课件23张PPT。2019/1/131.1.3四种命题的相互关系高二数学 选修2-1 第一章 常用逻辑用语2019/1/13回顾交换原命题的条件和结论，所得的命题是________
同时否定原命题的条件和结论，所得的命题是________
交换原命题的条件和结论，并且同时否定，所得的命题是__________
逆命题。否命题。逆否命题。2019/1/13原命题,逆命题,否命题,逆否命题四种命题形式:
原命题:
逆命题:
否命题:
逆否命题:若 p, 则 q
若 q, 则 p
若┐p, 则┐q
若┐q, 则┐p
2019/1/13观察与思考？你能说出其中任意两个命题之间的关系吗?
课堂小结原命题
若p则q逆命题
若q则p否命题
若﹁ p则﹁ q逆否命题
若﹁ q则﹁p互为逆否 同真同假互为逆否 同真同假2019/1/132）原命题：若a=0, 则ab=0。逆命题：若ab=0, 则a=0。否命题：若a≠ 0, 则ab≠0。逆否命题：若ab≠0,则a≠0。(真)(假)(假)(真)(真)2.四种命题的真假看下面的例子：1）原命题：若x=2或x=3, 则x2-5x+6=0。逆命题：若x2-5x+6=0, 则x=2或x=3。否命题：若x≠2且x≠3, 则x2-5x+6≠0 。逆否命题：若x2-5x+6≠0，则x≠2且x≠3。(真)(真)(真)3）原命题：若x∈A∪B，则x∈ U A∪ UB。Help假假假假2019/1/13四种命题的真假,有且只有下面四种情况:2019/1/13想一想？（2） 若其逆命题为真，则其否命题一定为真。但其原命题、逆否命题不一定为真。由以上三例及总结我们能发现什么？即 原命题与逆否命题同真假。原命题的逆命题与否命题同真假。（1） 原命题为真，则其逆否命题一定为真。但其逆命题、否命题不一定为真。(两个命题为互逆命题或互否命题,它们的真假性没有关系).几条结论:2019/1/131.判断下列说法是否正确。1）一个命题的逆命题为真，它的逆否命题不一定为真；（对）2）一个命题的否命题为真，它的逆命题一定为真。（对）2.四种命题真假的个数可能为（ ）个。答：0个、2个、4个。如：原命题：若A∪B=A, 则A∩B=φ。逆命题：若A∩B=φ，则A∪B=A。否命题：若A∪B≠A，则A∩B≠φ。逆否命题：若A∩B≠φ，则A∪B≠A。（假）（假）（假）（假）3）一个命题的原命题为假，它的逆命题一定为假。（错）4）一个命题的逆否命题为假，它的否命题为假。（错）练一练2019/1/13练习：分别写出下列命题的逆命题、否命题、逆否命题，并判断它们的真假。（1）若q<1,则方程 有实根。
（2）若ab=0,则a=0或b=0.
（3）若 或 ，则 。
（4）若 ，则x,y全为零。2019/1/13总结2019/1/13反证法：
要证明某一结论A是正确的，但不直接证明，而是先去证明A的反面（非A）是错误的，从而断定A是正确的。
即反证法就是通过否定命题的结论而导出矛盾来达到肯定命题的结论，完成命题的论证的一种数学证明方法。
2019/1/13反证法的步骤：假设命题的结论不成立，即假设结论的反面成立。
从这个假设出发，通过推理论证，得出矛盾。
由矛盾判定假设不正确，从而肯定命题的结论正确。
2019/1/13例 证明：若p2＋q2＝2，则p＋q≤2. 将“若p2＋q2＝2，则p＋q≤2”看成原命题。由于原命题和它的逆否命题具有相同的真假性，要证原命题为真命题，可以证明它的逆否命题为真命题。即证明 为真命题2019/1/13假设原命题结论的反面成立看能否推出原命题条件的反面成立尝试成功得证例 证明：若p2＋q2＝2，则p＋q≤2.2019/1/13变式练习1、已知 。求证：这说明，原命题的逆否命题为真命题，从而原命题为真命题。解：假设p+q>2,那么q>2-p,根据幂函数 的单调性，得即所以 因此2019/1/13可能出现矛盾四种情况：
与题设矛盾；
与反设矛盾；
与公理、定理矛盾；
在证明过程中，推出自相矛盾的结论。
2019/1/13证明:因为所以例 用反证法证明：
如果a>b>0，那么 . 2019/1/13练 圆的两条不是直径的相交弦不能互相平分。 已知：如图，在⊙O中，弦AB、CD交于P，且AB、CD不是直径.求证：弦AB、CD不被P平分.证明：假设弦AB 、CD被P平分，∵P点一定不是圆心O，连接OP，根据垂径定理的推论，有OP⊥AB, OP⊥CD即 过点P有两条直线与OP都垂直，这与垂线性质矛盾，∴弦AB、CD不被P平分。2019/1/13若a2能被2整除，a是整数， 求证：a也能被2整除.证：假设a不能被2整除，则a必为奇数，
故可令a=2m+1(m为整数),
由此得
a2=(2m+1)2=4m2+4m+1=4m(m+1)+1,
此结果表明a2是奇数，
这与题中的已知条件（a2能被2整除）相矛盾,
∴a能被2整除.
2019/1/132019/1/13Back课件17张PPT。简单的逻辑联结词
（一）问题:下列语句是命题吗？如果不是，请你将它改为命题的形式 (1)11>5.(2)3是15的约数吗？(3)求证：3是15的约数。(4)0.7是整数.(5)x>8.例1 判断下面的语句是否为命题?若是命题，指出它的真假。(1)请全体同学起立！(2)X2+x>0.(3)对于任意的实数a,都有a2+1>0.(4)x=-a.(5)91是质数.(6)中国是世界上人口最多的国家.(7)这道数学题目有趣吗?(8)若|x-y|=|a-b|,则x-y=a-b.(9)任何无限小数都是无理数.我们再来看几个复杂的命题:(1)10可以被2或5整除.(2)菱形的对角线互相垂直且平分.(3)0.5非整数. “或”,“且”, “非”称为逻辑联结词.含有逻辑联结词的命题称为复合命题,不含逻辑联结词的命题称为简单命题.复合命题有以下三种形式:(1)P且q.
(2)P或q.
(3)非p.思考?下列三个命题间有什么关系?
(1)12能被3整除;
(2)12能被4整除;
(3)12能被3整除且能被4整除. 一般地,用逻辑联结词”且”把命题p和命题q联结起来.就得到一个新命题,记作
读作”p且q”.
规定:当p,q都是真命题时, 是真命题;当p,q两个命题中有一个命题是假命题时, 是假命题.全真为真,有假即假.pq 一般地,用逻辑联结词”或”把命题p和命题q联结起来.就得到一个新命题,记作 规定:当p,q两个命题中有一个是真命题
时, 是真命题;当p,q两个命题中都是
假命题时, 是假命题.pq 当p,q两个命题中有一个是真命题时, 是真命题;当p,q两个命题都是假命题时, 是假命题.开关p,q的闭合对应命题的真假,则整个电路的接通与断开分别对应命题 的真与假. 一般地,对一个命题p全盘否定,就得到一个新命题,记作
若p是真命题,则 必是假命题;若p是假命题,则 必是真命题.读作”非p”或”p的否定”例1:指出下列复合命题的形式及构成它的简单命题：（1）24既是8的倍数，也是6的倍数；
（2）李强是篮球运动员或跳高运动员；
（3）平行线不相交；例2: 分别指出下列复合命题的形式（1）8≥7；
（2）2是偶数，且2是质数；
（3）π不是整数； 例3：写出下列命题的非命题：（1）p:对任意实数x，均有x2－2x+1≥0；（2）q：存在一个实数x，使得x2－9=0；（3）“AB∥CD”且“AB=CD”；（4）“△ABC是直角三角形或等腰三角形”． 例4 分别写出由命题
“p:平行四边形的对角线相等”,
“q:平行四边形的对角线互相平分”
构成的“P或q”,“P且q”,“非p”形式的命题。本节须注意的几个方面:(1)“≥”的意义是“＞或＝”．(2)“非”命题对常见的几个正面词语的否定.思考?
如果 为真命题,那么 一定
是真命题吗?
反之,如果 为真命题,
那么 一定是真命题吗?注意
逻辑联结词中的”或”相当于集合中的”并集”,它与日常用语中的”或”的含义不同.日常用语中的”或”是两个中任选一个,不能都选,而逻辑联结词中的”或”,可以是两个都选,但又不是两个都选,而是两个中至少选一个,因此,有三种可能的情况.
逻辑联结词中的”且”相当于集合中的”交集”,即两个必须都选.课件15张PPT。1.3.2《简单的逻辑 联结词（二）复合命题》教学目标 加深对“或”“且”“非”的含义的理解，能利用真值表判断含有复合命题的真假；
教学重点：判断复合命题真假的方法；
教学难点：对“p或q”复合命题真假判断的方法课 型：新授课
教学手段：多媒体一、知识点复习:1.什么叫命題2.逻辑联结词P∨q、 P∧q、┒p3.复合命題的形式“非p”形式的复合命题真假： 例1：写出下列命题的非，并判断真假：
（1）p：方程x2+1=0有实数根
（2）p：等腰三角形两底角相等
（3）点P在直线l上或点Q在直线上
（4）函数 既是奇函数又是单调递增函数当p为真时，非p为假；
当p为假时，非p为真． “p且q”形式的复合命题真假： 例2：判断下列命题的真假：
（1）正方形ABCD是矩形，且是菱形；
（2）5是10的约数且是15的约数
（3）5是10的约数且是8的约数
当p、q为真时，p且q为真；
当p、q中至少有一个为假时，p且q为假。 “p或q”形式的复合命题真假： 例3：判断下列命题的真假：
（1）5是10的约数或是15的约数；
（2）5是12的约数或是8的约数；
（3）5是12的约数或是15的约数；
（4）方程x2－3x-4=0的判别式大于或等于零当p、q中至少有一个为真时，p或q为真；
当p、q都为假时，p或q为假。非p形式复合命题p且q形式复合命题P或q形式复合命题真值表假假假假假真真真真真例1.判断下列命题的真假： （1）4≥3
（2）4≥4
（3）4≥5例2、分别指出由下列各组命题构成的p或q、p且q、非p形式的复合命题的真假： (1) p：2+2=5； q：3>2;(2) p：9是质数； q：8是12的约数； 例3、判断下列P∨q、 P∧q、┒p命題形式的真假﹔(2)-1是偶数或奇数;归纳总结简
单
的
逻
辑
联
接
词
系1、简单命题与复合命题3、注意逻辑联结与普通联结词的区分2、复合命題的真假﹔友情提醒:1、P∨q的否定形式为:┒P或┒q ┒P且 ┒q为真命题,即P假q假2、P∧q的否定形式为:┒P且┒q3、P∨ q的否定形式为真命题,则p,q的真假是:4、若P∨ q是真命题, P∧q是假命题,则p,q的真假是:P真q假 或 P假q真5、若P∧q是真命题,则
P或┒q是真命题 ② P且┒q是真命题
③ ┒P且┒q是假命题 ④ ┒P或q是假命题
其中正确的是_______ ①③思考题：再见课件7张PPT。 全称量词与存在量词1.4.1 全 称 量 词 短语“所有的”“任意一个” 在逻辑中通常叫做全称量词．用符号“ ”表示。 含有全称量词的命题，叫做全称命题。是整数是整数所有的正方形都是矩形对于任意的n∈Z，2n+1是奇数例如1.4.2 存 在 量 词短语“存在一个”“至少一个” 在逻辑中通常叫做存在量词．用符号“ ”表示。 含有存在量词的命题，叫做特称命题。课件19张PPT。1.4.2含有量词的命题的否定全称命题：
（1）基本形式：
（2）意义：
（3）真假性的判断：特称命题：
（1）基本形式：
（2）意义：
（3）真假性的判断：只要有一个x值不成立，即为假命题 一假即假只要有一个x值成立，即为真命题 一真即真 复习（1）A思考 全称命题的否定: （两变）
“任意”变“存在”，“p(x)”变“﹁p(x)”全称命题的否定全称命题的否定是特称命题.否定:
(1)所有实数的绝对值都不是正数;(2)所有的平行四边形都不是菱形;(3)思考
特称命题的否定: （两变）
“存在”变“任意”，“p(x)”变“﹁p(x)”特称命题的否定特称命题的否定是全称命题.例1 写出下列命题的否定:
（1）p：所有能被3整除的整数都是奇数;
（2）p：每一个四边形的四个顶点共圆;
（3）p：对任意x∈Z，x2的个位数字不等于3.
（4）p：?x0∈R，x02+2x0+2≤0；
（5）p：有的三角形是等边三角形；
（6）p：有一个素数含三个正因数.解：
（1）﹁p：存在一个能被3整除的整数不是奇数;
（2）﹁p：存在一个四边形的四个顶点不共圆;
（3）﹁p：?x∈Z，x2的个位数字等于3.例题（4）﹁p：?x∈R，x2+2x+2>0（5）﹁p：所有的三角形都不是等边三角形（6）﹁p：所有的素数都不含三个正因数例1 写出下列命题的否定:
（1）p：所有能被3整除的整数都是奇数;
（2）p：每一个四边形的四个顶点共圆;
（3）p：对任意x∈Z，x2的个位数字不等于3.
（4）p：?x0∈R，x02+2x0+2≤0；
（5）p：有的三角形是等边三角形；
（6）p：有一个素数含三个正因数.例题例2.写出下列命题的非，并判断它们的真假：
（1）p：任意两个等边三角形都是相似的；
（2）p：?x0∈R，x02+2x0+2=0；
（3）p：不论m取何实数，方程x2+x-m=0必有实根.解：
（1） ﹁p：存在两个等边三角形不相似
这是个假命题
（2） ﹁p： ?x∈R，x2+2x+2≠0
这是个真命题例题﹁p是真命题﹁q是假命题（3） ﹁p： 存在实数m，使方程x2+x-m=0没有实根
这是个真命题例2.写出下列命题的非，并判断它们的真假：
（3）p：不论m取何实数，方程x2+x-m=0必有实根.例题1.命题“不是每个人都会开车”的否定是（ ）
A. 每个人都会开车 B. 所有人都不会开车
C. 有些人会开车 D. 存在一个人不会开车A练习2.写出下列命题的否定，并判断它们的真假：
（1）p：1不是负数；
（2）p：所有的正数都是偶数；
（3）p：至少有一个三角形是锐角三角形；
（4）p：p既大于3又小于4；
（5）p：至多有一个自然数不是正数；﹁p：1是负数假﹁p：存在正数不是偶数真﹁p：所有三角形都不是锐角三角形﹁p：p不大于3或不小于4﹁p：至少有两个自然数不是正数假假假练习2.写出下列命题的否定，并判断它们的真假：
（1）p：1不是负数；
（2）p：所有的正数都是偶数；
（3）p：至少有一个三角形是锐角三角形；
（4）p：p既大于3又小于4；
﹁p：1是负数假﹁p：存在正数不是偶数真﹁p：所有三角形都不是锐角三角形﹁p：p不大于3或不小于4假假练习D五、练习含有一个量词的命题的否定结论：全称命题的否定是特称命题
特称命题的否定是全称命题小结解：若p为真，∵x2-2x+2=(x-1)2+1≥1
∴ a≤1
若q为真，则△=4a2-8a≥0，解得a≤0，或a≥2
∵p∨q为真，p∧q为假 ∴p、q一真一假
若p真q假，则有
若p假q真，则有
故a的取值范围是(0，1] ∪[2，+∞）七、作业1.课本P27 A组 3 B组《全品学练考》
假期作业课件14张PPT。12命题及其关系全称量词存在量词充分条件必要条件充要条件简单的逻辑联结词:且、或、非3注:(1) “互为”的;
(2)原命题与其逆否命题同真同假.
(3)逆命题与否命题同真同假.原命题
若p,则q逆否命题
若? q,则? p否命题
若? p,则? q逆命题
若q,则p互逆互 否互 否互逆互为逆否同真同假4二、充要条件、必要条件的判定对于充分条件和必要条件，要能够正确地理解和判断(2)从命题的角度去理解．
设原命题为“若p，则q”，则
①若原命题为真，则p是q的 ．
②若逆命题为真，则p是q的 ．
③若原命题和逆命题都为真，则p是q的 .
④若原命题为真而逆命题为假，则p是q的 .
⑤若原命题为假而逆命题为真，则p是q的 ．
⑥若原命题和逆命题都为假，则p是q的 .充分条件必要条件充要条件充分不必要条件必要不充分件既不充分也不必要条件5(3)从集合的角度去理解．
若p以集合A的形式出现，q以集合B的形式出现，即
A={x|p(x)}，B={x|q(x))，则
①若A?B，则p是q的 ．
②若B ? A，则p是q的 ．
③若A=B，则p是q的 ．
④若A ? B且B?A，则p是q的 ．
⑤若B ? A且A?B，则p是q的 ．
⑥若A?B且B?A，则p是q的 .充分条件必要条件充要条件充分不必要条件必要不充分条件既不充分也不必要条件6同步练习1.A2.C3.B74.设p：实数x满足x2-4ax+3a2<0，其中a<0；q：实数x满足x2-x-6≤0或x2+2x-8>0，且?P是?q的必要不充分条件，
求a的取值范围．分析：本题可依据四种命题间的关系进行等价转化．解：由?P是?q的必要不充分条件，转化成它的逆否命题q是P的必要不充分条件，即P是q的充分不必要条件，8“或”
“且”
“非”9特别注意对一些词语的否定103答案113答案12133答案14课件13张PPT。第一章常用逻辑用语1．1 命题及其关系1．1．1 命题1．了解命题的概念．
2．会判断命题的真假．3．能正确理解命题的结构形式，并把命题化为“若 p，则q”的形式．1．一般地，用语言、符号或式子表达的，可以__________的陈述句叫做命题．2．其中判断为_____的语句叫做真命题，判断为_____的语句叫做假命题．3．命题的常见形式是“若 p，则 q”．其中命题中的 p 叫做命题的____________，q 叫做命题的__________． 判断真假 真 假 条件 结论 【要点1】如何判断一个句子是否是命题？ 【剖析】一个句子要成为命题必须具备两个条件：①是陈
述句；②可以判断真假．一般来说，疑问句、祈使句和感叹句
等都不是命题． 下面的四个例子：①x>5；②x＋3＝1；③这是一棵大树；
④指数函数的图象真漂亮！都不是命题．在①，②中 x 是未知
数，不能判断“x>5”或“x＋3＝1”是否正确；③“这是一棵大
树”中的“大树”没有一个明确的界定，因而就不能判定真假；
④是感叹句，也不是命题．【要点2】把一个命题改写成“若 p，则 q”的形式，写法唯一吗？ 【剖析】写法不一定唯一．如命题“负数的平方是正数”
可以改写为“若一个数是负数，则它的平方是正数”或“若一
个数是负数的平方，则这个数是正数”．题型1 命题及其真假的判断
例1：下列语句：①6 是自然数且是偶数；②3≤2；③sinx>x；
④北京是中国的首都吗？⑤平行四边形的对角线相等且互相平分．其中为真命题的有()A．1 个B．2 个C．3 个D．4 个 思维突破：可以判断真假的陈述句即为命题，命题要么真，
要么假，或真或假的语句不是命题．
解析：仅①对．故选 A.
答案：A【变式与拓展】
1．(2012 年浙江)设 Sn 是公差为 d(d≠0)的无穷等差数列{an}的前 n 项和，则下列命题错误的是() CA．若 d<0，则数列{Sn}有最大项
B．若数列{Sn}有最大项，则 d<0
C．若数列{Sn}是递增数列，则对任意 n∈N*，均有 Sn>0
D．若对任意 n∈N*，均有 Sn>0，则数列{Sn}是递增数列题型2 找出命题的条件与结论例2：指出下列命题中的条件 p 和结论 q：
(1)若 a，b，c 成等差数列，则 2b＝a＋c；
(2)偶函数的图象关于 y 轴成轴对称图形． 思维突破：数学中的一些命题虽然表面上不是“若 p，则
q”的形式，但是把它的表述作适当改变，就可以写成“若 p，
则 q”的形式．一般而言，“若”、“如果”、“只要”后面是条件，
“则”、“那么”、“就有”后面是结论．自主解答：(1)条件 p：a，b，c 成等差数列，
结论 q：2b＝a＋c.(2)条件 p：一个函数是偶函数，结论 q：这个函数的图象关于 y 轴成轴对称图形．【变式与拓展】
2．指出下列命题中的条件 p 和结论 q：
(1)若 a，b 都是无理数，则 ab 是无理数；
(2)如果一个数是奇数，那么它不能被 2 整除；(3)函数 y＝sinωx(ω≠0)的最小正周期是2π
ω.解：(1)p：a，b 都是无理数，q：ab 是无理数．
(2)p：一个数是奇数，q：它不能被 2 整除．(3)p：函数 y＝sinωx(ω≠0)，q：它的最小正周期是.题型3 将命题改写成“若 p，则 q”的形式，并判断其真假
例3：把下列命题写成“若 p，则 q”的形式，并判断其真假：(1)能被 6 整除的数既能被 2 整除，又能被 3 整除；
(2)平行于同一平面的两直线平行． 思维突破：在改写命题的形式时，要先找准哪一个是命题
的条件，哪一个是命题的结论，然后将条件写在前面，结论写
在后面．命题形式的改变并不改变命题的真假性．自主解答：(1)如果一个数能被 6 整除，则它既能被 2 整除，也能被 3 整除．真命题．(2)如果两条直线平行于同一平面，则这两条直线平行．假命题．【变式与拓展】3．将下列命题改写成“若 p，则 q”的形式，并判断其真假．(1)面积相等的两个三角形全等；
(2)正数的平方根不等于 0；
(3)质数是奇数；(4)同弧所对的圆周角不相等．解：(1)若两个三角形的面积相等，则这两个三角形全等．假命题．(2)若一个数是正数，则它的平方根不等于 0.真命题．
(3)若一个数是质数，则它是奇数．假命题．(4)若两个角为同弧所对的圆周角，则它们不相等．假命题．课件13张PPT。1．1．2 四种命题及其关系1．了解命题的逆命题、否命题和逆否命题，并会写出一个命题的逆命题、否命题和逆否命题．2．能够判断四种命题的真假．3．掌握四种命题间互逆、互否和互为逆否的相互关系．
4．了解原命题与逆否命题、逆命题与否命题真假之间的等价关系，并会将命题等价转化． 1．(1)一般地，对于两个命题，如果一个命题的条件和结
论分别是另一个命题的结论和条件，那么这样的两个命题叫做
__________．其中一个命题叫做原命题，另一个叫做原命题的
__________． (2)如果一个命题的条件和结论恰好是另一个命题的条件
的否定和结论的否定，这样的两个命题叫做_______________．
如果把其中的一个命题叫做原命题，那么另一个叫做原命题的__________． 互逆命题 逆命题 互否命题 否命题 (3)如果一个命题的条件和结论恰好是另一个命题的结论
的否定和条件的否定，这样的两个命题叫做________________．如果把其中的一个命题叫做原命题，那么另一个叫做原命题的__________．2．四种命题的符号语言表示．
(1)原命题：若 p，则 q.(2)逆命题：若 _______，则______．
(3)否命题：若________，则________．
(4)逆否命题：若________，则________． 互为逆否命题 逆否命题 q p 3．四种命题的关系．(1)互逆：___________________；____________________.
(2)互否：___________________；____________________.
(3)逆否：___________________；____________________.
(4)等价性：______________________；____________________.4．(1)两个命题互为___________，它们有相同的真假性．
(2) 两个命题为互逆命题或互否命题 ，它们的真假性________．原命题与逆命题 原命题与逆命题 原命题与否命题 逆命题与逆否命题原命题与逆否命题 逆命题与否命题原命题与逆否命题同真假 逆命题与否命题同真假 逆否命题 没有关系 【要点】如何写一个命题的逆命题、否命题和逆否命题？
【剖析】写出一个命题的逆命题、否命题和逆否命题的关
键是正确找出原命题的条件和结论，并写出条件的否定和结论
的否定，然后按照定义写出命题．当原命题不是“若 p，则 q”
的形式时，应先将命题写成一般形式“若 p，则 q”．题型1 命题的转换例1：写出下列命题的逆命题、否命题和逆否命题：
(1)若 x＝y，则 x2＝y2；(2)垂直于同一平面的两直线平行；
(3)若 x＋y＝5，则 x＝3 且 y＝2；(4)若 m·n<0，则方程 mx2－x＋n＝0 有实根． 思维突破：分清原命题的条件和结论，然后按照原命题、
逆命题、否命题和逆否命题之间的关系进行转换，转换时要注
意一些常见词语的否定的写法．例如：“都是”的否定为“不
都是”，“<”的否定为“≥”．自主解答：(1)逆命题：若 x2＝y2，则 x＝y.
否命题：若 x≠y，则 x2≠y2.
逆否命题：若 x2≠y2，则 x≠y.(2)逆命题：若两条直线平行，则这两条直线垂直于同一平面．否命题：若两条直线不垂直于同一平面，则这两条直线不平行．逆否命题：若两条直线不平行，则这两条直线不垂直于同一平面．(3)逆命题：若 x＝3 且 y＝2，则 x＋y＝5.
否命题：若 x＋y≠5，则 x≠3 或 y≠2.
逆否命题：若 x≠3 或 y≠2，则 x＋y≠5.(4)逆命题：若方程 mx2－x＋n＝0 有实根，则 m·n<0.
否命题：若 m·n≥0，则方程 mx2－x＋n＝0 没有实根．
逆否命题：若方程 mx2－x＋n＝0 没有实根，则 m·n≥0. C 解析：原命题的逆否命题是：条件和结论各自否定后，位
置互换即可．题型2 四种命题及其真假性
例2：命题“若 x＋y＝5，则 x＝2 且 y＝3”及其逆命题、否命题和逆否命题中，真命题的个数是()A．1 个B．2 个C．3 个D．4 个 思维突破：利用四种命题的等价性进行判断，原命题与逆
否命题同真假； 逆命题与否命题同真假．
解析：由于原命题是假命题，逆命题是真命题，根据互为
逆否的两个命题同真假，故逆否命题是假命题，否命题是真命
题．故选 B.
答案：B【变式与拓展】
2．已知：m，n 是两条不同的直线，α，β是两个不同的平
面，其中 m?α，n?β.命题 p：若α∥β，则 m∥n 的原命题、逆命题、否命题和逆否命题中正确命题的个数是()AA．0 个B．1 个C．2 个D．4 个题型 3 间接证明例3：证明：若 p2＋q2＝2，则 p＋q≤2.思维突破：由于原命题与逆否命题同真假，在证明时，若原命题证明较难，可考虑证明其逆否命题．证明：命题“若 p2＋q2＝2，则 p＋q≤2”的逆否命题为“若p＋q>2，则 p2＋q2≠2”．【变式与拓展】3．试判断命题“若 x≠3 或 x≠7，则 x2－10x＋21≠0”的真假． 解：原命题为“若 x≠3 或 x≠7，则 x2－10x＋21≠0”，逆
否命题为：“若 x2－10x＋21＝0，则 x＝3 且 x＝7”，显然这是
一个假命题．故原命题也是一个假命题．课件10张PPT。1．2．1充分条件与必要条件1．理解充分条件、必要条件的意义．
2．能进行有关充分、必要条件的判断．p 的__________条件． 充分 必要 充分不必要 必要不充分 【要点1】命题“若 p，则 q”与“p 是 q 的充分条件”有何关系，其逆命题与“p 是 q 的必要条件”有何关系． 【剖析】对“若 p，则 q”形式的命题，若此命题为真命题，
则 p?q，故 p 是 q 的充分条件；反之，若 p 是 q 的充分条件，
则命题“若 p，则 q”是真命题．同理若其逆命题成立，则 p 是
q 的必要条件；反之，若 p 是 q 的必要条件，则命题“若 p，则
q”的逆命题是真命题．【要点2】如何从集合的角度去理解充分条件、必要条件的概念？【剖析】首先建立与 p，q 相应的集合，即 p：A＝{x|p(x)}，q：B＝{x|q(x)}.题型1 充分条件与必要条件的判断例1：下列形如“若 p，则 q”的命题是否是真命题？它的逆命题是真命题吗？p 是 q 的什么条件？(1)若直线 a 与平面α的一条直线垂直，则 a⊥α；
(2)若两直线平行，则它们的斜率相等；(3)若数列的通项公式为 an＝n，则它的前 3 项为 a1＝1，a2＝2，a3＝3. 思维突破：判断 p 是 q 的什么条件的方法：①验证由 p 能
否推出 q，由 q 能否推出 p；②利用原命题、逆命题的真假来
判断 p 是 q 的什么条件．自主解答：(1)原命题是假命题，逆命题是真命题，故 p 是q 的必要但不充分条件．(2)原命题和逆命题都是假命题，故 p 是 q 的既不充分也不必要条件．(3)原命题是真命题，逆命题是假命题，故 p 是 q 的充分但不必要条件．【变式与拓展】
1．(2012 年安徽)设平面α与平面β相交于直线 m，直线 a
在平面α内，直线 b 在平面β内，且 b⊥m，则“α⊥β”是“a⊥b”的() AA．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件题型2 充分条件与必要条件的应用
例2：不等式(a＋x)(1＋x)<0 成立的一个充分不必要条件是－2
C．a<－2 D．a>2
思维突破：若命题可以用集合表示，则将其用集合表示出
来，然后再用集合的观点探究充分条件和必要条件．
答案：DD．x≤－ 或 x≥3【变式与拓展】
2．不等式 2x2 －5x－3≥0 成立的一个充分不必要条件是()CB．x≥0A．x<0
C．x∈{－1,3,5}1
2课件20张PPT。1．2．2 充要条件1．会判断一个命题的充要条件．
2．会求一个命题的充要条件．
3．会证明 p 是 q 的充要条件． 1．一般地，如果既有 p?q，又有 q?p，就记作：p?q.这
时 p 既是 q 的充分条件，又是 q 的必要条件，则 p 是 q 的
____________条件，简称__________条件．其中“?”叫做等
价符号．p?q 表示 p?q 且 q?p.2．如果________，那么 p 与 q 互为充要条件，也称 p 与 q是等价的．
3．传递性．若 p?q，q?r，则____________．充分必要 充要 p?qp?r【要点1】若 p 是 q 的充要条件，那么 p 唯一吗？ 【剖析】不唯一．例如对命题q：a＝1，命题 p：a3＝1，
命题 p′：直线 x＋y＝0 与直线 x－ay＝0 垂直，p 和p′都是q
的充要条件．事实上，由充要条件的传递性知道，若 p，p′都
是 q 的充要条件，那么 p?p′. 【要点2】判断“p 是 q 的什么条件”的本质是什么？
【剖析】本质是判断命题“若 p，则 q”与“若 q，则 p”
的真假，若同为真，则 p 与 q 互为充要条件；若一真一假，则
p，q 是充分条件与必要条件中的一个．【要点3】判断充要条件关系的主要方法有哪些？
【剖析】判断充要条件关系的主要方法有三种：
①定义法：若 p?q，则 p 是 q 的充要条件；②利用原命题和逆命题的等价性来确定“若 p，则 q”及“若 q，则 p”的真假性； ③利用集合的包含关系：若 A?B，则 a∈A 是a∈B 的充
分条件，a∈B 是a∈A 的必要条件；若 A＝B，则 a∈A 是a∈B
的充要条件．题型1 充要条件的判断与计算例1：下列各题中，p 是 q 的充要条件的有哪些？
(1)在△ABC 中，p：∠A＞∠B，q：BC＞AC；
(2)p：a＋b<0 且 ab>0，q：a<0，b<0；(3)p：数 a 能被 6 整除，q：数 a 能被 3 整除．思维突破：在判断 p 是 q 的充要条件时，必须同时满足p?q 且 q?p，两个条件缺一不可．自主解答：在(1)、(2)中， p?q，
所以(1)、(2)中的 p 是 q 的充要条件．
在(3)中，p?q，但 q p，∴(3)中的 p 不是 q 的充要条件． 例2：已知关于 x 的方程(1－a)x2＋(a＋2)x－4＝0，a∈R，
求方程有两正根的充要条件．【变式与拓展】1．下列各小题中，p 是 q 的充要条件的是() ①p：m<－2 或 m>6，q：y＝x2＋mx＋m＋3 有两个不同的
零点；②p：f(－x)
f(x)＝1，q：y＝f(x)是偶函数；③p：cosα＝cosβ，q：tanα＝tanβ；
④p：A∩B＝A，q：?UB??UA.A．①②B．②③C．③④D．①④答案：D2．方程 x2＋mx＋1＝0 在 R 上有两个负根的充分必要条件是()BA．m≥2 或 m≤－2
B．m≥2
C．m≥3
D．m>2 或 m<－2题型2 充要条件的证明例3：(2012 年湖北武汉质检)求证：关于 x 的方程 ax2＋2x＋1＝0 至少有一个负根的充要条件是 a≤1.思维突破：证明 p 是 q 的充要条件，只需分别证明充分性(p ?q)和必要性(q?p)．【变式与拓展】 3．已知函数 f(x)＝x2＋ax＋b，当 p，q 满足 p＋q＝1 时，
证明：pf(x)＋qf(y)≥f(px＋qy)对于任意实数 x，y 都成立的充要
条件是 0≤p≤1.证明：∵p＋q＝1，∴pf(x)＋qf(y)－f(px＋qy)＝p(1－p)x2＋q(1－q)y2－2pqxy＝p(1－p)(x－y)2.(1)充分性：若 0≤p≤1，则 p(1－p)≥0.
∴p(1－p)(x－y)2≥0.∴pf(x)＋qf(y)≥f(px＋qy)．(2)必要性：当 pf(x)＋qf(y)≥f(px＋qy)时，p(1－p)(x－y)2≥0. ∵(x－y)2≥0，∴p(1－p)≥0.∴0≤p≤1.题型3 求充要条件【变式与拓展】
4．已知方程 x2＋(2k－1)x＋k2＝0，求方程有两个大于 1 的
实数根的充要条件．
课件40张PPT。新人教A版高二数学同步测试（1）—（2-1第一章）说明：本试卷分第一卷和第二卷两部分，第一卷74分，第二卷76分，共150分；答题时间120分钟．一、选择题（在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请把正确答案的代号填在题后的括号内（每小题5分，共50分）．1．函数f（x）=x|x+a|+b是奇函数的充要条件是 （ ）
A．ab=0 B．a+b=0 C．a=b D．a2+b2=0答案1．函数f（x）=x|x+a|+b是奇函数的充要条件是 （ ）
A．ab=0 B．a+b=0 C．a=b D．a2+b2=0
1．D；解析：若a2+b2=0，即a=b=0时，f（－x）=（－x）|x+0|+0=－x|x|=－f（x）
∴a2+b2=0是f（x）为奇函数的充分条件.又若f（x）为奇函数即f（－x）=－x|（－x）+a|+b=－（x|x+a|+b），则必有a=b=0，即a2+b2=0，∴a2+b2=0是f（x）为奇函数的必要条件2．“至多有三个”的否定为 （ ）
A．至少有三个 B．至少有四个 C．有三个 D．有四个2．“至多有三个”的否定为 （ ）
A．至少有三个 B．至少有四个 C．有三个 D．有四个
2．B；提示：这是一个含有量词的命题的否定．3．有金盒、银盒、铅盒各一个，只有一个盒子里有肖像．金盒上写有命题p：肖像在这个盒子里；银盒上写有命题q：肖像不在这个盒子里；铅盒上写有命题r：肖像不在金盒里．p、q、r中有且只有一个是真命题，则肖像在 （ ）
A．金盒里 B．银盒里
C．铅盒里 D．在哪个盒子里不能确定3．有金盒、银盒、铅盒各一个，只有一个盒子里有肖像．金盒上写有命题p：肖像在这个盒子里；银盒上写有命题q：肖像不在这个盒子里；铅盒上写有命题r：肖像不在金盒里．p、q、r中有且只有一个是真命题，则肖像在 （ ）
A．金盒里 B．银盒里
C．铅盒里 D．在哪个盒子里不能确定
3．B；本题考查复合命题及真值表．解析：∵p=非r，∴p与r一真一假，而p、q、r中有且只有一个真命题，∴q必为假命题，∴非q：“肖像在这个盒子里”为真命题，即：肖像在银盒里．评述：本题考查充要条件的基本知识，难点在于周期概念的准确把握.4．不等式 对于恒成立，那么的取值范围是 （ ）
A． B． C． D．
4．B；解析：注意二次项系数为零也可以 5．“a和b都不是偶数”的否定形式是 （ ）
A．a和b至少有一个是偶数 B．a和b至多有一个是偶数
C．a是偶数，b不是偶数 D．a和b都是偶数5．“a和b都不是偶数”的否定形式是 （ ）
A．a和b至少有一个是偶数 B．a和b至多有一个是偶数
C．a是偶数，b不是偶数 D．a和b都是偶数
5．A；解析：对“a和b都不是偶数”的否定为“a和b不都不是偶数”，等价于“a和b中至少有一个是偶数”．6．某食品的广告词为：“幸福的人们都拥有”，初听起来，这似乎只是普通的赞美说词，然而他的实际效果大哩，原来这句话的等价命题是 （ ）
A．不拥有的人们不一定幸福 B．不拥有的人们可能幸福
C．拥有的人们不一定幸福 D．不拥有的人们不幸福6．某食品的广告词为：“幸福的人们都拥有”，初听起来，这似乎只是普通的赞美说词，然而他的实际效果大哩，原来这句话的等价命题是 （ ）
A．不拥有的人们不一定幸福 B．不拥有的人们可能幸福
C．拥有的人们不一定幸福 D．不拥有的人们不幸福
6．D；解析：该题考察的是互为逆否命题的真值相同，也就是在选项中找到该命题逆否命题．7．若命题“p或q”为真，“非p”为真，则 （ ）
A．p真q真 B．p假q真 C．p真q假 D．p假q假7．若命题“p或q”为真，“非p”为真，则 （ ）
A．p真q真 B．p假q真 C．p真q假 D．p假q假
7．B；解析：由“非p”为真可得p为假，若同时“p或q”为真，则可得q必须为真． 8．条件p： ， ，
条件q： ， ，则条件p是条件q的 （ ）
A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件
C．充要条件 D．即不充分也不必要条件
8．A；解析：由我们学习过的不等式的理论可得，但满足q： ， ，但不满足q： ， ，故选项为B．9．2x2－5x－3＜0的一个必要不充分条件是 （ ）
A．－＜x＜3 B．－＜x＜0
C．－3＜x＜ D．－1＜x＜69．2x2－5x－3＜0的一个必要不充分条件是 （ ）
A．－＜x＜3 B．－＜x＜0
C．－3＜x＜ D．－1＜x＜6
9．D；解析：由2x2－5x－3＜0，解得－＜x＜3，记为P，则①P A，②B P，B是P的充分非必要条件，③C P，C既不是P的充分条件，也不是P的必要条件，④D P，P D，D是P的必要不充分条件．10．设原命题：若a+b≥2，则a,b 中至少有一个不小于1．则原命题与其逆命题的真假情况是 （ ）
A．原命题真，逆命题假 B．原命题假，逆命题真
C．原命题与逆命题均为真命题 D．原命题与逆命题均为假命题10．设原命题：若a+b≥2，则a,b 中至少有一个不小于1．则原命题与其逆命题的真假情况是 （ ）
A．原命题真，逆命题假
B．原命题假，逆命题真
C．原命题与逆命题均为真命题 D．原命题与逆命题均为假命题
10． A；提示：举例：a=1.2，b=0.3，则a+b=1.5<2，∴逆命题为假．二、填空题：请把答案填在题中横线上（每小题6分，共24分） 11．下列命题中_________为真命题．
①“A∩B=A”成立的必要条件是“AB”；
②“若x2+y2=0，则x，y全为0”的否命题；
③“全等三角形是相似三角形”的逆命题；
④“圆内接四边形对角互补”的逆否命题．
11．下列命题中_________为真命题．
①“A∩B=A”成立的必要条件是“AB”；
②“若x2+y2=0，则x，y全为0”的否命题；
③“全等三角形是相似三角形”的逆命题；
④“圆内接四边形对角互补”的逆否命题．
11．②④；
解析：本题是一道开放性题，考查四种命题间的关系及充要条件．
①A∩B=A A B但不能得出A B，∴①不正确；②否命题为：“若x2+y2≠0，则x，y不全为0”，是真命题；
③逆命题为：“若两个三角形是相似三角形，则这两个三角形全等”，是假命题；
④原命题为真，而逆否命题与原命题是两个等价命题，∴逆否命题也为真命题．
12．若p：“平行四边形一定是菱形”，则“非p”为___ _____．
12．若p：“平行四边形一定是菱形”，则“非p”为___ _____．
12．平行四边形不一定是菱形；或至少有一个平行四边形不是菱形；
解析：本题考查复合命题“非p”的形式，p：“平行四边形一定是菱形”是假命题，这里“一定是”的否定是用“一定不是”还是“不一定是”？若为“平行四边形一定不是菱形”仍为假命题，与真值表相违，故原命题的“非p”为“平行四边形不一定是菱形”，是一个真命题．
第二种说法是命题是全称命题的简写形式，应用规则变化即可．
13．已知p，q都是r的必要条件，s是r的充分条件,q是s的充分条件，则s是q的 条件，r是q的 条件，p是s的 条件．13．已知p，q都是r的必要条件，s是r的充分条件,q是s的充分条件，则s是q的 条件，r是q的 条件，p是s的 条件．
13．必要，充分，必要．
提示：画出箭头图．
14．设p、q是两个命题，若p是q的充分不必要条件，那么非p是非q的 条件．14．设p、q是两个命题，若p是q的充分不必要条件，那么非p是非q的 条件
．14．必要不充分．
三、解答题：（解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤(共76分)．15．（12分）分别写出下列命题的逆命题，否命题，逆否命题，并判断其真假．
（1）矩形的对角线相等且互相平分；
（2）正偶数不是质数．15．（12分）分别写出下列命题的逆命题，否命题，逆否命题，并判断其真假．
（1）矩形的对角线相等且互相平分；
（2）正偶数不是质数
．15．本题考查四种命题间的关系．
解：（1）逆命题：若一个四边形的对角线相等且互相平分，则它是矩形（假命题）．
否命题：若一个四边形不是矩形，则它的对角线不相等或不互相平分（假命题）．
逆否命题：若一个四边形的对角线不相等或不互相平分，则它不是矩形（真命题）．
（2）逆命题：如果一个正数不是质数，那么这个正数是正偶数（假命题）．
否命题：如果一个正数不是偶数，那么这个数是质数（假命题）．
逆否命题：如果一个正数是质数，那么这个数不是偶数（假命题）．
16．（12分）写出由下述各命题构成的“p或q”，“p且q”，“非p”形式的复合命题，并指出所构成的这些复合命题的真假．
（1）p：连续的三个整数的乘积能被2整除， q：连续的三个整数的乘积能被3整除；
（2）p：对角线互相垂直的四边形是菱形，q：对角线互相平分的四边形是菱形；16．解：（1）根据真值表，复合命题可以写成简单形式：
p或q：连续的三个整数的乘积能被2或能被3整除.
p且q：连续的三个整数的乘积能被2且能被3整除.
非p：存在连续的三个整数的乘积不能被2整除.
∵连续的三整数中有一个（或两个）是偶数，而有一个是3的倍数，
∴p真，q真，∴p或q与p且q均为真，而非p为假.
（2）根据真值表，只能用逻辑联结词联结两个命题，不能写成简单形式：
p或q：对角线互相垂直的四边形是菱形或对角线互相平分的四边形是菱形.
p且q：对角线互相垂直的四边形是菱形且对角线互相平分的四边形是菱形.
非p：存在对角线互相垂直的四边形不是菱形.
∵p假q假，∴p或q与p且q均为假，而非p为真.17．（12分）给定两个命题,
P：对任意实数都有 恒成立；Q：关于 X的方程 有实数根；如果P与Q中有且仅有一个为真命题，求实数a的取值范围．17．解：对任意实数都有 恒成
立 ；关于X的方
程 有实数根 ；如
果P正确，且Q不准确有 如果Q正确，且P不正确有 所以实数的取值范围为
．18．（12分）已知p，q都是r的必要条件，s是r的充分条件，q是s的充分条件，那么
（1）s是q的什么条件？
（2）r是q的什么条件？
（3）p是q的什么条件？18．（12分）已知p，q都是r的必要条件，s是r的充分条件，q是s的充分条件，那么
（1）s是q的什么条件？
（2）r是q的什么条件？
（3）p是q的什么条件？
18．本题考查充要条件、充分条件、必要条件．对于这类问题，将语言叙述符号化，画出它们的综合结构图，再给予判定．
解：p、q、r、s的关系如图所示，由图可知
答案：（1）s是q的充要条件 （2）r是q的充要条件 （3）p是q的必要条件
19．（14分）设019．（14分）设020．（14分）求证：关于x的方程x2+2ax+b=0 有实数根，且两根均小于2的充分但不必要条件是a≥2且|b| ≤4.．20．（14分）求证：关于x的方程x2+2ax+b=0 有实数根，且两根均小于2的充分但不必要条件是a≥2且|b| ≤4.．
20．解析：先证充分性，而必要性只需要通过举反例来否定.
先证明条件的充分性：
∴方程有实数根(1)
（2）
由①、②知“a≥2且|b|≤4” “方程有实数根，且两根均小于2”.
再验证条件不必要：
∵方程x2－x=0的两根为x1=0, x2=1，则方程的两根均小于2，而a=－ <2，
∴“方程的两根小于2” “a≥2且|b|≤4”.
综上，a≥2且|b|≤4是方程有实数根且两根均小于2的充分但不必要条件.
