高中数学人教A版（2019）必修二 6.4.1-2 平面向量在几何与物理中的应用
一、单选题
1．（2019高一下·吉林期末）在四边形 中，如果 ， ，那么四边形 的形状是（ ）
A．矩形 B．菱形 C．正方形 D．直角梯形
【答案】A
【知识点】向量在几何中的应用
【解析】【解答】 ，所以，四边形 为平行四边形，
由 可得出 ，因此，平行四边形 为矩形，
故答案为：A.
【分析】由 可判断出四边形 为平行四边形，由 可得出 ，由此判断出四边形 的形状.
2．（2022·昌吉模拟）折扇又名“撒扇”“纸扇”，是一种用竹木或象牙做扇骨，韧纸或绫绢做扇面的能折叠的扇子，如图1.其平面图如图2的扇形AOB，其中∠AOB＝120°，OA＝2OC＝2，点E在弧CD上，则的最小值是（ ）
A．－1 B．1 C．－3 D．3
【答案】C
【知识点】平面向量数量积的坐标表示、模、夹角；向量在几何中的应用
【解析】【解答】以为原点，为轴的正方形建立平面直角坐标系，
则，设，
，
所以当时，取得最小值.
故答案为：C
【分析】建立平面直角坐标系，利用坐标法表示，结合三角函数的知识求得正确答案.
3．（2019高一下·镇赉期中）如下图，在△ 中， ， 是 上的一点，若 ，则实数 的值为（ ）
A． B． C．1 D．3
【答案】A
【知识点】向量在几何中的应用
【解析】【解答】解：根据题意结合已知条件可得，∴，
解得：
∴，
故答案为：A
【分析】利用向量的线性运算以及平面向量的基本定理，通过向量相等求出实数m的值。
4．（2022高一下·农安月考） 为平面上的一定点， 是平面上不共线的三个动点，动点 满足 ，则 的轨迹一定过 的（ ）
A．重心 B．垂心 C．外心 D．内心
【答案】D
【知识点】平面向量的线性运算；向量在几何中的应用
【解析】【解答】解：因为为方向上的单位向量，为方向上的单位向量，
则+的方向为∠BAC的平分线的方向.
又λ∈(0，＋∞)，所以λ(+)的方向与+的方向相同.
而 ，
所以点P在上移动，所以点P的轨迹一定通过△ABC的内心.
故选：D
【分析】根据向量的线性运算，结合已知条件，即可判断点P的轨迹一定通过△ABC的内心.
5．已知作用于A点的三个力F1=（3，4），F2=（2，﹣5），F3=（3，1），且A（1，1），则合力F=F1+F2+F3的终点坐标为（ ）
A．（9，1） B．（1，9） C．（9，0） D．（0，9）
【答案】A
【知识点】向量在物理中的应用
【解析】【解答】解：∵作用于A点的三个力F1=（3，4），F2=（2，﹣5），F3=（3，1），且A（1，1），
则合力F=F1+F2+F3=（3，4）+（2，﹣5）+（3，1）=（8，0），
设合力F=F1+F2+F3的终点为B（x，y），由题意得： =（8，0），
即（x，y）﹣（1，1）=（8，0），∴（x，y）=（9，1）．
故选A．
【分析】先根据向量的加法运算法则求出作用于A点的三个力F1=（3，4），F2=（2，﹣5），F3=（3，1）的合力F，再设合力F=F1+F2+F3的终点为B（x，y），由题意得：=（8，0），即可得到合力F=F1+F2+F3的终点坐标．
6．（2017高一上·武汉期末）一质点受到平面上的三个力F1，F2，F3（单位：牛顿）的作用而处于平衡状态．已知F1，F2成60°角，且F1，F2的大小分别为2和4，则F3的大小为（ ）
A．6 B．2 C．2 D．2
【答案】D
【知识点】平面向量加法运算；向量在物理中的应用；解三角形的实际应用
【解析】【解答】解：∵F32=F12+F22﹣2F1F2cos（180°﹣60°）=28，
∴ ，
故选D
【分析】三个力处于平衡状态，则两力的合力与第三个力大小相等，方向相反，把三个力化到同一个三角形中，又知角的值，在任意三角形中用余弦定理求得结果，最后不要忽略开方运算．
7．已知三个力 =(-2，-1)，=(-3，2)，=(4，-3)同时作用于某物体上一点，为使物体保持平衡，现加上一个力，则等于（ ）
A．（﹣1，﹣2） B．（1，﹣2）
C．（﹣1，2） D．（1，2）
【答案】D
【知识点】向量在物理中的应用
【解析】【解答】为使物体平衡，
即合外力为零，
即4个向量相加等于零向量，
∴=（0﹣（﹣2）﹣（﹣3）﹣4，0﹣（﹣1）﹣2﹣（﹣3））=（1，2）．
故选D．
【分析】为使物体平衡，即合外力为零，即4个向量相加等于零向量．
8．（2021·咸阳模拟）渭河某处南北两岸平行，如图所示.某艘游船从南岸码头 出发北航行到北岸.假设游船在静水中航行速度大小为 ，东水流速度的大小为 .设速度 与速度 的夹角为 ，北岸的点 在码头 的正北方向.那么该游船航行到达北岸的位置应（ ）
A．在 东侧 B．在 西侧
C．恰好与 重合 D．无法确定
【答案】A
【知识点】向量在物理中的应用
【解析】【解答】解：建立如图如示的坐标系，
由题意可得 ，
所以 ，
说明船有 轴正方向的速度，即向东的速度，
所以该游船航行到达北岸的位置应在 东侧，
故答案为：A
【分析】利用实际问题的已知条件建立坐标系，再利用向量的坐标表示求出向量的坐标，再利用三角形法则结合向量的坐标运算，进而求出向量 的坐标，再利用向量的定义，得出船有 轴正方向的速度，即向东的速度，所以该游船航行到达北岸的位置应在 东侧。
9．（2018高二上·西安月考）一艘船以4 km/h的速度与水流方向成120°的方向航行，已知河水流速为2 km/h，则经过 h，则船实际航程为（ ）
A．2 km B．6 km C．2 km D．8 km
【答案】B
【知识点】向量在物理中的应用
【解析】【解答】解：设船的速度为 ，水的速度为 ，则船的实际航行速度为 ，于是有
=
=12
=
船实际航程为 =6。
故答案为：B。
【分析】先由已知把船的速度和水的速度设为向量，表示出船的实际航行速度，再利用向量的运算，即可求出船实际航程.
10．如图，一条河的两岸平行，河的宽度m，一艘客船从码头A出发匀速驶往河对岸的码头B.已知km，水流速度为2km/h， 若客船行驶完航程所用最短时间为6分钟，则客船在静水中的速度大小为( )
A．8km/h B．km/h C．km/h D．km/h
【答案】B
【知识点】向量在物理中的应用
【解析】【解答】∵河的宽度为480m，船的速度v，∴当行驶航程最短时，需要使得航行的路线是与河岸垂直，在垂直与河岸的分速度是6km/h，那么根据平行四边形法则可知，客船在静水中的速度大小为 km/h，选B.
【分析】本题考查向量在物理中的应用，本题是一个基础题，解题的关键是注意题目中单位要统一，最后要求的是以分钟为单位．
11．（2022·眉山模拟）下如图是世界最高桥——贵州北盘江斜拉桥.下如图是根据下如图作的简易侧视图（为便于计算，侧视图与实物有区别）.在侧视图中，斜拉杆PA，PB，PC，PD的一端P在垂直于水平面的塔柱上，另一端A，B，C，D与塔柱上的点O都在桥面同一侧的水平直线上.已知，，，.根据物理学知识得，则（ ）
A．28m B．20m C．31m D．22m
【答案】D
【知识点】平面向量的综合题
【解析】【解答】因为，所以，
因为，所以∽，
所以，所以，
因为，，
所以，
设，分别为的中点，
因为，
所以，
所以为的中点，
因为，，所以，
所以，
所以，
所以
故答案为：D
【分析】由，所以，则可得，可求得，，分别为的中点，则由已知可得为的中点，再结合已知的数据可求得结果
12．小船以10km/h的静水速度按垂直于对岸的方向行驶，同时河水的流速为10km/h．则小船实际航行速度的大小为（ ）
A．20km/h B．20km/h C．10km/h D．10km/h
【答案】B
【知识点】向量在物理中的应用
【解析】【解答】解：如图，设船在静水中的速度为v1=10 km/h，河水的流速为v2=10km/h．
水流的速度为v2，则由v12+v22=v02，得 +102=v02，
∴v0=±20，取v0=20km/h，即小船实际航行速度的大小为20km/h．
故选B．
【分析】由题意知，船在静水中的速度为v1，实际航行的速度为v0，水流的速度为v2，它们构成直角三角形，由勾股定理容易求出小船实际航行速度．
二、填空题
13．（2022高三上·河北期末）P是边长为1的等边三角形ABC的边BC上一点，且，则的值为 .
【答案】
【知识点】平面向量的数量积运算；向量在几何中的应用
【解析】【解答】因为P是边长为1的等边三角形ABC的边BC上一点，.
所以，所以
所以
=.
故答案为：.
【分析】由题意推出，直接计算可得.
14．（2022高一上·大连期末）如图，在正方形中，为边上的动点，设向量，则的最大值为 ．
【答案】3
【知识点】向量在几何中的应用
【解析】【解答】以A为原点，以AB、AD分别为x，y轴建立直角坐标系，设正方形的边长为2，
则C（2，2），B（2，0），D（0，2），P（x，2），x∈[0，2]
∴=（2，2），=（2，﹣2），=（x，2），
∴，
∴
∴λ+μ= ，
令f（x）=，（0≤x≤2）
∵f（x）在[0，2]上单调递减，
∴f（x）max=f（0）=3．
故答案为：3
【分析】建立直角坐标系，把向量用坐标表示出来，根据的坐标表示出，求出其最大值即可.
15．如图，用两条绳提起一个物体处于平衡状态，此时每条绳用力5N，且两条绳的夹角是120°，则物体G的重量是 N．
【答案】5
【知识点】向量在物理中的应用
【解析】【解答】解：由题意，物体G的重量与每条绳用力的合力的大小相等
根据每条绳用力5N，且两条绳的夹角是120°，可得
∴=25+25+2 5 5 cos120°=25
∴每条绳用力的合力的大小为5N
∴物体G的重量为5N．
故答案为：5
【分析】由题意，物体G的重量是每条绳用力的合力的大小，根据每条绳用力5N，且两条绳的夹角是120°，可得，利用，可得结论．
三、解答题
16．（2021高一下·陈仓期中）已知两恒力，作用于同一质点，使之由点移动到点.
（1）求力、分别对质点所做的功；
（2）求力、的合力对质点所做的功.
【答案】（1）解：，
力对质点所做的功，
力对质点所做的功，
所以，力、对质点所做的功分别为和.
（2）解：.
【知识点】平面向量数量积的坐标表示、模、夹角；向量在物理中的应用
【解析】【分析】（1）计算出向量
的坐标，然后分别计算出
和
，即可得出结果；
（2）将
和
相加即可得出力
、的合力 对质点所做的功.
1 / 1高中数学人教A版（2019）必修二 6.4.1-2 平面向量在几何与物理中的应用
一、单选题
1．（2019高一下·吉林期末）在四边形 中，如果 ， ，那么四边形 的形状是（ ）
A．矩形 B．菱形 C．正方形 D．直角梯形
2．（2022·昌吉模拟）折扇又名“撒扇”“纸扇”，是一种用竹木或象牙做扇骨，韧纸或绫绢做扇面的能折叠的扇子，如图1.其平面图如图2的扇形AOB，其中∠AOB＝120°，OA＝2OC＝2，点E在弧CD上，则的最小值是（ ）
A．－1 B．1 C．－3 D．3
3．（2019高一下·镇赉期中）如下图，在△ 中， ， 是 上的一点，若 ，则实数 的值为（ ）
A． B． C．1 D．3
4．（2022高一下·农安月考） 为平面上的一定点， 是平面上不共线的三个动点，动点 满足 ，则 的轨迹一定过 的（ ）
A．重心 B．垂心 C．外心 D．内心
5．已知作用于A点的三个力F1=（3，4），F2=（2，﹣5），F3=（3，1），且A（1，1），则合力F=F1+F2+F3的终点坐标为（ ）
A．（9，1） B．（1，9） C．（9，0） D．（0，9）
6．（2017高一上·武汉期末）一质点受到平面上的三个力F1，F2，F3（单位：牛顿）的作用而处于平衡状态．已知F1，F2成60°角，且F1，F2的大小分别为2和4，则F3的大小为（ ）
A．6 B．2 C．2 D．2
7．已知三个力 =(-2，-1)，=(-3，2)，=(4，-3)同时作用于某物体上一点，为使物体保持平衡，现加上一个力，则等于（ ）
A．（﹣1，﹣2） B．（1，﹣2）
C．（﹣1，2） D．（1，2）
8．（2021·咸阳模拟）渭河某处南北两岸平行，如图所示.某艘游船从南岸码头 出发北航行到北岸.假设游船在静水中航行速度大小为 ，东水流速度的大小为 .设速度 与速度 的夹角为 ，北岸的点 在码头 的正北方向.那么该游船航行到达北岸的位置应（ ）
A．在 东侧 B．在 西侧
C．恰好与 重合 D．无法确定
9．（2018高二上·西安月考）一艘船以4 km/h的速度与水流方向成120°的方向航行，已知河水流速为2 km/h，则经过 h，则船实际航程为（ ）
A．2 km B．6 km C．2 km D．8 km
10．如图，一条河的两岸平行，河的宽度m，一艘客船从码头A出发匀速驶往河对岸的码头B.已知km，水流速度为2km/h， 若客船行驶完航程所用最短时间为6分钟，则客船在静水中的速度大小为( )
A．8km/h B．km/h C．km/h D．km/h
11．（2022·眉山模拟）下如图是世界最高桥——贵州北盘江斜拉桥.下如图是根据下如图作的简易侧视图（为便于计算，侧视图与实物有区别）.在侧视图中，斜拉杆PA，PB，PC，PD的一端P在垂直于水平面的塔柱上，另一端A，B，C，D与塔柱上的点O都在桥面同一侧的水平直线上.已知，，，.根据物理学知识得，则（ ）
A．28m B．20m C．31m D．22m
12．小船以10km/h的静水速度按垂直于对岸的方向行驶，同时河水的流速为10km/h．则小船实际航行速度的大小为（ ）
A．20km/h B．20km/h C．10km/h D．10km/h
二、填空题
13．（2022高三上·河北期末）P是边长为1的等边三角形ABC的边BC上一点，且，则的值为 .
14．（2022高一上·大连期末）如图，在正方形中，为边上的动点，设向量，则的最大值为 ．
15．如图，用两条绳提起一个物体处于平衡状态，此时每条绳用力5N，且两条绳的夹角是120°，则物体G的重量是 N．
三、解答题
16．（2021高一下·陈仓期中）已知两恒力，作用于同一质点，使之由点移动到点.
（1）求力、分别对质点所做的功；
（2）求力、的合力对质点所做的功.
答案解析部分
1．【答案】A
【知识点】向量在几何中的应用
【解析】【解答】 ，所以，四边形 为平行四边形，
由 可得出 ，因此，平行四边形 为矩形，
故答案为：A.
【分析】由 可判断出四边形 为平行四边形，由 可得出 ，由此判断出四边形 的形状.
2．【答案】C
【知识点】平面向量数量积的坐标表示、模、夹角；向量在几何中的应用
【解析】【解答】以为原点，为轴的正方形建立平面直角坐标系，
则，设，
，
所以当时，取得最小值.
故答案为：C
【分析】建立平面直角坐标系，利用坐标法表示，结合三角函数的知识求得正确答案.
3．【答案】A
【知识点】向量在几何中的应用
【解析】【解答】解：根据题意结合已知条件可得，∴，
解得：
∴，
故答案为：A
【分析】利用向量的线性运算以及平面向量的基本定理，通过向量相等求出实数m的值。
4．【答案】D
【知识点】平面向量的线性运算；向量在几何中的应用
【解析】【解答】解：因为为方向上的单位向量，为方向上的单位向量，
则+的方向为∠BAC的平分线的方向.
又λ∈(0，＋∞)，所以λ(+)的方向与+的方向相同.
而 ，
所以点P在上移动，所以点P的轨迹一定通过△ABC的内心.
故选：D
【分析】根据向量的线性运算，结合已知条件，即可判断点P的轨迹一定通过△ABC的内心.
5．【答案】A
【知识点】向量在物理中的应用
【解析】【解答】解：∵作用于A点的三个力F1=（3，4），F2=（2，﹣5），F3=（3，1），且A（1，1），
则合力F=F1+F2+F3=（3，4）+（2，﹣5）+（3，1）=（8，0），
设合力F=F1+F2+F3的终点为B（x，y），由题意得： =（8，0），
即（x，y）﹣（1，1）=（8，0），∴（x，y）=（9，1）．
故选A．
【分析】先根据向量的加法运算法则求出作用于A点的三个力F1=（3，4），F2=（2，﹣5），F3=（3，1）的合力F，再设合力F=F1+F2+F3的终点为B（x，y），由题意得：=（8，0），即可得到合力F=F1+F2+F3的终点坐标．
6．【答案】D
【知识点】平面向量加法运算；向量在物理中的应用；解三角形的实际应用
【解析】【解答】解：∵F32=F12+F22﹣2F1F2cos（180°﹣60°）=28，
∴ ，
故选D
【分析】三个力处于平衡状态，则两力的合力与第三个力大小相等，方向相反，把三个力化到同一个三角形中，又知角的值，在任意三角形中用余弦定理求得结果，最后不要忽略开方运算．
7．【答案】D
【知识点】向量在物理中的应用
【解析】【解答】为使物体平衡，
即合外力为零，
即4个向量相加等于零向量，
∴=（0﹣（﹣2）﹣（﹣3）﹣4，0﹣（﹣1）﹣2﹣（﹣3））=（1，2）．
故选D．
【分析】为使物体平衡，即合外力为零，即4个向量相加等于零向量．
8．【答案】A
【知识点】向量在物理中的应用
【解析】【解答】解：建立如图如示的坐标系，
由题意可得 ，
所以 ，
说明船有 轴正方向的速度，即向东的速度，
所以该游船航行到达北岸的位置应在 东侧，
故答案为：A
【分析】利用实际问题的已知条件建立坐标系，再利用向量的坐标表示求出向量的坐标，再利用三角形法则结合向量的坐标运算，进而求出向量 的坐标，再利用向量的定义，得出船有 轴正方向的速度，即向东的速度，所以该游船航行到达北岸的位置应在 东侧。
9．【答案】B
【知识点】向量在物理中的应用
【解析】【解答】解：设船的速度为 ，水的速度为 ，则船的实际航行速度为 ，于是有
=
=12
=
船实际航程为 =6。
故答案为：B。
【分析】先由已知把船的速度和水的速度设为向量，表示出船的实际航行速度，再利用向量的运算，即可求出船实际航程.
10．【答案】B
【知识点】向量在物理中的应用
【解析】【解答】∵河的宽度为480m，船的速度v，∴当行驶航程最短时，需要使得航行的路线是与河岸垂直，在垂直与河岸的分速度是6km/h，那么根据平行四边形法则可知，客船在静水中的速度大小为 km/h，选B.
【分析】本题考查向量在物理中的应用，本题是一个基础题，解题的关键是注意题目中单位要统一，最后要求的是以分钟为单位．
11．【答案】D
【知识点】平面向量的综合题
【解析】【解答】因为，所以，
因为，所以∽，
所以，所以，
因为，，
所以，
设，分别为的中点，
因为，
所以，
所以为的中点，
因为，，所以，
所以，
所以，
所以
故答案为：D
【分析】由，所以，则可得，可求得，，分别为的中点，则由已知可得为的中点，再结合已知的数据可求得结果
12．【答案】B
【知识点】向量在物理中的应用
【解析】【解答】解：如图，设船在静水中的速度为v1=10 km/h，河水的流速为v2=10km/h．
水流的速度为v2，则由v12+v22=v02，得 +102=v02，
∴v0=±20，取v0=20km/h，即小船实际航行速度的大小为20km/h．
故选B．
【分析】由题意知，船在静水中的速度为v1，实际航行的速度为v0，水流的速度为v2，它们构成直角三角形，由勾股定理容易求出小船实际航行速度．
13．【答案】
【知识点】平面向量的数量积运算；向量在几何中的应用
【解析】【解答】因为P是边长为1的等边三角形ABC的边BC上一点，.
所以，所以
所以
=.
故答案为：.
【分析】由题意推出，直接计算可得.
14．【答案】3
【知识点】向量在几何中的应用
【解析】【解答】以A为原点，以AB、AD分别为x，y轴建立直角坐标系，设正方形的边长为2，
则C（2，2），B（2，0），D（0，2），P（x，2），x∈[0，2]
∴=（2，2），=（2，﹣2），=（x，2），
∴，
∴
∴λ+μ= ，
令f（x）=，（0≤x≤2）
∵f（x）在[0，2]上单调递减，
∴f（x）max=f（0）=3．
故答案为：3
【分析】建立直角坐标系，把向量用坐标表示出来，根据的坐标表示出，求出其最大值即可.
15．【答案】5
【知识点】向量在物理中的应用
【解析】【解答】解：由题意，物体G的重量与每条绳用力的合力的大小相等
根据每条绳用力5N，且两条绳的夹角是120°，可得
∴=25+25+2 5 5 cos120°=25
∴每条绳用力的合力的大小为5N
∴物体G的重量为5N．
故答案为：5
【分析】由题意，物体G的重量是每条绳用力的合力的大小，根据每条绳用力5N，且两条绳的夹角是120°，可得，利用，可得结论．
16．【答案】（1）解：，
力对质点所做的功，
力对质点所做的功，
所以，力、对质点所做的功分别为和.
（2）解：.
【知识点】平面向量数量积的坐标表示、模、夹角；向量在物理中的应用
【解析】【分析】（1）计算出向量
的坐标，然后分别计算出
和
，即可得出结果；
（2）将
和
相加即可得出力
、的合力 对质点所做的功.
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