苏教版高中数学选择性必修第一册第2章圆与方程2.1.3圆的方程(3) 课时小练（含解析）

2．1.3　圆的方程(3)
一、 单项选择题
1. 方程2x2＋2y2－4x＋8y＋10＝0表示的图形是(　　)
A. 一个点 B. 一个圆 C. 一条直线 D. 不存在
2. 若点(2a，a－1)在圆x2＋(y－1)2＝5的内部，则实数a的取值范围是(　　)
A. (－1，1) B. (0，1) C. D.
3. 方程|y|－3＝表示的曲线为(　　)
A. 一个圆　 B. 一个半圆　 C. 两个半圆　 D. 两个圆
4. 如图，已知ACB为一弓形，且点A，B，C的坐标分别为(－4，0)，(4，0)，(0，2)，则弓形ACB所在圆的方程为(　　)
A. x2＋y2＝16
B. x2＋y2＝4
C. x2＋(y＋2)2＝20
D. x2＋(y＋3)2＝25
5. (2021·三明教研联盟期中联考)唐代诗人李颀的诗《古从军行》开头两句说：“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河．”诗中隐含着一个有趣的数学问题——“将军饮马”问题，即将军在观望烽火之后从山脚下某处出发，先到河边饮马后再回到军营，怎样走才能使总路程最短？在平面直角坐标系中，设军营所在区域为(x－3)2＋(y－4)2≤1，若将军从点A(－1，1)处出发，河岸线所在直线方程为y＝0，并假定将军只要到达军营所在区域即回到军营，则“将军饮马”的最短总路程为(　　)
A. －1 B. C. 5 D. 4
6. 阿波罗尼斯证明过这样一个命题：平面内到两定点距离之比为常数k(k>0，k≠1)的点的轨迹是圆，后人将这个圆称为阿氏圆. 若平面内两定点A，B间的距离为2，动点P满足＝，当P，A，B不共线时，△PAB面积的最大值是(　　)
A. 2 B. C. D.
二、 多项选择题
7. 关于曲线C：x4＋y2＝1，给出下列四个命题，其中正确的命题是(　　)
A. 曲线C关于原点对称
B. 曲线C关于直线y＝x对称
C. 曲线C围成的面积大于π
D. 曲线C围成的面积小于π
8. (2021·重庆万州第二高级中学月考)已知动直线m：λx－y＋λ＝0和n：x＋λy－3－2λ＝0，P是两直线的交点，A，B是直线m和n分别过的定点，则下列说法中正确的是(　　)
A. 点B的坐标为(3，－2)
B. m⊥n
C. 点P的轨迹是一条直线
D. PA·PB的最大值为10
三、 填空题
9. 已知圆C：x2＋y2＋mx－4＝0上存在两点关于直线x－y＋3＝0对称，则实数m的值为________．
10. 已知圆C：x2＋y2－4x－4y＝0与x轴相交于A，B两点，则弦AB所对的圆心角的大小为________．
11. (2021·常德临澧县第一中学期中)在 Rt△ABO中，∠BOA＝90°，OA＝8，OB＝6，P为Rt△ABO内切圆C上的任一点，则点Р到顶点A，B，O的距离的平方和的最小值为________．
12. 在平面直角坐标系xOy中，△ABC的外接圆方程为x2＋y2＝4，∠ACB＝，AB边的中点M关于直线y＝x＋2的对称点为N，则线段ON长度的取值范围是______________．
四、 解答题
13. 已知方程x2＋y2－2(t＋3)x＋2(1－4t2)y＋16t4＋9＝0(t∈R)表示的图形是圆．
(1) 求实数t的取值范围；
(2) 求其中面积最大的圆的方程；
(3) 若点P(3，4t2)恒在所给圆内，求实数t的取值范围．
14. (2021·温州新力量联盟期中)为了开发古城旅游观光，镇政府决定在护城河上建一座圆形拱桥，河面跨度AB为32m，拱桥顶点C离河面8m.
(1) 如果以跨度AB所在直线为x轴，以AB中垂线为y轴建立如图所示的直角坐标系，求该圆形拱桥所在圆的方程；
(2) 现有游船船宽8m，船顶离水面7m，为保证安全，要求行船顶部与拱桥顶部的竖直方向高度差至少要0.5m.问这条船能否顺利通过这座拱桥，并说出理由．
参考答案与解析
1. A　解析：方程2x2＋2y2－4x＋8y＋10＝0可化为x2＋y2－2x＋4y＋5＝0，即(x－1)2＋(y＋2)2＝0，所以方程2x2＋2y2－4x＋8y＋10＝0表示点(1，－2)．
2. D　解析：由题意，得(2a)2＋(a－2)2＝4a2＋a2－4a＋4＝5a2－4a＋4<5，解得－3. C　解析：由题意，知|y|－3≥0，故y≤－3或y≥3.当y≥3时，方程可化为(x－1)2＋(y－3)2＝1；当y≤－3时，方程可化为(x－1)2＋(y＋3)2＝1，故该方程表示两个半圆．
4. D　解析：因为圆心在弦AB的中垂线上，所以圆心在y轴上，可设圆心P(0，b)．因为AP＝CP，所以＝|2－b|，解得b＝－3，所以圆心P(0，－3)，半径r＝CP＝5，所以圆的标准方程为x2＋(y＋3)2＝25.
5. A　解析：因为点A关于直线y＝0的对称点A′(－1，－1)，要使从点A到军营总路程最短，即点A′到军营最短的距离，“将军饮马”的最短总路程为－1＝－1.
6. A　解析：以经过A，B的直线为x轴，线段AB的垂直平分线为y轴，建立平面直角坐标系，则点A(－1，0), B(1，0)．设点P(x, y)．因为＝，所以＝，两边平方并整理，得x2＋y2－6x＋1＝0，即(x－3)2＋y2＝8.当点P到AB(x轴)的距离最大时，△PAB的面积最大，此时面积为×2×2＝2.
7. AC　解析：对于A，将方程x4＋y2＝1中的x换为－x，y换为－y，方程不变，所以曲线C关于原点对称，故A正确；对于B，将方程x4＋y2＝1中的x换为y，y换为x，方程变为y4＋x2＝1与原方程不相同，所以曲线C不关于直线y＝x对称，故B错误；在曲线C上任取一点P(m，n)，则m4＋n2＝1.因为|m|≤1，m4≤m2，所以m2＋n2≥m4＋n2＝1，所以点P(m，n)在单位圆x2＋y2＝1外，故C正确，D错误．故选AC.
8. BD　解析：由直线m的方程知，当x＝－1时，y＝0，即过定点A(－1，0)；由直线n的方程知，当y＝2时，x＝3，即过定点B(3，2)，故A错误；由λ×1＋(－1)×λ＝0，可知m⊥n，故B正确；由A，B是定点，且m⊥n，易知点P的轨迹是以AB为直径的圆，故C错误；因为PA2＋PB2≥2PA·PB，且PA2＋PB2＝AB2＝[3－(－1)]2＋(2－0)2＝20，则PA·PB≤10，当且仅当PA＝PB＝时等号成立，故D正确．故选BD.
9. 6　解析：由题意，得直线x－y＋3＝0经过圆心，即－＋3＝0，解得m＝6.
10. 　解析：令y＝0，得x2－4x＝0，即圆与x轴的交点坐标为A(0，0)，B(4，0)，即AB＝4.因为圆C的半径为CA＝CB＝2，所以CA2＋CB2＝AB2，所以弦AB所对的圆心角∠ACB＝.
11. 72　解析：如图，△ABO是直角三角形，因为OA＝8，OB＝6，所以AB＝10.设△ABO的内切圆圆心为O′，切点分别为D，E，F，则AD＋DB＋EO＝×(10＋8＋6)＝12.因为AD＋BD＝AB＝10，所以内切圆半径r＝EO＝2.如图建立坐标系，则内切圆方程为(x－2)2＋(y－2)2＝4.设圆上动点P的坐标为(x，y)，则S＝PA2＋PB2＋PO2＝(x－8)2＋y2＋x2＋(y－6)2＋x2＋y2＝3x2＋3y2－16x－12y＋100＝3[(x－2)2＋(y－2)2]－4x＋76＝3×4－4x＋76＝88－4x.因为点P在内切圆上，所以0≤x≤4，所以S最小值＝88－16＝72.
12. [2－1，2＋1]　解析：由∠ACB＝，知∠AOB＝，所以OM＝OAcos ＝1，所以点M的轨迹方程为x2＋y2＝1，即点M在以O为圆心，半径为1的圆上．设M(x′，y′)，N(x，y)．因为点M和点N关于直线y＝x＋2对称，所以解得代入x2＋y2＝1，得(x＋2)2＋(y－2)2＝1，则点N的轨迹为以(－2，2)为圆心，半径为1的圆．设P(－2，2)，则OP＝2，所以2－1≤ON≤2＋1, 所以线段ON长度的取值范围是[2－1，2＋1]．
13. (1) 由题意，得[－2(t＋3)]2＋[2(1－4t2)]2－4×(16t4＋9)>0，化简，得7t2－6t－1<0，解得－(2) 要使圆的面积最大，则需半径最大．
方程x2＋y2－2(t＋3)x＋2(1－4t2)y＋16t4＋9＝0，可化为[x－(t＋3)]2＋[y＋(1－4t2)]2＝－7＋，
当t＝时，半径最大，即圆的面积最大，
此时，圆的方程为＋＝.
(3) 由题意，得32＋(4t2)2－2(t＋3)×3＋2(1－4t2)×4t2＋16t4＋9<0，即8t2－6t<0，解得014. (1) 由题意得B(16，0)，C(0，8)．
设圆心(0，b)，圆的方程为x2＋(y－b)2＝r2.
由圆过点B，C可得
解得b＝－12，r＝20，
所以拱桥所在圆的方程是x2＋(y＋12)2＝400.
(2) 可设船右上角竖直方向0.5m处点为P(4，7.5)，
代入圆方程左端得396.25＜400，
所以点P在圆内，故船可以通过．