苏教版高中数学选择性必修第一册第2章圆与方程2.3.2圆的综合应用 课时小练（含解析）

2．3.2　圆的综合应用
一、 单项选择题
1. (2021·池州第一中学期中)若圆C的方程为x2＋y2＋mx＋2my＋(m－2)＝0，则圆C的最小周长为(　　)
A. B. C. D.
2. (2021·北京海淀区期末)设P为直线y＝kx＋2上任意一点，过点P总能作圆x2＋y2＝1的切线，则k的最大值为(　　)
A. B. 1 C. D.
3. 若过点(2，1)的圆与两坐标轴都相切，则该圆的面积为(　　)
A. π或4π B. π或9π
C. π或16π D. π或25π
4. (2021·南安侨光中学、昌财实验中学月考)若圆C1：x2＋(y－1)2＝r2(r>0)上存在点P，且点P关于直线y＝x的对称点Q在圆C2：(x－2)2＋(y－1)2＝1上，则r的取值范围是(　　)
A. [－1，＋1] B. (－1，]
C. [－1，] D. (－1，1]
5. (2021·厦门集美中学月考)直线l过点(，3)且与圆C：x2＋(y－2)2＝4相切，则直线l的倾斜角的大小为(　　)
A. 30°或120° B. 60°或150° C. 120° D. 30°
6. (2021·海安曲塘高级中学月考)已知圆C：x2＋y2＝4，M，N是直线l：y＝x＋4上的两点，若对线段MN上任意一点P，圆C上均存在两点A，B，使得cos∠APB＝，则线段MN长度的最大值为(　　)
A. 2 B. 4 C. 4 D. 4
二、 多项选择题
7. 已知P，Q分别为圆M：(x－6)2＋(y－3)2＝4与圆N：(x＋4)2＋(y－2)2＝1上的动点，A为x轴上的动点，则AP＋AQ的值可能是(　　)
A. 7 B. 8 C. 9 D. 10
8. (2021·重庆万州第二高级中学期末)已知直线l：(m＋1)x－my－1＝0，圆C：x2＋y2＝4x，则下列结论中正确的是(　　)
A. 直线l与圆C恒有两个公共点
B. 当m＝－时，直线l与圆C相切
C. 存在一个m值，使直线l经过圆心C
D. 若直线l与圆C相交的弦长为2，则m＝－
三、 填空题
9. 过圆x2＋y2－x－y－2＝0与x2＋y2＋4x－4y－8＝0的交点和点(3，1)的圆的方程是____________________．
10. 已知点A(－2，0)，B(0，2)，若C是圆x2－2ax＋y2＋a2－1＝0上的动点，△ABC面积的最小值为3－，则a的值为________．
11. (2021·重庆巴南中学期中)已知实数x，y满足x2＋y2＋4x＋3＝0，则(x－1)2＋(y－4)2的最大值为________．
12. (2021·重庆市长寿中学月考)已知圆O：x2＋y2＝1，点P是直线3x＋4y＋15＝0上的一个动点，过点P作圆的两条切线，切点分别为A，B，则AB的最小值为________．
四、 解答题
13. (2021·化州第三中学月考)已知线段AB的端点B的坐标是(6，8)，端点A在圆x2＋y2＝16上运动，M是线段AB的中点，且直线l过定点(1，0)．
(1) 求点M的轨迹方程；
(2) 记(1)中求得的图形的圆心为C，若直线l与圆C相切，求直线l的方程．
14. (2021·杭州第二中学滨江校区期中)截至2021年9月13日08时，第14号台风灿都位于距离浙江省象山县正东方向约160km的位置，中心附近最大风力14级，中心最低气压950hPa.预计，台风灿都将以每小时20km的速度向北偏西60°方向移动，以台风中心为圆心，半径100km内的地区都将受到台风的影响，那么多少时间后象山县会受到台风的影响，持续多长时间？请以象山县为坐标原点，建立平面直角坐标系进行解答．
参考答案与解析
1. D　解析：因为圆C的方程为x2＋y2＋mx＋2my＋(m－2)＝0，所以圆C的半径为r＝＝＝≥×＝，所以圆C的最小周长为2πr＝.
2. D　解析：因为过点P总能作圆x2＋y2＝1的切线，所以点P在圆外或圆上，即直线y＝kx＋2与圆x2＋y2＝1相离或相切，则≥1，即k2＋1≤4，解得k∈[－，]，故k的最大值为.
3. D　解析：由题意，得所求的圆在第一象限，设圆心为(a，a)，则半径为a，且a＞0，所以圆的方程为(x－a)2＋(y－a)2＝a2.将点(2，1)代入，得(2－a)2＋(1－a)2＝a2，解得a＝5或a＝1，所以该圆的面积为25π或π.
4. A　解析：圆C1：x2＋(y－1)2＝r2(r>0)的圆心为(0，1)，半径为r，其关于y＝x的对称圆C3方程为(x－1)2＋y2＝r2.根据题意，圆C3与圆C2有交点，即可以是外切，也可以是相交，也可以是内切．又两圆圆心距d＝＝，要满足题意，只需|r－1|≤≤r＋1，解得r∈[－1，＋1]．
5. C　解析：因为()2＋(3－2)2＝4，所以点(，3)在圆C上．因为圆C：x2＋(y－2)2＝4的圆心为(0，2)，＝，所以l的斜率为－，对应的倾斜角为120°.
6. C　解析：如图所示，圆C：x2＋y2＝4的圆心到直线l：y＝x＋4的距离为d＝＝2>2＝r，所以直线与圆相离．从直线上的点向圆上的点连线成角，当且仅当两条直线均为切线时，∠APB是最大的角，不妨设切线为PE，PF.因为cos∠APB＝，所以∠APB＝，则∠EPF＝，所以sin∠EPC＝≥sin＝，解得PC≤4，所以线段MN长度的最大值为2×＝4.
7. CD　解析：圆N：(x＋4)2＋(y－2)2＝1关于x轴对称的圆为圆N′：(x＋4)2＋(y＋2)2＝1，则AP＋AQ的最小值为MN′－1－2＝－3＝5－3，最大值为5＋3，即AP＋AQ∈[5－3，5＋3]．故选CD.
8. BC　解析：由直线l：(m＋1)x－my－1＝0，得(x－y)m＋x－1＝0.令解得则直线l过定点(1，)．因为定点(1，)在圆C：x2＋y2＝4x上，所以直线l与圆C有1个或2个公共点，故A错误；当m＝－时，直线l：－x＋y－1＝0，圆C：x2＋y2＝4x，即(x－2)2＋y2＝4，则圆心C(2，0)，半径r＝2.设圆心C(2，0)到直线l的距离为d，则d＝＝2＝r，所以直线l与圆C相切，故B正确；若直线l：(m＋1)x－my－1＝0经过圆心C(2，0)，则(m＋1)×2－m·0－1＝0，解得m＝－，所以存在一个m值，使直线l经过圆心C，故C正确；若直线l与圆C相交的弦长为2，设圆心C(2，0)到直线l：(m＋1)x－my－1＝0的距离为d(d>0)，则2＝2，即2＝2，解得d＝1.又d＝＝＝1，解得m＝0或m＝－，故D错误．故选BC.
9. x2＋y2－x＋y＋2＝0　解析：设所求圆的方程为(x2＋y2－x－y－2)＋λ(x2＋y2＋4x－4y－8)＝0.将点(3，1)代入，得λ＝－，所以所求圆的方程为x2＋y2－x＋y＋2＝0.
10. 1或－5　解析：由题意，得圆的标准方程为(x－a)2＋y2＝1，则圆心为(a，0)，半径r＝1.由点A(－2，0)，B(0，2)，得直线AB的方程为x－y＋2＝0，所以圆心到直线AB的距离d＝，则圆上的点到直线AB的最短距离为d－r＝－1.又AB＝＝2，所以(S△ABC)min＝AB·(d－r)＝(－1)＝3－，解得a＝1或a＝－5.
11. 36　解析：由x2＋y2＋4x＋3＝0，得(x＋2)2＋y2＝1，圆心为(－2，0)，半径为1，故(x－1)2＋(y－4)2可以看作圆上一点与点(1，4)距离的平方，则最大值为圆心(－2，0)与点(1，4)距离加上半径后的平方，故(x－1)2＋(y－4)2最大值为(＋1)2＝36.
12. 　解析：由题意得，圆心O(0，0)，半径为1.如图要使AB的长度最小，则∠AOB最小，即∠POB最小，即PO最小，此时，由点到直线的距离公式得PO＝d＝＝3，则cos∠POB＝cos∠POA＝，所以cos∠AOB＝cos(2∠POA)＝2cos2∠POA－1＝2×－1＝－.在△AOB中，由余弦定理得cos∠AOB＝＝－，解得AB＝.故AB的最小值为.
13. (1) 设M(x，y)，A(x0，y0)，
因为M是线段AB中点，所以
整理可得
因为点A在圆x2＋y2＝16上，
所以(2x－6)2＋(2y－8)2＝16，
整理可得点M的轨迹方程为(x－3)2＋(y－4)2＝4.
(2) 由(1)知，圆心C(3，4)，半径r＝2，
当直线l斜率不存在时，方程为x＝1，是圆的切线，满足题意；
当直线l斜率存在时，设其方程为y＝k(x－1)，即kx－y－k＝0，
圆心到直线l的距离d＝＝2，
解得k＝，
所以直线l：3x－4y－3＝0，
综上，直线l的方程为x＝1或3x－4y－3＝0.
14. 如图，以象山县为坐标原点O，以点O和台风所在的直线为x轴建立平面直角坐标系．
因为以象山县为圆心，半径100km，
所以圆的方程为x2＋y2＝1002.
又因为台风灿都在象山县正东方向约160km处，且向北偏西60°方向移动，
所以直线l的斜率为k＝－，A(160，0)，
所以直线l的方程为y＝－(x－160)，即x＋y－160＝0，
则圆心O(0，0)到直线l的距离为d＝＝80.
因为80<100，所以象山县会受到影响．
设直线l与圆交于B，C两点，
则BC＝2＝2＝120，
所以象山县受影响的时间为＝6(h)．
又AB＝AD－BD＝－60＝80－60，
所以＝＝4－3(h)，
所以从8＋4－3＝4＋5时开始受到影响，受影响的时间为6 h.