课件28张PPT。1.3 函数的基本性质 1.3.1 单调性与最大（小）值 第1课时 函数的单调性 引入1 如图为我市某日24小时内的气温变化图．观察这张气温变化图：引入2 德国有一位著名的心理学家艾宾浩斯，对人类的记忆牢固程度进行了有关研究.他经过测试，得到了有趣的数据数据表明，记忆的数量y是时间间隔t的函数. 艾宾浩斯根据这些数据描绘出了著名的“艾宾浩斯记忆遗忘曲线”,如图：100思考1：当时间间隔t逐渐增大时，你能看出对应的函数值y有什么变化趋势？通过这个实验，
你打算以后如何对待刚学过的
知识?
思考2: “艾宾浩斯记忆遗忘曲线”
从左至右是逐渐下降的，对此，
我们如何用数学观点进行解释？1.理解单调函数的定义；（重点）
2.理解增函数、减函数的定义；（重点）
3.掌握定义法判断函数单调性的步骤；（难点）
4.会用函数单调性的定义证明简单的函数的单调性，求函数的单调区间. 我们通过几个函数的图象观察函数值随自变量而变化的规律.探究点 函数单调性的定义 这种函数在其定义域的一个区间上函数值随
着自变量的___________的性质我们称之为“函
数在这个区间上是增函数”；函数在其定义域的
一个区间上函数值随着自变量的___________的
性质我们称之为“函数在这个区间上是减函数”.如何用函数的解析式和数学语言进行描绘？增大而增大增大而减少对函数f(x)=x2而言，“函数值在（0，+∞）上随
自变量的增大而增大”，可以这样描述：在区间
（0，+∞）上任取两个实数x1,x2,得到函数值
f(x1)=x12,f(x2)=x22，当x1请同学们用数学语言描述函数f(x)在（-∞，0]上
函数值随自变量的增大而减小的情况.f(x1)量的值 ，当 时，都有___________，那
么就说函数 在区间D上是增函数．函数单调性的相关概念f(x1)量的值 ，当 时，都有___________，那
么就说函数 在区间D上是减函数． 如果函数y=f(x)在区间D上是_______________，
那么就说函数y=f(x)在这一区间具有（严格的）单调
性，区间D叫做y=f(x)的单调区间．f(x1)>f(x2)增函数或减函数第一、在中学数学中所说的单调性是指严格的单调性, 即必须是f(x1)f(x2)),而不能是f(x1)≤f(x2) (或f(x1)≥f(x2));对函数单调性的理解第二、函数的单调性是对定义域内的某个区间而言的, 是局部概念;第三、学习函数的单调性,要注意定义中条件和结论是双向使用的.例1.下图是定义在区间[-5,5]上的函数y=f(x)，根据
图象说出函数的单调区间，以及在每一个单调区间上，它是增函数还是减函数? 解：函数 的单调区间有其中 在区间 上是减函数，在区间
上是增函数． 整个上午（8：00—12：00）天气越来越暖，
中午时分（12：00—13：00）一场暴风雨使天气骤
然凉爽了许多.暴风雨过后，天气转暖，直到太阳
下山（18：00）才又开始转凉.画出这一天8：00—
20：00期间气温作为时间函数的一个可能图象，并
说出所画函数的单调区间.解：单调增区间是
[8,12）,[13,18）; 单调减区间是 [12,13）,[18,20].【变式练习】作差变形定号判断取值证明：根据单调性的定义，设V1,V2是定义域(0,+∞)上的任意两个实数，且V1②作差变形：即作差f(x1)-f(x2)(或f(x2)-f(x1)),并用因式分解、配方、有理化等方法将差式向有利于判断差的符号的方向变形;
③定号：确定差f(x1)-f(x2)(或f(x2)-f(x1))的符号,当符号不确定时,可进行分类讨论;
④判断：根据定义得出结论.利用定义证明或判断函数在指定区间上的单调性的步骤:【提升总结】画出反比例函数f(x)= 的图象.
（1）这个函数的定义域I是什么？
（2）它在定义域I上的单调性是怎样的？
证明你的结论.探究实践函数图象如图思考交流解析：直线y=kx+b在k<0时，单调递减.
∴2a-1<0,即aa的取值范围为________．[4，+∞)提示：可利用函数图象求解.（1，+∞）4.根据下图说出函数的单调区间，以及在每一个单调区间上，函数是增函数还是减函数.解：函数的单调区间是[-1,0）,[0,2）,[2,4）,[4,5].
在区间[-1,0）,[2,4）上，函数是减函数；
在区间[0,2）,[4,5]上，函数是增函数.5.证明函数 在区间 上是增函数.证明：任取 ，且 ，则 因为得所以函数 在区间[-2,+∞)上是增函数． 1.函数的单调性定义的内涵与外延：
内涵:是用自变量的大小变化来刻画函数值的变化情况；
外延:①一般规律：自变量的变化与函数值的变化一致时是单调递增，自变量的变化与函数值的变化相反时是单调递减.
②几何特征：在自变量取值区间上，若函数的图象上升，则为增函数，图象下降则为减函数. 3. 证明函数的单调性的基本步骤是：
（1）取值； （2）作差变形；
（3）定号； （4）判断.2.函数的单调性是函数在其定义域上的“局部”性质，即函数可能在其定义域上的某个区间内递增，在另外的区间上递减，研究函数的单调性一定要注意在定义域的哪个区间内. 如果你希望成功，那么就要以恒心为良友，以经验为参谋，以小心为兄弟，以希望为哨兵.课件26张PPT。1第2课时 函数的最大值、最小值 2喷泉喷出的抛物线型水柱到达“最高点”后便下落，经历了先“增”后“减”的过程，从中我们发现单调性与函数的最值之间似乎有着某种“联系”，让我们来研究——函数的最大值与最小值.31.理解函数的最大（小）值及其几何意义；(重点）
2.学会运用函数图象理解和研究函数的性质；（难点）4观察下列两个函数的图象： B探究点1 函数的最大值5【解答】第一个函数图象有最高点A,第二个函数图象有最高点B,也就是说,这两个函数的图象都有最高点.
思考2 设函数y=f(x)图象上最高点的纵坐标为M,则对函数定义域内任意自变量x,f(x)与M的大小关系如何?
【解答】 f(x)≤M思考1 这两个函数图象有何共同特征？6函数最大值定义：一般地，设函数y=f(x)的定义
域为I，如果存在实数M满足：
（1）对于任意的x∈I，都有________；
（2）存在x0∈I，使得_______。
那么，我们称M是函数y=f(x)的最大值.请同学们仿此给出函数最小值的定义f(x)≤Mf(x0)=M7函数图象最高点处的函数值的刻画：函数图象在最高点处的函数值是函数在整个定义域上最大的值.对于函数f(x)=-x2而言，即对于函数定义域中任意的x∈R，都有f(x)≤f(0)函数最大值的“形”的定义：当一个函数的图象有最高点时，我们就说这个函数有最大值.当一个函数的图象无最高点时，我们就说这个函数没有最大值.8观察下列两个函数的图象：探究点2 函数的最小值9思考1:这两个函数图象各有一个最低点，函数图象上最低点的纵坐标叫什么名称？
提示：函数图象上最低点的纵坐标是所有函数值中的最小值,即函数的最小值.10思考2:仿照函数最大值的定义，怎样定义函数的最小值？
提示：一般地，设函数y=f(x)的定义域为A，如果存在x0∈A,使得对于任意的x∈A，都有f(x)≥f(x0) ,那么称f(x0)为函数y=f(x)的最小值，记为ymin=f(x0). 11函数最小值的定义：一般地，设函数y=f(x)的定
义域为I，如果存在实数N满足：
（1）对任意的 ，都有________；
（2）存在 ，使得_______.
那么，我们就称N是函数y=f(x)的最小值.f(x)≥Nf(x0)=N12函数图象最低点处的函数值的刻画：函数图象在最低点处的函数值是函数在整个定义域上最小的值.对于函数f(x)=x2而言，即对于函数定义域中任意的x∈R，都有f(x)≥f(0).
最小值的“形”的定义：当一个函数的图象有最低点时，我们就说这个函数有最小值.当一个函数的图象没有最低点时，我们就说这个函数没有最小值.13对函数最值的理解1.函数最大值首先应该是某一个函数值，即存在
使得 .并不是所有满足 的函数都有
最大值M.如函数 ,虽然对定义域上
的任意自变量都有 ，但1不是函数的最大值.2.函数的最值是函数在定义域上的整体性质，即这个函数值是函数在整个定义域上的最大的函数值或者是最小的函数值.14例3.“菊花”烟花是最壮观的烟花之一.制造时一般
是期望在它达到最高点时爆裂.如果烟花距地面的高
度h m与时间t s之间的关系为h(t)=-4.9t2+14.7t+18，
那么烟花冲出后什么时候是它爆裂的最佳时刻？这时
距地面的高度是多少（精确到1 m）？15分析：烟花的高度h是时间t的二次函数，根据题意就是求出这个二次函数在什么时刻达到最大值，以及这个最大值是多少.显然，函数图象的顶点就是烟花上升的最高点，顶点的横坐标就是烟花爆裂的最佳时刻，纵坐标就是这时距地面的高度.解：画出这个函数h(t)=-4.9t2+14.7t+18的图象. 16由二次函数的知识，对于函数
我们有： 于是，烟花冲出后1.5s是它爆裂的最佳时刻，这时距地面的高度约为29m.17例4.已知函数 ，求函数的最大
值和最小值。解：设x1,x2是区间[2,6]上的任意两个实数，且x1别取得最大值与最小值，即在x=2时取得最大值，最
大值是2，在x=6时取得最小值，最小值是0.4.19【提升总结】函数在定义域上是减函数必需进行证明，然后再根据这个单调性确定函数取得最值的点.因此解题过程分为两个部分，先证明函数在[2，6]上是减函数，再求这个函数的最大值和最小值.20例5 已知函数y=f(x)的定义域是[a，b]，af(-1),f(5)中，最小的一个是( )
A.f(2) B.f(1) C.f(-1) D.f(5)
【解析】由题意知抛物线的对称轴为x=-2，
函数f(x)=x2+4x-3在［-2,+∞)上是增函数，有
f(-1)＜f(1)＜f(2)＜f(5).C222. 函数f(x)=x2+4ax+2在区间 (-∞，6]内递减，
则a的取值范围是( )
A.a≥3 B.a≤3
C.a≥-3 D.a≤-3D【解析】二次函数的对称轴为x=-2a
故只需-2a ≥6,即a≤-3233.函数y=x2,x∈［-1，2］的最大值为_______.
【解析】函数y=x2在［-1,0］上为减函数，在［0,2］上为增函数. 当x=-1时，y=1；当x=2时，y=4，所以函数y=x2在x∈［-1,2］上的最大值为4.424， ，
. 251.函数的最值是函数在其定义域上的整体性质.
2.根据函数的单调性确定函数最值时，如果是一般的函数要证明这个函数的单调性，若是基本的函数可以直接使用函数的单调性.
3.含有字母系数的函数，在求其最值时要注意分情况讨论，画出函数的图象有利于问题的解决.26 在科学上进步而道义上落后的人，不是前进，而是后退。
——亚里士多德课件31张PPT。11.3.2 奇偶性
第1课时 函数奇偶性的概念 2故宫殿堂建筑整齐对称，相映成趣, 给人以稳重、博大、端庄的感觉！数学上有对称的函数图象吗？它们体现了函数的什么性质？一起让我们来学习这个性质吧！31.理解函数的奇偶性的含义.(难点）
2.掌握判断函数的奇偶性的方法．（重点、难点）
3.了解奇函数、偶函数的图象的对称性.4 已知函数f(x)=x2,求f(0),f(-1),f(1), f(-2), f(2),及f(-x) ,并画出它的图象.解:f(-2)=(-2)2=4， f(2)=4f(0)=0,f(-1)=(-1)2=1,f(1)=1，f(-x)=(-x)2=x2f(-1)=f(1)，f(-2)=f(2)f(-x)=f(x)探究点1 偶函数的定义5思考:函数图象上横坐标互为相反数的点的纵坐标有什么关系？ 函数图象关于y轴对称；对定义域内任意的自变量x都有
6 一般地，如果对于函数f(x)的定义域内任
意一个x，都有___________，那么函数f(x)就
叫做偶函数.
例如，下图：f(-x)=f(x)对定义域内任意的自变量x都有
7 已知f(x)=x3, 求f(0),f(-1),f(1),
f(-2),f(2)及f(-x),并画出它的图象.解:f(-2)=(-2)3=-8，f(2)=8.f(0)=0,f(-1)=(-1)3=-1，f(1)=1，f(-x)=(-x)3=-x3f(-1)= - f(1)
f(-2)= - f(2)xf(-x)= - f(x)-xf(-x)f(x)探究点2 奇函数的定义8思考:奇函数中，函数图象上横坐标互为相反数的点的纵坐标有什么关系？
提示：如图，f(-x)=-x3=-f(x)，即横坐标互为相反数的点的纵坐标互为相反数.x-xf(-x)f(x)9 一般地，如果对于函数f(x)的定义域内任意一
个x，都有____________，那么函数f(x)就叫做奇
函数.f(-x)=-f(x)10 根据图象判断下列函数哪个是偶函数，哪个是奇函数？偶函数偶函数11奇函数奇函数12【提升总结】奇函数与偶函数定义中的三性
(1)对称性：奇、偶函数的定义域关于原点对称；
(2)整体性：奇偶性是函数的整体性质，是对定义域内的每一个x都成立的；
(3)可逆性：f(-x)=-f(x)?f(x)是奇函数，f(-x)= f(x)?f(x)是偶函数.13例.判断下列函数的奇偶性：
（1） ； （2） ；
（3） ； （4）分析：只要按照函数奇偶性的定义，检验各个函数是否符合即可.14解：（1）对于函数f(x)=x4，其定义域是 .
因为对定义域内的每一个x，都有
所以，函数f(x)=x4为偶函数。15(2)对于函数f(x)=x5，其定义域为 .
因为对定义域内的每一个x，都有
所以，函数f(x)=x5为奇函数.16(3)对于函数 ，其定义域是{x|x≠0}.
因为对于定义域内的每一个x，都有
所以，函数 为奇函数.17（1）判断函数 的奇偶性.
（2）如图是函数 图象的一部分，如何画出函数在整个定义域上的图象？【变式练习】18解：(1)对于函数 ，其定义域是 .由于对定义域内的任意x，都有
所以，函数f(x)是奇函数.19(2)由于奇函数的图象关于坐标原点对称，只要在函数图象上找点作出这些点关于坐标原点的对称点，描点即可作出函数在整个定义域上的图象.如图20用函数奇偶性的定义判断函数奇偶性的一般步骤是：
（1）先求函数的定义域，由于在函数奇偶性的定义中都是x和-x对应出现，故具备奇偶性的函数的定义域区间一定关于坐标原点对称，如果求出函数的定义域不是关于坐标原点对称的，则这个函数不具备奇偶性.（2）验证f(-x)=f(x) ，或者f(-x)=-f(x).（3）根据函数奇偶性的定义得出结论.【提升总结】211.函数不是奇函数就是偶函数吗？思考交流222.具备奇偶性的函数图象有什么特点？233.若函数f(x)为奇函数，且在x=0处有定义，则f(0)的值能确定吗？241.函数f(x)=x2，x∈［-1，2］是( )
A.奇函数 B.偶函数
C.非奇非偶函数 D.既奇又偶函数【提示】∵x∈［-1,2］，不关于原点对称.C252.如果定义在区间［3-a，5］上的函数f(x)是偶
函数，则a=_______.
【解析】∵f(x)是偶函数，∴函数f(x)的定义域关于
原点对称，∴3-a+5=0，∴a=88263.已知f(x)是偶函数，g(x)是奇函数，试将下图补充完整。27解：2829，3031 人生最终的价值在于觉醒和思考的能力，而不只在于生存。
——亚里士多德课件22张PPT。1第2课时 函数奇偶性的应用 2生活中有很多美好的东西，上面的这两个图片美在什么地方呢？而具有奇偶性的函数图象都很美，它们又有哪些性质呢？31.进一步理解函数的单调性和奇偶性的概念及具有奇偶性的函数的图象特征；
2.能够根据函数的奇偶性求函数解析式；(难点）
3.会根据函数的奇偶性判断函数的单调性.（重点）4探究点1 根据函数奇偶性画函数图象 偶函数的图象关于y轴对称，如果能够画出偶函数在y轴一侧的图象，则根据对称性就可补全该函数在y轴另一侧的图象. 奇函数的图象关于坐标原点对称，如果能够画出函数在坐标原点一侧的图象，则根据对称性可以补全该函数在原点另一侧的图象.5例1.画出下列函数的图象
（1）
（2）分析：（1）根据函数奇偶性的定义，不难知道函数是偶函数，这样只要画出了在x≥0时的函数图象就可以根据对称性画出函数在x<0时的图象.
（2）函数是奇函数，同样根据对称性解决.6解：（1）当 时，其图象是以点(1,-1)为顶点，开口向上的抛物线，
与x轴的交点坐标是(0,0)(2,0).此时函数图象在y轴右半部分如图所示：根据函数图象的对称性得到整个函数的图象，如图.7（2）函数是奇函数，可以证明这个函数在区间（0，1]上单调递减，在区间（1，+∞）上单调递增，且在（0，+∞）上函数值都是正值，函数在（0，+∞）上的最小值为2.（这些都可以根据函数单调性的定义进行证明）根据函数在（0，+∞）上的性质，作出函数的图象，如图第一象限内部分.根据奇函数图象关于坐标原点对称画出这整个函数的图象，如图。8探究点2 根据函数的奇偶性求函数解析式例2.已知函数f(x)在（0,+∞）上的解析式是f(x)=2x+1，根据下列条件求函数在（-∞，0）上的解析式.
（1）f(x)是偶函数；
（2）f(x)是奇函数.9分析：求函数f(x)在(-∞，0）上的解析式，就是求
当 时，如何用含x的表达式表示f(x).能够利用的已知条件是函数在（0，+∞）上的函数解析式，这样就要把（-∞，0）上的自变量转化到（0，+∞）上的自变量.根据偶函数、奇函数的定义，具备奇偶性的函数在定义
域的对称区间上的函数值是符合奇偶性定义的，对偶函
数就是f(x)=f(-x)，这样当 时， ，
而在（0，+∞）上的函数解析式是已知的.对奇函数同
样处理.10解：（1）当函数f(x)是偶函数时，满足f(x)=f(-x)，当 时， ，所以，当 时，(2)当函数f(x)是奇函数时，满足f(x)=-f(-x).当 时， ，所以，当 时，11探究点3 利用函数的奇偶性研究函数的单调性回顾例1中两个函数的图象从第（1）个函数图象上可以看出函数在定义域关于原点对称的区间上的单调性恰好相反，这也是偶函数的单调性的一般规律.从第（2）个函数图象上可以看出函数在定义域关于原点对称的区间上具有相同的单调性，这也是奇函数的单调性的一般规律.12例3.已知函数f(x)是奇函数，且在（0，+∞）上是减函数，证明函数在（-∞，0）上也是减函数.分析：根据证明函数单调性的一般步骤，先在(-∞，
0)上取值，然后作差，通过函数是奇函数把函数在
(-∞，0)上的函数值转化到（0，+∞）上的函数值，
再根据函数在（0，+∞）上是减函数，确定所作的
差的符号，最后根据函数单调性的定义得到证明的
结论.13所以-f(x1)+f(x2)<0 ，即f(x1)-f(x2)>0.证明：在（-∞，0）上任取x1-x2>0因为函数在（0，+∞）上是减函数，所以由于函数f(x)是奇函数，所以根据减函数的定义，函数f(x)在（-∞，0）上是减函数.14函数的单调性与奇偶性的关系
(1)若f(x)是奇函数,则f(x)在定义域关于原点对称的区间上单调性一致;若f(x)是偶函数,则f(x)在定义域关于原点对称的区间上单调性相反.
(2)奇函数在定义域关于原点对称的区间上的最值相反,且互为相反数;偶函数在定义域关于原点对称的区间上的最值相等.【提升总结】15例4：若f(x)是偶函数，其定义域为(-∞,+∞)，且
在[0,+∞)上是减函数，则 与 的
大小关系是______.
【分析】要比较各函数值的大小，需将要比较的自变量的值化到同一单调区间上，然后再根据单调性比较大小.16【解】∵
又∵f(x)在［0,+∞)上是减函数,
∴
又∵f(x)是偶函数，∴
∴
【答案】171.设偶函数f(x)满足f(x)=x3-8(x≥0)，则
｛x|f(x-2)>0｝=( )
A.{x|x<-2或x>4} B.{x|x<0或x>4}
C.{x|x<0或x>6} D.{x|x<-2或x>2}
【解析】因为函数f(x)在（0,+∞）上为增函数，且f(2)=0,由偶函数的性质可知，若f(x-2)>0,需满足|x-2|>2,得x>4或x<0,故选B.B182.已知函数f(x)在区间［-5，5］上是奇函数，在区
间［0,5］上是单调函数，且f(3)A.f(-1)f(-1)
C.f(-1)f(-5)【提示】根据题意，应首先判断函数在区间［0,5］上的单调性.A19204.已知奇函数f(x)，在（-∞，0]上的解析式是f(x)=x2+2x，求这个函数在（0，+∞）上的解析式.【解析】x∈（0，+∞），21两个性质：
1.奇函数在定义域关于原点对称的区间上具有相同的单调性；
偶函数则在定义域关于原点对称的区间上具有相反的单调性；
2.奇函数的图象关于原点对称，偶函数的图象关于ｙ轴对称．
一种题型：
具备奇偶性的函数，已知某一区间上的解析式可求函数
在其关于原点对称的区间上的解析式22 但凡人能想象到的事物，必定有人能将它实现。
——凡尔纳
