苏教版高中数学选择性必修第一册第2章圆与方程2.2.3直线与圆的位置关系（3）课时小练（有解析）

2．2.3　直线与圆的位置关系(3)
一、 单项选择题
1. (2021·北京第八中学期中)若点M在圆x2＋y2＝2上，点N在直线l：y＝x－3上，则MN的最小值是(　　)
A. B. C. D. 1
2. 圆心为C(4，7)，并且截直线3x－4y＋1＝0所得的弦长为8的圆的方程为(　　)
A. (x－4)2＋(y－7)2＝5
B. (x－4)2＋(y－7)2＝25
C. (x－7)2＋(y－4)2＝5
D. (x－7)2＋(y－4)2＝25
3. 若点P(a，b)在圆x2＋y2＝r2外，则直线ax＋by＝r2与圆的位置关系是(　　)
A. 相离 B. 相切 C. 相交 D. 不确定
4. (2021·邯郸期末)已知直线l：ax＋by－ab＝0(a>0，b>0)与x轴，y轴分别交于A，B两点，且直线l与圆O：x2＋y2＝1相切，则△AOB的面积的最小值为(　　)
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
5. 已知直线y＝kx＋1与圆x2＋y2＋kx－y－1＝0的两个交点恰好关于y轴对称，则k的值为(　　)
A. 0 B. 1 C. 2 D. 3
6. (2021·北京通州区期中)已知圆x2＋y2－2x－4y＋a＝0上有且只有两个点到直线3x－4y－5＝0的距离等于1，则实数a的取值范围是(　　)
A. (－4，4) B. (－4，1) C. (1，4) D. (2，4)
二、 多项选择题
7. (2021·湖南部分学校月考联考)已知直线l：(m－1)x＋(2m－1)y－4m＋4＝0和圆C：(x－2)2＋(y－1)2＝4，则下列说法中正确的是(　　)
A. 直线l恒过点(4，0)
B. 圆C被x轴截得的弦长为2
C. 当m＝时，直线l与圆C相切
D. 当8. 已知直线l：mx－(2－m)y＋1－m＝0，圆C：x2＋y2－2x＝0，则下列结论中正确的是(　　)
A. 直线l与圆C恒有两个公共点
B. 圆心C到直线l的最大距离是
C. 存在一个m值，使直线l经过圆心C
D. 当m＝1时，圆C与圆x2＋(y－1)2＝1关于直线l对称
三、 填空题
9. 已知直线kx－y＋2＝0与圆C：(x－1)2＋y2＝9交于A，B两点，当弦AB最短时，实数k的值为________．
10. 已知直线ax－y＝0(a∈R)与圆C：x2＋y2－2x－2y－2＝0交于A，B两点，C为圆心．若∠ACB＝，则a的值为________．
11. 已知圆C：(x－1)2＋(y－4)2＝10上存在两点A，B，P为直线x＝5上的一个动点，且满足AP⊥BP，则点P纵坐标的取值范围是________．
12. (2021·福建尤溪第一中学月考)已知圆C：x2＋y2＋2x－4y＋1＝0，O为坐标原点，动点P在圆C外，过点P作圆C的切线，设切点为M，则满足条件PM＝PO的点P的轨迹方程为____________．
四、 解答题
13. (2021·“山东学情”联考)已知点A，B在直线x＋y＝0上，且关于坐标原点O对称，AB＝4，圆M过点A，B且与直线x＋2＝0相切．
(1) 求圆M的半径．
(2) 若圆M的半径小于4，求过点P(1，)且与圆M相切的直线方程．
14. (2021·南安侨光中学、昌财实验中学月考)在平面直角坐标系xOy中，已知△ABC的顶点坐标分别是A(0，0)，B(3，3)，C(1，－)，记△ABC外接圆为圆M.
(1) 求圆M的方程；
(2) 在圆M上是否存在点P，使得PB2－PA2＝12？若存在，求点P的个数；若不存在，请说明理由．
、
参考答案与解析
1. B　解析：由题意可知，圆心(0，0)，所以圆心(0，0)到直线l：y＝x－3的距离为＝，所以MN的最小值为－r＝－＝.
2. B　解析：由题意，得圆心到直线的距离d＝＝3.因为圆C截直线3x－4y＋1＝0上所得的弦长为8，所以圆C的半径r＝＝5，所以圆的方程为(x－4)2＋(y－7)2＝25.
3. C　解析：由题知a2＋b2>r2，圆心到直线的距离d＝4. A　解析：由已知可得A(b，0)，B(0，a)．因为直线l：ax＋by－ab＝0(a>0，b>0)与圆O：x2＋y2＝1相切，所以＝1，即＋＝1.因为＋＝1≥，当且仅当a＝b＝时取等号，所以ab≥2，S△AOB＝ab≥1，所以△AOB面积的最小值为1.
5. A　解析：联立消去y并整理，得(1＋k2)x2＋2kx－1＝0.因为两交点恰好关于y轴对称，所以x1＋x2＝－＝0，解得k＝0.
6. A　解析：由x2＋y2－2x－4y＋a＝0，得(x－1)2＋(y－2)2＝5－a，则5－a>0，即a<5，所以圆心为(1，2)，半径r＝，所以圆心(1，2)到直线3x－4y－5＝0的距离d＝＝2.因为圆上有且只有两个点到直线3x－4y－5＝0的距离等于1，所以|－2|<1，即1<<3，解得－47. ABC　解析：对于A，由(m－1)x＋(2m－1)y－4m＋4＝0，得m(x＋2y－4)－x－y＋4＝0.由解得所以直线l恒过点(4，0)，故A正确；对于B，在(x－2)2＋(y－1)2＝4中，令y＝0，解得x＝2±，所以圆C被x轴截得的弦长为2，故B正确；对于C，当m＝时，直线l为x＝4，此时圆C：(x－2)2＋(y－1)2＝4的圆心(2，1)到直线x＝4的距离为2，与圆C的半径相等，所以直线l与圆C相切，故C正确；对于D，当圆心(2，1)到直线l的距离d＝＝<2时，直线l与圆C相交，解得m<或m>，故D不正确．故选ABC.
8. AD　解析：由直线l：mx－(2－m)y＋1－m＝0，即m(x＋y－1)－2y＋1＝0，得解得所以直线l过定点P.又圆C：x2＋y2－2x＝0化为(x－1)2＋y2＝1，所以圆心坐标为C(1，0)，所以PC＝＝＜1，则点P在圆C内部，所以直线l与圆C恒有两个公共点，故A正确；当CP⊥l时，圆心C到直线l的距离最大，所以最大距离为PC＝，故B错误；将圆心C(1，0)代入mx－(2－m)y＋1－m＝0，得1＝0，不成立，故C错误；当m＝1时，直线l的方程为x－y＝0.又圆C的圆心坐标为(1，0)，半径为1，圆x2＋(y－1)2＝1的圆心坐标为(0，1)，半径为1，两圆的圆心关于直线x－y＝0对称，半径相等，故D正确．故选AD.
9. 　解析：由题意，得直线kx－y＋2＝0过定点D(0，2)，圆心为C(1，0)，半径r＝3.当D为AB的中点时，AB与CD垂直，此时AB最短，此时kCD＝＝－2，则k＝.
10. －1　解析：由题意，得圆的标准方程为(x－1)2＋(y－1)2＝4，圆心C(1，1)，半径R＝2.因为∠ACB＝，所以圆心到直线的距离为Rsin45°＝2×＝.又圆心到直线的距离为d＝，所以＝，解得a＝－1.
11. [2，6]　解析：要在直线x＝5上存在一点P，使得AP⊥BP，则∠APB的最大值要大于或等于90°，显然当PA切圆C于点A，PB切圆C于点B时，∠APB最大，此时∠CPA最大值大于或等于45°，则sin∠CPA≥，即≥.设点P(5，y0)，则≥，解得2≤y0≤6.
12. 2x－4y＋1＝0　解析：由圆C：x2＋y2＋2x－4y＋1＝0，得(x＋1)2＋(y－2)2＝4，所以圆心坐标为C(－1，2)，半径为r＝2.设P(x，y)，所以PM2＝PC2－MC2＝(x＋1)2＋(y－2)2－4，PO2＝x2＋y2.因为PM＝PO，所以(x＋1)2＋(y－2)2－4＝x2＋y2，整理，得2x－4y＋1＝0，所以点P的轨迹方程为2x－4y＋1＝0.
13. (1) 因为A，B在直线x＋y＝0上，
所以设A(t，－t)，则B(－t，t)．
因为AB＝4，所以8t2＝16，解得|t|＝.
因为圆M过点A，B，
所以圆心M必在直线y＝x上．
设M(a，a)，圆的半径为r.
因为圆M与直线x＋2＝0相切，
所以r＝|a＋2|.
又MA＝MB＝r，即(a－)2＋(a＋)2＝r2，
所以(a－)2＋(a＋)2＝(a＋2)2，
解得a＝0或a＝4.
当a＝0时，r＝2；当a＝4时，r＝6，
所以圆M的半径为2或6.
(2) 由(1)知，圆M的方程为x2＋y2＝4.
因为点P(1，)在圆上，
所以切线的斜率k＝－＝－，
所以切线方程为y－＝－(x－1)，
即x＋y－4＝0.
14. (1) 设△ABC外接圆M的方程为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0，
将点A(0，0)，B(3，3)，C(1，－)代入上述方程得解得
则圆M的方程为x2＋y2－6x＝0.
(2) 设点P的坐标为(x，y)，
因为PB2－PA2＝12，
所以(x－3)2＋(y－3)2－x2－y2＝12，
化简，得x＋y－1＝0.
因为圆M的圆心M(3，0)到直线x＋y－1＝0的距离为d＝＝<3，
所以直线x＋y－1＝0与圆M相交，故满足条件的点P有两个．