角形
如图，四边形是菱形，对角线，相交于点，，，点是上一动点，点是的中点，则的最小值为( )
A. B. C. D.
二、填空题
在中，，，，则______．
如果，则______精确到度
如图，矩形中，点，分别在边，上，连接，，，将和分别沿，折叠，使点，恰好落在上的同一点，记为点若，，则______．
如图，在正方形网格中，的顶点都在格点上，则的值为_____．
如图，一根竖直的木杆在离地面处折断，木杆顶端落在地面上，且与地面成角，则木杆折断之前高度约为______
参考数据：，，
如图，一艘海轮位于灯塔的北偏东方向，距离灯塔海里的处，海轮沿正南方向航行一段时间后，到达位于灯塔的南偏东方向上的处，这时处距离灯塔的距离约为______海里结果取整数，参考数据：，．
三、计算题
计算：；
化简：
四、解答题
在中，，为边上的一点，，．
求证：∽；
求的值．
近日，市委、市政府公布了第七批重庆市爱国主义教育基地名单，重庆市育才中学创办的陶行知纪念馆位列其中，如图，为了测量陶行知纪念馆的高度，小李在点处放置了高度为米的测角仪，测得纪念馆顶端点的仰角，然后他沿着坡度：的斜坡走了米到达点，再沿水平方向走米就到达了纪念馆底端点结果精确到，参考数据：，，
求点到纪念馆的水平距离；
求纪念馆的高度约为多少米？
为了维护国家主权和海洋权利，海监部门对我国领海实现了常态化巡航管理，如图，正在执行巡航任务的海监船以每小时海里的速度向正东方航行，在处测得灯塔在北偏东方向上，继续航行小时到达处，此时测得灯塔在北偏东方向上．
求的度数；
已知在灯塔的周围海里内有暗礁，问海监船继续向正东方向航行是否安全？
如图，有两座建筑物与，从测得建筑物顶部的仰角为，在上有一点，点到的距离为米，从测得建筑物的顶部、的仰角分别为、求建筑物的高度．参考数据：，
如图，在中，，是边上的中线，过点作，垂足为点，若，．
求的长；
求的正切值．
1.【答案】
【解析】解：如图所示：
，，，
，
．
故选：．
直接利用勾股定理得出的长，再利用锐角三角函数得出答案．
此题主要考查了锐角三角函数关系，正确掌握边角关系是解题关键．
2.【答案】
【解析】解：在中，
，
，
．
故选：．
根据题意，先求出，再利用勾股定理求出．
本题考查了锐角三角函数，涉及勾股定理，属于基础题．
3.【答案】
【解析】解：如图，米，米，
四边形为矩形，则米，米，
在中，
，
，
米．
故选：．
由题意可知，在直角三角形中，已知角和邻边，要求出对边，直接用正切即可解答．
本题考查仰角的定义，要求学生能借助仰角构造直角三角形并解直角三角形．
4.【答案】
【解析】解：在中，，，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
故选：．
根据含直角三角形的性质求出，由勾股定理求出，根据等腰直角三角形的性质得到，进而求得．
此题考查本题主要考查了含直角三角形的性质、勾股定理和等腰直角三角形性质等知识，熟练掌握含直角三角形的性质是解决问题的关键．
5.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查了解直角三角形的应用方向角问题，属于基础题．
根据题意得，，，，过作于，解直角三角形即可得到结论．
【解答】
解：如图所示：
根据题意得，，，，
过作于，
，
在中，，，
，
在中，，
，
，
，两港之间的距离为，
故选B．
6.【答案】
【解析】
【分析】
利用的直角三角形即可求得长，进而可求得长．减去长即为信号塔的高度．
本题考查了解直角三角形仰角俯角问题，要求学生能借助仰角构造直角三角形并解直角三角形；难点是充分找到并运用题中相等的线段．
【解答】
解：根据题意得：米，米，，，
在中，米，
米，
在中，米，
米．
故选C．
7.【答案】
【解析】解：，，，
，，
由题意得：
，
，
故选：．
在中，利用锐角三角函数的的定义求出，的长，即可解答．
本题考查了解直角三角形的应用，熟练掌握锐角三角函数的的定义是解题的关键．
8.【答案】
【解析】
【分析】
此题考查了锐角三角函数的定义以及勾股定理，熟练掌握勾股定理是解本题的关键．连接，由网格求出，，的长，利用勾股定理的逆定理得到为等腰直角三角形，即可求出所求．
【解答】
解：连接，
由网格可得，，
，
，
为等腰直角三角形，
，
则．
故选B．
9.【答案】
【解析】解：延长、，两线交于，
在中，，，，
，
，
，
在中，，，，由勾股定理得：，
，
，
，
∽，
，
，
解得：，
故选：．
延长、，两线交于，解直角三角形求出，求出，根据勾股定理求出，求出∽，根据相似三角形的性质得出比例式，代入求出即可．
本题考查了勾股定理，解直角三角形和相似三角形的性质和判定等知识点，能正确作出辅助线构造出直角三角形是解此题的关键．
10.【答案】
【解析】解：如图，过点作的垂线，交的延长线于点，
则，
，，
，，
∽，
，
，
，
，则，
，，
，
，
，
．
故选：．
过点作的垂线，交的延长线于点，可得∽，可得，由，，可求出的长，又，，则，解直角，可分别求出和的长，进而可求出的面积．
本题主要考查三角形的面积，相似三角形的性质与判定，解直角三角形等，看到面积或特殊角作垂线是常见的解题思路，也是解题关键．
11.【答案】
【解析】解：，
又，，
，，
，，
，
是等腰直角三角形．
故选：．
利用非负数的性质求解即可．
本题考查等腰直角三角形的性质，非负数的性质，特殊角的三角函数值等知识，解题的关键是掌握非负数的性质，记住特殊角的三角函数值．
12.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查了三角形的三边关系，菱形的性质，等边三角形的判定和性质，锐角三角函数等知识，证明是等边三角形是解题的关键．
由三角形的三边关系可得当点在上时，的最小值为的长，由菱形的性质可得，，，，由锐角三角函数可求，可证是等边三角形，由等边三角形的性质可得，即可求解．
【解答】
解：如图，连接，
在中，，
当点在上时，的最小值为的长，
四边形是菱形，
，，，，
，
，
是等边三角形，
点是的中点，
，
，
，
，
故选A．
13.【答案】
【解析】解：在中，．
故答案为．
根据正弦的定义解答即可．
本题考查的是锐角三角函数的定义．
14.【答案】
【解析】解：，
，
解得，，
故答案为：．
根据计算器可以计算出的度数，从而可以解答本题．
本题考查计算器三角函数，解答本题的关键是会用计算器求三角函数的值．
15.【答案】
【解析】
【分析】
本考查了翻折变换，矩形的性质，勾股定理的应用，相似三角形的判定和性质，锐角三角形函数的知识等，利用勾股定理和相似三角形的性质求线段的长度是本题的关键．
根据折叠的性质结合勾股定理求得，，证得∽，求得，再利用勾股定理得到的长，即可求解．
【解答】
解：矩形中，，，，
，
根据折叠的性质：，，，，，，，
，，
，点，点，点三点共线，
，
，
∽，
，即，
，
，
，
故答案为：．
16.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查了锐角三角函数的定义，能构造直角三角形是解此题的关键．
过作，交延长线于，再根据锐角三角函数的定义求出答案即可．
【解答】
解：过作，交延长线于，
设小正方形的边长为，
则，，
所以，
故答案为．
17.【答案】
【解析】
【分析】本题考查了锐角三角函数的定义，利用锐角三角函数定义求出三角形边长是解题的关键．
在中，由的长及的值可得出的长，即可解答．
【解答】
解：如图：
，，
，
木杆折断之前高度约为：
故答案为：．
18.【答案】
【解析】解：过点作于点，
由题意可得，，，，
，，
，
在中，
，
，
在中，
，
．
故答案为：．
过点作于点，先在中利用锐角三角函数的定义求得，进而在中利用利用锐角三角函数求得．
本题考查解直角三角形的应用仰角俯角问题，熟练掌握锐角三角函数的定义是解题的关键．
19.【答案】解：原式
；
原式
．
【解析】利用负整数指数幂的运算、特殊角的三角函数值、去绝对值的法则计算即可；
利用分式的加减运算来做即可．
本题考查了实数的运算和分式的混合运算，做题关键要掌握负整数指数幂的运算、特殊角的三角函数值、去绝对值的法则、通分、约分．
20.【答案】证明：，
，
，
，
，
∽；
解：，，
，
，
∽，
，
．
【解析】利用两角相等的两个三角形相似证明，即可解答；
先利用勾股定理求出，然后求出的值，最后利用的结论即可解答．
本题考查了相似三角形的判定与性质，解直角三角形，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键．
21.【答案】解：如图，延长交水平线于，过作于，延长交于，
则米，，
在中，：，米，
米，米，
米，
米，
答：点到纪念馆的水平距离为米；
在中，，
米，
米，
答：纪念馆的高度约为米．
【解析】延长交水平线于，过作于，延长交于解直角三角形求出，即可解决问题；
在中，根据三角函数的定义即可得到结论．
本题考查解直角三角形的应用仰角俯角问题，坡度坡角问题等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题．
22.【答案】解：由题意可得，，
．
作交的延长线于．
，
，
在中，，
，
海监船继续向正东方向航行是安全的．
【解析】本题考查的是解直角三角形的应用方向角问题，正确根据题意画出图形、准确标注方向角、熟练掌握锐角三角函数的概念是解题的关键．
在中，求出、的度数即可解决问题；
作交的延长线于求出的值即可判定．
23.【答案】解：作于，
设米，
，
米，
在中，，
则，
，
在中，，即，
解得，，
答：建筑物的高度约为米．
【解析】本题考查的是解直角三角形的应用仰角俯角问题，掌握仰角俯角的概念、熟记锐角三角函数的定义是解题的关键．
作于，设米，根据正切的定义求出，用表示出、，根据正切的定义列出方程，解方程得到答案．
24.【答案】解：设，，
，
，
，，
，
，
，
，
，
．
过点作于点，
，
是的中点，
是的中位线，
，，
由可知：，
，，
，
．
【解析】设，，所以，，由可求出，从而可求出答案．
过点作于点，由于是的中点，所以是的中位线，从而可求出，再求出即可求出的正切值．
本题考查解直角三角形，解题的关键是求出、的长度，本题属于中等题型．
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