人教版八年级数学上册 13.3等腰三角形 同步达标测试题 2022-2023学年（含解析）

2022-2023学年人教版八年级数学上册《13.3等腰三角形》同步达标测试题（附答案）
一．选择题（共8小题，满分32分）
1．若等腰三角形的两边长分别为2和5，则它的周长为（　　）
A．9 B．7 C．12 D．9或12
2．等腰三角形一边长等于2，一边长等于3，则它的周长是（　　）
A．5 B．7 C．8 D．7或8
3．如图，在直角三角形ABC中，∠ACB＝90°，∠B＝36°，点D、E在AB上，如果BC＝BD，∠CED＝∠CDE，那么图中的等腰三角形共有（　　）个．
A．3个 B．4个 C．5个 D．6个
4．如图，在△ABC中，∠ABC＝3∠C，∠1＝∠2，BE⊥AE，AB＝5，BE＝3，则AC＝（　　）
A．10 B．11 C．13 D．15
5．如图，直线l1∥l2，将等边三角形如图放置若∠α＝25°，则∠β等于（　　）
A．35° B．30° C．25° D．20°
6．三角形的三边长a，b，c满足（a﹣b）4+（b﹣c）2+|c﹣a|＝0，那么这个三角形一定是（　　）
A．直角三角形 B．等边三角形
C．等腰非等边三角形 D．钝角三角形
7．如图，△ABC是等边三角形，点E，F分别在AB，AC边上，且EF∥BC，若AB＝6，BE＝2，则EF的长为（　　）
A．6 B．4 C．3 D．2
8．在△ABC中，∠C＝90°，∠B＝30°，AB＝6，则AC的长是（　　）
A． B．3 C．6 D．5
二．填空题（共6小题，满分30分）
9．若等腰三角形的底角为55°，则这个等腰三角形的顶角是 　 　°．
10．在等腰△ABC中，∠A＝3∠B，则∠C的度数为 　 　．
11．如图，在△ABC中，边AB的垂直平分线分别交AB、AC于点D，E，若AD为4cm，△ABC的周长为26cm，则△BCE的周长为　 　cm．
12．如图，一艘船从A处出发向正北航行50海里到达B处，分别从A，B望灯塔C，测得∠NAC＝42°，∠NBC＝84°，则B处到灯塔C的距离是 　 　海里．
13．已知有一个角为60°的等腰三角形的腰长为4，则这个等腰三角形的周长为 　 　．
14．已知a、b、c是△ABC的三边的长，且满足a2+2b2+c2﹣2b（a+c）＝0，则此三角形的形状为　 　．
三．解答题（共7小题，满分58分）
15．如图，在△ABC中，AB＝AC，∠A＝2∠ABD，当△BDC是等腰三角形时，求：∠DBC的度数．
16．如图所示，在△ABC中，D是BC上一点，AD＝BD，∠C＝∠ADC，∠BAC＝57°，求∠DAC的度数．
17．已知：如图，在△ABC中，AB＝AC，BD与CE相交于点O，且EB＝DC．求证：△BOC是等腰三角形．
18．如图，BD是△ABC的角平分线，DE∥BC，交AB于点E．
（1）求证：∠EBD＝∠EDB．
（2）当AB＝AC时，请判断CD与ED的大小关系，并说明理由．
19．如图，点D在等边△ABC的外部，连接AD、CD，AD＝CD，过点D作DE∥AB交AC于点F，交BC于点E．
（1）判断△CEF的形状，并说明理由；
（2）连接BD，若BC＝10，CF＝4，求DE的长．
20．如图，在△ABC中，AB＝AC，D为AB边的中点，DE⊥AC于点E，DF⊥BC于点F，DE＝DF．求证：△ABC是等边三角形．
21．如图，△ABC是等边三角形，DF⊥AB，DE⊥CB，EF⊥AC，求证：△DEF是等边三角形．
参考答案
一．选择题（共8小题，满分32分）
1．解：（1）若2为腰长，5为底边长，
由于2+2＜5，则三角形不存在；
（2）若5为腰长，则符合三角形的两边之和大于第三边．
所以这个三角形的周长为5+5+2＝12．
故选：C．
2．解：分两种情况：
当腰为2时，2+2＞3，所以能构成三角形，周长是2+2+3＝7；
当腰为3时，3+2＞3，所以能构成三角形，周长是：2+3+3＝8．
故选：D．
3．解：∵∠ACB＝90°，∠B＝36°，
∴∠A＝54°，
∵BC＝BD，
∴∠CDB＝∠DCB＝72°，
∴∠ECB＝36°，∠ACE＝54°，
∴CE＝BE，AE＝CE，
∴△BCD，△CDE，△CEB，△ACE都是等腰三角形，
故选：B．
4．解：延长BE交AC于M，
∵BE⊥AE，
∴∠AEB＝∠AEM＝90°
∴∠3＝90°﹣∠1，∠4＝90°﹣∠2，
∵∠1＝∠2，
∴∠3＝∠4，
∴AB＝AM＝5，
∵BE⊥AE，
∴BM＝2BE＝6，
∵∠4是△BCM的外角，
∴∠4＝∠5+∠C，
∵∠ABC＝3∠C，
∴∠ABC＝∠3+∠5＝∠4+∠5，
∴3∠C＝∠4+∠5＝2∠5+∠C，
∴∠5＝∠C，
∴CM＝BM＝6，
∴AC＝AM+CM＝AB+2BE＝11．
故选：B．
5．解：过点B作BD∥l1，如图，
则∠ABD＝∠α＝25°．
∵l1∥l2，
∴BD∥l2，
∵∠DBC＝∠β．
∵△ABC是等边三角形，
∴∠ABC＝60°，
∴∠β＝∠CBD＝∠ABC﹣∠ABD＝60°﹣25°＝35°．
故选：A．
6．解：∵（a﹣b）4+（b﹣c）2+|c﹣a|＝0，
∴a﹣b＝0，b﹣c＝0，c﹣a＝0，
∴a＝b＝c．
又∵a，b，c是三角形的三边长，
∴这个三角形是等边三角形．
故选：B．
7．解：∵AB＝6，BE＝2，
∴AE＝AB﹣BE＝4，
∵△ABC是等边三角形，
∴∠A＝∠B＝∠C＝60°，
∵EF∥BC，
∴∠AEF＝∠B＝60°，∠AFE＝∠C＝60°，
∴∠A＝∠AEF＝∠AFE＝60°，
∴△AEF是等边三角形，
∴EF＝AE＝4．
故选：B．
8．解：∵∠C＝90°，∠B＝30°，AB＝6，
∴AC＝AB＝×6＝3，
故选：B．
二．填空题（共6小题，满分30分）
9．解：如图，在等腰△ABC中，
∵∠B＝∠C＝55°，∠A+∠B+∠C＝180°，
∴∠A＝180°﹣∠B﹣∠C，
＝180°﹣55°﹣55°，
＝70°；
故答案为：70．
10．解：设∠B＝x°，则∠A＝3x°，
当∠A是顶角时，∠A+2∠B＝180°，
即：5x＝180，
解得：x＝36，
此时∠C＝∠B＝36°；
当∠A是底角时，∠A＝∠C＝3x°，
∠A+∠C+∠B＝180°，
即7x＝180，
解得：x＝（）°，
此时∠C＝3x＝（）°，
故答案为：36°或（）°．
11．解：∵ED垂直平分AB，
∴AE＝BE，
∴BD＝AD＝4cm，AB＝8cm，
∵△ABC的周长为26cm，
∴AC+BC＝18cm，
△BCE的周长＝BC+CE+AE＝BC+CE+AE＝18cm．
故填18．
12．解：根据题意得：AB＝50海里，
∵∠NAC＝42°，∠NBC＝84°，
∴∠C＝∠NBC﹣∠NAC＝42°，
∴∠C＝∠NAC，
∴BC＝AB＝50海里．
即从海岛B到灯塔C的距离是50海里．
故答案为：50．
13．解：由题意知，这个三角形为等边三角形，
∴周长为3×4＝12，
故答案为：12．
14．解：由已知条件a2+2b2+c2﹣2b（a+c）＝0化简得，
（a﹣b）2+（b﹣c）2＝0
∴a﹣b＝0，b﹣c＝0
即 a＝b，b＝c
∴a＝b＝c
故答案为等边三角形．
三．解答题（共7小题，满分58分）
15．解：∵AB＝AC，
∴∠ABC＝∠C．
①当BD＝CD时，∠C＝∠CBD＜∠ABC，故不成立；
②当BD＝BC时，∠C＝∠BDC＝∠A+∠ABD，
∵∠A+∠ABC+∠C＝180°，
∴∠A+∠A+∠ABD+∠A+∠ABD＝180°，
∴3∠A+2∠ABD＝180°，4∠A＝180°，
∴∠A＝45°，
∴∠ABD＝22.5°，
∴∠ABC＝（180°﹣45°）＝67.5°，
∴∠DBC＝∠ABC﹣∠ACD＝45°；
③当CB＝CD时，∠CBD＝∠CDB＝∠A+∠ABD，
设∠ABD＝x，
∴∠A＝2x，
∴∠CBD＝∠CDB＝3x，
∴∠ABC＝∠C＝4x，
∵∠A+∠ABC+∠C＝180°，
∴2x+4x+4x＝180°，
∴x＝18°，
∴∠DBC＝54°；
综上所述：∠DBC的度数为54°或45°．
16．解：∵AD＝BD，
∴∠B＝∠BAD，
∵∠ADC＝∠B+∠BAD＝2∠B，
∴∠C＝2∠B，
∵∠BAC＝57°，
∴∠B+∠C＝3∠B＝180°﹣∠BAC＝41°，
∴∠ADC＝∠C＝82°，
∴∠DAC＝16°．
17．证明：∵AB＝AC，
∴∠ABC＝∠ACB，
在△BEC与△CDB 中，
，
∴△BEC≌△CDB（SAS），
∴∠OCB＝∠OBC，
∴OB＝OC，
∴△BOC是等腰三角形．
18．（1）证明：∵BD是△ABC的角平分线，
∴∠CBD＝∠EBD，
∵DE∥BC，
∴∠CBD＝∠EDB，
∴∠EBD＝∠EDB．
（2）解：CD＝ED，理由如下：
∵AB＝AC，
∴∠C＝∠ABC，
∵DE∥BC，
∴∠ADE＝∠C，∠AED＝∠ABC，
∴∠ADE＝∠AED，
∴AD＝AE，
∴CD＝BE，
由（1）得，∠EBD＝∠EDB，
∴BE＝DE，
∴CD＝ED．
19．解：（1）△CEF是等边三角形，理由如下：
∵△ABC是等边三角形，
∴∠ABC＝∠ACB＝60°．
∵AB∥DE，
∴∠CEF＝∠ABC＝60°，
∴∠CEF＝∠CFE＝∠ECF＝60°，
∴△CEF是等边三角形；
（2）∵△ABC是等边三角形，△CEF是等边三角形，
∴AB＝BC，CF＝CE＝4．
∵AD＝CD，
∴BD是线段AC的垂直平分线，
∴BD平分∠ABC，
∴∠ABD＝∠CBD．
∵AB∥DE，
∴∠ABD＝∠BDE，
∴∠BDE＝∠CBD，
∴BE＝DE．
∵BC＝BE+EC＝DE+CF，
∴DE＝BC﹣CF＝10﹣4＝6．
20．证明：∵D为AB的中点，
∴AD＝BD．
∵DE⊥AC，DF⊥BC，
∴∠AED＝∠BFD＝90°．
在Rt△ADE和Rt△BDF中，
，
∴Rt△ADE≌Rt△BDF（HL），
∴∠A＝∠B，
∴CA＝CB，
∵AB＝AC，
∴AB＝BC＝AC
∴△ABC是等边三角形．
21．证明：∵△ABC是等边三角形，
∴AB＝AC＝BC，∠ABC＝∠ACB＝∠CAB＝60°，
∵DF⊥AB，DE⊥CB，EF⊥AC，
∴∠DAB＝∠ACF＝∠CBE＝90°，
∴∠FAC＝∠BCE＝∠DBA＝30°，
∴∠D＝∠E＝∠F＝180°﹣90°﹣30°＝60°，
∴DF＝DE＝EF，
∴△DEF是等边三角形．