2.1.2 圆的方程(2)
一、 单项选择题
1. 圆x2+y2-4x+2y+4=0的半径r和圆心坐标分别为( )
A. r=1,(-2,1) B. r=2,(-2,1)
C. r=2,(2,-1) D. r=1,(2,-1)
2. 若直线2x-5y+a=0平分圆x2+y2-4x+2y-5=0的周长,则a的值为( )
A. 9 B. -9 C. 1 D. -1
3. 当圆x2+y2+2x+2ky+2k2=0的面积最大时,圆心的坐标是( )
A. (0,-1) B. (-1,0) C. (1,-1) D. (-1,1)
4. (2021·成都树德中学期中)若两定点A,B的距离为3,动点M满足MA=2MB,则点M的轨迹围成区域的面积为( )
A. π B. 2π C. 3π D. 4π
5. 若曲线C:x2+y2+2ax-4ay+5a2-4=0上所有的点均在第二象限内,则实数a的取值范围为( )
A. (-∞,-2) B. (-∞,-1) C. (2,+∞) D. (1,+∞)
6. (2021·衡水冀州区第一中学期中)由曲线x2+y2=|x|-|y|围成的曲线面积是( )
A. B. C. D.
二、 多项选择题
7. 下列关于圆x2+y2-4x-1=0的说法中,正确的是( )
A. 关于点(2,0)对称
B. 关于直线y=0对称
C. 关于直线x+3y-2=0对称
D. 关于直线x-y+2=0对称
8. (2021·晋州第二中学期中)已知圆C:x2+y2-4x-14y+45=0及点Q(-2,3),则下列说法中正确的是( )
A. 圆心C的坐标为(2,7)
B. 点Q在圆C外
C. 若点P(m,m+1)在圆C上,则直线PQ的斜率为
D. 若M是圆C上任一点,则MQ的取值范围为[2,6]
三、 填空题
9. (2021·北京交通大学附属中学月考)若圆x2+y2+Dx+Ey+F=0关于直线l1:x-y+4=0和直线l2:x+3y=0都对称,则D+E的值为________.
10. 动圆x2+y2-(4m+2)x-2my+4m2+4m+1=0的圆心的轨迹方程是______________.
11. (2021·连云港期中)已知抛物线y=x2+2x-3与坐标轴交于A,B,C三点,则△ABC外接圆的一般方程为________.
12. (2021·北京二中月考)动点P与给定的边长为1的正方形在同一平面内,设此正方形的顶点为A,B,C,D(逆时针方向),且点P到点A,B,C的距离分别为a,b,c.若a2+b2=c2,则点P的轨迹是________;点P到点D的最大距离为________.
四、 解答题
13. 已知圆C:x2+y2-4x+a=0,点A(1,2)在圆C上.
(1) 求圆心的坐标和圆的半径;
(2) 若点B也在圆C上,且AB=2,求直线AB的方程.
14. 已知△ABC的顶点C(2,-8),直线AB的方程为y=-2x+11,AC边上的高BH所在直线的方程为x+3y+2=0.
(1) 求顶点A,B的坐标;
(2) 求△ABC外接圆的一般方程.
参考答案与解析
1. D 解析:x2+y2-4x+2y+4=0可化为(x-2)2+(y+1)2=1,所以半径和圆心坐标分别为r=1,(2,-1).
2. B 解析:由题意,得直线2x-5y+a=0经过该圆的圆心(2,-1),则2×2-5×(-1)+a=0,即a=-9.
3. B 解析:因为x2+y2+2x+2ky+2k2=0,所以(x+1)2+(y+k)2=1-k2,所以圆的面积为(1-k2)π,所以当k=0时,圆的面积最大,此时圆心的坐标为(-1,0).
4. D 解析:以点A为坐标原点,射线AB为x轴的非负半轴建立直角坐标系,如图.设点M(x,y),则=2,整理,得(x-4)2+y2=4,所以点M的轨迹是以点(4,0)为圆心,2为半径的圆,其面积为4π,所以点M的轨迹围成区域的面积为4π.
5. C 解析:由题意,得曲线C是圆心为(-a,2a),半径为2的圆.因为曲线C上所有的点均在第二象限内,所以解得a>2.
6. D 解析:当x≥0,y≥0时,则x2+y2=|x|-|y|可化成x2+y2=x-y,即+=;同理当x≤0,y≥0时,x2+y2=|x|-|y|可化成+=;当x≤0,y≤0时,x2+y2=|x|-|y|可化成+=;当x≥0,y≤0时,x2+y2=|x|-|y|可化成+=,综上可知,所求面积为在第一象限的曲线与坐标轴围成的面积的4倍,曲线在第一象限内的图象如下图实线部分所示.结合①易知,点M坐标为,点N坐标为(1,0),且△OMN为等腰直角三角形,所以在第一象限的曲线与坐标轴围成的面积为S1=×-×=,从而曲线x2+y2=|x|-|y|围成的曲线面积为S=4S1=.
7. ABC 解析:将x2+y2-4x-1=0化为标准方程,得(x-2)2+y2=5,所以圆心的坐标为(2,0).对于A,圆是关于圆心对称的中心对称图形,而点(2,0)是圆心,故A正确;对于B,圆是关于直径对称的轴对称图形,直线y=0过圆心,故B正确;对于C,因为直线x+3y-2=0过圆心(2,0),故C正确;对于D,因为直线x-y+2=0不过圆心,故D错误.故选ABC.
8. ABD 解析:将x2+y2-4x-14y+45=0化为(x-2)2+(y-7)2=8,所以圆心C坐标为(2,7),故A正确;因为C(2,7),Q(-2,3)两点之间的距离为=4>2,所以点Q在圆C外,故B正确;因为点P(m,m+1)在圆C上,所以m2+(m+1)2-4m-14(m+1)+45=0,解得m=4,即P(4,5),所以直线PQ的斜率为,故C错误;因为圆心C(2,7),半径r=2,CQ=4,所以CQ-r≤MQ≤CQ+r,即2≤MQ≤6,故D正确.故选ABD.
9. 4 解析:圆x2+y2+Dx+Ey+F=0的圆心为.因为圆x2+y2+Dx+Ey+F=0关于直线l1:x-y+4=0和直线l2:x+3y=0都对称,所以圆心在直线l1上,也在直线l2上,所以解得所以D+E=4.
10. x-2y-1=0(x≠1) 解析:将圆的方程化为标准方程为[x-(2m+1)]2+(y-m)2=m2(m≠0),则圆心坐标为(2m+1,m).设圆心坐标为(x,y).因为m≠0,所以x≠1,消去m,得x-2y-1=0,故圆心的轨迹方程为x-2y-1=0(x≠1).
11. x2+y2+2x+2y-3=0 解析:令y=0,则x2+2x-3=0,解得x1=1,x2=-3,即A(1,0),B(-3,0);令x=0,得y=-3,即C(0,-3).设圆:x2+y2+Dx+Ey+F=0,所以解得所以圆的方程为x2+y2+2x+2y-3=0.
12. 圆 2+ 解析:以B为原点,建立如图所示的坐标系,则A(0,1),B(0,0),C(1,0),D(1,1).不妨设P(x,y),则a2=x2+(y-1)2,b2=x2+y2,c2=(x-1)2+y2.因为a2+b2=c2,所以x2+(y-1)2+x2+y2=(x-1)2+y2,整理,得(x+1)2+(y-1)2=2,所以点P的轨迹是圆,结合图象可得,点P到点D的最大距离为2+.
13. (1) 因为点A(1,2)在圆x2+y2-4x+a=0上,
所以1+4-4+a=0,解得 a=-1,
所以圆的方程为x2+y2-4x-1=0,
即(x-2)2+y2=5,
所以圆心的坐标为(2,0),半径r=.
(2) 因为点A,点B都在圆上,且AB=2=2r,
所以直线AB经过圆C的圆心,
所以直线AB的斜率k==-2,
所以直线AB的方程为y=-2(x-2),
即y=-2x+4.
14. (1) 联立解得
所以顶点B(7,-3).
因为AC⊥BH,kBH=-,所以kAC=3.
设直线AC的方程为y=3x+b.
将点C(2,-8)代入,得b=-14,
所以直线AC的方程为y=3x-14.
联立解得
所以顶点A(5,1).
综上,点A,B的坐标分别为(5,1),(7,-3).
(2) 设△ABC的外接圆方程为x2+y2+Dx+Ey+F=0,
将A(5,1),B(7,-3),C(2,-8)三点的坐标分别代入,得解得
所以△ABC的外接圆的一般方程为x2+y2-4x+6y-12=0.