苏教版高中数学选择性必修第一册第2章圆与方程2.2.1直线与圆的位置关系（2）课时小练（含解析）

2．2.2　直线与圆的位置关系(2)
一、 单项选择题
1. 已知圆C：x2＋y2－4x＝0，l是过点P(3，0)的直线，则下列结论中正确的是(　　)
A. 直线l与圆C相交
B. 直线l与圆C相切
C. 直线l与圆C相离
D. 以上三个选项均有可能
2. 直线l：ax＋y－2＝0与圆M：x2＋y2－2x－4y＋4＝0的位置关系为(　　)
A. 相离 B. 相切 C. 相交 D. 无法确定
3. 直线3x＋4y＋1＝0被圆x2＋y2－x＋y＝0所截得的弦长为(　　)
A. B. C. D.
4. (2021·丹阳期中)直线x＋y－3＝0截圆x2＋y2＝r2所得劣弧所对的圆心角为，则r的值为(　　)
A. B. C. D.
5. 已知直线l：2mx＋y－m－1＝0与圆C：x2＋(y－2)2＝4交于A，B两点，则当弦AB最短时直线l的方程为(　　)
A. 2x－4y＋3＝0 B. x－4y＋3＝0
C. 2x＋4y＋3＝0 D. 2x＋4y＋1＝0
6. (2021·河南县级示范性高中月考)已知点P(x，y)是圆C：(x－a)2＋y2＝3(a>0)上的一动点，若圆C经过点A(1，)，则y－x的最大值与最小值之和为(　　)
A. 4 B. 2 C. －4 D. －2
二、 多项选择题
7. 已知圆M的一般方程为x2＋y2－8x＋6y＝0，则下列说法中正确的是(　　)
A. 圆M的圆心为(4，－3)
B. 圆M被x轴截得的弦长为8
C. 圆M的半径为25
D. 圆M被y轴截得的弦长为6
8. (2021·连云港东海县期中)过点P(2，1)作圆O：x2＋y2＝1的两条切线，切点分别为A，B，则下列说法中正确的是(　　)
A. PA＝
B. 四边形PAOB的外接圆方程为x2＋y2＝2x＋y
C. 直线AB方程为y＝2x＋1
D. 三角形PAB的面积为
三、 填空题
9. 若实数x，y满足x2＋y2－4y＋3＝0，则的取值范围是________．
10. 圆心为C(2，－1)，截直线y＝x－1的弦长为2的圆的方程为______________．
11. 已知直线y＝ax与圆C：x2＋y2－2ax－2y＋2＝0相交于A，B两点(C为圆心)，且△ABC为等腰直角三角形，则实数a的值为________．
12. (2021·北京第五十七中学月考)在平面直角坐标系xOy中，已知直线y＝mx(m>0)与曲线y＝x3从左至右依次交于A，B，C三点．若直线l：kx－y＋3＝0(k∈R)上存在点P满足|＋|＝2，则实数k的取值范围是________．
四、 解答题
13. 已知圆C：(x－1)2＋y2＝4内有一点P，过点P作直线l交圆C于A，B两点.
(1) 当P为AB的中点时，求直线l的方程；
(2) 当直线l的倾斜角为45°时，求弦AB的长．
14. (2021·河北部分学校月考)已知直线l：kx－y＋k＋2＝0与圆C：(x－1)2＋(y－2)2＝1交于M，N两点．
(1) 求实数k的取值范围；
(2) 若△CMN的面积为，求直线l的方程．
参考答案与解析
1. A　解析：将点P(3，0)代入圆C的方程，得32＋02－4×3＝9－12＝－3<0，所以点P(3，0)在圆C内，所以过点P的直线l必与圆C相交．
2. C　解析：由圆M：x2＋y2－2x－4y＋4＝0，得圆心M(1，2)，半径r＝1，所以圆心M到直线l的距离为d＝＝<1，则直线l与圆M相交．
3. C　解析：圆x2＋y2－x＋y＝0的圆心坐标为，半径r＝，所以圆心到直线的距离d＝＝，所以所求弦长为2×＝.
4. C　解析：因为直线x＋y－3＝0截圆x2＋y2＝r2所得劣弧所对的圆心角为，令劣弧的两个端点为A，B，圆心为O，则△OAB为正三角形，圆心O到直线AB：x＋y－3＝0的距离为正三角形OAB的高r，所以r＝，解得r＝，所以r的值为.
5. A　解析：由题意，得m(2x－1)＋(y－1)＝0，令解得所以直线l过定点P.当CP⊥l时，弦AB最短．由题意，得kCP＝＝－2，所以kl＝，所以－2m＝，解得m＝－，所以直线l的方程为2x－4y＋3＝0.
6. C　解析：因为圆C：(x－a)2＋y2＝3(a>0)经过点A(1，)，所以(1－a)2＋2＝3.又a>0，所以a＝2.y－x可看成是直线y＝x＋b在y轴上的截距．如图所示，当直线y＝x＋b与圆相切时，纵截距b取得最大值或最小值，此时＝，解得b＝－2±，所以y－x的最大值为－2＋，最小值为－2－，故y－x的最大值与最小值之和为－4.
7. ABD　解析：由圆M的一般方程为x2＋y2－8x＋6y＝0，得圆的标准方程为(x－4)2＋(y＋3)2＝25，所以圆M的圆心坐标(4，－3)，半径为5，故A正确，C错误；对于B，令(x－4)2＋(y＋3)2＝25中的y＝0，得(x－4)2＝16，所以x－4＝±4，所以x＝0或x＝8，所以圆M被x轴截得的弦长为8，故B正确；对于D，令(x－4)2＋(y＋3)2＝25中的x＝0，得(y＋3)2＝9，所以y＋3＝±3，所以y＝0或y＝－6，所以圆M被y轴截得的弦长为6，故D正确．故选ABD.
8. BD　解析：对于A，PO＝＝，由勾股定理，得PA＝＝2，故A错误；对于B，由题意可知，PB⊥OB，则PO为所求圆的直径．因为线段PO的中点为，半径为，所以所求圆的方程为(x－1)2＋＝，即x2＋y2＝2x＋y，故B正确；对于C，由题意，其中一个切点的坐标为(0，1)，不妨设为点B，则AB⊥OP，而kOP＝，则kAB＝－2，所以直线AB的方程为y＝－2x＋1，故C错误；对于D，易知PO⊥AB.因为lOP：y＝x，lAB：y＝－2x＋1，联立解得两条直线的交点D，则BD＝＝，PD＝＝，所以三角形PBD的面积为××＝，则三角形PAB的面积为，故D正确．故选BD.
9. (－∞，－]∪[，＋∞)　解析：由x2＋y2－4y＋3＝0，得x2＋(y－2)2＝1，所以(x，y)表示以(0，2)为圆心，半径为1的圆上的点，表示(x，y)与(0，0)的斜率．如图所示，设直线y＝kx，则(0，2)到直线kx－y＝0的距离d＝＝1，解得k＝±，所以的取值范围是(－∞，－]∪[，＋∞)．
10. (x－2)2＋(y＋1)2＝4　解析：设圆的半径为r.由题意，得圆心到直线y＝x－1的距离为d＝＝.又直线y＝x－1被圆截得的弦长为2，所以r2＝2＋2＝4，所以所求圆的方程为(x－2)2＋(y＋1)2＝4.
11. ±　解析：因为△ABC为等腰直角三角形，所以圆心到直线的距离等于半径的.由题意，得圆C的标准方程为(x－a)2＋(y－1)2＝a2－1，圆心为(a，1)，半径为(a2>1)，故＝×，解得a＝±.
12. (－∞，－2]∪[2，＋∞)　解析：因为f(x)＝y＝x3，所以f(－x)＝－x3＝－f(x)，所以f(x)为奇函数，图象关于原点对称．又y＝mx关于原点对称，所以A，C两点必关于原点对称，则O为AC的中点．根据向量加法运算法则可知＋＝2.又|＋|＝2，所以||＝1，即点P的轨迹是以O为圆心，1为半径的圆，其方程为x2＋y2＝1，所以直线l：kx－y＋3＝0与x2＋y2＝1有交点，所以圆心O到直线l的距离d＝≤1，解得k≤－2或k≥2，故实数k的取值范围是(－∞，－2]∪[2，＋∞)．　
13. (1) 由题意，得C(1，0)，
所以kCP＝＝－2，
所以直线l的方程为y＝＋1，
即y＝x＋.
(2) 由题意，得kl＝1，
所以直线l的方程为y＝x＋，
所以圆心C到直线l的距离d＝＝.
因为圆的半径为2，
所以AB＝2×＝.
14. (1) 因为直线l与圆C交于两点，
所以圆心到直线的距离d＝<1，
解得－所以实数k的取值范围为.
(2) 由(1)得d＝，
所以MN＝2＝2＝2，
所以S△CMN＝×2×＝＝，
解得k＝±，
所以直线l的方程为x－7y＋＋14＝0或x＋7y＋－14＝0.