课件33张PPT。11.2 函数及其表示
1.2.1 函数的概念
第1课时 函数的概念 2很多人都喜欢玩打台球的游戏，当你从不同的角度或力量发力时，就会产生不同的效果，计算机是如何进行分析的呢？ 为了研究运动变化的规律，人们一般借助于函数来研究.3初中学习的函数概念是什么？ 设在一个变化过程中有两个变量x与y，如果对于x的每一个值，y都有唯一的值与它对应，则称x是自变量，y是x的函数.其中自变量x的取值的集合叫做函数的定义域，和自变量x的值对应的y的值的集合叫做函数的值域.
高中是怎么定义函数概念的？请进入本节课的学习！4 在数学中函数概念的解释有两个基本的派别，第一派叫古典派，它的主要目标是数学在物理和技术中的传统应用，以“变量”的概念为基础。初中数学里的函数概念属于这派；第二派叫现代派（或集合论派），以“元素”概念为基础，函数概念的外延更广，用于所有传统的数学应用和新近出现的新的应用领域． 51.理解函数的概念,了解构成函数的三要素.（重、难点）
2.会判断给出的两个函数是否是同一函数.
3.能正确使用区间表示数集.（易混点）6观察下列三个实例有什么不同点和共同点？
1.炮弹的射高与时间的变化关系问题
一枚炮弹发射后,经过26s落到地面击中目标,炮弹的射高为845m,且炮弹距地面的高度h(单位:m)随时间t(单位:s)变化的规律为:h=130t-5t2.探究点1 函数的概念7 这里，炮弹飞行时间t的变化范围是数集A={t|0≤t≤26},炮弹距地面的高度h的变化范围是数集B ={h|0≤h≤845}.从问题的实际意义可知，对于数集A中的任意一个时间t，按照对应关系h=130t-5t2,在数集B中都有唯一确定的高度h和它对应.82.南极臭氧层空洞面积与时间的变化关系问题 近几十年来,大气层中的臭氧迅速减少,因而出现了臭氧层空洞问题.如下图中的曲线显示了南极上空臭氧层空洞的面积从1979～2001年的变化情况.9由图中的曲线可知，时间t的变化范围是数集
A= {t|1979≤t≤2001}，臭氧层空洞面积S的变
化范围是数集B ={S|0≤S<26}.并且，对于数集
A中的每一个时刻t，按照图中的曲线，在数集B
中都有唯一确定的臭氧层空洞面积S和它对应.103.“八五”计划以来我国城镇居民的恩格尔系数与时间的变化关系问题 国际上常用恩格尔系数反映一个国家人民生活质量的高低,恩格尔系数越低,生活质量越高.如下表所示 “八五”计划以来我国城镇居民的恩格尔系数情况. (恩格尔系数=食物支出金额/总支出金额)“八五”计划以来我国城镇居民恩格尔系数变化情况11三个实例有什么共同点和不同点？不同点实例1是用解析式刻画变量之间的对应关系，
实例2是用图象刻画变量之间的对应关系，
实例3是用表格刻画变量之间的对应关系.共同点（1）都有两个非空数集.
（2）两个数集之间都有一种确定的对应关系.12函数的相关概念
设A，B是___________，如果按照某种确定的对应关
系f，使对于集合A中的____________，在集合B中都
有_____确定的数f(x)和它对应，那么就称f：A→B为
从_____________的一个函数，记作y=f(x)，x∈A.
其中，x叫做_______，x的取值范围A叫做函数的
_______；与x的值相对应的y值叫做_______，函数
值的集合{f(x)|x∈A}叫做函数的_____.非空的数集任意一个数x唯一集合A到集合B自变量定义域函数值值域13注意(2)任意的x∈A，存在唯一的y∈B与之对应.
(3)构成函数的三要素：定义域、值域、对应关系(f：A→B).(1) A，B是非空数集.函数概念中的关键词14判断下列对应能否表示y是x的函数（1）y=|x| （2）|y|=x
（3）y=x2 （4）y2=x (1)能 (2)不能 (3)能 (4)不能 关注是否一个自变量的值仅对应一个函数值想一想15例1 已知函数
(1)求函数的定义域.（2）求 的值.
(3）当a>0时，求f(a),f(a-1)的值.分析：函数的定义域通常由问题的实际背景确定，如前面所述的三个实例.如果只给出解析式y=f(x)，而没有指明它的定义域，那么函数的定义域就是指能使这个式子有意义的实数的集合. 16解：（1） 有意义的实数x的集合是{x|x≥-3}，
有意义的实数x的集合是{x|x≠-2}，所以，这个函数
的定义域就是 .(2)17（3）因为a>0，所以f(a),f(a-1)有意义.18已知f(x)=3x－2, x∈{0,1,2,3,5}，
求f(0), f(3)和函数的值域.解：值域为【变式练习】19初中各类函数的对应关系、定义域、值域分别是什么？RRRRR20y=x与 是同一函数吗？提示：不是，定义域不同探究点2 相等函数思考1：思考2:两个函数相等与表示自变量和函数值的字母有关吗？
提示：因为函数是两个数集之间的对应关系，所以至于用什么字母表示自变量是无关紧要的，如f(x)=3x+4与f(t)=3t+4表示相等函数.21思考3：如何判断两个函数是否为同一函数?提示：构成函数的三个要素是对应关系f、定义域A、值域{f(x)|x∈A}，只有当这三要素完全相同时，两个函数才能称为同一函数.由于值域是由定义域和对应关系决定的，所以，如果两个函数的定义域和对应关系完全一致，即称这两个函数相等(或为同一函数)．22例2 下列函数中哪个与函数y=x相等( )A. B. C. D. B如果两个函数定义域相同，并且对应关系完全一致，我们就称这两个函数相等（或为同一函数）关注函数的三要素23下列两个函数是否表示同一个函数？（1）（2）（3）（4）是不是，定义域不同不是，定义域不同不是，对应关系不同【变式练习】24设a，b是两个实数，而且a为_______.⒉满足不等式a_______.⒊满足不等式a≤x半闭区间，分别表示为_________________，这里的_________都叫做相应区间的端点.[a，b](a，b)[a，b），（a，b]实数a与b25数轴上所有的点26思考：区间可以表示数集，数集一定可以用区间表示吗?
提示：区间可以表示数集，但只能表示一些连续的实数集的子集，一些孤立的数集不一定可以用区间表示，如集合{1,2,3}不能用区间表示.27例3 把下列数集用区间表示：
(1){x|x≥-2}.
(2){x|x＜0}.
(3){x|-1＜x＜1或2≤x＜6}.
解析：(1){x|x≥-2}用区间表示为［-2,+∞).
(2){x|x＜0}用区间表示为(-∞，0).
(3){x|-1＜x＜1或2≤x＜6}用区间表示为 (-1，1)∪［2，6).281.下列图象中不能作为函数的是( ).A.B.C.D.B任意的x∈A，存在唯一的y∈B与之对应292.与y=x是相等函数的是( )
A.y=|x| B.y=
C.y= D.y=t
【解析】对A，B，对应关系不同；对C，定义域不同.D303.试用区间表示下列实数集
（1）{x|2≤x<3}
（2）{x|x≥15}
（3）{x|x≤0}∩{x|-3 ≤x<8}
（4）{x|x<-10}∪{x|32.函数的定义域、值域的概念.
3.函数的对应关系.
4.相等函数的判断.
5.区间的概念.41.掌握简单函数的定义域的求法.(重点）
2.会求简单函数的值域.（难点）
3.掌握换元法求函数的对应关系.（难点）5解：要使函数有意义，则 即 ，
所以函数的定义域为 .探究点1 函数的定义域的求法 （一）简单函数的定义域
例1 求下列函数的定义域：(1)6(2)解：要使函数有意义，则 ，即 ，
所以函数的定义域为 .注意定义域的表示方法：集合、区间.7求函数的定义域时常有的几种情况: ①若f(x)是整式，则函数的定义域是:②若f(x)是分式，则函数的定义域是:使分母不等于0的实数集；③若f(x)是偶次根式，则函数的定义域是:使根号内的式子大于等于0的实数集.【提升总结】实数集R；8④若f(x)是由几个部分的数学式子构成的，则函数的定义域是使各部分式子都有意义的实数集合.
⑤若f(x)是由实际问题抽象出来的函数,则函数的定义域应符合实际问题． 9（二）复杂函数的定义域例2 求函数 的定义域.解：要使函数有意义，
则 ，即 .
所以函数的定义域为 定义域是一个集合，要用集合或区间表示． 10【变式练习】1112（三）复合函数的定义域例3解:由题意知:特别提醒：对于抽象函数的定义域，在同一对应关系f下，括号内整体的取值范围相同.13解：由题意知:【变式练习】14探究点2 函数的值域例4 求下列函数的值域.求函数的值域，应先确定定义域，遵循定义域优先原则，再根据具体情况求y的取值范围.配方法观察法注意15你能求出下列函数的值域吗？解：∴函数的值域为分离常数法换元法16解：探究点3 函数对应关系例5 已知f(x+1)=2x+3，你能求出f(-1)吗？ 换元法求解析式注意换元的等价性，即要求出t的取值范围∴f(x)=2x+1171.（2012·广东高考)函数 的定义域为
____________________
【解析】由 得函数的定义域为{x|x≥-1,
且x≠0}.{x|x≥-1,且x≠0}182．已知函数f(x)=x2+x-1.则f(2)=__，若f(x)=5，
则x=______.52或-33．函数f(x)的定义域为{-1,2}，则y=f(x)的图
象与直线x=2的交点个数为_____.
【解析】根据函数的定义，给x一个值，y有唯一
的值与之对应，由于2∈{-1,2}，所以交点个数
只有一个．1194.求下列函数的值域20回顾本节课你有什么收获?1.求函数的定义域
（1）简单函数的定义域.
（2）复杂函数的定义域.
（3）复合函数的定义域.
2.简单函数的值域.21 人生就是攀登！让我们背负着命运给予的重载，艰苦跋涉，攀登上一个又一个品德、情操、知识的高峰吧！课件31张PPT。11.2.2 函数的表示法
第1课时 函数的表示法21.回顾初中函数的表示方法有哪些？23生活中函数的例子随处可见，例如某班某次考试成绩
表;由北京开往上海的各火车站与票价的对应表；边长为x的正方形田地的面积计算,以及在股市交易所中会经常见到的股票指数曲线图等.
想一想，生活中的这些函数实例，它们都是以什么
“面貌”呈现在我们面前的?通过本节课的学习，将会
有一个全新的认识.41.掌握函数的三种表示法：解析法、列表法、图象法，体会三种表示方法的优点.(重点）
2.会求函数解析式，并正确画出函数的图象.
(难点）5探究点1 解析法用数学表达式表示两个变量之间的对应关系的方法优点: ①函数关系清楚、精确；②容易从自变量的值求出其对应的函数值；③便于研究函数的性质。解析法是中学研究函数的主要表达方法。6探究点2 列表法观察下面的表格，思考下列问题(a，b，c∈R):
1.上述表格表示y是x的函数吗？
提示：是.根据函数的定义知，对x每取一个确定的值，y都有唯一的值与之相对应，因此y是x的函数.72.所有的函数都能用列表法来表示吗？
提示：并不是所有函数都能用列表法来表示，如函数y=2x+1,x∈R.因为自变量x∈R不能一一列出，所以不能用列表法来表示.8列出表格来表示两个变量之间的对应关系的方法.
如：平方表，平方根表，汽车、火车站的里程价目表、银行里的“利率表”等。
优点:不必通过计算就知道当自变量取某些值时函数的对应值，当自变量的值的个数较少时使用，列表法在实际生产和生活中有广泛的应用. 9探究点3 图象法用图象表示两个变量之间的对应关系的方法. 如：一次函数y＝kx＋b (k＜0、b＞0)的图象是一条直线；优点：能形象直观地表示出函数的变化趋势，是今后利用数形结合思想解题的基础.10图象法可以较好反映函数的哪些要素？定义域，值域下图是我国人口出生率变化曲线． 11例1 某种笔记本的单价是5元，买 个笔记本需要y元.试用函数的三种表示法表示函数
y=f(x).解：这个函数的定义域是数集｛1,2,3,4,5｝列表法表示如下：用图象法可将函数表示为右图：用解析法表示为函数的图象既可以是连续的曲线，也可以是直线、折线、离散的点等等。12(1)用解析法表示函数是否一定要写出自变量的取值范围？(2)用描点法画函数图象的一般步骤是什么？列表、描点、连线(视其定义域决定是否连线)函数的定义域是函数存在的前提，写函数解析式的时候，一般要写出函数的定义域.13例2 下表是某校高一（1）班三名同学在高一学年度六次数学测试的成绩及班级平均分表. 请你对这三位同学在高一学年度的数学学习情况做一个分析.测试
序号成
绩姓名14解：从表中可以知道每位同学在每次测试中的成绩，但不太容易分析每位同学的成绩变化情况.如果将“成绩”与“测试序号”之间的关系用函数图象表示出来，如下图，那么就能比较直观地看到成绩变化的情况.这对我们的分析很有帮助.15从图我们看到，王伟同学的数学学习成绩始终高于班级平均水平，学习情况比较稳定而且成绩优秀，张城同学的数学成绩不稳定，总是在班级平均水平上下波动，而且波动幅度较大，赵磊同学的数学学习成绩低于班级平均水平，但他的成绩曲线呈上升趋势，表明他的数学成绩在稳步提高。16作函数图象时应注意的事项:
(1)画函数图象时首先关注函数的定义域,即在定义域内作图;
(2)图象是实线或实点,定义域外的部分有时可用虚线来衬托整个图象;
(3)要标出某些关键点,例如图象的顶点、端点、与坐标轴的交点等.要分清这些关键点是实心点还是空心点.【提升总结】171. 画出下列函数的图象:
(1)
(2)解：（1）（2）【变式练习】182.某路公共汽车，行进的站数与票价关系如下表：此函数关系除了用列表法表示之外，能否用其他方法表示？解： 19 把两个变量的函数关系，用一个等式来表示，这个等式就叫函数的解析式，简称解析式. 探究点4 求函数解析式二、求函数解析式的常用方法有：1.待定系数法
2.换元法(构造法)
3.消元法一、函数的解析式:20例3 已知f(x)是一次函数，f(f(x))=4x－1，求
f(x)的解析式.解：设f(x)=kx+b（k≠0）则 f(f(x))=f(kx+b)=k(kx+b)+b=k2x+kb+b=4x－1待定系数法适合：已知函数的模型(如一次函数、二次函数、反比例函数等)求函数解析式.21【变式练习】2223例4 已知，求解：适合：已知f(g(x))的解析式,求f(x).换元法24例5 已知，求解：由解得消元法适合: 同时含有251.已知函数f(x)由表给出：
则f(2)的值为( )
A.4 B.2 C.0 D.1D263.已知求f(x)的解析式.解：2728291．函数的三种表示方法的优缺点比较302．函数的三种表示方法相互兼容和补充，许多函数是可以同时用这三种方法来表示的，但在实际操作中，仍以解析法和图象法为主．31 时间应分配得精密，使每年、每月、每日和每小时都有它的特殊任务。课件25张PPT。1第2课时 分段函数及映射23只要你能把数报对，我就知道是什么牌
41.通过实例体会分段函数的概念.
2.会用分段函数解决简单的实际问题.(重点）
3.了解映射的概念及表示方法，并会判断一个对应关系是否是映射. （难点）5探究点1 分段函数6分段函数 有些函数在它的定义域中，对于自变量的
不同取值范围，对应关系不同，这种函数通常
称为_________.分段函数7（1）分段函数是一个函数，不要把它误认为是几个函数；注意（2）分段函数的定义域是各段定义域的并集，值域是各段值域的并集.81.求分段函数的函数值：例1 已知函数f(x)=x+2, x≤－1；x2, －1＜x＜2；2x, x≥2.(2)若f(x)=3,求x的值.(1)求 的值;解：（1）（2）9在它的定义域中，对于自变量的不同取值范围，对应关系不同.例2 画出函数 的图象.2.画分段函数的图象10例3 某市“招手即停”公共汽车的票价按下列规则制定：
（1）5公里以内(含5公里)，票价2元；
（2）5公里以上，每增加5公里，票价增加1元（不足5公里的按5公里计算）.
如果某条线路的总里程为20公里，请根据题意，
写出票价与里程之间的函数解析式，并画出函数的图象.3.求分段函数的解析式11y=2, 03, 5 < x ≤ 10
4, 10 < x ≤ 15
5, 15 < x≤20解：设票价为y元，里程为x公里，由题意可知，自变量x
的取值范围是（0，20]
由“招手即停”公共汽车票价的制定规定，可得到以下
函数解析式：根据这个函数解析式，
可画出函数图象，
如右图:y○2O51015201345x○○○121.已知求 的值.
解：函数值作为自变量【变式练习】132.某质点在30s内运动速度vcm/s是时间t的函数,它的图象如右图，用解析式表示出这个函数.解:v(t)=t+10, (0 ≤ t<5)3t,(5 ≤ t＜10)30,(10 ≤t ＜20)-3t+90,(20 ≤ t≤30)14填写下图中的对应关系
AB（1)相应国家的首都(2)求平方(3)乘以2x xx2x2x一对一多对一一对一(1),(2),(3)的共同特征:集合A中的任何一个元素,在集合B中都有唯一的元素和它对应.X的首都1 2 3 4 5 61 2 3 AB探究点2 映射15 一般地，设A、B是两个___________，如果按某一个确
定的对应关系f，使对于集合A中的_____一个元素x，在集
合B中都有_____确定的元素y与之对应，那么就称对应
f:A→B为从集合A到集合B的一个映射.映射的概念若对应是映射，必须满足两个条件：①A中任何一个元素在B中都有元素与之对应.②A在B中所对应的元素是唯一的.注意针对于集合A来说，不管集合B非空的集合任意唯一16因此还可以用映射的概念来定义函数：
如果A、B是非空数集，那么A到B的映射f:A→B,
就叫做A到B的函数，
记作：y=f(x)函数是一种特殊的映射函数映射对应17例4 以下给出的对应是不是从集合A到B的映射？(1)集合A＝{P|P是数轴上的点}，集合B＝R，对应关系
f：数轴上的点与它所代表的实数对应；
(2)集合A＝{P|P是平面直角坐标系中的点}，集合B＝
{(x，y)| x∈R，y∈R}，对应关系f：平面直角坐标系
中的点与它的坐标对应；
(3)集合A＝{x|x是三角形}，集合B＝{x|x是圆}，对应
关系f：每一个三角形都对应它的内切圆；
(4)集合A＝{x|x是新华中学的班级}，集合B＝{x|x是新
华中学的学生}，对应关系f：每一个班级都对应班里的
学生.是不是是是18xxyyyy000022222222A.1.设A=[0,2], B=[1,2], 在下列各图中，能表示
f:A→B的函数是（ ）.D xxB.C.D.11111111192.集合A={a,b,c},B={d,e}，则从A到B可以建立
不同的映射个数为( )
A.5 B.6 C.8 D.9
【解析】逐一列出所有的映射为：C203.函数 的定义域是________.
【解析】分段函数的定义域是各段定义域的并集，所以此函数的定义域是［-2,3］.［-2,3］214.某市居民自来水收费标准如下：每户每月用水不超过4吨为每吨1.80元，当用水超过4吨，超过部分每吨3.00元，某月甲、乙两户居民共缴水费y元，已知甲、乙两户的用水量分别为5x、3x(吨).
(1)求y关于x的函数；
(2)若甲、乙两户该月共缴水费26.40元，分别求出甲、乙两户该月的用水量和水费.
【解析】(1)依题意得y= 14.4x,0≤x≤ ,
20.4x-4.8, ＜x≤ ,
24x-9.6,x＞ .22(2)由于y=f(x)在各段区间上均单调递增，
当x∈[0, ]时，y≤f( )＜26.4；
当x∈( , ]时，y≤f( )＜26.4；
当x∈( ,+∞)时，令24x-9.6=26.4，得x=1.5.
所以甲用户的用水量为5x=7.5(吨)，
缴水费4×1.8+3.5×3=17.7 (元)，
乙用户用水量为3x=4.5(吨)，
缴水费4×1.8+0.5×3=8.7(元).231.分段函数24③“唯一性”：对于集合A中的任何一个元素，在集合B中和它对应的元素是唯一的.①“有序性”：映射是有方向的，A到B的映射与B到A的映射往往不是同一个映射；②“存在性”：对于集合A中的任何一个元素，集合B中都存在元素和它对应；2.映射的“三性”25 昨天是已经走过的，明天是即将走过的，惟有今天正在走过……
