苏教版高中数学选择性必修第一册第2章 圆与方程 复习 课时小练（含解析）

第二章圆与方程复 习
一、 单项选择题
1. 若圆C与圆(x＋2)2＋(y－1)2＝1关于原点对称，则圆C的标准方程为(　　)
A. (x－2)2＋(y＋1)2＝1
B. (x－2)2＋(y－1)2＝1
C. (x－2)2＋(y＋2)2＝1
D. (x＋1)2＋(y－2)2＝1
2. 若方程x2＋y2－4x＋2y＝a表示圆，则实数a的取值范围为(　　)
A. (－∞，－5) B. (－5，＋∞) C. (－∞，0) D. (0，＋∞)
3. 圆C1：x2＋y2－6x＋4y＋12＝0，圆C2：x2＋y2－14x－2y＋34＝0，两圆公切线的条数为(　　)
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
4. 已知圆C：x2＋y2－4x－2y＋3＝0，过原点的直线l与圆C相交于A，B两点，当△ABC的面积最大时，直线l的方程为(　　)
A. y＝0或y＝x
B. y＝2x或y＝－
C. x＝0或y＝x
D. y＝x
5. 已知M(a，b)(ab≠0)是圆O：x2＋y2＝r2内的一点，现有以M为中点的弦所在直线m和直线l：ax＋by＝r2，则下列说法中正确的是(　　)
A. m∥l且l与圆O相交
B. m⊥l且l与圆O相离
C. m∥l且l与圆O相离
D. m⊥l且l与圆O相交
6. 已知点P(1，2)，M是圆O1：(x－1)2＋y2＝上的动点，N是圆O2：x2＋(y－2)2＝上的动点，则PN－PM的最大值是(　　)
A. －1 B. 0 C. 1 D. 2
二、 多项选择题
7. 设有一组圆Ck：(x－k＋1)2＋(y－3k)2＝2k4(k∈N*)，则下列命题中正确的是(　　)
A. 存在一条定直线与所有的圆均相切
B. 存在一条定直线与所有的圆均相交
C. 存在一条定直线与所有的圆均不相交
D. 所有的圆均不经过原点
8. (2021·南京第二十九中学月考)点P在圆C1：x2＋y2＝1上，点Q在圆C2：x2＋y2－6x＋8y＋9＝0上，则下列说法中正确的是(　　)
A. 两圆有且仅有两条公切线
B. PQ的最大值为10
C. 两个圆心所在直线斜率为－
D. 两个圆相交弦所在直线方程为3x－4y－5＝0
三、 填空题
9. 在平面直角坐标系中，经过三点(0，1)，(0，2)，(1，3)的圆的方程为___________________．
10. (2021·天津西青区期末)已知P是直线3x＋4y－2＝0上的点，Q是圆(x＋1)2＋(y＋1)2＝1上的点，则PQ的最小值是________．
11. 在平面直角坐标系xOy中，圆C的方程为x2＋y2－4x＋2y＝0.若直线y＝3x＋b上存在一点P，使过点P所作的圆的两条切线相互垂直，则实数b的取值范围是________．
12. (2021·重庆复旦中学期中)在平面直角坐标系xOy中，已知点A(－1，0)，B(5，0)．若圆M：(x－4)2＋(y－m)2＝4上存在唯一的点P，使得直线PA，PB在y轴上的截距之积为5，则实数m的值为________．
四、 解答题
13. (2021·成都蓉城高中教育联盟期末联考)已知动点P到定点A(－2，0)的距离与它到定点B(2，0)的距离之比为.
(1) 求动点P的轨迹E的方程；
(2) 若圆C：(x－2)2＋＝与轨迹E相交于M，N两点，求线段MN的长．
14. (2021·天津西青区期末)已知圆C：x2＋y2＋4x－6y＋9＝0，直线l：y＝k(x＋1)＋2(k∈R)．
(1) 求证：直线l与圆C相交，并求相交所得弦中最短弦的长；
(2) 若圆M：x2＋y2＋(k＋1)x－(k＋3)y＋3k＝0(k≠3)，圆C，直线l三者有公共点，求k的值．
参考答案与解析
1. A　解析：圆(x＋2)2＋(y－1)2＝1的圆心为(－2，1)，半径为1.点(－2，1)关于原点的对称点为C(2，－1)，所以圆C的标准方程为(x－2)2＋(y＋1)2＝1.
2. B　解析：将方程x2＋y2－4x＋2y＝a化为标准方程为(x－2)2＋(y＋1)2＝a＋5，令a＋5＞0，解得a＞－5，所以实数a的取值范围是(－5，＋∞)．
3. C　解析：由圆C1：x2＋y2－6x＋4y＋12＝0，得(x－3)2＋(y＋2)2＝1，则圆心C1(3，－2)，半径R＝1.由圆C2：x2＋y2－14x－2y＋34＝0，得(x－7)2＋(y－1)2＝16，则圆心C2(7，1)，半径r＝4，所以两圆的圆心距C1C2＝＝5＝R＋r，所以两圆外切，故两圆有3条共切线．
4. A　解析：由题意，得圆C：(x－2)2＋(y－1)2＝2，且△ABC等腰三角形，所以AC＝BC＝，所以S△ABC＝AC·BC·sin∠ACB.当∠ACB＝90°时，△ABC的面积最大，此时圆心C到直线l的距离等于r＝1.设直线l的方程y＝kx，则＝1，解得k＝0或k＝，所以直线l的方程为y＝0或y＝x.
5. C　解析：由kOM＝＝，得以M为中点的弦所在直线m的斜率为－，则直线m的方程为y＝－x＋b＋，直线l的方程可化为y＝－x＋，所以m∥l.因为圆心O到直线l：ax＋by＝r2的距离为d＝.又M(a，b)(ab≠0)是圆O：x2＋y2＝r2内的一点，所以a2＋b2r，故直线l与圆O相离．
6. B　解析：由题意，得圆O1的圆心O1(1，0)，半径r＝，圆O2的圆心O2(0，2)，半径R＝，则PN的最大值为1＋＝，PM的最小值为2－＝，所以PN－PM的最大值为－＝0.
7. BD　解析：圆心为Ck(k－1，3k)，半径为rk＝k2，则C1(0，3)，r1＝，C2(1，6)，r2＝4，所以C1C2＝＝<4－＝3，则圆C1与圆C2是内含关系，因此不可能有直线与这两个圆都相切，故A错误；易知圆心在直线y＝3(x＋1)上，此直线与所有圆都相交，故B正确；若k取无穷大，则可以认为所有直线都与圆相交，故C错误；将点(0，0)代入圆方程，得(k－1)2＋9k2＝2k4，即10k2－2k＋1＝2k4，等式左边是奇数，右边是偶数，因此方程无整数解，即原点不在任一圆上，故D正确．故选BD.
8. BC　解析：圆C1：x2＋y2＝1的圆心坐标C1(0，0)，半径r＝1，圆C2：x2＋y2－6x＋8y＋9＝0，即(x－3)2＋(y＋4)2＝16的圆心坐标C2(3，－4)，半径R＝4.因为圆心距C1C2＝＝5＝r＋R，所以两圆外切，所以两圆有3条公切线，故A错误；因为点P在圆C1上，Q在圆C2上，则PQ的最大值为C1C2＋R＋r＝5＋4＋1＝10，故B正确；两圆圆心所在的直线斜率为k＝＝－，故C正确；因为两圆外切，所以两圆没有相交弦，故D错误．故选BC.
9. x2＋y2－3x－3y＋2＝0　解析：设圆的方程为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0.因为圆经过三点(0，1)，(0，2)，(1，3)，则解得所以圆的方程为x2＋y2－3x－3y＋2＝0.
10. 　解析：圆(x＋1)2＋(y＋1)2＝1的圆心为(－1，－1)，半径为1，则圆心到直线3x＋4y－2＝0的距离为d＝＝，所以PQ的最小值为－1＝.
11. [－17，3]　解析：记两个切点为A，B，则PA⊥PB，所以四边形CAPB是正方形，则CP＝r.又圆C的标准方程为(x－2)2＋(y＋1)2＝5，所以圆心C(2，－1)，r＝，所以圆心C的直线y＝3x＋b的距离不大于r＝，即≤，解得－17≤b≤3.
12. ±　解析：根据题意，设点P的坐标为(a，b)，则直线PA的方程为y＝(x＋1)，其在y轴上的截距为，直线PB的方程为y＝·(x－5)，其在y轴上的截距为－.若点P满足使直线PA，PB在y轴上的截距之积为5，则有×＝5，变形可得b2＋(a－2)2＝9，则点P在圆(x－2)2＋y2＝9上．若圆M：(x－4)2＋(y－m)2＝4上存在唯一的点P满足题意，则圆M与圆(x－2)2＋y2＝9有且只有一个公共点，即两圆内切或外切．又两圆的圆心距为≥2，所以两圆外切，所以4＋m2＝25，解得m＝±.
13. (1) 设P(x，y)，
由题意得＝，
化简，得(x－4)2＋y2＝12.
故动点P的轨迹E的方程为(x－4)2＋y2＝12.
(2) 由圆C与圆E的方程联立，得到方程组
由②－①，得4x－3y＝0，即为直线MN的方程．
因为圆心E(4，0)到直线MN的距离d＝＝，圆E的半径为2，
所以由勾股定理，得＝＝，故MN＝.
14. (1) 易知直线l：y＝k(x＋1)＋2恒过点P(－1，2)．
因为(－1)2＋22＋4×(－1)－6×2＋9＝－2<0，所以点P(－1，2)在圆C内，
所以直线l与圆C相交．
圆C的圆心坐标为C(－2，3)，半径为2.
当点P(－1，2)为弦中点时，弦长最短，此时半弦、PC、半径构成以半径为直角边的直角三角形．
因为PC＝＝，
所以所求最短弦的长为2×＝2.
(2) 圆M与圆C的公共点在直线x2＋y2＋(k＋1)x－(k＋3)y＋3k－(x2＋y2＋4x－6y＋9)＝0上，
即在直线(k－3)x－(k－3)y＋3(k－3)＝0上，
因为k≠3，所以x－y＋3＝0.
因为点P(－1，2)在直线x－y＋3＝0上、在圆C内，且圆M、圆C、直线l有公共点，
所以直线l：y＝k(x＋1)＋2与直线x－y＋3＝0重合，
所以解得k＝1，
故k的值为1.